Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/22 20:37:01 hk Exp hk $

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/22 20:37:01 hk Exp hk $"

Transkript

1 $Id: dreieck.tex,v /04/ 0:37:01 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck In der letzten Sitzung hatten wir den sogenannten Inkreis eines Dreiecks eingeführt, dies ist der Kreis dessen Mittelpunkt der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist und dessen Radius der gemeinsame bstand dieses Punktes zu den drei Seiten des Dreiecks ist. Wir wollen den Inkreisradius r explizit in Termen der drei Seitenlängen a, b, c berechnen und hierzu wird zunächst einmal die Fläche F des Dreiecks als Funktion von a, b, c bestimmt. Wie die Fläche mit dem Inkreisradius zusammenhängt werden wir uns dann im nächsten Schritt überlegen. ei der erechnung der Fläche hatten wir bereits das Ergebnis F = 4a b (a + b c ). 16 erhalten, und schreiben wir diese Formel noch etwas um so ergibt sich: Satz 1.15 (Heronsche Flächenformel) Sei ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c. Weiter bezeichne s := (a + b + c)/ den halben Umfang des Dreiecks und F seine Fläche. Dann gilt die Heronsche Flächenformel F = 1 4 (a + b + c)(a + b c)(a + c b)(b + c a) = s(s a)(s b)(s c). eweis: Wir setzen die obige Rechnung fort und erhalten F = (ab) (a + b c ) 16 = 1 16 (ab (a + b c ))(ab + (a + b c )) = 1 16 (c (a b) )((a + b) c ) = 1 (a + b c)(a + c b)(a + b c)(a + b + c), 16 also eachten wir noch so ergibt sich auch F = 1 4 (a + b + c)(a + b c)(a + c b)(b + c a). s a = b + c a, s b = a + c b F = s(s a)(s b)(s c). 5-1 und s c = a + b c,

2 Damit ist die Heronsche Flächenformel bewiesen. Den Zusammenhang zwischen Fläche F und Inkreisradius r eines Dreiecks = können wir der folgenden Skizze entnehmen: r r S w r Der Inkreisradius r war der gemeinsame bstand von S w zu den drei Ecken des Dreiecks, fällen wir also von S w aus Lote auf die drei Seiten, so haben die entstehenden Lotfußpunkte jeweils den bstand r von S w. Hierdurch wird das Dreieck in drei Teildreiecke zerlegt, die jeweils S w und zwei der drei Ecken von als ihre Ecken haben. Weiter tritt der Inkreisradius r in jedem dieser Dreiecke als Höhe auf einer der drei Seiten von auf. Damit wird die Fläche F von zur Summe der drei Flächen dieser Teildreiecke, und diese eobachtung liefert uns einen Zusammenhang zwischen r und F. Korollar 1.16 (erechnung des Inkreisradius) Sei ein Dreieck mit Seiten a, b, c, Fläche F, Inkreisradius r und halbem Umfang s := (a + b + c)/. Dann gelten (s a)(s b)(s c) F = rs und r =. s eweis: Sei = und bezeichne S w den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden von. Dann zerlegen wir in die drei Dreiecke S w, S w und S w. In jedem dieser Dreieck ist die Höhe durch S w gleich dem Lot von S w auf die entsprechende Seite von, die Länge dieser Höhe ist also der gemeinsame bstand r von S w zu diesen drei Seiten. Es folgt F = 1 ar + 1 br + 1 cr = r a + b + c = rs. 5-

3 Mit der Heronschen Flächenformel Satz 15 ergibt sich weiter r = F s = 1 s (s a)(s b)(s c) s(s a)(s b)(s c) =. s In der obigen Figur lassen sich auch die bstände der Ecken von zu den drei Lotfußpunkten berechnen, dies wird in ufgabe (11.a) durchgeführt, beispielsweise hat die Ecke zu den beiden angrenzenden Lotfußpunkten jeweis den bstand s a. Dadurch ist insbesondere auch die Lage von S w berechnet, man muss erst die Strecke s a auf zurücklegen und dann senkrecht auf in Richtung von die Strecke r abtragen. Die entstehende Formel wird besonders übersichtlich wenn man sie wie in ufgabe (11.b) in Termen der Vektorraumstruktur des R formuliert. α t 1 s t r t 3 s Drei gleich große Kreise Gierige Methode evor wir uns dem nächsten der speziellen Punkte zuwenden, wollen wir noch eine kleine eispielaufgabe behandeln. Eine klassische Konstruktionsaufgabe ist es in einem gegebenen Dreieck drei Kreise zu finden die alle das Dreieck und die beiden anderen Kreise berühren. Dieses Problem wurde schon 1690 von Jakob ernoulli behandelt und letztlich 1803 von Malfattis gelöst. Malfattis behauptete weiter das diese drei Kreise den größtmöglichen Flächeninhalt ausfüllen die drei sich nicht schneidende Kreise innerhalb des Dreiecks einnehmen können. Dies wurde dann letztlich 1994 von Zalgaller widerlegt, und wir wollen uns diese Widerlegung im Fall eines gleichseitigen Dreiecks der Kantenlänge Eins einmal anschauen. Sei also ein solches Dreieck, also a = b = c = 1 und α = β = γ = π/3 in den Standardbezeichnungen. Der halbe Umfang ist dann 3/, die Fläche von ist F = 3/16 = 3/4 und der Inkreisradius ist r = F/s = 1/( 3) = 3/6. Zunächst betrachten wir die von Malfattis vorgeschlagenen Kreise, in diesem Fall haben diese alle denselben Radius s > 0, und wir wollen diesen Radius erst einmal berechnen. Hierzu zerlegen wir wie oben gezeigt eine der Dreiecksseiten in drei Teile t 1, t, t 3. Dann ist t 1 +t +t 3 = 1. Das mittlere Drittel hat die Länge zweier Kreisradien also t = s. Weiter sind das obere und das untere Drittel gleich, also t 1 = t 3. Um 5-3

4 schließlich t 1 zu berechnen, schauen wir uns das eingezeichnete rechtwinklige Dreieck an. In diesem ist der obere Winkel der halbe Dreieckswinkel also π/6, und es ergibt sich 1 3 = tan π 6 = s t 1, d.h. t 1 = 3 s. Insgesamt ist damit 1 = t 1 + t + t 3 = (1 + 3)s und dies bedeutet s = und die von den Kreisen überdeckte Fläche ist 1 (1 + 3 = F 1 = 3πs = 3π = 3 8 π( 3) Nun kommen wir zu Zalgallers Methode, hier gehen wir nach eine sogenannten Greedy lgorithmus vor. ei diesem wird zunächst der größtmögliche in liegende Kreis genommen, also der Inkreis mit dem obigen Radius r = 3/6. ls zweiten Kreis nehmen wir dann einen größtmöglichen Kreis der noch in den vom Inkreis gelassenen Rest von passt und als dritten Kreis schließlich wieder den größtmöglichen Kreis außerhalb der ersten beiden Kreise. Der zweite und dritte Kreis haben dann beide denselben Radius s > 0, den wir nun bestimmen möchten. Nach ufgabe (9.a) ist S w auch der Schwerpunkt von und insbesondere teilt S w diese Seitenhalbierende nach Satz 1 im Verhältnis : 1. Nach dem Strahlensatz hat das abgetrennte gleichseitige Dreieck rechts unten die Kantenlänge a = 1/3, und da unser zweiter Kreis der Inkreis dieses Dreiecks ist, ist somit s = 1 3 r = Die von den drei Kreisen überdeckte Fläche ist damit F = πr + πs = 11 9 πr = π , also ist tatsächlich F > F 1. Damit kommen wir nun zum Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, die Existenz dieses Schnittpunkts ist dabei analog zum Fall der Winkelhalbierenden. Erinnern Sie sich dazu daran, dass die Mittelsenkrechte zweier Punkte, genau aus denjenigen Punkten X besteht die zu und denselben bstand haben, für die also X = X gilt. Satz 1.17 (Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten) Sei = ein Dreieck. Dann schneiden sich die drei Mittelsenkrechten von in einem Punkt S u und dieser ist der eindeutige Punkt der von allen drei Ecken des Dreiecks denselben bstand hat. 5-4

5 eweis: Sei S der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten auf und auf. Dann gelten S = S und S = S, also auch S = S und S liegt auch auf der Mittelsenkrechten auf. Da der Schnittpunkt S u von allen drei Ecken denselben bstand R := S u = S u = S u geht der Kreis mit Radius R und Mittelpunkt S u durch alle drei Ecken des Dreiecks =, und da S u der einzige Punkt ist der von allen drei Ecken gleich weit entfernt ist, ist dieser Kreis auch der einzige Kreis der durch,, geht. Man nennt den Kreis durch die Ecken von auch den Umkreis von und der Schnittpunkt S u ist daher der Mittelpunkt des Umkreises. Der Radius R des Umkreises heißt dann der Umkreisradius von. φ ρ R Su R S u γ R c/ ρ ψ φ ψ Der Umkreis von estimmung des Umkreisradius Wir wollen jetzt den Radius R des Umkreises berechnen, und dies geschieht durch etrachtung der oben rechts gezeigten Figur. Satz 1.18 (estimmung des Umkreisradius) Sei = ein Dreieck mit Seiten a, b, c und Winkeln α, β, γ gemäß den Standardbezeichnungen. Weiter bezeichne F die Fläche von und R den Umkreisradius von. Dann gilt R = a sin α = b sin β = c sin γ = abc 4F. eweis: Ziehe von S u aus die Verbindungen mit den drei Ecken,, von. Dann ist das Dreick S u in S u gleichschenklig, also sind die Winkel dieses Dreiecks in den Ecken und nach ufgabe (9.a) gleich, und wir nennen diesen Winkel ψ. nalog 5-5

6 sind auch die Winkel von S u in und gleich einem Winkel ϱ und die Winkel von S u in und gleich einem Winkel φ. Da der Winkel α von in in φ und ψ zerlegt wird, haben wir α = φ + ψ und analog β = ψ + ϱ, γ = ϱ + φ. Damit haben wir ein lineares Gleichungssystem für die drei Winkel φ, ψ, ϱ, mit der Lösung α β γ α β γ α α β 0 0 β + γ α, also ϱ = β + γ α = π α, ψ = β ϱ = α+β π = π γ, φ = α ψ = α+γ π = π β. Weiter bezeichne den Mittelpunkt der Streck und betrachte das rechtwinklige Dreieck S u. Der Winkel in diesem Dreieck bei S u ist π ψ = γ, und bezüglich dieses Winkels haben wir die Gegenkathete c/ und die Hypothenuse R, also gilt 1 sin γ = c und somit R = c R sin γ. nalog sind dann auch R = a/( sin α) = b/( sin β). Weiter ergibt sich F = 1 abc abc ab sin γ =, d.h. R = 4R 4F. Schreiben wir diese Gleichung etwas um, so wird sin α a = sin β b = sin γ c = 1 R, das gemeinsame Verhältnis vom Sinus jedes Winkels zu seiner gegenüberliegenden Seite aus dem Sinussatz ist also gleich dem Kehrwert des doppelten Umkreisradius. Schauen wir uns ein explizites eispiel an und betrachten das Dreieck mit den Seiten a =, b = 3, c = 4. Dann sind s = = 9, s a = 5, s b = 3 und s c = 1 5-6

7 also wird die Fläche von F nach der Heronschen Flächenformel Satz 15 zu F = 135 s(s a)(s b)(s c) = 16 = 3 15, 4 der Inkreisradius ist nach Korollar 16 r = F s = und der Umkreisradius ist schließlich nach Satz 18 R = abc 4F = 8 15 = Wir haben jetzt drei unserer speziellen Punkte behandelt, es steht nur noch der Schnittpunkt der Höhen aus. Tatsächlich folgt die Existenz dieses Schnittpunkts aus der Existenz des Schnittpunkts der Mittelsenkrechten angewandt in einem geeigneten Hilfsdreieck. Sei = ein Dreieck und betrachte das bei der ehandlung der Seitenhalbierenden eingeführte Mittendreieck, also das Dreieck = das von den drei Seitenmittelpunkten gebildet wird. Wir wollen uns überlegen was die Höhen in sind, schauen wir uns etwa die Höhe h c auf der Seite von an. Nach Lemma 11 ist parallel zur Seite von, und da h c senkrecht auf steht, ist h c auch senkrecht auf. Nun geht h c durch den Seitenmittelpunkt von, d.h. h c ist die Mittelsenkrechte von auf. nalog kann man für die beiden anderen Höhen schließen, d.h. die Höhen des Mittendreiecks sind genau die Mittelsenkrechten von. Damit schneiden sich die Höhen von nach Satz 17 im Umkreismittelpunkt von. * c hc * b a * Höhe im Mittendreieck Konstruktion von In einem Mittendreieck schneiden sich die Höhen somit immer in einem Punkt, um also zu zeigen das dies in einem allgemeinen Dreieck = ebenfalls gilt, reicht es einzusehen das das Mittendreieck eines geeigneten vergrößerten Dreiecks ist. Um dieses zu konstruieren, ziehen wir die Parallele a zu durch, die Parallele b zu durch b und schließlich die Parallele c zu durch. Damit definieren wir dann als 5-7

8 Schnittpunkt von b und c, als den Schnittpunkt von a und c und letztlich als den Schnittpunkt von a und b. Diese Konstruktion liefert uns das Dreieck = und wir behaupten das das Mittendreieck von ist. Überlegen wir uns einmal das der Seitenmittelpunkt von ist. Nach Konstruktion sind = c und, = b und sowie = = a und jeweils parallel zueinander, wir haben also zwei Parallelogramme und. Erinnern wir uns jetzt daran, dass in einem Parallelogram gegenüberliegende Seiten gleich lang sind, so ergibt sich = = = und dies bedeutet tatsächlich das der Mittelpunkt von ist. nalog sind der Mittelpunkt von und der Mittelpunkt von, d.h. = ist tatsächlich das Mittendreieck von =. γ D β α β γ α Die dabei verwendete Tatsache über Parallelogramme ist dabei anschaulich klar, formal kann man sie beispielsweise aus dem Kongruenzsatz SWW für Dreiecke gewinnen. Geben wir uns etwa ein Parallelogram D wie oben vor, so zerlegen wir dieses durch die Strecke D in zwei Dreiecke D und D. Sind dann β der Winkel bei in D und γ der Winkel bei D in D, so folgt mit dem Stufenwinkelsatz wegen D das der Winkel in D bei D auch β ist und ebenso folgt mit D das der Winkel in D bei gleich γ ist. Nach Satz 9 sind die beiden Dreiecke D und D damit kongruent, also sind auch D = und = D wie behauptet. Satz 1.19 (Der Schnittpunkt der Höhen) Sei ein Dreieck. Dann schneiden sich die drei Höhen von in einem Punkt S h. eweis: Wir haben gerade gezeigt das es ein Dreieck mit Mittendreieck gibt und damit sind die Höhen von die Mittelsenkrechten von, schneiden sich also nach 5-8

9 Satz 17 in einem Punkt. 5-9

Mathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/27 13:26:30 hk Exp $

Mathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/27 13:26:30 hk Exp $ $Id: dreieck.tex,v 1.17 2015/04/27 13:26:30 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck m Ende der letzten Sitzung hatten wir eingesehen das die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks = sich

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2013 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/18 15:03:29 hk Exp hk $

Mathematische Probleme, SS 2013 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/18 15:03:29 hk Exp hk $ $Id: dreieck.tex,v 1.6 2013/04/18 15:03:29 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck Wir hatten gerade begonnen uns mit den speziellen Punkten im Dreieck zu beschäftigen. Dabei beschränken

Mehr

Repetition Begriffe Geometrie. 14. Juni 2012

Repetition Begriffe Geometrie. 14. Juni 2012 Repetition Begriffe Geometrie 14. Juni 2012 Planimetrie 1. Strahlensatz Planimetrie 1. Strahlensatz Werden zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte

Mehr

Kapitel 4: Dreieckslehre. 4.1 Bedeutung der Dreiecke

Kapitel 4: Dreieckslehre. 4.1 Bedeutung der Dreiecke Kapitel 4: Dreieckslehre 4.1 edeutung der Dreiecke Durch Triangulation lassen sich Vielecke in Dreiecke zerlegen ( n Eck in n- Dreiecke) eweis von Sätzen mittels Sätzen über Dreiecke (z.. Winkelsumme,

Mehr

Kapitel 5: Dreieckslehre. 5.1 Bedeutung der Dreiecke

Kapitel 5: Dreieckslehre. 5.1 Bedeutung der Dreiecke edeutung+winkelsumme 1 Kapitel 5: Dreieckslehre 5.1 edeutung der Dreiecke Durch Triangulation lassen sich Vielecke in Dreiecke zerlegen ( n Eck in n- Dreiecke) eweis von Sätzen mittels Sätzen über Dreiecke

Mehr

Einleitung. Aufgaben: Vergrössern / Verkleinern. 1. Die Geo-Maus

Einleitung. Aufgaben: Vergrössern / Verkleinern. 1. Die Geo-Maus Kantonsschule Solothurn Geometrie: Zentrische Streckung und Ähnlichkeit RYS Zentrische Streckung und Ähnlichkeit Einleitung Aufgaben: Vergrössern / Verkleinern 1. Die Geo-Maus a) Zeichne die Geo-Maus noch

Mehr

Die Kapitel 1 und 2.1 haben wir im Jahr 2012 behandelt. Im Zirkel am haben wir mit Kapitel 2.2 begonnen.

Die Kapitel 1 und 2.1 haben wir im Jahr 2012 behandelt. Im Zirkel am haben wir mit Kapitel 2.2 begonnen. Das vorliegende Skript beschäftigt sich mit dem Thema Elementargeometrie. Das Skript entsteht entlang einer Unterrichtsreihe in der Mathematischen Schülergesellschaft(MSG) im Schuljahr 2012/2013. Die vorliegende

Mehr

Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2002

Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2002 Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2002 Name, Vorname... Matr.Nr.... Semester-Anzahl im SS 2002:... Studiengang GH/R/S Tutor/in:... Aufg.1 Aufg,2 Aufg.3 Aufg.4 Aufg.5 Aufg.6 Aufg.7 Aufg.8 Gesamt

Mehr

Zum Einstieg. Mittelsenkrechte

Zum Einstieg. Mittelsenkrechte Zum Einstieg Mittelsenkrechte 1. Zeichne einen Kreis um A mit einem Radius r, der größer ist, als die Länge der halben Strecke AB. 2. Zeichne einen Kreis um B mit dem gleichen Radius. 3. Die Gerade durch

Mehr

5 Sphärische Trigonometrie

5 Sphärische Trigonometrie $Id: sphaere.tex,v 1.4 2013/06/24 23:05:24 hk Exp hk $ 5 Sphärische Trigonometrie 5.2 Sphärische Dreiecksberechnung Wir behandeln gerade die Berechnung sphärischer Dreiecke und haben zu diesem Zweck bereits

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2013 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/12 15:30:18 hk Exp hk $

Mathematische Probleme, SS 2013 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/12 15:30:18 hk Exp hk $ $Id: dreieck.tex,v 1.3 2013/04/12 15:30:18 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.2 Der Strahlensatz Nachdem wir in der letzten Sitzung rechtwinklige Dreiecke betrachtet haben, kommen wir nun zur Einführung der trigonometrischen

Mehr

GRUNDWISSEN Seitenhalbierende Konstruktion von Vierecken [nach Lambacher Schweizer 7] [eigene Grafiken]

GRUNDWISSEN Seitenhalbierende Konstruktion von Vierecken [nach Lambacher Schweizer 7] [eigene Grafiken] GRUNDWISSEN Inhalt 5.Gleichungen... 2 5.1. Gleichungen und Lösungen... 2 5.2. Äquivalente Gleichungsumformungen... 2 5.3. Systematisches Lösen einer Gleichungen... 2 5.4. Lineare Gleichungen in Anwendungsaufgaben...

Mehr

Klausur zum Modul 2 im SS 2004 und Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2004

Klausur zum Modul 2 im SS 2004 und Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2004 Klausur zum Modul im SS 004 und Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 004 PO neu PO alt Name, Vorname... Matr.Nr.... Semester-nzahl im SS 004:... Studiengang G/H/R... Tutor/in:... ufg.1 ufg, ufg.3

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2017 Montag $Id: dreieck.tex,v /06/19 14:39:24 hk Exp $

Mathematische Probleme, SS 2017 Montag $Id: dreieck.tex,v /06/19 14:39:24 hk Exp $ $Id: dreie.tex,v 1.37 2017/06/19 14:39:24 h Exp $ 2 Dreiee 2.3 Einige spezielle Punte im Dreie In der letzten Sitzung haben wir drei unserer speziellen Punte eines Dreies behandelt, es steht nur noh der

Mehr

Konstruktionen am Dreieck

Konstruktionen am Dreieck Winkelhalbierende Die Winkelhalbierende halbiert den jeweiligen Innenwinkel des Dreiecks. Sie agieren als Symmetrieachse. Dadurch ist jeder Punkt der Winkelhalbierenden gleich weit von den beiden Schenkeln

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2013 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/26 11:37:34 hk Exp $

Mathematische Probleme, SS 2013 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/26 11:37:34 hk Exp $ $Id: dreiec.tex,v 1.9 2013/04/26 11:37:34 h Exp $ 1 Dreiece 1.5 Einige spezielle Punte im Dreiec In der letzten Sitzung haben wir die Konstrution der vier speziellen Punte S m, S w, S u und S h beendet.

Mehr

Die Kapitel 1 und 2.1 haben wir im Jahr 2012 behandelt. Im Zirkel am haben wir mit Kapitel 2.2 begonnen.

Die Kapitel 1 und 2.1 haben wir im Jahr 2012 behandelt. Im Zirkel am haben wir mit Kapitel 2.2 begonnen. Das vorliegende Skript beschäftigt sich mit dem Thema Elementargeometrie. Das Skript entsteht entlang einer Unterrichtsreihe in der Mathematischen Schülergesellschaft(MSG) im Schuljahr 2012/2013. Die vorliegende

Mehr

Lösungen zum Thema Geometrie. Lösungen zur Aufg. 0: a) Gib an, um welche besondere Linie im Dreieck es sich jeweils handelt.

Lösungen zum Thema Geometrie. Lösungen zur Aufg. 0: a) Gib an, um welche besondere Linie im Dreieck es sich jeweils handelt. Lösungen zum Thema Geometrie Lösungen zur Aufg. 0: a) Gib an, um welche besondere Linie im Dreieck es sich jeweils handelt. Höhe h c Winkelhalbierende w α Mittelsenkrechte ms c Seitenhalbierende s c b)

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2017 Donnerstag 1.6. $Id: dreieck.tex,v /06/01 11:41:57 hk Exp $ 2.1 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln

Mathematische Probleme, SS 2017 Donnerstag 1.6. $Id: dreieck.tex,v /06/01 11:41:57 hk Exp $ 2.1 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln Mathematische Proleme SS 2017 Donnerstag 1.6 $Id: dreieck.texv 1.31 2017/06/01 11:41:57 hk Exp $ 2 Dreiecke 2.1 Dreieckserechnung mit Seiten und Winkeln Am Ende der letzten Sitzung hatten wir eine weitere

Mehr

SAE. Geometrie B Name: Sekundarschulabschluss für Erwachsene

SAE. Geometrie B Name: Sekundarschulabschluss für Erwachsene SE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie 2014 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: nichtprogrammierbarer Taschenrechner, Geometrie-Werkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60 Für die

Mehr

Analytische Geometrie. Dreiecke Vierecke GROSSE AUFGABENSAMMLUNG. Stand November F. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

Analytische Geometrie. Dreiecke Vierecke GROSSE AUFGABENSAMMLUNG. Stand November F. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Analytische Geometrie Dreiecke Vierecke GROSSE AUFGABENSAMMLUNG Wird erweitert Lösungen nur auf der Mathe CD Datei Nr. 0050 Stand November 005 F. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 0050 Dreiecke

Mehr

Lösungen IV ) β = 54,8 ; γ = 70,4 106) a) 65 b) 65 (115?) d) 57,5

Lösungen IV ) β = 54,8 ; γ = 70,4 106) a) 65 b) 65 (115?) d) 57,5 (Stark 7 S. 6ff) Lösungen IV. a) gleichschenklig 0) a) () α = β = 6,7 () β = 7,8 ; γ = 4,4 () α = 4 ; γ = (4) α = β = (80 γ)/ b) 79,6 und 0,8 oder 0, und 0, c) α = β = 64 ; γ = d) gleichschenklig; zwei

Mehr

Dreiecke Kurzfragen. 30. Juni 2012

Dreiecke Kurzfragen. 30. Juni 2012 Dreiecke Kurzfragen 30. Juni 2012 Dreiecke Kurzfrage 1 Wie werden die Ecken, Seiten und Winkel eines Dreiecks angeschrieben? Dreiecke Kurzfrage 1 Wie werden die Ecken, Seiten und Winkel eines Dreiecks

Mehr

8.5.1 Real Geometrie Viereck, Dreieck

8.5.1 Real Geometrie Viereck, Dreieck 8.5.1 Real Geometrie Viereck, Dreieck P8: Mathematik 8 G2: komb.üchlein Zeitraum : 3 Wochen Inhalte Kernstoff Zusatzstoff Erledigt am Vierecke Typen: Quadrat, Rechteck, P8: 146 P8: 147 Rhombus, Parallelogramm,

Mehr

Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 7

Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 7 Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 7 Wissen und Können 1. Terme Terme sind sinnvolle Rechenausdrücke mit Zahlen, Variablen und Rechenzeichen. Berechnung von Termwerten

Mehr

Ein Beispiel: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse halb so lang wie die Hypotenuse.

Ein Beispiel: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse halb so lang wie die Hypotenuse. Item 2 Schreibe so viele Verallgemeinerungen (Sätze, Definitionen, Eigenschaften, Folgerungen) wie du kannst auf, die mit rechtwinkligen Dreiecken zu tun haben. Ein Beispiel: In einem rechtwinkligen Dreieck

Mehr

1 Analytische Geometrie und Grundlagen

1 Analytische Geometrie und Grundlagen $Id: vektor.tex,v 1.22 2017/05/15 15:10:33 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.5 Abstände und Winkel In der letzten Sitzung haben wir einen orientierten Winkelbegriff zwischen Strahlen mit

Mehr

Grundwissen JS 7: Geometrie 17. Juli (a) Wann heißt eine Figur achsensymmetrisch? Welche Bedeutung hat die Symmetrieachse anschaulich

Grundwissen JS 7: Geometrie 17. Juli (a) Wann heißt eine Figur achsensymmetrisch? Welche Bedeutung hat die Symmetrieachse anschaulich GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM EGNITZ math-technolog u sprachl Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 91257 EGNITZ FERNRUF 09241/48333 FAX 09241/2564 Grundwissen JS 7: Geometrie 17 Juli 2007 1(a) Wann heißt

Mehr

2.2C. Das allgemeine Dreieck

2.2C. Das allgemeine Dreieck .C. Das allgemeine Dreieck Jedes Dreieck läßt sich nach geeigneter Drehung und Verschiebung in ein Dreieck mit den Eckpunkten A = ( x, 0 ), B = ( y, 0 ), C = ( 0, z ) (x, y, z > 0) transformieren. Die

Mehr

5 Sphärische Trigonometrie

5 Sphärische Trigonometrie $Id: sphaere.tex,v 1.5 2013/08/13 17:21:33 hk Exp $ 5 Sphärische Trigonometrie m Ende der letzten Sitzung hatten wir mit der Untersuchung sphärischer Dreiecke begonnen. Gegeben war eine Sphäre K, oder

Mehr

Examen Kurzfragen (sortiert) VI. Dreiecke. 24. Juni 2014

Examen Kurzfragen (sortiert) VI. Dreiecke. 24. Juni 2014 Examen Kurzfragen (sortiert) VI. Dreiecke 24. Juni 2014 VI. Dreiecke Frage 1 Wie werden im rechtwinkligen Dreieck die beiden Seiten genannt, die dem rechten Winkel anliegen? VI. Dreiecke Frage 1 Wie werden

Mehr

Korrespondenz-Seminar der LSGM 2011/12. Klasse 7, Treff 4 am 9. Juni 2012

Korrespondenz-Seminar der LSGM 2011/12. Klasse 7, Treff 4 am 9. Juni 2012 1 Korrespondenz-Seminar der LSGM 011/1 Klasse 7, Treff 4 am 9. Juni 01 Vor dem Klaus-Spiel wurde eine geografische Frage erörtert: Ein Mann geht 5 km nach Süden, dann 5 km nach Osten und dann 5 km nach

Mehr

1. Grundlegendes in der Geometrie

1. Grundlegendes in der Geometrie 1. Grundlegendes Geometrie 1. Grundlegendes in der Geometrie 1. 1 Übliche ezeichnungen Punkte bezeichnen wir mit Grossbuchstaben:,,,D,... P 1,P 2,P 3,...,,,... Strecken und deren Masszahl, sowie Geraden

Mehr

F B. Abbildung 2.1: Dreieck mit Transversalen

F B. Abbildung 2.1: Dreieck mit Transversalen 2 DS DREIECK 16 2 Das Dreieck 2.1 Ein einheitliches Beweisprinzip Def. Eine Gerade, die jede Trägergerade der Seiten eines Dreiecks (in genau einem Punkt) schneidet, heißt Transversale des Dreiecks. Eine

Mehr

LSGM Leipziger Schülergesellschaft f ur Mathematik. Dreiecksgeometrie 2. Toscho Mathecamp 12. Juli 21. Juli 2008 Olympiadezirkel

LSGM Leipziger Schülergesellschaft f ur Mathematik. Dreiecksgeometrie 2. Toscho Mathecamp 12. Juli 21. Juli 2008 Olympiadezirkel LSGM Leipziger Schülergesellschaft f ur Mathematik Dreiecksgeometrie 2 Toscho Mathecamp 12. Juli 21. Juli 2008 Olympiadezirkel Inhaltsverzeichnis 1 Ankreise 2 1.1 Grundlegendes................................

Mehr

1 Dreiecke. 1.1 Rechtwinklige Dreiecke. Mathematische Probleme, SS 2016 Freitag $Id: dreieck.tex,v /04/15 14:02:10 hk Exp $

1 Dreiecke. 1.1 Rechtwinklige Dreiecke. Mathematische Probleme, SS 2016 Freitag $Id: dreieck.tex,v /04/15 14:02:10 hk Exp $ $Id: dreieck.tex,v 1.21 20/04/15 14:02:10 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.1 Rechtwinklige Dreiecke Am Ende der letzten Sitzung hatten wir begonnen die primitiven pythagoräischen Tripel zu bestimmen, und in einem

Mehr

Dreieckssätze. Pythagoras und Co. W.Seyboldt SFZ 14/15

Dreieckssätze. Pythagoras und Co. W.Seyboldt SFZ 14/15 Dreieckssätze Pythagoras und Co 1 Pythagoras 300 v.chr.: Elemente des Euklid, Stoicheia unterteilt in 15 Bücher (Kapitel) I bis XV wobei die beiden letzten erst später dazu kamen, deshalb redet man oft

Mehr

Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel sind.

Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel sind. 1 Sätze über Winkel Geradenkreuzung: Zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden, nennt man eine Geradenkreuzung. α α Nebeneinander liegende Winkel heißen Nebenwinkel, sie β ergeben zusammen stets

Mehr

Montessori-Diplomkurs Inzlingen Geometrische Mappe Die metallenen Dreiecke

Montessori-Diplomkurs Inzlingen Geometrische Mappe Die metallenen Dreiecke Geometrische Mappe Die metallenen Dreiecke 1 Material 4 metallene Rahmen (14 cm X 14 cm) mit gleichseitigen Dreiecken (Seitenlänge 10 cm). Die Dreiecke sind wie folgt unterteilt Ganze Halbe Drittel Viertel

Mehr

Erweiterte Beispiele 1 1/1

Erweiterte Beispiele 1 1/1 Erweiterte Beispiele 1 1/1 Gegeben ist das Dreieck ABC [A(-20/-9), B(30/-9), C(12/15)]. Die Seitenmittelpunkte D, E, F bilden ein Dreieck. Zeige, dass der Umkreis dieses Dreiecks den Inkreis des Dreiecks

Mehr

Übungen. Löse folgende Aufgaben mit GeoGebra

Übungen. Löse folgende Aufgaben mit GeoGebra Übungen Löse folgende Aufgaben mit GeoGebra A1 Die Fachbegriffe in den Kästchen sollen den untenstehenden Aussagen bezüglich eines Dreiecks ABC zugeordnet werden. Du darfst die Kärtchen mehrfach verwenden

Mehr

Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 7

Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 7 Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 7 Wissen und Können 1. Terme Terme sind sinnvolle Rechenausdrücke mit Zahlen, Variablen und Rechenzeichen. Berechnung von Termwerten

Mehr

Kugeldreieck. (a) München (λ = 11,5 ö. L., φ = 48,1 ) (b) New York (λ = 74,0 w. L., φ = 40,4 ) (c) Moskau (λ = 37,4 ö. L.

Kugeldreieck. (a) München (λ = 11,5 ö. L., φ = 48,1 ) (b) New York (λ = 74,0 w. L., φ = 40,4 ) (c) Moskau (λ = 37,4 ö. L. Kugeldreieck 1. Berechnen Sie die Fläche des vom Äquator, vom Nullmeridian und dem Längenkreis durch den angegebenen Ort begrenzten Kugeldreiecks. Geben Sie den sphärischen Exzeß des Dreiecks im Grad-

Mehr

Konstruktion Dreiecke und Vierecke PRÜFUNG 09. Ohne Formelsammlung! Name: Klasse: Datum: Punkte: Note: Klassenschnitt/ Maximalnote :

Konstruktion Dreiecke und Vierecke PRÜFUNG 09. Ohne Formelsammlung! Name: Klasse: Datum: Punkte: Note: Klassenschnitt/ Maximalnote : GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG Konstruktion Dreiecke und Vierecke PRÜFUNG 09 Name: Klasse: Datum: : Note: Ausgabe:. September 2011 Klassenschnitt/ Maximalnote : Selbsteinschätzung: / (freiwillig) Für alle

Mehr

1. Schulaufgabe aus der Mathematik * Klasse 7c * * Gruppe A

1. Schulaufgabe aus der Mathematik * Klasse 7c * * Gruppe A 1. Schulaufgabe aus der Mathematik * Klasse 7c * 17.11.2014 * Gruppe A 1. Finde den Term a) Finde einen Term, der zur folgenden Tabelle passt: x 2 3 4 5 T(x) 82 76 70 64 b) Peter legt aus blauen und roten

Mehr

2.2A. Das allgemeine Dreieck

2.2A. Das allgemeine Dreieck .A. Das allgemeine Dreieck Koordinatentransformation eines Dreiecks Jedes Dreieck läßt sich nach geeigneter Drehung und Verschiebung in ein Dreieck mit den Eckpunkten A = ( x, 0 ), B = ( y, 0 ), C = (

Mehr

Geometrie und Zahlentheorie. Ganzzahlige geometrische Objekte

Geometrie und Zahlentheorie. Ganzzahlige geometrische Objekte 1 Geometrie und Zahlentheorie. Ganzzahlige geometrische Objekte Holger Stephan Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stochastik (WIAS), Berlin 19. Tag der Mathematik 17. Mai 014, TU Berlin Pythagoräische

Mehr

Elemente der Mathematik - Sommer 2016

Elemente der Mathematik - Sommer 2016 Elemente der Mathematik - Sommer 06 Prof. Dr. Matthias Lesch, Regula Krapf Übungsblatt 8 Aufgabe 7 (8 Punkte). Ein Parallelogramm ist ein Rechteck ABCD mit Seiten a, b, c, d wie unten dargestellt, mit

Mehr

Grundwissen 7 Bereich 1: Terme

Grundwissen 7 Bereich 1: Terme Bereich 1: Terme Termwerte 1.1 S1 T (1) = 6 T (2) = 7 T ( 2) 3 = 12 1 4 = 12, 25 1.2 S1 m 2 0, 5 0 1 2 1 3 6 6 2 A(m) 7 11 5 0 1 Setzt man die Zahl 5 ein, so entsteht im Nenner die Zahl 0. Durch 0 zu teilen

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie II

Lineare Algebra und analytische Geometrie II Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 016 Lineare Algebra und analytische Geometrie II Vorlesung 37 Neben den drei Eckpunkten eines Dreieckes gibt es noch weitere charakteristische Punkte eines Dreieckes wie

Mehr

Grundlagen. Einteilung der Dreiecke. Besondere Punkte des Dreiecks

Grundlagen. Einteilung der Dreiecke. Besondere Punkte des Dreiecks Der Name leitet sich von den griechischen Begriffen Tirgonon Dreieck und Metron Maß ab. ist also die Lehre vom Dreieck, d.h. die Grundaufgabe der besteht darin, aus drei Größen eines gegebenen Dreiecks

Mehr

Koordinatengeometrie. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x² 9.

Koordinatengeometrie. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x² 9. Koordinatengeometrie Aufgabe 1 Gegeben sind der Punkt P (-1; 9) sowie die Geraden g: 3x y + 6 = 0 und h: x + 4y 8 = 0. a) Die Geraden g und h schneiden einander im Punkt S. Berechnen Sie die exakten Koordinaten

Mehr

Wiederhole eigenständig: elementare Konstruktionen nach diesen Sätzen

Wiederhole eigenständig: elementare Konstruktionen nach diesen Sätzen 1/5 Erinnerung: Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW, SsW Wiederhole eigenständig: elementare Konstruktionen nach diesen Sätzen Grundwissen: Elementare Sätze über Dreiecke: o Winkelsumme 180 0 o Dreiecksungleichung

Mehr

Achsen- und punktsymmetrische Figuren

Achsen- und punktsymmetrische Figuren Achsensymmetrie Der Punkt P und sein Bildpunkt P sind symmetrisch bzgl. der Achse s, wenn ihre Verbindungsstrecke [PP ] senkrecht auf der Achse a steht und von dieser halbiert wird. Zueinander symmetrische......strecken

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 5/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr 5, Thema, Aufgabe ) Sei V ein reeller Vektorraum. a) Wann nennt man eine Teilmenge U

Mehr

Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt.

Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke

Mehr

30. Satz des Apollonius I

30. Satz des Apollonius I 30. Satz des Apollonius I Das Teilverhältnis T V (ABC) von drei Punkten ABC einer Geraden ist folgendermaßen definiert: Für den Betrag des Teilverhältnisses gilt (ABC) = AC : BC. Für das Vorzeichen des

Mehr

M 7.1. Achsensymmetrie. Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind?

M 7.1. Achsensymmetrie. Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind? M 7.1 Achsensymmetrie Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind? Nenne drei Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren. Gegeben sind ein Punkt und die Symmetrieachse.

Mehr

M 7.1. Achsensymmetrie. Nenne drei Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren.

M 7.1. Achsensymmetrie. Nenne drei Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren. M 7.1 Achsensymmetrie Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind? Nenne drei Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren. Gegeben sind ein Punkt und die Symmetrieachse.

Mehr

37 II.1. Abbildungen

37 II.1. Abbildungen 37 II.1. Abbildungen "Abbildung" und "Funktion" sind verschiedene Namen für denselben Begriff, der charakterisiert ist durch die Angabe der Definitionsmenge ("Was wird abgebildet?"), der Wertemenge ("Wohin

Mehr

2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen

2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen 2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen Aufgabe 1 Zeichne das Dreieck AC mit A( 1 2), (5 0) und C(3 6) und konstruiere seinen Umkreis. Gib den Radius und den Mittelpunkt des Umkreises an. Aufgabe 2 Konstruiere

Mehr

Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Vor den eigentlichen Konstruktionen möchte ich einige emerkungen zu Faltungen machen, da sie leider in der Schule ein Stiefkind darstellen. Mit anderen Worten, sie

Mehr

Konstruktion des isoperimetrischen Punktes

Konstruktion des isoperimetrischen Punktes Konstruktion des isoperimetrischen Punktes C. und M. Reinsch Dreieck in der komplexen Ebene Ecken: A, B, C. Seiten: a = B C, b = C A, c = A B. Kreise: A(u) um A mit Radius u, B(v) um B mit Radius v, C(w)

Mehr

2. Landeswettbewerb Mathematik Bayern 1. Runde 1999/2000

2. Landeswettbewerb Mathematik Bayern 1. Runde 1999/2000 . Landeswettbewerb Mathematik ayern. Runde 999/000 ufgabe In einem regelmäßigen Sechseck werden wie abgebildet Diagonalen eingezeichnet. Dadurch entsteht ein kleines Sechseck. Welchen nteil an der Gesamtfläche

Mehr

Themenbereich: Besondere Dreiecke Seite 1 von 6

Themenbereich: Besondere Dreiecke Seite 1 von 6 Themenbereich: Besondere Dreiecke Seite 1 von 6 Lernziele: - Kenntnis der Bezeichnungen für besondere Dreiecke - Kenntnis der Seiten- und Winkelbezeichnungen bei besonderen Dreiecken - Kenntnis der Eigenschaften

Mehr

1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: m (ausgesprochen: T von t und m)

1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: m (ausgesprochen: T von t und m) Grundwissen Mathematik 7. Klasse 1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: Ttm (, ) = ( t 5+ 6) 20+ m (ausgesprochen: T von t und m) Ein Term besteht aus

Mehr

Der Höhenschnittpunkt im Dreieck

Der Höhenschnittpunkt im Dreieck Der Höhenschnittpunkt im Dreieck 1. Beobachte die Lage des Höhenschnittpunktes H. Wo befindet sich H? a) bei einem spitzwinkligen Dreieck, b) bei einem rechtwinkligen Dreieck, c) bei einem stumpfwinkligen

Mehr

Vierecke. 7.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 7. Drachenviereck: Viereck, bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist

Vierecke. 7.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 7. Drachenviereck: Viereck, bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist 7.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 7 Vierecke Trapez: Viereck, bei dem zwei Gegenseiten parallel sind gleichschenkliges Trapez: Trapez, bei dem die beiden Schenkel c gleich lang sind (b = d) d

Mehr

Achsensymmetrie. Konstruktionen. Mathematik-Grundwissen Klassenstufe 7

Achsensymmetrie. Konstruktionen. Mathematik-Grundwissen Klassenstufe 7 Wissen Achsensymmetrie Beispiel Figuren die an einer Achse a gespiegelt werden nennt man achsensymmetrisch bezüglich a. Die Verbindungsstrecke zwischen zwei achsensymmetrischen Punkten wird durch die Achse

Mehr

7.1 Algebra Rechnen mit rationalen Zahlen und Termen

7.1 Algebra Rechnen mit rationalen Zahlen und Termen Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite 1 Grundwissen 7. Klasse 7.1 Algebra 7.1.1 Rechnen mit rationalen Zahlen und Termen WH: Siehe dazu..3 Vorrangregeln und.. K-, A-, D-Gesetze sowie 6. Rechengesetze

Mehr

Ein Rechteck hat zwei Symmetrieachsen: je eine durch die Hlften der gegenber liegenden

Ein Rechteck hat zwei Symmetrieachsen: je eine durch die Hlften der gegenber liegenden 1 Vierecke Vierecke haben - wie der Name schon sagt - vier Ecken und vier Seiten. Die vier Ecken des Vierecks werden in der Regel mit A, B, C und D bezeichnet. Die Seite zwischen den Punkten A und B ist

Mehr

Erwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe 172 A Bremen. Die Kursübersicht für das Fach Mathematik

Erwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe 172 A Bremen. Die Kursübersicht für das Fach Mathematik Erwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe 172 A 28195 Bremen Die Kursübersicht für das Fach Mathematik Erwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe

Mehr

Übungen zu Geometrie (LGy) Universität Regensburg, Sommersemester 2014 Dr. Raphael Zentner, Dr. Olaf Müller

Übungen zu Geometrie (LGy) Universität Regensburg, Sommersemester 2014 Dr. Raphael Zentner, Dr. Olaf Müller Übungen zu Geometrie (LGy) Universität Regensburg, Sommersemester 2014 Dr. Raphael Zentner, Dr. Olaf Müller Übungsblatt 13 Dieses Übungsblatt wird nicht mehr zur Abgabe vorgesehen. Es dient der Wiederholung

Mehr

mentor Lernhilfe: Mathematik 8. Klasse Baumann

mentor Lernhilfe: Mathematik 8. Klasse Baumann mentor Lernhilfen mentor Lernhilfe: Mathematik 8. Klasse Geometrie: Dreieckkonstruktionen, Kongruenzsätze, Kreis und Gerade, Raumgeometrie von Rolf aumann 1. uflage mentor Lernhilfe: Mathematik 8. Klasse

Mehr

Geometrie: I. Vorkenntnisse Übungenn

Geometrie: I. Vorkenntnisse Übungenn Geometrie: I. Vorkenntnisse Übungenn Übung 1: Konstruiere ein Dreieck mit Hilfe folgender Angaben: Grundseite c = 10 cm, Höhe h = 4 cm, Winkel γ = 60. 6 Ist die Konstruktion eindeutig? Kann man das Dreieck

Mehr

7. Klasse. Algebra. 2.1 Kommutativgesetz (KG) der Addition und Multiplikation Für alle rationalen Zahlen a und b gilt: a+b = b+a a b = b a

7. Klasse. Algebra. 2.1 Kommutativgesetz (KG) der Addition und Multiplikation Für alle rationalen Zahlen a und b gilt: a+b = b+a a b = b a Algebra 1. Termen mit Variablen Ein Term ist ein Rechenausdruck, der aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen bestehen kann. Variablen sind Platzhalter für Zahlen oder für Größen. Eine Variable steht immer

Mehr

8 Der Inkreis des Arbelos

8 Der Inkreis des Arbelos Elemente der Geometrie 16 8 Der Inkreis des Arbelos Im Kapitel 7 hatten wir den Arbelos durch eine Gerade in zwei Teile geteilt und zu jedem den Inkreis konstruiert. Nun wollen wir den gesamten Arbelos

Mehr

Übungen zur Geometrie

Übungen zur Geometrie Aufgabe 1.1. Beweisen Sie die folgende Aussage: Die Diagonalen eines Parallelogrammes schneiden sich in ihren Mittelpunkten. Aufgabe 1.2. Beweis von: rechter Winkel = stumpfer Winkel D A E M F B C AB beliebige

Mehr

S T E R N E U N D P O L Y G O N E

S T E R N E U N D P O L Y G O N E Ornament Stern und Polygon (S. 1 von 11) / www.kunstbrowser.de S T E R N E U N D P O L Y G O N E Polygone und Sterne in regelmäßiger Form sind ein wichtiges Grundmotiv in der Ornamentik, da sie v ielf

Mehr

2. Mathematik Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 11 Saison 1962/1963 Aufgaben und Lösungen

2. Mathematik Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 11 Saison 1962/1963 Aufgaben und Lösungen 2. Mathematik Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 11 Saison 1962/1963 ufgaben und Lösungen 1 OJM 2. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 11 ufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit egründungen

Mehr

Bezeichnungen am Dreieck

Bezeichnungen am Dreieck ezeichnungen am Dreieck Verbindet man drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, so entsteht ein Dreieck. llgemeine ezeichnungen: Die Eckpunkte des Dreiecks werden mit den uchstaben, und bezeichnet.

Mehr

Aufgabe 1 Erstelle mit Hilfe von GEOGEBRA ein dynamisches Geometrie-Programm, das die Mittelsenkrechte

Aufgabe 1 Erstelle mit Hilfe von GEOGEBRA ein dynamisches Geometrie-Programm, das die Mittelsenkrechte AB Mathematik Experimentieren mit GeoGebra Merke Alle folgenden Aufgaben sind mit dem Programm GEOGEBRA auszuführen! Eine ausführliche Einführung in die Bedienung des Programmes erfolgt im Unterricht.

Mehr

Geometrie (4b) Wintersemester 2015/16. Kapitel 3. Dreieck, Viereck, Fünfeck, Kreis. Anwendungen & bekannte Sätze

Geometrie (4b) Wintersemester 2015/16. Kapitel 3. Dreieck, Viereck, Fünfeck, Kreis. Anwendungen & bekannte Sätze Kapitel 3 Dreieck, Viereck, Fünfeck, Kreis Anwendungen & bekannte Sätze 1 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau Im Folgenden werden Maßzahlen für Winkelgrößen

Mehr

Fit in Mathe. März Klassenstufe 9 n-ecke. = 3,also x=6

Fit in Mathe. März Klassenstufe 9 n-ecke. = 3,also x=6 Thema Musterlösung 1 n-ecke Wie groß ist der Flächeninhalt des nebenstehenden n-ecks? Die Figur lässt sich z.b. aus den folgenden Teilfiguren zusammensetzen: 1. Dreieck (ECD): F 1 = 3 =3. Dreieck (AEF):

Mehr

Der Satz von Ceva & Satz von Menelaus

Der Satz von Ceva & Satz von Menelaus Der Satz von Ceva & Satz von Menelaus Fast Viktor 21. November 2007 Inhaltsverzeichnis Sätze und ihre Beweise Satz von Menelaus Satz von Ceva Winkelhalbierendenschnittpunkt Höhneschnittpunkt Winkelhalbierendenschnittpunkt

Mehr

1 Analytische Geometrie und Grundlagen

1 Analytische Geometrie und Grundlagen $Id: vektor.tex,v 1.21 2017/05/13 16:28:55 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.5 Abstände und Winkel In der letzten Sitzung haben wir einen orientierten Winkelbegriff zwischen Strahlen mit

Mehr

MATHEMATIK ZUR VORBEREITUNG AUF DEN UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN REALSCHULREIFELEHRGANG ODER FACHSCHULREIFELEHRGANG DER BUNDESWEHRFACHSCHULE

MATHEMATIK ZUR VORBEREITUNG AUF DEN UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN REALSCHULREIFELEHRGANG ODER FACHSCHULREIFELEHRGANG DER BUNDESWEHRFACHSCHULE ZUR VORBEREITUNG AUF DEN UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN REALSCHULREIFELEHRGANG ODER FACHSCHULREIFELEHRGANG DER BUNDESWEHRFACHSCHULE MATHEMATIK Lehreinheit 11 Geometrie: Dreiecke und Vierecke II GEOMETRIE:

Mehr

Winkel zeichnen. Hilfe. ACHTUNG! Achte immer genau darauf

Winkel zeichnen. Hilfe. ACHTUNG! Achte immer genau darauf Hilfe Winkel zeichnen 1. Zeichne einen Schenkel (die rote Linie) S 2. Lege das Geodreieck mit der Null am Scheitelpunkt an. (Dort wo der Winkel hinkommen soll) S 3. Möchtest du zum Beispiel einen Winkel

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2013/14): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2013/14): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 3/4): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr, Thema 3, Aufgabe 4) Im R 3 seien die beiden Ebenen E : 6x+4y z = und E : +s +t 4 gegeben.

Mehr

GEOMETRIE (4a) Kurzskript

GEOMETRIE (4a) Kurzskript GEOMETRIE (4a) Kurzskript Dieses Kurzskript ist vor allem eine Sammlung von Sätzen und Definitionen und sollte ausdrücklich nur zusammen mit weiteren Erläuterungen in der Veranstaltung genutzt werden.

Mehr

GEOMETRIE 1 3. Wiederholungsaufgaben

GEOMETRIE 1 3. Wiederholungsaufgaben GEOMETRIE 3 Wiederholungsaufgaben GEOMETRIE 3 Inhaltsverzeichnis 0 Wiederholungsaufgaben 0. Grundlagen der Geometrie......................... 0.2 Geometrische bbildungen......................... 2 0.3

Mehr

Landeswettbewerb Mathematik Bayern Lösungsbeispiele 1. Runde 2006

Landeswettbewerb Mathematik Bayern Lösungsbeispiele 1. Runde 2006 Landeswettbewerb Mathematik Bayern Lösungsbeispiele 1. Runde 2006 Aufgabe 1 Die Ziffern von 1 bis 5 sollen so in einer Reihe angeordnet werden, dass jedes Paar benachbarter Ziffern eine Zahl ergibt, die

Mehr

FACHHOCHSCHULE ZÜRICH Musterprüfung Geometrie * Klasse ZS K2 18. März 2011

FACHHOCHSCHULE ZÜRICH Musterprüfung Geometrie * Klasse ZS K2 18. März 2011 1 FACHHOCHSCHULE ZÜRICH Musterprüfung Geometrie * Klasse ZS K2 18. März 2011 A Name:... 1. Teil: Winkelberechnungen Aufgabe W-1: In nebenstehendem Sehnenviereck sei = 80º und = 70º. Wie gross sind dann

Mehr

(3r) r 2 =? xy 3y a + 6b 14. ( xy

(3r) r 2 =? xy 3y a + 6b 14. ( xy Mathematik Aufnahmeprüfung 2014 Profile m,n,s Lösungen Aufgabe 1 (a) Vereinfache (schreibe als einen Bruch): 2 + a 2 + 3b 7 =? (b) (c) Vereinfache so weit wie möglich: Vereinfache so weit wie möglich:

Mehr

Übungen zu Doppel- und Dreifachintegralen Lösungen zu Übung 15

Übungen zu Doppel- und Dreifachintegralen Lösungen zu Übung 15 5. Es sei Übungen zu Doppel- und Dreifachintegralen Lösungen zu Übung 5 f(x, y) : x y, : x, y, x + y, y x. erechnen Sie f(x, y) d. Wir lösen diese Aufgabe auf zweierlei Art. Zuerst betrachten wir das Gebiet

Mehr

Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 1

Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 1 Landeswettbewerb athematik aden-württemberg 999 Runde ufgabe In einem regelmäßigen Sechseck werden wie abgebildet Diagonalen eingezeichnet. Dadurch entsteht ein kleines Sechseck. Welchen nteil an der Gesamtfläche

Mehr

Elemente der Mathematik - Sommer 2016

Elemente der Mathematik - Sommer 2016 Elemente der Mathematik - Sommer 2016 Prof Dr Matthias Lesch, Regula Krapf Übungsblatt 7 Aufgabe 23 9 Punkte In der folgenden Aufgabe sei mit baryzentrischen Koordinaten immer die baryzentrischen Koordinaten

Mehr

Drei Kreise im Dreieck

Drei Kreise im Dreieck Ein Problem von, 171-1807 9. Juli 006 Gegeben sei das Dreieck ABC. Zeichne drei Kreise k 1, k, k im nneren von ABC, von denen jeder zwei Dreieckseiten und mindestens einen der übrigen zwei Kreise berührt

Mehr

Figuren Lösungen. 1) Welche Art Dreieck hat die beschriebene Eigenschaft? Ordne die Eigenschaften den Dreiecken zu. Alle Winkel betragen 60.

Figuren Lösungen. 1) Welche Art Dreieck hat die beschriebene Eigenschaft? Ordne die Eigenschaften den Dreiecken zu. Alle Winkel betragen 60. 1) Welche Art Dreieck hat die beschriebene Eigenschaft? Ordne die Eigenschaften den Dreiecken zu. Alle Winkel betragen 60. Es gibt drei Symmetrieachsen. Gleichseitiges Dreieck Zwei Seiten stehen normal.

Mehr

Übung Elementarmathematik im WS 2012/13. Lösung zum Klausurvorbereitung IV

Übung Elementarmathematik im WS 2012/13. Lösung zum Klausurvorbereitung IV Technische Universität Chemnitz Fakultät für Mathematik Dr. Uwe Streit Jan Blechschmidt Aufgabenkomplex 7 - Vektoren Übung Elementarmathematik im WS 202/3 Lösung zum Klausurvorbereitung IV. (5 Punkte -

Mehr