Mathematische Probleme, SS 2017 Donnerstag 22.6

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1 $Id: dreieck.tex,v /06/19 16:13:49 hk Exp $ $Id: trig.tex,v /06/ 1:46:01 hk Exp $ Dreiecke.4 Einige Sätze üer Kreise m Ende der letzten Sitzung hatten wir den Umkreisradius R eines Dreiecks dessen Seiten und Winkel in den Standardezeichnungen a,, c eziehungsweise, β, γ sind erechnet, es sind a R sin, R sin β, c R sin γ sowie R ac 4F woei F die Fläche von ist. Schreien wir die Gleichung für den Umkreisradius etwas um, so wird sin sin β sin γ 1 a c R, das gemeinsame Verhältnis vom Sinus jedes Winkels zu seiner gegenüerliegenden Seite aus dem Sinussatz ist also gleich dem Kehrwert des Durchmessers des Umkreises. Schauen wir uns ein explizites eispiel an und etrachten das Dreieck mit den Seiten a, 3, c 4. Dann sind s , s a 5, s 3 und s c 1 also wird die Fläche von F nach der Heronschen Flächenformel Satz 13 zu F 135 s(s a)(s )(s c) , 4 der Inkreisradius ist nach Korollar 14 r F s und der Umkreisradius ist schließlich nach Satz 3 R ac 4F ußerdem klärt der een ewiesene Satz wie der Umkreismittelpunkt S u zum etrachteten Dreieck liegt 17-1

2 S u S u Su Spitzwinklig Stumpfwinklig Rechtswinklig Im spitzwinkligen Fall liegt S u immer im Inneren des Dreiecks während S u im stumpfwinkligen Fall immer außerhal des Dreiecks liegt, ist der stumpfe Winkel etwa in so liegt S u auf der anderen Seite von als. Im rechtwinkligen Fall liegt S u dagegen auf dem Dreieck. Wir wollen unsere Formeln nun dazu enutzen die sogenannte Eulersche Dreiecksformel zu eweisen, diese esagt das der Umkreisradius eines Dreiecks mindestens der doppelte Inkreisradius ist, woei die Gleichheit genau für gleichseitige Dreiecke auftritt. Zum eweis enötigen wir eine weitere kleine Umformulierung des osinussatzes. Gegeen sei ein Dreieck mit Seiten a,, c und Winkeln, β, γ in den Standardezeichnungen. Weiter ezeichne s wieder den halierten Umfang von. Verwenden wir den osinussatz in der Form des Satz 1 so wird 1 cos 1 + c a c und analog sind auch 1 cos β a ( c) c (s a)(s c) ac (a + c)(a + c ) c und 1 cos γ (s a)(s ). a (s )(s c) c Damit haen wir alles eisammen um die Eulersche Dreiecksformel zu eweisen. Satz.4 (Eulersche Dreiecksformel) Sei ein Dreieck mit Umkreisradius R und Inkreisradius r. (a) Es ist R r und genau dann gilt R r wenn gleichseitig ist. () Sind S u der Umkreismittelpunkt und S w der Inkreismittelpunkt von so ist S u S w R(R r). eweis: Schreie und seien a,, c die Seiten sowie, β, γ die Winkel von in den Standardezeichnungen. Weiter seien F die Fläche und s der halierte Umfang von. Ist der Lotfußpunkt von S w auf so hat das Dreieck S w in einen rechten Winkel und in den Winkel /, es gilt also sin(/) r/ S w und zusammen mit Korollar 14 liefert dies S w r sin und S w r sin r 1 cos r c (s )(s c) 17- c(s a). s

3 nalog sind S w ac(s ) und S w a(s c). s s Nach ufgae (34.a) ist S w in aryzentrischen Koordinaten als S w a s + s + c s gegeen, also ergeen ufgae (3.a), Korollar 14 und Satz 3 R a s S u + s S u + c s S u a s S w + s S w + c s S w + S u S w ac s (3s (a + + c)) + S us w ac 4rs r + S us w ac 4F r + S us w Rr + S u S w. Insesondere ist R r S us w 0 R und genau dann gilt R r wenn S u S w ist. Es folgen () und die erste ussage in (a). Ist gleichseitig so ist S u S w also auch R r. Ist umgekehrt S u S w so ist das Dreiech S w in S w gleichschenklig, also stimmen seine Winkel in und nach ufgae (31.a) üerein und damit ist auch β, wieder nach ufgae (31.a) ist also in gleichschenklig. nalog trifft dies auch auf und zu und damit ist gleichseitig. 3 Trigonometrische Formeln In diesem kurzen Kapitel wollen wir einige Formeln für die trigonometrischen Funktionen esprechen. In den vorigen eiden Kapiteln hatten wir die Definitionen und Ergenisse der Grundvorlesungen zur nalysis als ekannt akzeptiert und angewandt. Insesondere haen wir ereits einige der trigonometrischen Grundformeln verwendet, nämlich die trigonometrische Form des Satzes von Pythagorias sin φ + cos φ 1, und die Komplement- und Periodizitätsformeln ( π ) sin(φ + π) sin φ, cos(φ + π) cos φ, sin φ für alle φ R sowie die dditionstheoreme ( π ) cos φ, cos φ sin φ

4 3.1 Die dditionstheoreme Die grundlegenden dditionstheoreme für den Sinus und den osinus sind die Formeln sin( + β) sin cos β + cos sin β und cos( + β) cos cos β sin sin β für alle, β R. Das dditionstheorem des Tangens tan( + β) tan + tan β 1 tan tan β kann man algeraisch aus den dditionstheoremen fur Sinus und osinus herleiten tan( + β) sin( + β) cos( + β) sin cos β + cos sin β cos cos β sin sin β tan + tan β 1 tan tan β woei im letzten Schritt mit 1/(cos cos β) erweitert wurde. eim ufau der Schulgeometrie werden all diese Formeln mit geometrischen Methoden hergeleitet, woei die Definition der trigonometrischen Funktionen als Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken als Grundlage dient. ei dieser geometrischen Herleitung der dditionstheoreme für Sinus und osinus müssen einige Fälle für die möglichen Werte der etrachteten Winkel unterschieden werden, dies ist notwendig da sin und cos ja nur für spitze Winkel 0 < < π/ üer Verhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken definiert sind. Wir wollen dies hier nicht systematisch durchführen und nur einen ersten geometrischen eweis von dditionstheoremen vorführen. Für spitze Winkel 0 <, β < π/ deren Summe eenfalls spitz ist, also + β < π/ kann man eide dditionsformeln aus der folgenden Figur alesen D sin( +β ) β P M F E cos( +β ) Wie eginnen mit einem Viertelkreis von Radius 1 mit Mittelpunkt in M. Dann tragen wir nacheinander die eiden Winkel und β ei M a und erhalten die eiden 17-4

5 Schnittpunkte und mit unserem Viertelkreis. Fällen wir dann das Lot von auf die untere egrenzung des Viertelkreises, so erhalten wir den Punkt F und können Sinus und osinus von + β im rechtwinkligen Dreieck MF mit Hypothenuse der Länge 1 als sin( + β) F und cos( + β) MF alesen. Dann fällen wir das Lot von auf M und erhalten den Punkt. Dies git uns ein weiteres rechtwinkliges Dreieck M, dessen Hypothenuse wieder die Länge 1 hat, also sind sin β und cos β M. Ist P der Schnittpunkt von F und M, so haen die Dreiecke MF P und P ei P denselen Winkel und da sie eide ei F eziehungsweise rechtwinklig sind, müssen auch ihre Winkel ei M eziehungsweise üereinstimmen, d.h. der Winkel von P ei ist. Schließlich fällen wir die Lote von auf F und auf MF und erhalten die Punkte D und E. Im rechtwinkligen Dreieck D haen wir ei den Winkel, also sind sin D D und cos. Schließlich entnehmen wir dem rechtwinkligen Dreieck M E noch sin E M und cos ME M. Damit haen wir alles eisammen um die eiden dditionstheoreme zu egründen, für den Sinus rechnen wir sin( + β) F D + DF D + E und für den osinus ist cos( + β) MF ME F E ME D cos + sin M cos sin β + sin cos β cos M sin cos cos β sin sin β. 3. Verdoppelungs- und Halierungsformeln ls Verdoppelungsformeln ezeichnet man die Formeln für die Werte der trigonometrischen Funktionen ei verdoppelten Winkel, also für sin(), cos() und tan(), und die Halierungsformeln sind dann entsprechend die Formeln für die halierten Winkel. Man kann all diese Formeln natürlich durch Spezialisieren der dditionstheoreme auf β erhalten, also etwa sin() sin( + ) sin cos, cos() cos( + ) cos sin cos 1 1 sin, tan() tan( + ) tan 1 tan, 17-5

6 sie lassen sich aer auch geometrisch an einer geeigneten Figur gewinnen. Wir etrachten einen Halkreis mit Radius 1 und Mittelpunkt M und ezeichnen den unteren Durchmesser dieses Halkreises als. Dann ist M der Mittelpunkt von und es ist. Weiter sei ein Winkel 0 < < π/ gegeen und trage diesen im Halkreis ei a. ezeichnet den entstehenden Schnittpunkt mit unserem Halkreis, so hat das Dreieck nach dem Satz von Thales.Satz 0 ei einen rechten Winkel. Die Seitenlängen in diesem Dreieck sind dann in den Standardezeichnungen gegeen als a sin, cos und c. a β M P Ziehen wir jetzt die Verindungsstrecke M, so entsteht ein weiteres Dreieck M. Der Winkel von M ei M ist der Mittelpunktswinkel der Sekante unseres Halkreises und unser gegeener Winkel ist der Perepheriewinkel dieser Sekante ei, der Winkel von M ei M ist nach dem Perepheriewinkelsatz.Satz 1.(a) also gleich. Fällen wir also das Lot von auf und ezeichnen den Fußpunkt mit P, so sind sin() P und cos() MP da die Hypothenuse des rechtwinkligen Dreiecks MP ein Radius unseres Halkreises ist und damit die Länge M 1 hat. Dem rechtwinkligen Dreieck P entnehmen wir sin P sin(), also sin() sin cos cos und wir haen eine geometrische egründung der Verdoppelungsformel des Sinus. Eenfalls im Dreieck MP sehen wir cos P 1 + MP 1 + cos() cos, also cos() cos 1 und dies ist eine der eiden Verdoppelungsformeln des osinus. 17-6

7 us der Verdopplungsformel kann man nun die Halierungsformeln herleiten, für jeden Winkel R haen wir ( cos cos ) cos 1 1 sin also sin 1 cos und cos 1 + cos. Ist sin(/) 0 so können wir aus dieser Gleichung die Wurzel ziehen und erhalten die Halierungsformel des Sinus. Da für 0 x π stets sin x 0 ist, haen wir sin 1 cos für 0 π und für den osinus erhalten wir analog cos 1 + cos für π. 17-7