Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/29 15:15:02 hk Exp $ $Id: trig.tex,v /04/29 15:15:28 hk Exp hk $

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1 $Id: dreieck.tex,v /04/29 15:15:02 hk Exp $ $Id: trig.tex,v /04/29 15:15:28 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.6 Einige Sätze über Kreise m Ende der letzten Sitzung hatten wir den Feuerbachkreis f eines Dreiecks als den Umkreis des Mittendreiecks also als den Kreis durch die drei Seitenmittelpunkte definiert. Der Satz über den Feuerbachkreis besagt dann das f auch durch die Höhenfußpunkte und die drei Höhenabschnitte des Dreiecks geht. Der eweis war dabei in zwei Schritte aufgeteilt, und den ersten Schritt, dass also f zumindest durch die drei Höhenfußpunkte geht, hatten wir auch bereits durchgeführt. f * ~ * S h ~ ~ * Satz 1.25 (Der Feuerbachkreis und die neun Punkte) Seien ein Dreieck, sein Mittendreieck, der Fußpunkt der Höhe auf, der Fußpunkt der Höhe auf, der Fußpunkt der Höhe auf, S h der Schnittpunkt der drei Höhen sowie à der Mittelpunkt von S h, der Mittelpunkt von S h und der Mittelpunkt von S h. Dann geht der Feuerbachkreis f von durch die neun Punkte,,,,,, Ã,,. eweis: Wie schon gesagt wissen wir bereits das f durch,, läuft und wir kommen nun zum zweiten eweisschritt. Im zweiten Schritt zeigen wir jetzt das auch Ã,, auf f sind. Wir betrachten das Dreieck S h und bestimmen erst einmal die Höhen in diesem Dreieck. Die Gerade ist senkrecht auf und geht durch 7-1

2 S h, also ist S h die Höhe auf in. Weiter ist die Gerade durch S h gleich der Geraden durch und diese steht senkrecht auf der Strecke. Da auch durch geht ist also die Höhe von auf S h. Schließlich ist die Gerade durch S h gleich der Geraden durch und diese ist senkrecht auf der durch laufenden Strecke, also ist die Höhe von auf S h. Die drei Höhenfußpunkte von sind also,, und dies sind genau die Höhenfußpunkte von. Nach Schritt 1 wissen wir schon das der Kreis f durch,, geht und nach Schritt 1 angewandt läuft geht auch der Feuerbachkreis f von durch diese drei Punkte. Da es allerdings nach der Eindeutigkeitsaussage in Satz 17 nur einen Kreis durch drei nicht kollineare Punkte gibt, ist f f. Damit liegen auch die Seitenmittelpunkte von auf f, und insbesondere ist auf f. nalog sind dann auch à und auf f. ls eine Übung werden sie dann noch zeigen das der Radius des Feuerbachkreises der halbe Umkreisradius ist und das der Mittelpunkt des Feuerbachkreises eines nicht gleichseitigen Dreiecks auf der Eulergeraden liegt und zwar genau als der Mittelpunkt zwischen Umkreismittelpunkt S u und Höhenschnittpunkt S h. 2 Trigonometrische Formeln In diesem kurzen Kapitel wollen wir einige Formeln für die trigonometrischen Funktionen besprechen, und insbesondere geometrische Herleitungen einiger dditionstheoreme vorführen. ei den Dreiecksberechnungen des vorigen Kapitels sind die trigonometrischen Funktionen schon in einer wichtigen Rolle aufgetaucht, man brauchte aber eigentlich keinerlei Formeln für sie zu kennen. Nur die Formel sin 2 φ + cos 2 φ 1, also letztlich der Satz des Pythagoras, wurde einige Male angewandt. Wir beginnen mit einem bschnitt über die verschiedenen dditionstheoreme. 2.1 Die dditionstheoreme Die grundlegenden dditionstheoreme für den Sinus und den osinus sind die Formeln sin( + β) sin cos β + cos sin β und cos( + β) cos cos β sin sin β. Wenn diese Formeln für alle reellen rgumente, β nachgewiesen sind kann man aus ihnen durch Ersetzen von β durch β auch die Formeln für Winkeldifferenzen sin( β) sin cos β cos sin β und cos( β) cos cos β + sin sin β 7-2

3 herleiten, bei den geometrischen Herleitungen der dditionstheoreme muss man die dditions- und Subtraktionsformeln dagegen oftmals getrennt voneinander behandeln. Für spitze Winkel 0 <, β < π/2 deren Summe ebenfalls spitz ist, also + β < π/2 kann man beide dditionsformeln aus der folgenden Figur ablesen D sin( +β ) β P M F E cos( +β ) Wie beginnen mit einem Viertelkreis von Radius 1 mit Mittelpunkt in M. Dann tragen wir nacheinander die beiden Winkel und β bei M ab und erhalten die beiden Schnittpunkte und mit unserem Viertelkreis. Fällen wir dann das Lot von auf die untere egrenzung des Viertelkreises, so erhalten wir den Punkt F und können Sinus und osinus von + β im rechtwinkligen Dreieck MF mit Hypothenuse der Länge 1 als sin( + β) F und cos( + β) MF ablesen. Dann fällen wir das Lot von auf M und erhalten den Punkt. Dies gibt uns ein weiteres rechtwinkliges Dreieck M, dessen Hypothenuse wieder die Länge 1 hat, also sind sin β und cos β M. Ist P der Schnittpunkt von F und M, so haben die Dreiecke MF P und P bei P denselben Winkel und da sie beide bei F beziehungsweise rechtwinklig sind, müssen auch ihre Winkel bei M beziehungsweise übereinstimmen, d.h. der Winkel von P bei ist. Schließlich fällen wir die Lote von auf F und auf MF und erhalten die Punkte D und E. Im rechtwinkligen Dreieck D haben wir bei den Winkel, also sind sin D D und cos. Schließlich entnehmen wir dem rechtwinkligen Dreieck M E noch sin E M und cos ME M. 7-3

4 Damit haben wir alles beisammen um die beiden dditionstheoreme zu begründen, für den Sinus rechnen wir sin( + β) F D + DF D + E und für den osinus ist cos( + β) MF ME F E ME D cos + sin M cos sin β + sin cos β cos M sin cos cos β sin sin β. evor wir zu den Subtraktionsformeln und den anderen Fällen für, β kommen, schauen wir uns erst einmal den Tangens an. Für 0 <, β < π/2 mit + β < π/2 können wir die dditionsformel des Tangens durch Rechnung aus denjenigen für Sinus und osinus begründen, es ist tan( + β) sin( + β) cos( + β) sin cos β + cos sin β cos cos β sin sin β sin + sin β cos cos β 1 sin cos sin β cos β tan + tan β 1 tan tan β, k E β M F G H +β M uch diese Formel kann man geometrisch begründen, dies ist allerdings schon eine etwas kompliziertere Konstruktion. Wir starten mit einer Strecke EF der Länge EF

5 Dann bilden wir oberhalb von EF in F rechtwinkliges Dreieck EF dessen Winkel bei E gleich ist und unterhalb von EF konstruieren wir ein zweites bei F rechtwinkliges Dreieck EF dessen Winkel bei E gleich β ist. Lesen wir Tangens von im Dreieck EF und den Tangens von β im Dreieck EF ab, so ergeben sich tan F EF F und tan β F EF F. Nun betrachten wir das Dreieck E mit Winkel + β in E und bilden den Umkreis k dieses Dreiecks. Verlängere die Strecke EF bis sie den Kreis k in einem Punkt G trifft. Dann ist G eine Sekante des Kreises k und der Perepheriewinkel dieser Sekante bei E ist der Winkel des Dreiecks EG bei E, also. Der Perepheriewinkel bei, also der Winkel des Dreiecks G bei, ist damit nach dem Perepheriewinkelsatz in der Form 1.Korollar 23 ebenfalls gleich. ilden wir also den Tangens von im bei F rechtwinkligen Dreieck GF, so ergibt sich tan F G F F G, also ist F G tan tan β. tan β Schließlich bilden wir die Parallele zu EG durch und bezeichnen ihren zweiten Schnittpunkt mit dem Kreis k mit H. Die beiden Dreiecke EG und H haben beide den Umkreis k, also gehen ihre Mittelsenkrechten alle durch den Mittelpunkt von k. ndererseits sind EG und H parallel, also sind auch die Mittelsenkrechten auf EG und H parallel, und somit ist die Mittelsenkrechte auf H gleich der Mittelsenkrechten auf EG und trifft EG damit im Mittelpunkt von EG. Sind also M der Mittelpunkt von H und M der von EG, so ist H 2 M 2 M F 2( M G F G ) EG 2 F G EF F G 1 tan tan β. Schließlich betrachten wir noch die Sekante in k. Der Perepheriewinkel dieser Sekante bei E ist der Winkel des Dreiecks E bei E, also gleich + β. Nach dem Perepheriewinkelsatz 1.Korollar 23 ist damit auch der Perepheriewinkel bei H gleich + β und dieser ist gleich dem Winkel des rechtwinkligen Dreiecks H bei H, also gilt tan( + β) H F + F H tan + tan β 1 tan tan β, und wir haben erneut das dditionstheorem des Tangens eingesehen. evor wir zu den Subtraktionsformeln und dem Fall stumpfer Winkel kommen, wollen wir noch eine kleine eobachtung über die erechnung gewisser Summen von Werten des rcustangens machen. 7-5

6 tan φ m n m φ n Sind m, n N und 0 < φ < π/2 ein Winkel, so ist genau dann tan φ m/n wenn es ein rechtwinkliges Dreieck gibt in dem φ als Winkel mit nkathete n und Gegenkathete m auftaucht. Die Implikation von rechts nach links ist dabei klar. Ist umgekehrt tan φ m/n, so gibt es nach 1.Satz 9 ein Dreieck mit n, Winkel φ bei und rechten Winkel bei. Die nkathete dieses Dreiecks bei φ ist dann n und die Gegenkathete ergibt sich als n tan φ m. Statt tan φ m/n können wir gleichwertig auch arctan(m/n) φ sagen. etrachte nun die folgende Figur β D E F Die einzelnen Kästchen sind dabei Quadrate der Kantenlänge 1. Das rechtwinklige Dreieck D gibt arctan(1/2) und das rechtwinklige Dreieck E liefert β arctan(1/3). Nun betrachten wir das Dreieck. Der Winkel φ bei in diesem Dreieck setzt sich aus und β zusammen, also φ + β arctan arctan 1 3. Die Seitenlängen in diesem Dreieck lesen wir mit dem Satz des Pythagoras 1.Satz 1 in den rechtwinkligen Dreiecken D, F und E ab, und erhalten 5 und 10. n diesen Gleichungen können wir zwei Dinge ablesen, zum einen ist , also hat nach 1.Korollar 3 in einen rechten Winkel. lternativ 7-6

7 kann man dies auch sehen da die beiden Dreiecke D und F kongruent sind. Weiter folgt tan φ 5/ 5 1, also ist φ π/4. uch dies kann man auch auf andere Weise einsehen, da bei gleichschenklig ist, sind die Winkel bei und nach ufgabe (9.a) gleich, müssen also π/4 sein. Damit haben wir arctan arctan 1 3 π 4 eingesehen. Diese Methode ist hauptsächlich dazu gedacht derartige Identitäten zu finden, hat man erst einmal eine solche Vermutung aufgestellt, so ist es leicht diese einfach mit dem dditionstheorem zu verifizieren, in diesem eispiel etwa durch ( tan arctan arctan 1 ) tan π