Tutorium zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Bearbeitungsvorschlag

Transkript

1 MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 017 Bltt Tutorium zur Vorlesung Grundlgen der Mthemtik II Berbeitungsvorschlg 9. Zu betrchten ist ein gleichseitiges Dreieck ABC mit der Seitenlänge : C r u M h r u r i A H B D die drei Seiten im Dreieck ABC die gleiche Länge hben, ist jede der drei Mittelsenkrechten gleichzeitig uch Höhe und Winkelhlbierende, und die Höhenfußpunkte stimmen mit den Seitenmittelpunkten überein; es bezeichne H den Höhenfußpunkt von C uf der Seite [AB]. Ferner ist der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten der Mittelpunkt sowohl des Umkreises ls uch des Inkreises des Dreiecks ABC. ) Für die Höhe h des gleichseitigen Dreiecks ABC ergibt sich über den Stz des Pythgors für ds rechtwinklige Dreieck CAH ( ) ( ) = h + h = h = 4 h = h>0 und dmit für den Flächeninhlt des Dreiecks ABC F ABC = 1 h = 1 = 4. b) Für den Umkreisrdius r u des gleichseitigen Dreieck ABC ergibt sich über den Stz des Pythgors für ds rechtwinklige Dreieck M AH ( ) ru = + (h ru ) = ( h h r u + ru),

2 worus sich und dmit h r u = h = ) = r u = h = ) = = ergibt. Für den Inkreisrdius r i erhält mn demnch r i = h r u = = 6 = 1. c) Im gleichseitigen Dreieck ABC stimmen mit den drei Seitenlängen uch die drei Innenwinkel überein und betrgen jeweils 60. Wir betrchten ds rechtwinklige Dreieck CAH mit der Hypotenuse [CA] der Länge, wobei der Innenwinkel HAC = 60 die Gegenkthete [HC] der Länge h und die Ankthete [AH] der Länge besitzt. Dmit ergibt sich nch Definition von Sinus und Cosinus sin 60 = h = worus mn dnn = 1 sowie cos 60 = = 1, sin 0 = cos (90 0 ) = cos 60 = 1 sowie cos 0 = sin (90 0 ) = sin 60 = 1 erhält. 0. ) Für ds Dreieck ABC mit dem Innenwinkel α = 45 und den beiden Seitenlängen c = 6 und = erhlten wir mit Hilfe des Sinusstzes sin α = = c 6 6 c sin α = sin 45 = = und dmit γ = 60 oder γ = 10. Im Flle γ < 90, lso für γ = 60 mit cos γ = 1, erhlten wir dnn mit Hilfe des Cosinusstzes für die verbleibende Seitenlänge lso c = + b b cos γ b b cos γ + ( c ) = 0, und dmit b b 1 + ( ( 6) ) = 0, lso b b = 0, b = ( ) ± ( ) 4 1 ( ) = ± 1 = 1 ± = b>0 1 +.

3 b) Wir betrchten ds Dreieck ABC mit drei spitzen Innenwinkeln; ferner seien H A der Höhenfußpunkt von A uf der Seite [BC] sowie H B der Höhenfußpunkt von B uf der Seite [AC]. Die beiden Dreiecke BCH B und CAH A stimmen zunächst in den beiden Innenwinkeln CH A A = 90 = CH B B und ACH A = γ = H B CB, folglich uch im Innenwinkel H A AC = CBH B überein; somit sind die beiden Dreiecke ähnlich. In den beiden gemäß ) ähnlichen Dreiecken BCH B und CAH A stimmt ds Verhältnis der Hypotenuse zur Ankthete des Winkels γ überein, es gilt lso AC = BC bzw. AC CH B = BC CH A. CH A CH B Die beiden Dreiecke ABC und H B H A C stimmen im Innenwinkel ACB = H B CH A sowie gemäß AC CH B = BC CH A AC BC = CH A CH B. im Verhältnis der diesem Winkel nliegenden Seiten überein; somit sind die beiden Dreiecke ähnlich. 1. ) Wir betrchten ein beliebiges Dreieck ABC mit den üblichen Bezeichungen für die Seitenlängen und Innenwinkel. Für den Flächeninhlt des Dreiecks ABC gilt F = c h c = c b sin α; ferner gilt nch dem Sinusstz und dmit b sin β = c bzw. F = c b sin α = c c sin β b = c sin β c sin α = sin α sin β. b) Die erste Aussge ist whr, die zweite hingegen flsch; wir beweisen zunächst die erste und widerlegen dnn die zweite Behuptung. Sind die beiden Dreiecke ABC und A B C kongruent, so stimmen sie nch dem SWS Stz in zwei Seitenlängen und dem eingeschlossenen Innenwinkel überein, es gilt lso α = α, b = b und c = c und dmit nch der beknnten Flächenformel F ABC = c b sin α = c b sin α = F A B C.

4 Alterntiv läßt sich us der Kongruenz der beiden Dreiecke ABC und A B C gemäß dem WSW Stz folgern, dß sie in einer Seitenlänge und den beiden nliegenden Innenwinkel übereinstimmen, es gilt lso α = α, β = β und c = c ; dmit stimmen sie uch im dritten Innenwinkel γ = γ überein, und nch Teilufgbe ) ergibt sich F ABC = c sin α sin β = c sin α sin β = F A B C. Schließlich ließe sich von der Kongruenz der beiden Dreiecke ABC und A B C zunächst über den SSS Stz uf =, b = b und c = c und dnn mit Hilfe der Formel von Heron uf die Flächengleichheit F ABC = F A B C schließen. Die beiden rechtwinkligen Dreiecke ABC und A B C mit den rechten Winkeln γ = 90 = γ und den Kthetenlängen = 8 und b = bzw. = 1 und b = besitzen zwr gemäß F ABC = 1 = F A B C den gleichen Flächeninhlt, sind ber ufgrund unterschiedlicher Seitenlängen gemäß dem SSS Stz nicht kongruent.. ) Wir betrchten in der mit einem krtesischen x y Koordintensystem versehenen Anschuungsebene den Punkt P = (x, y); dbei bezeichne zunächst r seinen Abstnd vom Ursprung O = (0, 0) sowie im Flle (x, y) (0, 0) dnn α den gerichteten Winkel zwischen der positiven x Achse und der Hlbgerden [OP. Diese schneidet den Einheitskreis um O mit Rdius 1 im Punkt (cos α, sin α) und dmit den Kreis um O mit Rdius r im Punkt P = (r cos α, r sin α); dmit ist lso x = r cos α und y = r sin α. Diese Beziehung gilt uch für den Punkt P = (0, 0) mit r = 0 und einem beliebigen Winkel α. b) Wir betrchten einen Punkt P = (x, y) der Anschuungsebene mit den Koordinten x = r cos α und y = r sin α, der nun um ds Drehzentrum Z = (0, 0) mit dem Drehwinkel δ gedreht wird. Für die Koordinten des Bildpunktes P = (x, y ) erhlten wir x = r cos(α + δ) und y = r sin(α + δ). c) Mit Hilfe der Additionstheoreme erhlten wir x = r cos(α + δ) = r (cos α cos δ sin α sin δ) = r } cos {{ α} cos δ r } {{ sin α} sin δ = x = y = x cos δ y sin δ = cos δ x sin δ y

5 sowie y = r sin(α + δ) = r (sin α cos δ + cos α sin δ) = r } {{ sin α} cos δ + r } cos {{ α} sin δ = y = x = y cos δ + x sin δ = sin δ x + cos δ y und dmit die gewünschten Koordinten des Bildpunktes P. x = cos δ x sin δ y und y = sin δ x + cos δ y