Mathematische Probleme, SS 2017 Montag $Id: dreieck.tex,v /06/12 15:01:14 hk Exp $ 2.1 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln

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1 Mthemtishe Probleme, SS 2017 Montg 12.6 $Id: dreiek.tex,v /06/12 15:01:14 hk Exp $ 2 Dreieke 2.1 Dreieksberehnung mit Seiten und Winkeln Wir beshäftigen uns gerde mit den Konstruktionsufgben für Dreieke mit gegebenen Seiten beziehungsweise Winkeln. Wir kennen bereits den SSS-Stz bei dem lle drei Seiten gegeben sind sowie die SWS- und SSW-Sätze bei denen zwei Seiten und ein Winkel vorgegeben werden. Es verbleibt nur noh der SWW-Stz bei dem eine Seite und zwei Winkel beknnt sind. Als Vorbereitung für diesen Stz wollen wir wiederum beweisen ds die Winkelsumme im Dreiek immer π ist. Stz 2.5 (Winkelsumme im Dreiek) Sei = ABC ein Dreiek und bezeihne, β, γ die Winkel von in den Stndrdbezeihnungen. Dnn gilt + β + γ = π. l C γ β r n w v A u β B m h g Beweis: Durh eventuelles Umbenennen der Eken A, B, C können wir nnehmen ds 14-1

2 Mthemtishe Probleme, SS 2017 Montg 12.6 orientiert ist. Bezeihne m die Verbindungsgerde von A und B, g die von B und C und h die von C und A. Nh 1.Lemm 5.() existiert eine Gerde n R 2 mit C n und m n. Weiter bezeihne u m den Strhl mit Strtpunkt A und B u, u m den Strhl mit Strtpunkt B und A u, v g den Strhl mit Strtpunkt B und C v, v g den Strhl mit Strtpunkt C und B v, w h den Strhl mit Strtpunkt C und A w sowie w h den Strhl mit Strtpunkt A und C w. Bezeihnet H die Hlbebene mit ffinen Rnd g die A niht enthält, lso A / H, so ist r := H n n nh 1.Lemm 18 ein Strhl mit Strtpunkt C. Wählen wir einen Punkt R r\{c} so liegen A und R uf vershiedenen Seiten von g. Shließlih seien l der r gegenüberliegende Strhl und v v g der Strhl mit Strtpunkt C. Es gilt (w, v ) = γ und nh dem Stufenwinkelstz 1.Stz 34.() sind uh (r, w ) = (BAC) = und (l, v ) = (u, v) = β. Für die diesen Winkeln jeweils gegenüberliegenden Winkel folgen dmit uh (l, w) = und (v, r) = β. Nh Lemm 4 liegen r und B uf derselben Seite von h und d l und r nh 1.Lemm 18 uf vershiedenen Seiten von h liegen, sind l und B uf vershiedenen Seiten von h. D ABC orientiert ist liegt B links von w, lso ist l rehts von w und nh Aufgbe (18.) gilt π < (w, l) < 2π, und wegen (l, w) = 2π (w, l) uh 0 < (l, w) < π. Wieder d ABC orientiert ist liegt A und dmit uh w links von v, lso ist w rehts von v und wieder nh Aufgbe (18.) ist π < (v, w) < 2π, lso ergibt (w, v ) = 2π (v, w) uh 0 < (w, v ) < π. Shließlih liegt r uf der nderen Seite von g ls A und ein weiteres Ml d ABC orientiert ist, ist r rehts von v, lso links von v und Aufgbe (18.) liefert 0 < (v, r) < π. Dmit hben wir σ := + β + γ = (l, w) + (w, v ) + (v, r) = (l, w) + (w, v ) + (v, r). Folglih untersheidet sih σ (0, 3π) nur um ein Vielfhes von 2π von (l, r) = π, es muss lso σ = π sein. Dmit können wir nun zur Dreiekskonstruktion mit zwei gegebenen Winkeln kommen. D die Winkelsumme 180 ist, spielt es dbei keine Rolle welhe Winkel vorgegeben werden, sind zwei Winkel beknnt so stehen bereits lle drei Winkel fest. Der entstehende Stz ist dnn der sogennnte Kongruenzstz Seite Winkel Winkel, lso SWW, und zur Berehnung der fehlenden Seitenlängen verwenden wir den sogennnten Sinusstz, den wir zunähst einml formulieren und beweisen wollen. Hierzu bruhen wir den Begriff der Höhen eines Dreieks, ist ein Dreiek und A eine Eke von so nennt mn ds Lot von A uf die Verbindungsgerde l der beiden nderen Eken von die Höhe von durh A beziehungsweise die Höhe von uf l, der Lotfußpunkt H von A uf l heißt dnn der Höhenfußpunkt von uf l. Oft werden uh die Streke H A oder deren Länge h := H A ls die Höhe bezeihnet, dss ds Wort Höhe ddurh mit drei vershiedenen Bedeutungen belegt ist, ist zwr etws unglüklih ber üblih. Ist = ABC so bezeihnet mn die Höhenfußpunkte beziehungsweise die Höhen von 14-2

3 Mthemtishe Probleme, SS 2017 Montg 12.6 durh A, B, C in den Stndrdbezeihnungen ls H, H b, H beziehungsweise h, h b, h. Stz 2.6 (Der Sinusstz) Sei ein Dreiek mit Seiten, b, und Winkeln, β, γ in der Stndrdbezeihnung. Dnn gilt sin = sin β = sin γ b und bezeihnet h, h b, h die Höhen uf den jeweiligen Seiten, b, so hben wir h = sin β = b sin γ, h b = sin = sin γ, h = b sin = sin β, Beweis: Wir beginnen mit der Aussge über die Höhen und dbei reiht es h = b sin zu zeigen, die nderen Gleihungen gehen us dieser durh Umbezeihnungen hervor. Wir shreiben h = h. Im Fll = π/2 fllen h und b zusmmen und wegen sin(π/2) = 1 ist in diesem Fll sofort h = b sin. Wir können lso π/2 nnehmen und es treten drei möglihe Fälle uf. b h b h h b p p p Fll 1 Fll 2 Fll 3 Im ersten Fll ist 0 < < π/2 und h liegt im Dreiek. Dnn lesen wir den Sinus von im links uftuhenden rehtwinkligen Dreiek b und hben sin = h/b, lso h = b sin. Im zweiten Fll ist 0 < < π/2 weiterhin ein spitzer Winkel ber h liegt ußerhlb des Dreieks. Dnn verlängern wir die Seite wie gezeigt zu einem rehtwinkligen Dreiek und in diesem lesen wir den Sinus von wieder ls sin = h/b b, hben lso wieder h = b sin. Im letzten Fll ist π/2 < < π ein stumpfer Winkel. Betrhten wir dnn ds links uftuhende rehtwinklige Dreiek ACH wobei H der Fußpunkt von h = h uf AB ist, so liegt in diesem bei A der Winkel π n, lso ist sin = sin(π ) = h b lso erneut h = b sin. Der eigentlihe Sinusstz ist jetzt eine unmittelbre Folgerung, wegen und wegen sin β = b sin γ ist sin β b = sin γ sin = sin γ hben wir uh sin = sin γ. 14-3

4 Mthemtishe Probleme, SS 2017 Montg 12.6 Dmit ist der Sinusstz vollständig bewiesen. Nun kommen wir zum finlen Kongruenzstz SWW: Stz 2.7 (Dreieksberehnung bei einer Seite und zwei Winkeln) Seien > 0 und 0 <, β < π gegeben. Dnn existiert genu dnn ein Dreiek = ABC mit AB = und Winkeln bei A und β bei B wenn + β < π ist. In diesem Fll ist bis uf Kongruenz eindeutig bestimmt und es gelten sin = sin( + β), b = sin β sin( + β), γ = π β. Beweis: D die Winkelsumme im Dreiek nh Stz 5 gleih π ist, ist die Bedingung + β < π notwendig für die Existenz eines pssenden Dreieks. Nun nehme umgekehrt + β < π n. Dnn trgen wir eine Streke AB der Länge AB = b und bilden im Winkel einen von A usgehenden Strhl und im Winkel β einen von B usgehenden Strhl so, dss diese beiden Strhlen uf derselben Seite H der AB enthltenden Gerden liegen und sih gegenüberliegen. Nh dem Prllelelxiom 1.Stz 34.(b) shneiden sih die beiden Strhlen in einem Punkt C H und dnn ist ABC ein Dreiek mit AB = und Winkel bei A und β bei B. Dmit ist die Existenzussge bewiesen, und wir kommen nun zur Eindeutigkeit. Sei lso ein beliebiges Dreiek des gesuhten Typs gegeben. Dnn ist γ = π β und mit dem Sinusstz Stz 6 folgen = sin sin γ = sin sin(π ( + β)) = und ebenso b = sin β sin γ = sin β sin( + β). Insbesondere ist bis uf Kongruenz eindeutig bestimmt. sin sin( + β) Zusmmenfssend hben wir dmit die folgenden Kongruenzussgen eingesehen: Zwei Dreieke sind genu dnn kongruent wenn sie in llen drei Seiten, in zwei Seiten und dem von ihnen eingeshlossenen Winkel, in zwei Seiten und dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel, in einer Seite und zwei Winkeln übereinstimmen. 14-4

5 Mthemtishe Probleme, SS 2017 Montg Ähnlihe Dreieke Wir htten zwei Dreieke kongruent gennnt wenn sie sih durh eine Bewegung der Ebene ineinnder überführen lssen und htten uns überlegt ds dies genu dnn der Fll ist wenn in ihnen entsprehende Seiten gleih lng sind. Wir wollen diesen Begriff nun noh etws bshwähen und sogennnte ähnlihe Dreieke einführen. Definition 2.1 (Ähnlihe Dreieke) Mn nennt zwei Dreieke, ähnlih zueinnder wenn in ihnen entsprehende Winkel kongruent sind, wenn lso in den Stndrdbezeihnungen =, β = β und γ = γ gelten. Mit den Kongruenzsätzen des vorigen Abshnitts ist es uh leiht einige Ähnlihkeitskriterien für Dreieke nzugeben. Stz 2.8 (Chrkterisierungen ähnliher Dreieke) Seien, zwei Dreieke deren Seiten und Winkel gemäß der Stndrdbezeihnungen ls, b,,, β, γ beziehungsweise, b,,, β, γ bennnt sind. Dnn sind die folgenden Aussgen äquivlent: () Die Dreieke und sind ähnlih. (b) Entsprehende Seiten hben dieselben Verhältnisse, lso b = b, =, b = b. () Ein Pr entsprehender Winkel und ds Verhältniss der ngrenzenden Seiten sind gleih. (d) Ds Verhältniss zweier entsprehender Seiten und die der jeweiligen größeren Seite gegenüberliegenden Winkel sind gleih. (e) Zwei Pre entsprehender Winkel sind gleih. Beweis: () (e). Klr nh Stz 5. ()= (b). Nh dem Sinusstz Stz 6 gilt b = sin sin β sin = = sin β b und die Gleihheit der nderen Verhältnisse ergibt sih nlog. (b)= (). Nh Stz 1 gilt ( ) b = ros 2b ( ( 1 b = ros b b )) ( ( 1 b = ros 2 + b b )) =,

6 Mthemtishe Probleme, SS 2017 Montg 12.6 und nlog ergeben sih uh β = β und γ = γ. ()= (). Klr d die Impliktion von () nh (b) bereits gezeigt ist. ()= (b). Sei etw b/ = b / und =, die nderen beiden Fälle ergeben sih dnn durh Umbezeihnungen. Nh Stz 3 gilt ( ) 2 b = b b os = 1 + ( b ) 2 2 b os = b, und nlog folgt uh / = /. ()= (d). Klr d die Impliktion von () nh (b) bereits gezeigt ist. (d)= (). Behte ds durh ds Verhältnis zweier Seiten festgelegt ist welhes die größere der beiden ist, dher entsprehen sih uh die der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel in beiden Dreieken. Bis uf Umbezeihnungen können wir b/ = b / und β = β nnehmen. Mit Stz 2 folgt = os β + (b ) 2 (b sin 2 β = os β + und wir hben die Sitution von () hergestellt. ) 2 sin 2 β =, Als ein Beispiel wollen wir einml ds sogennnte Mittendreiek diskutieren. C B S m A A C B Gegeben sei ein Dreik = ABC mit Seiten, b, und Winkeln, β, γ. Dnn bilden wir den Mittelpunkt A der Streke BC, den Mittelpunkt B der Streke AC und shließlih den Mittelpunkt C der Streke AB, es gelten lso A B = A C = 2, B A = B C = b 2 und C A = C B =

7 Mthemtishe Probleme, SS 2017 Montg 12.6 Mit diesen drei Mittelpunkten bilden wir dnn ds sogennnte Mittendreiek A B C und wir wollen einsehen ds dieses zu ähnlih ist und hlb so große Seitenlängen ht. Lemm 2.9 (Lemm über ds Mittendreiek) Sei = ABC ein Dreiek mit Mittendreiek = A B C. Dnn sind die vier Dreieke, C BA, B A C und AC B lle zueinnder kongruent und lle ähnlih zu mit hlb so großen Seitenlängen. Weiter sind A B prllel zu AB, A C prllel zu AC und B C prllel zu BC. Beweis: Bezeihne die Seiten und Winkel in gemäß der Stndrdbezeihnungen. Im Dreiek C BA ist der Winkel bei B gleih β und ds Verhältniss der beiden nliegenden Seiten ist A 1 B C B = 2 1 =, 2 lso sind und C BA nh Stz 8 ähnlih. Wieder nh Stz 8 ist dmit uh A C 1 2 = A C BC = b, lso A C = 1 2 b, ds Dreiek C BA ht lso hlb so große Seitenlängen wie. Anlog shließen wir für B A C und AC B, und insbesondere sind diese drei Dreieke zueinnder kongruent. Dmit ht ds Mittendreiek = A B C die Seitenlängen = B C = 1 2, b = A C = 1 2 b und = A B = 1 2, ist lso ebenflls zu ähnlih mit hlbierten Seitenlängen und zu den nderen drei Dreieken kongruent. Die Aussgen über die Prllelität sind eine unmittelbre Folgerung, d B A C ähnlih zu ABC ist stimmen die Winkel dieser Dreieke bei A beziehungsweise B überein, die Gerde BC sheidet A B und AB lso im selben Winkel und somit sind A B und AB nh dem Stufenwinkelstz 1.Stz 34.() prllel. Die beiden nderen Prllelitätsussgen ergeben sih nlog. 2.3 Einige spezielle Punkte im Dreiek Mit den speziellen Punkten in einem Dreiek sind Punkte gemeint die in irgendeiner knonishen Weise geometrish us dem Dreiek herus konstruiert werden können, lso beispielsweise der Shnittpunkt der Seitenhlbierenden oder der Shnittpunkt der Mittelsenkrehten. Wir behndeln hier huptsählih die vier wihtigsten von diesen, und dies sind die jeweiligen Shnittpunkte der Seitenhlbierenden, der Winkelhlbierenden, der Mittelsenkrehten und der Höhen. Dies hängen eng mit dem Innkreis und 14-7

8 Mthemtishe Probleme, SS 2017 Montg 12.6 dem Umkreis eines Dreieks zusmmen. Den Stz über den Shnittpunkt der Seitenhlbierenden hben wir dbei bereits in 1 ls ein Beispiel zum Stz von Cev bewiesen, wir wollen ihn jetzt nur noh einml in der inzwishen eingeführten Sprhe formulieren. Stz 2.10 (Der Shnittpunkt der Seitenhlbierenden) Sei ABC ein Dreiek mit Mittendreiek A B C. Dnn shneiden die drei Seitenhlbierenden AA, BB und CC sih in einem Punkt S m und dieser zerlegt diese Streken jeweils im Verhältnis 2 : 1, d.h. es gelten 2 S m A = AS m, 2 S m B = BS m und 2 S m C = CS m. Beweis: Dss die drei Seitenhlbierenden kopunktl hben wir bereits in 1.3 gesehen. Dort hben wir uh (CS m C ) = 2 gezeigt und nh 1.Lemm 27 liegt S m zwishen C und C und es gilt CS m / S m C = (CS m C ) = 2 lso CS m = 2 S m C. Die nderen beiden Behuptungen ergeben sih nlog. Mn nennt den Shnittpunkt S m der Seitenhlbierenden eines Dreieks uh den Shwerpunkt von. In 1.3 htten wir uh gesehen ds sih der Shwerpunkt in bryzentrishen Koordinten ls shreiben läßt. S m = A + B + C 3 = 1 3 A B C 14-8