Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien

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1 5 Ds Pumping Lemm Shufhprinzip (Folie 137) Automten und formle Sprhen Notizen zu den Folien Im Blok Ds Shufhprinzip für endlihe Automten steht m n (sttt m > n), weil die Länge eines Pfdes die Anzhl von Üergängen im Pfd ist. Ds heißt, dss ein Pfd, der eine Länge m ht, m + 1 Zustände enthält. Pumping-Lemm-Beispiele Die Shritt n -Boxen in den folgenden Beweisen verweisen uf die Shritte des Kohrezepts (Folien 144 und 145), und gehören niht zur Beweistext. Stz. Sei Σ = {, }. Die Sprhe L 1 = { k k Σ k N 0 } ist niht regulär. Beweis. Shritt 1 Sei n eine elieige ntürlihe Zhl. Shritt 2 Wir wählen ds Wort x = n n. Es gilt offensihtlih, dss x L 1 und x n. Shritt 3 Wir können x folgendermßen in x = uvw zerlegen, so dss uv n und v 1: u = l, v = m, w = n (l+m) n, woei m 1. (Wegen uv n wissen wir, dss u und v eide nur us s estehen.) Shritt 4 Für diese Zerlegung wählen wir i = 2. Es gilt uv i w = l+2m+(n (l+m)) n = n+m n. Wegen m 1, gilt uv i w / L 1. Nh dem Pumping Lemm, ist L 1 lso niht regulär. Bemerkung: wir hätten uh i = 0 wählen können. Es gilt Wegen m 1, gilt dnn uh uv 0 w / L 1. uv 0 w = l+n (l+m) n = n m n. Stz. Sei Σ = {, }. Die Sprhe L 2 = {ww R w Σ } ist niht regulär. (Hier ezeihnet w R ds Wort w mit umgekehrter Reihenfolge der Buhsten, z.b. R =.) Beweis. Shritt 1 Sei n eine elieige ntürlihe Zhl. Shritt 2 Wir wählen ds Wort x = n n. Es gilt offensihtlih, dss x L 2 und x n. Shritt 3 Wir können x folgendermßen in x = uvw zerlegen, so dss uv n und v 1: u = l, v = m, w = n (l+m) n, woei m 1. (Wegen uv n wissen wir, dss u und v eide nur us s estehen.) Shritt 4 Für diese Zerlegung wählen wir i = 2. Es gilt uv i w = l+2m+(n (l+m)) n = n+m n. Wegen m 1, gilt uv i w / L 2. Nh dem Pumping Lemm, ist L 1 lso niht regulär. Stz. Die Sprhe L 3 = { k l m k 1, l m} ist niht regulär. (Die Sprhe L 3 esteht lso us den Wörtern z L( ), woei zusätzlih gilt, dss sie mindestens ein enthlten, und die Anzhl von s kleiner gleih die Anzhl von s ist.) 1

2 Es sei ngemerkt, dss die Vrilen, die innerhl von einer Mengeneshreiung enutzt werden, im llgemeinen ls lokle Vrilen gesehen werden. Insesondere, hen die l und m die oen enutzt werden niht unedingt die gleihe Werte ls die l und m die unten im Beweis enutzt werden. Beweis. Shritt 1 Sei n eine elieige ntürlihe Zhl. Shritt 2 Wir wählen nun ds Wort x = n n. Es gilt offensihtlih, dss x L 3 und x n. Shritt 3 Es git folgende Zerlegungen von x in x = uvw, so dss uv n und v 1: 1. u = ɛ, v = l, w = n l n, woei m 1. (Bemerke, dss im Fll l = 0, ds Teilwort v nur us dem esteht. Die Bedingung, dss v 0 gilt in dem Fll ntürlih noh immer.) 2. u = l, v = m, w = r n, woei l + m + r = n und m 1. (Der Untershied zwishen den eiden Fällen, ist o ds in v liegt oder niht.) Shritt 4 eide Zerlegungen git es ein i, so dss uv i w / L 3 : Für 1. Sei i = 0: Weil u = v 0 = ɛ, gilt uv i w = w = n l n. Es könnte sein, dss l = 0. Die Anzhl von s und s muss lso niht untershiedlih sein. Ds Wort fängt er niht mit einem n, und deswegen gilt uv i w / L Sei i = 2: Es gilt uv i w = l+2m+r n. Wegen n = l + m + r und m 1 hen wir, dss l + 2m + r > n. Deswegen gilt uv i w / L 3. Nh dem Pumping Lemm ist L 3 lso niht regulär. Stz. Die Sprhe L 4 = { 2k k N} ist niht regulär. (Siehe Folie 146.) Beweis. Shritt 1 Sei n eine elieige ntürlihe Zhl. Shritt 2 Wir wählen nun ds Wort x = 2n. Es ist klr, dss x L 4 und x n. Shritt 3 Alle Zerlegungen von x in x = uvw, so dss uv n und v 1 sind von folgender Form: u = p, v = q, w = 2n p q, woei p + q n und q 1. Shritt 4 Wir wählen jetzt i = 2; dnn gilt uv i w = 2n +q. Weil 2 n > n (für lle n), muss gelten, dss p + q < 2 n und deswegen, dss 0 < q < 2 n. Ds heißt, dss 2 n < 2 n + q < 2 n + 2 n = 2 2 n = 2 n+1. Drus folgt, dss 2 n + q keine Zweierpotenz ist und somit, dss uv i w = uv 2 w / L 4. Dmit hen wir nhgewiesen, dss die Sprhe L 4 die Bedingungen des Pumping Lemms verletzt, und deswegen niht regulär sein knn. Hinweise zur Benutzung des Pumping-Lemms Der wihtigste Teil eines Beweises, der ds Pumping-Lemm verwendet, ist die Whl des Wortes der Länge n. Einige Hinweise zum Whlen des Wortes: Ds Wort muss länger ls n sein. Es ist er keine oere Shrnke ngegeen. Es ist niht shlimm, wenn ds Wort viel länger ls n ist. Wähle ein möglihst einfhes Wort. Die einzige Bedingung ist, dss ds Wort in der etrhtete Sprhe liegt. Wegen der Bedingung, dss uv n, findet ds Pumpen nur in den ersten n Symolen des Wortes sttt. Zusätzlih zum oigen Hinweis, wähle uh ein Wort, in dem die Struktur der ersten n Stellen möglihst einfh ist. (Es sei zum Beispiel ngemerkt, dss ds gewählte Wort in zwei der oigen Beispiele nur Zerlegungen zugelssen ht, ei denen u und v eide nur us s estehen.) 2

3 6 Minimlutomten und Myhill-Nerode-Äquivlenz Äquivlenzklssen (Folien ) Beispiel 1. Gegeen seien die Menge M = {,,, d} und die Reltion R M M = { (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (d, d) }. Diese Reltion knn folgendermßen grphish drgestellt werden: d Die Reltion R ist eine Äquivlenzreltion weil sie reflexiv, symmetrish und trnsitiv ist (siehe Folie 2Äquivlenzreltionen und Minimlutomt). Reflexiv. Für lle Elemente x von M gilt, dss (x, x) R. Zum Beispiel: (, ) R und (d, d) R. Symmetrish. Für lle Pre x und y, so dss x M, y M und (x, y) R, gilt uh, dss (y, x) R. Zum Beispiel: (, ) R, und es gilt uh, dss (, ) R. Trnsitiv. Für lle x, y, z, so dss x M, y M, z M, (x, y) R und (y, z) R, gilt uh, dss (x, z) R. Zum Beispiel: (, ) R und (, ) R. Es muss lso gelten, dss (, ) R und ds ist uh der Fll. (, ) R und (, ) R. Es muss lso gelten, dss (, ) R und ds ist uh der Fll. Die Äquivlenzklssen der Reltion sind: [] R = {,, } [] R = {,, } [] R = {,, } [d] R = {d} Weil [] R = [] R = [] R ht die Reltion R zwei Äquivlenzklssen, nämlih {,, } und {d}. Beispiel 2. Gegeen sei die Menge M = {,,, d, e} und die Reltion R M M = { (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (d, d), (d, e), (e, d), (e, e) }. Diese Reltion knn folgendermßen grphish drgestellt werden: d e 3

4 Die Reltion R ist eine Äquivlenzreltion weil sie reflexiv, symmetrish und trnsitiv ist. Die Äquivlenzklssen von R sind: [] R = {, } [] R = {} [d] R = {d, e} [] R = {, } [e] R = {d, e} Weil [] R = [] R und [d] R = [e] R, ht diese Reltion drie Äquivlenzklssen, nämlih {, }, {} und {d, e}. Beispiel 3. Gegeen seien ds Alphet Σ = {, } und die Reltion L Σ Σ uf Σ, die folgendermßen definiert ist: (x, y) L gdw. x = y, woei w die Länge eines Wortes w ezeihnet. Ds heißt, zwei Wörter sind in der Reltion L wenn sie die gleihe Länge hen. Für ein Wort x gilt nun, dss [x] L = {y y ht die gleihe Länge wie x}. Weil es unendlih viele möglihe Längen git, ht diese Reltion unendlih viele Äquivlenzklssen. Zu Folie 152 Wir etrhten den folgenden DFA: , 3 5 Feststellung: für die Zustände 4, 5 gilt: Mit einem Wort, ds ein enthält, lndet mn von dort us immer in einem Endzustnd (nämlih 6). Mit einem Wort, ds kein enthält, lndet mn von dort us immer in einem Niht- Endzustnd (4 zw. 5). Drus folgt: 4 und 5 sind erkennungsäquivlent und können zu einem Zustnd vershmolzen werden. Etws ähnlihes gilt für die Zustände 2 und 3: Mit einem Wort, ds mit einem nfängt und ein enthält, lndet mn von dort us immer in einem Endzustnd (6). Mit einem Wort, ds niht mit einem nfängt oder kein enthält, lndet mn immer in einem Niht-Endzustnd. Auh die Zustände 2 und 3 sind Erkennungsäquivlent. Ds heißt, dss die Zustände 4/5 und 2/3 vershmolzen werden können. Ds Ergenis ist der folgende kleinere Automt: 4

5 , 1 2/3 4/5 6, Es können keine weiteren Zustände vershmolzen werden: der Automt ist ttsählih miniml. Zu Folie 155 Jedem Wort x Σ knn mn in einem deterministishen Automt einen eindeutigen Zustnd z = ˆδ(z 0, x) zuordnen. Dher knn die Definition der Erkennungsäquivlenz uf Wörter us Σ und Sprhen (nsttt Automten) erweitert werden. Sie heißt dnn die Myhill-Nerode-Äquivlenz. Beispiele für Myhill-Nerode-Äquivlenz (Folien 156, 160) Für L = { k k k N} gilt: Sei x = 4 3 und y = 3 2. Dnn gilt x L y, denn xz L gdw. z = gdw. yz L. Sei x = 2 2 und y = 3 2. Dnn gilt x L y, denn für z = ɛ gilt xz = x = 2 2 L er yz = y = 3 2 / L. Set x = 4 2 und y = 3 2. Dnn gilt x L y, denn für z = gilt xz = 4 2 = 4 3 / L er yz = 3 2 = 3 3 L. Myhill-Nerode Äquivlenzklssen ngeen: L 1 = {w {, } # (w) gerde} Es git folgende Myhill-Nerode-Äquivlenzklssen: [ɛ] = {w {, } # (w) gerde} = L 1 (Äquivlenzklsse von ɛ) [] = {w {, } # (w) ungerde} = {, } \ L 1 (Äquivlenzklsse von ) Beispiel: ɛ und sind äquivlent, denn wird n eide ein Wort mit gerde vielen s ngehängt, so leien sie in der Sprhe wird n eide ein Wort mit ungerde vielen s ngehängt, so fllen sie us der Sprhe herus Es ist leiht einzusehen, dss jedes Wort entweder Myhill-Nerode-äquivlent zu ɛ oder zu ist. Die Myhill-Nerode-Äquivlenzklssen entsprehen Zuständen eines Automten, der die Sprhe kzeptiert: z 1 z 2 5

6 Hier entspriht z 1 der Äquivlenzklsse [ɛ] und z 2 der Äquivlenzklsse []. L 2 = {w {,, } ds Teilwort kommt in w niht vor} Es git folgende Äquivlenzklssen: [ɛ] = {w {,, } w endet niht uf oder und enthält niht} [] = {w {,, } w endet uf und enthält niht} [] = {w {,, } w endet uf und enthält niht} [] = {w {,, } w enthält } Die Wörter und sind niht äquivlent, denn wird n eide ein ngehängt, so ist noh in der Sprhe, ist es er niht. Die Myhill Nerode-Äquivlenzklssen entsprehen Zuständen eines Automten, der die Sprhe kzeptiert: z 0 z 1 z 2 z E,,, Hier entspriht: z 0 der Klsse [ɛ] z 1 der Klsse [] z 2 der Klsse [] und z 3 der Klsse []. Zu Folie 162 L 1 = { k k k 0} Wir etrhten die Wörter ɛ,,,,..., i,... (für i 0). Es gilt weil i i L 1 er j i / L 1. i L j für i j. Ds heißt, dss L 1 unendlih viele Myhill Nerode-Äquivlenzklssen ht und deswegen niht regulär ist. 6