Skript für die Oberstufe und das Abitur 2015 Baden-Württemberg berufl. Gymnasium (AG, BTG, EG, SG, WG)

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1 Sript für die Oerstufe und ds Aitur Bden-Württemerg erufl. Gymnsium (AG, BTG, EG, SG, WG) Mtrizenrechnung, wirtschftliche Anwendungen (Leontief, Mterilverflechtung) und Linere Optimierung Dipl.-Mth. Alexnder Schwrz E-Mil: Homepge: Wichtiger Hinweis: Ich itte den Eigentümer dieses Sriptes, weder ds gesmte Sript noch Teiluszüge drus zu opieren, einzuscnnen oder uf ndere Art und Weise zu vervielfältigen, um es n ndere weiterzugeen. Der Preis dieser Unterlgen steht in einem Verhältnis zu dem Zeitufwnd, den ich dfür investiert he und für den Inhlt, den mn eommt. Ich itte um Firness und dne dfür Alexnder Schwrz

2 Einige Hinweise Zunächst einml edne ich mich für ds Vertruen, ds ihr mir mit dem Kuf dieses Sriptes für die Aiturprüfung in Mthemti entgegengercht ht! Der drin enthltene Stoff ist uf die Aiturprüfung von Bden-Württemerg der eruflichen Gymnsien (AG, BTG, EG, SG, WG) gestimmt. Dieses Lehruch dient sowohl zur Vorereitung uf die Aiturprüfung ls uch uf die Klusuren in der Oerstufe. Ich he mir dher zum Ziel gesetzt, lles so verständlich wie möglich drzustellen und uf fchchinesisch zu verzichten (gemäß Alert Einstein: Alles sollte so einfch wie möglich gemcht werden, er nicht einfcher ). In jedem Kpitel werden die wesentlichen Inhlte zu jedem Them usführlich wiederholt. Die vielen Beispielrechnungen dienen dzu, die Beschreiungen noch onreter zu erläutern. Wichtige Textpssgen werden durch grue Unterlegungen geennzeichnet. Dieses Zeichen tucht uf, wenn gerne Fehler gemcht werden! Es werden in dem Lehruch uch typische Irrtümer drgestellt. Wer die Fettnäpfchen ennt, nn ihnen esser usweichen. Solltet ihr euch fit genug fühlen, önnt ihr euch mit den nschließenden Aufgen eschäftigen. Eure Ergenisse önnt ihr dnch mit den usführlichen Musterlösungen vergleichen. Ntürlich sind meine Musterlösungen nicht immer der einzige Weg zum Ziel. Solltet ihr lso einen nderen Lösungsweg mit demselen Ergenis hen, nn dies genuso richtig sein. Noch ein Hinweis zum GTR: Die GTR-Befehlsngen im Sript orientieren sich m GTR von Texs Instruments (TI -8 Plus) sowie m Csio fx98 GII. Die Bedienung nderer GTR wie zum Beispiel Shrp funtionieren er ähnlich. Dieses Zeichen im Sript deutet druf hin, dss drgestellt wird, wie die Lösung einer Aufgenstellung mit Hilfe des GTR durchgeführt wird. Viele Rücmeldungen von Aiturienten sgen us, dss ihnen mit diesem Sript ein esonders gut geeignetes Areitsmittel zur Prüfungsvorereitung n die Hnd gegeen wurde. Aer trotz ller Mühen, Tipp und Flüchtigeitsfehler zu vermeiden, önnen uch mir Fehler unterlufen sein. Solltet ihr welche entdecen, wäre ich für eine Mitteilung dnr. Auch Anregungen und onstrutive Kriti werden von mir gerne entgegengenommen und ei der Atulisierung erücsichtigt. Eine tuelle Korreturliste zu diesem Sript findet ihr uf meiner Homepge unter Atuelles. Viel Erfolg ei der Bereitung dieses Sriptes und lles Gute für eure Aiturprüfung! Alexnder Schwrz

3 Inhltsverzeichnis. Einführung in die Mtrizenrechnung und Lösung von lineren Gleichungssystemen. Rechnen mit Mtrizen. Spezielle Mtrizen. Lösung von Mtrizengleichungen. Lösen von lineren Gleichungssystemen. Berechnung der inversen Mtrix einer gegeenen Mtrix A. Zusmmenhng linere Gleichungssysteme und Mtrizenrechnung.7 Üungsufgen zu Kpitel. Mterilverflechtung / Mehrstufige Produtionsprozesse. Einführung. Verruchs -, Produtionsvetoren. Kostenvetoren. Üungsufgen zu Kpitel. Ds Leontief Modell. Modelleschreiung. Üungsufgen zu Kpitel. Linere Optimierung. Grfische linere Optimierung. Ds reguläre Simplex-Verfhren. Sonderfälle eim Simplexverfhren. Üungsufgen zu Kpitel. Musterlösungen. Musterlösungen zu Kpitel. Musterlösungen zu Kpitel. Musterlösungen zu Kpitel. Musterlösungen zu Kpitel

4 . Einführung in die Mtrizenrechnung und Lösung von lineren Gleichungssystemen. Einführung in die Mtrizenrechnung und Lösung von lineren Gleichungssystemen. Rechnen mit Mtrizen In diesem Kpitel geht es zunächst gnz strt drum, ws eine Mtrix ist und wie mn mit Mtrizen rechnen nn. Konrete Anwendungen zur Mtrizenrechnung erfolgen dnn in den Kpiteln und. Eine Mtrix A ist eine Zhlentelle, mit der mn rechnen nn. Eine Mtrix mit m Zeilen und n Splten wird ls m X n Mtrix oder ls Typ () ezeichnet. Die folgende llgemeine Mtrix ht m Zeilen und n Splten. A, m,,n Besitzt eine Mtrix nur eine Splte (n ), spricht mn uch von einem Spltenvetor Besitzt eine Mtrix nur eine Zeile (m ), spricht mn uch von einem Zeilenvetor. Ist die Zeilennzhl identisch mit der Spltennzhl (m n), so spricht mn von qudrtischen Mtrizen. Beispiel. Die Mtrix A ist vom Typ (,), die Mtrix B ( 9) ein Zeilenvetor und nn uch ls ( 9) geschrieen werden. vom Typ (,), lso Die Mtrix C ist eine qudrtische Mtrix vom Typ (,). 9 Die Mtrix D ist vom Typ (,) und ist ein Spltenvetor (uch möglich). 7 7 Addition und Differenz zweier Mtrizen: Dmit wir zwei Mtrizen A und B ddieren oder sutrhieren önnen, ist es erforderlich, dss sie vom selen Typ sind, ds heißt, die Zeilen- und die Spltennzhl der Mtrix A und der Mtrix B müssen jeweils gleich sein. Die Mtrizen A und B us Beispiel. önnten z.b. nicht ddiert werden, d sie nicht denselen Typ hen. Wenn zwei Mtrizen A und B jeweils vom Typ () sind, dnn önnen sie ddiert oder sutrhiert werden: Die Ergenismtrix C A+ B zw. C AB ist dnn eenflls vom Typ ().

5 . Einführung in die Mtrizenrechnung und Lösung von lineren Gleichungssystemen m, m,,n,n,, m,,n, m,,n, B A Bei der Addition zw. Sutrtion der Mtrizen werden die n gleicher Stelle stehenden Mtrizeneinträge von A und B jeweils ddiert zw. sutrhiert. Beispiel.: ) ) + 7 c) d) ( ) ( ) ( ) e) + 8 nn nicht erechnet werden, d Mtrizen nicht vom gleichen Typ sind Multiplition einer Mtrix mit einer reellen Zhl: Eine Mtrix A önnen wir mit einer elieigen reellen Zhl multiplizieren. Hierei wird die reelle Zhl mit jeder einzelnen Zhl innerhl der Mtrix multipliziert. Ist A vom Typ () ist ds Ergenis A uch vom Typ (). m,,n, m,,n, A für jede reelle Zhl Beispiel.: ) 8, ) ( ) ( ) c) Multiplition zweier Mtrizen: Ds Multiplizieren zweier Mtrizen ist etws gewöhnungsedürftig. Deshl lernen wir die Multiplition zweier Mtrizen n folgendem Beispiel mit einfcheren Mtrizen ennen: Gegeen sind die Mtrizen A und B.

6 . Einführung in die Mtrizenrechnung und Lösung von lineren Gleichungssystemen Die Berechnung von A B geschieht nun so: A B c c c c Berechnung von c : Die erste Splte von B wird mit der ersten Zeile von A verrechnet c ( ) + Die Splte wird uf die Zeile gelegt und die jeweiligen Einträge multipliziert und nschließend ufddiert. Berechnung von c : Die zweite Splte von B wird mit er ersten Zeile von A verrechnet c + 8 Berechnung von c : Die erste Splte von B wird mit der zweiten Zeile von A verrechnet c ( ) ( ) + ( ) Berechnung von c : Die zweite Splte von B wird mit der zweiten Zeile von A verrechnet ( ) + ( ) 9 c Die Ergenismtrix C lutet lso 8 C. 9 Bei der Multiplition zweier Mtrizen müssen wir immer eine Splte der zweiten Mtrix uf eine Zeile der ersten Mtrix legen und die üereinnder liegenden Werte multiplizieren. Beim Multiplizieren zweier Zhlen hen wir ereits in der Grundschule gelernt, dss die Reihenfolge der Zhlen eine Rolle spielt, ds heißt 7 ist dssele wie 7. Dieses Vertuschungsgesetz heißt in der Mthemti Kommuttivgesetz. Die Besonderheit eim Multiplizieren zweier Mtrizen esteht nun drin, dss dieses Kommuttivgesetz nicht gilt. Bei Mtrizen gilt llgemein A B B A Berechnen wir im oigen Beispiel nsttt A B ds Ergenis von B A ergit sich eine ndere Mtrix. Es gilt A 8 B 9 und 9 B A. Ntürlich nn es für zwei gnz spezielle Mtrizen A und B uch ml pssieren, dss A B B A ist. Aer ds sind dnn Sonderfälle! Dieses fehlende Kommuttivgesetz ht insesondere Konsequenzen ei der Lösung von Mtrizengleichungen, die wir später noch ehndeln werden.

7 . Einführung in die Mtrizenrechnung und Lösung von lineren Gleichungssystemen D ei der Mtrizenmultiplition A B immer die Splte von B uf die Zeile von A gelegt wird, ist es eine zwingende Vorussetzung, dss die Anzhl der Zeilen von Mtrix B genuso groß ist wie die Anzhl der Splten von A. Ist dies nicht der Fll, önnen wir die Mtrizen gr nicht miteinnder multiplizieren. Bei zwei Mtrizen A und B ist die Multiplition A B C nur dnn möglich, wenn die Spltennzhl der Mtrix A mit der Zeilennzhl der Mtrix B üereinstimmt. Ds heißt A muss vom Typ () und B vom Typ (n,q) sein. Die Ergenismtrix C esitzt dnn den Typ (m,q). AB, m,,n, n,,q c n,q c, m, c c,q m,q C Beispiel.: ) Typ (,) Typ (,) Typ (,) ) Typ (,) Typ (,) Typ (,) c) Typ (,) Typ (,) nn nicht multipliziert werden Die Multiplition zweier Mtrizen soll im Folgenden nochmls drgestellt werden: Beispiel.: A ; 9 B Eine Multiplition A B ist möglich, d die Anzhl der Zeilen von B () der Anzhl der Splten von A () entsprechen. A ist vom Typ (,) und B vom Typ (,). Die Ergenismtrix C ist vom Typ (,) Die Multiplition A B ergit folgende Rechnung ( Zeile von A ml Splte von B ): A B 9 + ( ) + ( ) + + ( ) 9 + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + + ( ) 9( ) + ( ) + ( ) A B C Ds Produt B A ist nicht definiert, d B vom Typ (,) und A vom Typ(,) ist. Die fett drgestellten Zhlen müssten gleich sein, dmit ds Produt erechnet werden nn. ()

8 . Mterilverflechtung / Mehrstufige Produtionsprozesse. Mterilverflechtung / Mehrstufige Produtionsprozesse. Einführung Ds Them Mterilverflechtung / mehrstufige Produtionsprozesse ist eine wirtschftliche Anwendung der Mtrizenrechnung. D in den Aiturprüfungen isher immer zweistufige Produtionsprozesse etrchtet wurden, werden wir uns im Folgenden uf diesen Fll eschränen. Bei einem zweistufigen Produtionsprozess werden us verschiedenen Rohstoffen in einer.stufe zunächst verschiedene Zwischenprodute hergestellt. In einer.stufe werden us den Zwischenproduten die Endprodute produziert. Beispiel.: ) Herstellung von Speiseeis: Rohstoffe sind Milch, Zucer und Früchte; Zwischenprodute sind Erdeereis und Himeereis; Endprodute sind die Eistüte und Eistüte, die sich z.b. durch unterschiedliche Zusmmensetzung der eiden Eissorten unterscheiden. ) Herstellung von Noteoos: Aus verschiedenen Buteilen (Rohstoffe) werden Festpltten, DVD-Lufwere, (Zwischenprodute) hergestellt. Diese Zwischenprodute werden dnn zu unterschiedlichen Noteoos (Endprodute) zusmmengeut. Die Endprodute werden llgemein mit E,E, ezeichnet. Die Zwischenprodute werden llgemein mit Z.Z, ezeichnet. Die Rohstoffe werden llgemein mit R,R, ezeichnet. Der zweistufige Produtionsprozess entspricht folgendem Schem: Rohstoffe R i Zwischenprodute Z j Endprodute E Produtionsstufe Produtionsstufe Der zweistufige Produtionsprozess nn mit Hilfe eines so gennnten Verflechtungsdigrmmes zw. Gozintogrphen drgestellt werden. R R Z Z E E E In diesem Digrmm werden us zwei unterschiedlichen Rohstoffen R und R in Stufe zwei unterschiedliche Zwischenprodute Z und Z hergestellt. In Stufe der Prodution werden us den eiden Zwischenproduten drei Endprodute E, E und E hergestellt.

9 . Mterilverflechtung / Mehrstufige Produtionsprozesse Die Zhlen uf den Pfeilen geen n, wie viele Mengeneinheiten (ME) des jeweiligen Rohstoffes zw. Zwischenprodutes erforderlich sind, um ds m Pfeilende stehende Produt herzustellen. Um ME von Z herzustellen, enötigt mn ME von R und ME von R. Um ME von Z herzustellen, enötigt mn ME von R und ME von R. Um ME von E herzustellen, enötigt mn ME von Z und ME von Z. Um ME von E herzustellen, enötigt mn ME von Z und ME von Z. Um ME von E herzustellen, enötigt mn ME von Z und ME von Z. Dieser Prozess nn nun mit Hilfe von Stüclisten drgestellt werden: Z Z R R E E E Z Z Dmit mit diesen Stüclisten uch gerechnet werden nn, werden diese nun ls Mtrizen (sie werden uch ls Verflechtungsmtrizen ezeichnet) drgetellt. A ist die Rohstoff-Zwischenprodut-Mtrix (RZ-Mtrix) B ist die Zwischenprodut-Endprodut-Mtrix (ZE-Mtrix) Aus den Mtrizen A und B nn nun die Rohstoff-Endprodut-Mtrix (RE-Mtrix) C erechnet werden: In einem zweistufigen Produtionsprozess sei A die Rohstoff-Zwischenprodut-Mtrix, B die Zwischenprodut-Mtrix und C die Rohstoff-Endprodut-Mtrix. Es gilt: A B Flls die Mtrizen A zw. B invertierr sind, folgt drus: B A C zw. A B C Vorussetzung für die Invertierreit von A und B ist, dss A und B qudrtisch sind. C Aus den oigen Mtrizen folgt: C Die Mtrix C entspricht nun folgender Stücliste: E E E R R Um ME von E herzustellen, enötigt mn ME von R und ME von R. Um ME von E herzustellen, enötigt mn ME von R und ME von R. Um ME von E herzustellen, enötigt mn ME von R und ME von R.

10 . Mterilverflechtung / Mehrstufige Produtionsprozesse. Üungsufgen zu Kpitel Aufge -: Eine Firm stellt us drei unterschiedlichen Rohstoffen R, R und R vier Zwischenprodute Z, Z, Z und Z her. Aus den Zwischenproduten entstehen in einer zweiten Produtionsstufe die Endprodute E und E. Der folgende Gozintogrph git die Mterilverflechtung in Mengeneinheiten (ME) n. R R R 8 Z Z Z Z E E Die Mterilosten, die Kosten für die Fertigung von je einer ME der Zwischenprodute und der Endprodute sind durch folgende Vetoren gegeen: R (,,,) T Z (,,) T E ( 8) T ) Bestimme die Rohstoff-Zwischenprodut-Mtrix und die Zwischenprodut-Endprodut-Mtrix. ) Ein Kunde estellt ME von E und ME von E. Im Rohstofflger efinden sich 8. ME von R, 7. ME von R und. ME von R. Untersuche, o der Kundenuftrg mit diesen Lgereständen erfüllt werden nn. c) Wegen des evorstehenden Umzugs der Firm soll der Rohstofflgerestnd us ME von R, ME von R und 8 ME von R vollständig zur Herstellung von Zwischenproduten eingesetzt werden. Bestimme den Produtionsvetor für die Zwischenprodute unter der Vorussetzung, dss von Z und Z die gleiche Anzhl n ME hergestellt wird. Interpretiere ds Ergenis. d) Die Endprodute sollen zu einem Preis m Mrt ngeoten werden, der mindestens % üer den vrilen Kosten liegt. Bestimme die Preisuntergrenzen für E und E.

11 . Mterilverflechtung / Mehrstufige Produtionsprozesse. Musterlösungen zu Kpitel Aufge -: 8 ) Die Rohstoff-Zwischenprodut-Mtrix lutet A. Die Zwischenprodut-Endprodut-Mtrix lutet B. 8 ) Die Kundenestellung lutet p und im Lger sind r 7. 8 Die Rohstoff-Endprodut-Mtrix lutet C AB Der Lgerestnd reicht us, wenn C p r Cp 7 R reicht lso nicht us! 98 c) Gegeen ist der Rohstoffvetor r und der Zwischenprodutvetor 8 Es gilt A z r 8z + z z + z z + z 8 z z z z z Drus ergit sich z, z und z. Bei dieser Prodution wird lso von Z und Z nichts hergestellt. Es ist lso nicht möglich, den Rohstoffvorrt zu Endproduten zu verreiten, d für die Endprodutherstellung die Zwischenprodute Z und Z enötigt werden. z, lso ( ) T d) Die vrilen Herstellosten je ME der Endprodute ergeen sich us der Formel: T T C + B + V R Z T V Einsetzen ergit: (, 7,) + ( ) + ( 8) ( 9, 9,) Auf diese Herstellosten erfolgt nun ein Mindestzuschlg von %. Drus ergit sich ls Mindestpreis für E 9,, 7, Euro und für E 9,,, 7 Euro. T E T

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