Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN

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1 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Wir wollen eine Gerde drstellen, welche durch die Punkte A(/) und B(5/) verläuft. Die Idee ist folgende: Es lässt sich j jeder Punkt der Gerde drstellen, indem ich einen Richtungsvektor der Gerde elieig oft n einen gegeenen Punkt der Gerde hänge. elie- Wenn wir lso z.b. n den Punkt A der Gerde den Richtungsvektor AB ig oft drn hängen, läßt sich jeder Punkt der Gerde erreichen. Forml sieht diese Drstellung folgendermßen us: Definition: Prmeterdrstellung einer Gerde: X A t AB Legende: X...Ortsvektor zu einem elieigen Punkt A...Ortsvektor zu irgendeinem gegeenen Punkt der Gerde AB...Richtungsvektor der Gerde t...prmeter Nun wollen wir die Gerde g für unser Beispiel ufstellen: : Wir erechnen den Richtungsvektor AB AB B A 5 3 Als Punkt wählen wir A d dieser j uf der Gerden liegen soll. Die Gerdengleichung lutet lso:

2 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester g: X t 3 Punkt A Richtungsvektor AB Bechten Sie itte, dss wir sttt des Punktes A genuso den Punkt B einsetzen könnten, d uch dieser uf der Gerden liegt. Die Gerdengleichung würde dnn folgendermßen ussehen: g: X t 5 3 Owohl die eiden Gleichungen forml nders ussehen, stellen Sie er eide diesele Gerde dr. Es ist lso vollkommen egl, welchen Punkt der Gerde Sie einsetzen. Beispiel: Stellen Sie eine Gerde in Prmeterdrstellung uf, die durch die Punkte C( 3/ ) und D( / 3) geht: Wir erechnen den Richtungsvektor der Gerden: CD Als Punkt nehme ich C. Die Gleichung lutet: 3 4 X t 5 Üung: Üungsltt 3; Aufge 5 Ws edeutet es nun, wenn wir in eine eknnte Gerde für den Prmeter einen Zhlenwert einsetzen? Gehen wir dzu ein Beispiel durch: Beispiel: Setze in die Gerde g: X t 3 Welchen Punkt der Gerde erhält mn? Wir setzen für t den Wert ein: für den Prmeter t ein.

3 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester X X R( 3/ 8) Wir erhlten lso den Punkt R ls Lösung, welcher uf der Gerden liegt. Ws hen wir er hier nun wirklich durchgeführt, ls wir für den Prmeter t eingesetzt hen? Geometrisch etrchtet hen wir Folgendes durchgeführt: Wir hen j den gewählten Fipunkt der Gerdengleichung ( / ) genu ml den Richtungsvektor der Gerde R. 3 gehängt. Ds Ende dieses Pfeils zeigt uf den Punkt g: X t 3 Fipunkt der Gerdengleichung Richtungsvektor der Gerdengleichung Eine Folgerung dieser Rechnung ist, dss es zu jedem Punkt der Gerde genu einen eindeutigen Prmeterwert geen muss. Merke: Für jeden Punkt einer Gerde git es genu einen eindeutigen Prmeterwert. Dmit dies klr ist, noch ein zweites ähnliches Beispiel: Beispiel: Ermittle die Koordinten eines zweiten Punktes der Gerde g: X 0 t. Den ersten Punkt der Gerde können wir direkt us der Gleichung lesen, d der erste Vektor der Gerdengleichung j immer der Ortsvektor eines Punktes der Gerden ist. P ( / ). Um einen zweiten Punkt der Gerde zu erhlten, müssen wir nur irgendeinen Zhlenwert für den Prmeter einsetzen. Ich wähle für t : 0 X P 3 3 ( / ) Üungen: Üungsltt 3; Aufge 6-7 3

4 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester Nun wollen wir uns noch eine weitere Prolemstellung nschuen: Beispiel: Berechne die fehlende Koordinte des Punktes P( 3 / ) so, dss dieser uf der Gerde g: X t liegt. Wir setzen zunächst den Punkt P für den elieigen Punkt X der Gerdengleichung ein: 3 t Ortsvektor des Punktes P D der Punkt P uf der Gerde liegt, muss es für ihn einen eindeutigen Prmeterwert für t geen. Um diesen zu ermitteln splten wir die vektorielle Gerdengleichung in ihre eiden Zeilen uf, wodurch wir zwei Gleichungen erhlten. Bechten Sie dei, dss die erste Zeile den - Koordinten, die zweite den -Koordinten entspricht: 3 t -Koordinten -Koordinten.Gleichung: 3 t.gleichung: - t Aus der ersten Gleichung können wir er t erechnen: 3 t / t Nun wissen wir den Prmeterwert für den Punkt P und setzen ihn in die zweite Gleichung ein, um den -Wert des Punktes zu erhlten: Folglich ht P lso die Koordinten: P( 3/ ) Üungen: Üungsltt 3; Aufge 8 Auf diesele Art und Weise können wir uch üerprüfen, o ein Punkt uf einer Gerde liegt oder nicht. 4

5 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester Beispiel: Üerprüfe, o der Punkt B( 5/ 9 ) uf der Gerde g: X t 3 3 liegt. Wir setzen den Punkt B wieder in die Gerdegleichung ein: 5 t Nun müssen wir Folgendes üerlegen. Liegt der Punkt B uf der Gerden g, so muss es einen eindeutigen Prmeterwert für ihn geen, wenn er nicht uf der Gerde liegt, müssen wir unterschiedliche Werte ekommen (Ws unmöglich sein knn). Wir splten die Gleichung wieder in die eiden Zeilen uf: I: 5 t t Nun erechnen wir us jeder Gleichung seprt den Prmeterwert t. Kommt eide ml dersele Wert herus, so liegt B uf der Gerde, kommen unterschiedliche Werte herus, dnn liegt B een nicht uf der Gerde: I: 5 t / 9 3 3t / 3 I: 4 t /: 6 3t /:( 3 ) I: t t D wir eide mle denselen Wert für t erhlten folgt, dss B uf der Gerde liegt. Üung: Üungsltt 3; Aufge 9 Noch ein Beispiel dzu, welches er nders formuliert ist: Beispiel: Üerprüfe rechnerisch, o die Punkte P( 3/ ), Q( / ), R( / 7) uf einer Gerde liegen. Die Idee, dies zu üerprüfen ist reltiv einfch. Wir stellen zunächst eine Gerde uf, welche durch Punkte geht (z.b. durch P und Q). Dnch üerprüfen wir, o uch der dritte Punkt uf dieser Gerden liegt. Wenn j, liegen ntürlich lle drei Punkte uf einer Gerden, nsonsten nicht. Wir stellen zunächst eine Gerde durch P und Q uf: Wir ermitteln den Richtungsvektor dieser Gerden: PQ 3 Als Punkt verwende ich P. Die Gerde g lutet lso: g: X t 3 Nun üerprüfen wir, o uch der Punkt R uf dieser Gerde liegt. Dzu setzen wir R in die Gerdengleichung ein: 5

6 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester 3 t 7 Wir zerlegen die Gleichung wieder in die eiden einzelnen Zeilen: I: 3 t 7 t Wir erechnen für jede Gleichung getrennt den Prmeter t: I: 3 t / 3 7 t / I: 4 t / ( ) 8 t /:( ) I: t 4 t 4 D eide ml dersele Wert für t erhlten wird, liegt lso R uf dieser Gerde. Folglich liegen lle drei Punkte uf einer Gerde. Üungen: Üungsltt 3; Aufge 0 Und noch ein Beispiel sei ngeführt: Beispiel: Gi eine Prmeterdrstellung () der zu g prllelen Gerde () der zu g orthogonlen Gerde durch den Punkt P n. Die Gerde g lutet: g: X t P( 3/ ) Zunächst Punkt (): Dmit wir die gesuchte Gerde ngeen können, enötigen wir einen Punkt der Gerde und den Richtungsvektor der Gerde: Der Punkt ist klr: Die Gerde soll durch P gehen. D die Gerde prllel zu g liegen soll, müssen er die Richtungsvektoren der eiden Gerde Vielfche sein (Prllelitätskriterium). Also verwenden wir einfch denselen Richtungsvektor. Die Gerde lutet lso: X s 3 Anmerkung: Bechten Sie, dss ich hier für den Prmeter einen nderen Buchsten verwende. Mn sollte für verschiedene Gerden stets unterschiedliche Buchsten für den Prmeter verwenden. Merke: Verwende stets in einem Beispiel unterschiedliche Buchsten für die Prmeter. Nun Punkt (): Dmit wir die gesuchte Gerde ngeen können, enötigen wir einen Punkt der Gerde und den Richtungsvektor der Gerde: Der Punkt ist klr: Die Gerde soll durch P gehen. Nun müssen wir noch den Richtungsvektor der Gerde ermitteln. Die Gerde soll norml uf g stehen, folglich muss der Normlvektor uf 6

7 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester den Richtungsvektor der Gerde g der Richtungsvektor unserer Gerde sein. Der Richtungsvektor von g lutet: g Wir ilden den Normlvektor: g der gesuchten Gerde sein. Die Gerde lutet lso: X r 3. Dies muss der Richtungsvektor Üungen: Üungsltt 3; Aufge LAGEBEZIEHUNG ZWEIER GERADEN IN DER EBENE Üerlegen wir uns zunächst einml prinzipiell wie zwei Gerden (Nennen wir sie g und h) in der Eene liegen können: Schneidend Prllel Identisch g h g / / h g h S g h g g h h Die eiden Gerde schneiden sich in einem gemeinsmen Punkt Schnittpunkt S Die eiden Gerden schneiden sich nicht, die Schnittmenge ist lso eine leere Menge Jeder Punkt der einen Gerde ist zugleich Punkt der nderen Gerde. Die Schnittmenge ist lso eine der eiden Gerden. Wenn wir später die eiden Gerden schneiden, werden wir n der Art der Lösung die Lge estimmen können: Schneidend Prllel Identisch 7

8 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester Wir erhlten einen eindeutigen Wert für den Prmeter. z.b.: t3 Wir erhlten eine flsche Aussge. z.b.: 0 4 Wir erhlten eine whre Aussge. z.b. 3 3 So weit theoretisch. Führen wir nun ds Gnze prktisch durch: Beispiel: Bestimme die Lge der eiden Gerden g: X t 4 und h: X 0 s 3. Wir wollen die eiden Gerden schneiden, d.h. wir suchen einen Punkt S, der uf der ersten und uf der zweiten Gerde liegt. Folglich muss dieser die Gleichung von g und von h erfüllen. Wir setzen lso g und h gleich: g h t s 0 : 4 3 Nun splten wir diese Gleichung wieder in die eiden Zeilen uf und erhlten ddurch zwei Gleichungen: I: t 0 s 4t 3 s Dmit hen wir nun ein Gleichungssstem us zwei Gleichungen mit zwei Uneknnten (s,t). Wir lösen dieses Gleichungssstem mittels des Elimintionsverfhrens: I: t 0 s / 4t 3 s I: 4 4t 0 s Wir ddieren die eiden Gleichungen 4t 3 s 5 3 flsche Aussge. D wir eim Schnitt der eiden Gerden eine flsche Aussge erhlten, edeutet dies, dss die eiden Gerden keinen gemeinsmen Punkt hen, ws er nur der Fll sein knn, wenn die eiden Gerden prllel sind. Beispiel: Bestimme die Lge der eiden Gerden g: X t 4 und h: X 4 s 3. Um die Lge zu estimmen schneiden wir wieder die eiden Gerden: 8

9 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester g h t s 4 : 4 3 Nun splten wir diese Gleichung wieder in die eiden Zeilen uf und erhlten ddurch zwei Gleichungen: I: t 4 s 4t 3 s Dmit hen wir nun ein Gleichungssstem us zwei Gleichungen mit zwei Uneknnten (s,t). Wir lösen dieses Gleichungssstem mittels des Elimintionsverfhrens: I: t 4 s / 4t 3 s I: 4 4t 8 s Wir ddieren die eiden Gleichungen 4t 3 s 5 5 whre Aussge. D wir eim Schnitt der eiden Gerden eine whre Aussge erhlten, edeutet dies, dss jeder Punkt der einen Gerde zugleich uch ein Punkt der nderen Gerde ist, ws er nur der Fll sein knn, wenn die eiden Gerden ident sind. Beispiel: Bestimme die Lge der eiden Gerden g: X t 4 h: X 4 s 3 und erechne gegeenenflls den Schnittpunkt. Um die Lge zu estimmen schneiden wir wieder die eiden Gerden: g h : t s und Nun splten wir diese Gleichung wieder in die eiden Zeilen uf und erhlten ddurch zwei Gleichungen: I: t 4 s 4t 3 s Dmit hen wir nun ein Gleichungssstem us zwei Gleichungen mit zwei Uneknnten (s,t). Wir lösen dieses Gleichungssstem mittels des Elimintionsverfhrens: I: t 4 s / 4t 3 s I: 4 4t 8 s 4t 3 s 5 5 4s Wir erechnen s: 0 4 s s 0 Wir ddieren die eiden Gleichungen 9

10 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester D wir eim Schnitt der eiden Gerden einen konkreten Wert für den Prmeter s erhlten, edeutet dies, dss sich die eiden Gerden schneiden. Um nun die Koordinten des Schnittpunktes zu erhlten setzen wir den erhltenen Prmeterwert s 0 in die Gerdengleichung ein, in welcher der Prmeter s vorkommt (Hier die Gerde h): h: X 4 s 3 4 X S( 4 / 3) Üungen: Üungsltt 3; Aufgen WINKEL ZWISCHEN ZWEI GERADEN Für den Fll, dss sich zwei Gerden schneiden, möchte mn häufig uch den Schnittwinkel wissen. D die Richtung einer Gerden durch ihren Richtungsvektor festgelegt ist, enötigt mn für die Berechnung des Schnittwinkels den Winkel zwischen zwei Vektoren. Leiten wir uns dzu zunächst eine llgemeine Formel her: Zunächst einml ist die Richtung eider Gerden durch ihre Richtungsvektoren gegeen. Ich ezeichne diese ls und. Diese spnnen gemeinsm den Winkel α uf: 0

11 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester Nun wollen wir ds Gnze zu einem Dreieck vervollständigen, ds heißt wir zeichnen uns noch einen Vektor ein, der vom Ende des Vektors zum Ende des Vektors zeigt: Nun müssen wir uns üerlegen, wie wir diesen Vektor durch und usdrücken können: Wenn wir n den Vektor den Vektor - (Also entgegen seiner ursprünglichen Orientierung) hängen, erhlten wir Folgendes: Als Resultt erhlten wir den Vektor, welcher vom Anfngspunkt des Vektors zum Endpunkt des Vektors - gehen muss. Ich zeichne nun diesen Ergenisvektor ein: Wenn sie er nun diesen Pfeil etrchten, so ht dieser genu die Richtung und die Länge unserer gesuchten Verindung vom Endpunkt

12 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester des Vektors zum Endpunkt des Vektors. Folglich ist dieser Vektor lso genu der Vektor. Dmit können wir unser Dreieck durch Vek- toren drstellen: Aus diesem Dreieck wollen wir uns nun mit Hilfe unserer drei Seiten den Winkel α erechnen. D wir drei Seiten kennen, müssen wir lso uf ds Dreieck den Cosinusstz nwenden (Schlgen sie itte dzu in ihren Unterlgen us dem 4. Semester nch). Dieser lutet llgemein: c c cosα woei mit, und c die Länge der Dreiecksseiten gemeint ist. Um in den Cosinusstz einsetzen zu können, enötigen wir lso zunächst einml die Länge unserer drei Vektoren. Wir definieren die Vektoren und folgendermßen: und Folglich ergit sich für den Vektor Nun rechnen wir die Länge dieser drei Vektoren us, ds heißt wir erechnen den Betrg des Vektors: ( ) ( ) So, nun hen wir die Länge der Seiten usgedrückt. Jetzt können wir den Cosinusstz nwenden. Ich schreie diesen noch einml n: c c cosα

13 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester 3 Bei uns entspricht dem der Formel, dem der Formel entspricht und dem c der Formel entspricht. Nun setzen wir entsprechend in den Cosinusstz ein und erhlten: cosα Nun setzen wir für die Beträge entsprechend unserer oigen Berechnung ein. Nur für den letzten Ausdruck unterlsse ich dies, us dem Wissen herus, dss wir dort nichts vereinfchen können: ( ) ( ) α cos Die Qudrte üer den Klmmern und die einzelnen Wurzeln heen sich gegenseitig uf: ( ) ( ) α cos Nun qudrieren wir die Klmmern us: cosα D einige Elemente links und rechts der Gleichung vorkommen, fllen diese weg: ( ) / cosα : / cosα cosα Wenn wir nun die linke Gleichungsseite etrchten, so müssen wir erkennen, dss dies j nur ds Ergenis der sklren Multipliktion der Vektoren und ist, denn: Dies setzen wir nun in der linken Gleichungsseite ein: : / cosα

14 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester cos α Dmit hen wir uns nun endgültig eine Formel hergeleitet, mit der mn den Winkel zwischen zwei Vektoren erechnen knn. Anmerkung: D ich uf meinem Computer ds Winkelzeichen nicht he, schreie ich für den Ausdruck: Winkel zwischen und W,. Stz: Der Winkel zwischen zwei Vektoren und, erechnet sich nch der Formel: cos W (, ) Uff, dies wr j nun ein schweres Stück Areit. Dmit wir uns er richtig verstehen. Sie müssen die oige Formel können. Die Herleitung dzu, sollten sie zwr verstehen, müssen sie er nicht selst nchvollziehen können. Wie sie nun er sehen werden, ist die Anwendung dieser Formel nun gnz leicht. 3 Beispiel: Ermittle den Schnittwinkel der Gerden g : X t und h : X s. 0 Wir erechnen den Winkel zwischen den eiden Richtungsvektoren 3 g und h. Wir setzen in die Formel g h cos α ein und erhlten: g h Rechnung Anmerkungen 4

15 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester α cos Im Zähler multiplizieren wir die eiden Vektoren sklr: d c d c. Im Nenner ilden wir jeweils den Betrg: α cos 3 5 α cos Es gilt: 6 5 α cos Wir erhlten lso: 3 6 5, rccos α Üungen: Üungsltt 3: Aufgen 3-4