Einheit 5: Vektoren, Geraden, Ebenen

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1 iturkurs Einheit 5: Vektoren, Gerden, Eenen Michel Göthel 12. pril Vektoren Vektoren sind Pfeilklssen mit gleicher Länge und gleicher Richtung. Jeder Vektor wird durch einen Repräsentnten eindeutig festgelegt, dieser knn elieig gewählt werden! Vektoren knn mn elieig erschieen. 1.1 ufstellen eines Vektors us wei Punkten Ein Vektor wird us der Sutrktion der Koordinten der eiden Punkte geildet: Forml: Beispiel: = (, Y, Z ) B = ( B, Y B, Z B ) B B = Y B Y Z B Z = (2, 3, 5) B = (1, 3, 2) B = 3 ( 3) = 6 2 ( 5) Vektoropertionen 1. Inerser Vektor: #» gleicher Betrg, entgegengesette Richtung. 2. Betrg: #» = oder #» = im weidimensionlem Fll. 3. ddition/sutrktion: #» ± #» ± = ± ± 4. Multipliktion mit Sklr: r #» r = r r 5. Sklrprodukt: #» #» = = + + Ds Resultt ist eine Zhl (... ein Sklr)! 6. Vektorprodukt: #» #» = = Resultt ist ein Vektor, steht senkrecht uf den #» und #» - - -

2 1.3 nwendungen Einheitsektor: #» e = 1 #» #» Vektor mit Länge 1 Orthogonlität: Wenn #» #» = 0, dnn stehen die Vektoren Senkrecht ueinnder Fläche eines Prllelogrmms: = #» #» (die Vektoren sind Seiten des Prllelogrmms) Fläche eines Dreiecks: = 1 2 #» #» Sptprodukt: V = ( #» #» ) #» c Volumen des Rumes den die Vektoren ufspnnen c Volumen einer Prmide: V = n ( #» #» ) #» c woei n = 1 6 und n = 1 3 wenn die Prmide 4 Seiten ht. wenn die Prmide 3 Seiten c Linerkomintion: Drstellen eines Vektors durch ddition on Vielfchen nderer Vektoren. #» c = r #» + s #» +... Eine Linerkomintion ist nur möglich wenn die Vektoren lle in einer Eene liegen! Kollinerität: Wenn 2 Vektoren liner hängig sind, sind sie kolliner #» = r #» Vektoren sind prllel Komplnrität: Wenn 3 Vektoren liner hängig sind, sind sie komplnr #» c = r #» + s #» Vektoren sind liegen in einer Eene

3 2 Gerden Bei einer Gerden wird jeder elieige Punkt durch eine Linerkomintion des Stütektors (ufpunkt) mit einem Vielfchen des Richtungsektors drgestellt. -r g g: O = O + r #» O O 2.1 Spurpunkte Spurpunkte on Gerden sind die Durchstoßpunkte der Gerden mit den Koordinteneenen. Diese müssen eingesett, der Prmeter errechnet und in die erleienden Gleichungen eingesett werden. S (,, 0) S (, 0, ) S (0,, ) 2.2 Lgeeiehungen Gerden g und h sind gegeen. Sie können prllel, schneidend, identisch oder (im dreidimensionlem Rum) windschief sein. 1. Kollineritätstest: #» g = k #» h Wenn erfolgreich dnn sind die Gerden prllel oder identisch: ) Punktproe: Einseten des ufpunktes on einer Gerden in die ndere. Erfolgreich: Gerden sind identisch. Nicht erfolgreich: Gerden sind prllel 2. Sonst schneiden sich die Gerden entweder oder erlufen windschief: 3 Eenen ) Schnittpunkttest: Gleichseten der Gerdengleichung und lösen des Gleichungssstems, Einseten der Prmeter in die Testgleichung. Es entsteht eine whre ussge: Die Gerden schneiden sich. Schnittpunkt usrechnen durch Einseten des Prmeters in die Gerde Es entsteht eine flsche ussge: Die Gerden sind windschief. Jeder elieige Punkt, repräsentiert durch seinen Ortsektor O, wird durch eine Linerkomintion des ufpunktes O und dem Vielfchen weier nicht kollinerer Richtungsektoren eschrieen. O E u O s r u Prmetergleichung der Eene: O = O + r #» u + s #»

4 Womit ist eine Eene eindeutig estimmt? 1. 3 Punkte 2. 1 Punkt, 2 nicht kollinere Vektoren 3. 2 Punkte und B und einen u B nicht kollineren Vektor 4. Schneidende Gerden 5. Prllele Gerden 6. 1 Punkt, 1 Gerde (woei P nicht uf g!) 3.1 Koordintenform der Eene Jeder elieige Punkt in der Eene liefert, eingesett in die Koordintenform der Eenengleichung, eine whre ussge. Koordintenform der Eene: + B + C = D Bildung: Die Koordinten, B und C entsprechen den Koordinten des Normlennektor, und der Eene! #» n = #» u #» = n, B = n und C = n D muss m Ende noch usgerechnet werden durch Einseten des ufpunktes! 3.2 Lgeeiehung Gerde Eene Die gegenseitige Lge on Gerden und Eenen sollte immer mit der Koordintenform der Eene erechnet werden! Vorgehensweise: 1. Gegeen ist g: O = O + r #» und E: + B + C = D 2. ufstellen der Gleichungen us der Gerden: = O + r = O + r = O + r 3. Einseten der Gleichungen direkt in die Eenengleichung und r erechnen: ( O + r ) + B( O + r ) + C( O + r ) = D 4. 3 Fälle: r R durchstoßend r in g einseten für Durchstoßpunkt r entfällt und es entsteht eine flsche ussge: prllel r entfällt und es entsteht eine whre ussge: g liegt in der Eene

5 4 Speielle Lgen on Gerden und Eenen 4.1 Gerden Ist eine Komponente des Richtungsektors 0, so steht der Vektor der Gerde senkrecht uf der entsprechenden chse. ußerdem erläuft die Gerde prllel ur Eene die on den nderen eiden chsen ufgespnnt wird. Beispiel: Lge on g: O 4 0 = 5 + r 1: 1 0 Beispiel: Lge on h: O 4 4 = 5 + r 4: 2 0 Gerde prllel ur -chse Vektor senkrecht uf der -chse, -chse Vektor senkrecht uf der -chse Gerde prllel ur --Eene Gerde senkrecht uf --Eene Gleichungen der Koordintenchsen: -chse: O 0 1 = 0 + r 0, -chse: O 0 0 = 0 + r 1, -chse: O 0 0 = 0 + r Eenen Prllelen u den Koordinteneenen: Wenn die Koordintenform nur us einer Koordinte esteht, dnn ist die Eene prllel u der Eene der Koordinten die fehlen. Beispiel: = 5 prllel ur --Eene und 5 Einheiten üer ihr. 5 E: =5 Senkrechte u den Koordinteneenen: E Wenn die Koordintenform us wei Koordinten esteht, steht die Eene senkrecht uf den orhndenen Koordintenchsen und erläuft prllel ur fehlenden Koordintenchse. Beispiel: 2+3 = 5 prllel ur -chse und senkrecht uf --Eene.