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1 Brückenkurs Linere Gleichungssysteme - Prof. r. M. Ludwig BRÜCKENKURS MATHEMATIK LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Schwerpunkte: Modellbildung Lösungsmethoden Geometrische Interprettion Prof. r. hbil. M. Ludwig TU resden Institut für Wissenschftliches Rechnen September 204

2 Brückenkurs Linere Gleichungssysteme - Prof. r. M. Ludwig Linere Gleichungssysteme Problemstellung Gleichungssysteme, in denen die Unbeknnten x k nur in der ersten Potenz uftreten und nicht miteinnder multipliziert werden, heißen linere Gleichungssysteme. Sie hben die Form x x nxn x x x n n 2 x x x m m2 2 mn n m ie Koeffizienten ik und die rechten Seiten i sind gegebene Größen i 2,,, m; k 2,,, n. Im llgemeinen bestehen sie us m Gleichungen mit n Unbeknnten. s Gleichungssystem lösen heißt, n Größen x, x2,..., x n zu finden, die zusmmen jede der m Gleichungen erfüllen. Im folgenden werden Lösungsmethoden vorrngig für linere Gleichungssysteme mit n m2 ngegeben. Entsprechend werden die Unbeknnten mit x und y bezeichnet. Auf Erweiterungen für n m und n 2 wird gegebenenflls eingegngen. Alle vorkommenden Größen seien reell. 2 Modellbildung Linere Gleichungssysteme treten bei vielen Problemen in Wirtschft und Technik uf. Als Beispiele seien Berechnung linerer elektrischer Netzwerke, Berechnung mechnischer Systeme und Optimierungsrechnungen in der Wirtschft gennnt. bei entstehen im llgemeinen Gleichungssysteme mit sehr vielen Gleichungen, deren Lösung einen erheblichen Rechenufwnd erfordern. Heute werden derrtige Systeme mit Hilfe von Rechenutomten gelöst, wobei Lösungsmethoden genutzt werden, die sich dfür besonders eignen. Zur Lösung kleinerer Gleichungssysteme ( etw 2 n 0) können bereits (spezielle) Tschenrechner genutzt werden. s Aufstellen der Gleichungen gehört ber weiterhin zu den Aufgben des Ingenieurs und erfordert die dfür erforderlichen Fchkenntnisse. *) *) Linere Netzwerke (Mschen-, Knotenpunktstz), (Tschenbuch E-Technik S. 382, s. 446), Summen/Prllelschltung von Widerständen (Mthe Vorkurs S. 7 ff.) Wsserbehälter, Kühler füllen / bfließen 2

3 Brückenkurs Linere Gleichungssysteme - Prof. r. M. Ludwig 3 Geometrische Interprettion Zunächst werden verschiedene Fälle von lineren Gleichungssystemen näher betrchtet und deren geometrische Bedeutung untersucht. es sich künftig immer um linere Gleichungssysteme hndelt, wird der Begriff liner im folgenden weggelssen. Eine Gleichung mit einer Unbeknnten x 0 Interprettion: Es sind lle reellen Zhlen x zu bestimmen, die in die Gleichung eingesetzt, die Gleichheitsbedingung erfüllen. Flls yx ( ) x 0 und y( x) 0, entspricht die Lösung der Gleichung x der Nullstellenbestimmung der Funktion y( x ). 0 0 Eine Gleichung mit zwei Unbeknnten x by c bc,, 0 Interprettion: x und y sind Vrible. ie Gleichung stellt eine linere Funktionsgleichung dr, deren Bild eine Gerde im x - y -Koordintensystem ist, flls für, b und c feste Werte vorgegeben sind. Enthält die Gleichung einen veränderlichen Prmeter, ist ihr Bild ls eine Schr von Gerden interpretierbr. Prllel zu dem llgemeinen Fll (links) wird ein Beispiel (rechts) betrchtet. (.) Veränderlicher Prmeter: x by c x y 3 y x c b b y x 3 Setzt mn beispielsweise für lle gnzen Zhlen zwischen 8 und 8 ein, erhält mn ein Gerdenbüschel durch den Punkt 0, b c bzw. durch den Punkt (.b) Veränderlicher Prmeter: b x by 3 y b x 3 b Setzt mn wieder für b lle gnzen Zhlen zwischen 8 und 8 ein, erhält mn ein Gerdenbüschel durch den Punkt c,0 bzw. durch den Punkt 30,. Im Fll b 0 benutzt mn die Ausgngsgleichung und erhält die Gerde x c bzw. die Gerde x 3. (.c) Veränderlicher Prmeter: c x y c y x c 3

4 Brückenkurs Linere Gleichungssysteme - Prof. r. M. Ludwig Setzt mn wieder für c lle gnzen Zhlen zwischen 8 und 8 ein, erhält mn eine Schr prlleler Gerden mit dem Anstieg b, b 0 bzw. mit dem Anstieg. Stellt mn sich vor, dß die jeweils veränderlichen Prmeter lle reellen Zhlen durchlufen, wird durch die jeweilige Gerdenschr die gesmte x-y-ebene überstrichen. Enthält die Gleichung zwei veränderliche Prmeter, ist ihr Bild ls zwei Schren von Gerden interpretierbr. Zwei Gleichungen mit zwei Unbeknnten x y x y ( 0, 0, i, k, 2 ) ik i () (2) Interprettion: Zwei Funktionsgleichungen, deren Bild jeweils eine Gerde im x - y -Koordintensystem ist. Schneiden sich diese Gerden in einem Punkt, so sind die Koordinten dieses Schnittpunktes die einzige Lösung des obigen Gleichungssystems. Sind die beiden Gerden prllel, besitzt ds Gleichungssystem keine Lösung, die beiden Gleichungen widersprechen sich. Sind die beiden Gerden identisch, sind lle Punkte x, y, die uf der Gerden liegen, Lösung des Gleichungssystems. ie beiden Gleichungen sind entweder identisch oder eine ist ein Vielfches der nderen. s Gleichungssystem enthlte wieder einen veränderlichen Prmeter. (2.) Veränderlicher Prmeter : y 2 x 2 ; Gerdenbüschel durch 0, wird mit Gerde (2) geschnitten. 2 Ergebnis : Gerde (2). (2.b) Veränderlicher Prmeter 2 : Gerdenbüschel durch Ergebnis : Gerde (2).,0 wird mit Gerde (2) geschnitten. (2.c) Veränderlicher Prmeter : Prllele Gerden mit Anstieg Ergebnis : Gerde (2). 2 werden mit Gerde (2) geschnitten. 4

5 Brückenkurs Linere Gleichungssysteme - Prof. r. M. Ludwig Bemerkungen: urchläuft Prmeter, 2 oder ein reelles Zhlenintervll, erhält mn ls Ergebnis: Strecke uf Gerde (2). Sind die Prmeter, oder 2 veränderlich, treten die Fälle (2.) - (2.c) nlog uf s Gleichungssystem enthlte zwei veränderliche Prmeter, z.b. und 2. Entsprechend (2.c) erhält mn zwei Schren prlleler Gerden, die sich schneiden. Jede Gerde der einen Schr ht mit den Gerden der nderen Schr unendlich viele Schnittpunkte. Im Spezilfll, wenn die Anstiege beider Gerdenschren übereinstimmen, existiert genu eine Gerde der einen Schr, die mit einer der nderen Schr identisch ist. rei Gleichungen mit zwei Unbeknnten x y 2 x y x y Interprettion: 3 Gerden schneiden sich in einem Punkt, in zwei Punkten oder in 3 Punkten, sind prllel oder identisch. Ein Schnittpunkt: s Gleichungssystem ist lösbr. Mn löse zunächst zwei Gleichungen (mit zwei Unbeknnten) und ds Ergebnis muß der dritten Gleichung genügen. Jede der Gleichungen besitzt mit jeder der beiden nderen eine Lösung. Alle drei Lösungen sind gleich. Zwei Schnittpunkte: s Gleichungssystem ist nicht lösbr. Eine der Gleichungen steht im Widerspruch zu einer der beiden nderen. Von den drei möglichen Gleichungssystemen von zwei Gleichungen mit zwei Unbeknnten sind zwei lösbr. ie Lösungen sind jedoch verschieden. Geometrisch interpretiert schneiden zwei prllele Gerden eine dritte in 2 Punkten. rei Schnittpunkte: s Gleichungssystem ist nicht lösbr. Jede Gleichung besitzt ber mit jeder der beiden nderen eine Lösung. Alle drei Gerden sind prllel: Keine der Gleichungen besitzt mit einer der nderen eine Lösung. Zwei Gerden sind prllel und eine ist mit einer der prllelen Gerden identisch: Zwei Gleichungen widersprechen sich, wobei eine ein Vielfches der dritten ist. Alle drei Gerden sind identisch: Jede der Gleichungen läßt sich ls ein Vielfches einer der nderen drstellen. s Gleichungssystem knn uf eine Gleichung mit zwei Unbeknnten zurückgeführt werden. Als Lösung erhält mn lle Punkte der Gerden, die durch die Gleichung repräsentiert wird. Zwei Gleichungen mit drei Unbeknnten x2 y3z x y z

6 Brückenkurs Linere Gleichungssysteme - Prof. r. M. Ludwig Interprettion: Zwei Funktionsgleichungen, deren Bild jeweils eine Ebene im x - y - z -Koordintensystem ist. ie beiden Ebenen schneiden sich in einer Gerden, sind prllel oder identisch. 4 Lösungsmethoden ie Verfhren können sowohl mit einfchen Rechenhilfsmitteln ls uch mit modernen Rechennlgen relisiert werden. Sie beziehen sich zunächst uf die Lösung von zwei Gleichungen mit zwei Unbeknnten. Neben dem llgemeinen Fll (links) wird stets ein Beispiel (rechts) betrchtet. Zu lösen ist demnch ds Gleichungssystem: x2 y x y 3 (3) 2x22 y 2 x 4y 2 (4) mit ik 0, i 0, und ik, 2., Gleichsetzungsverfhren Auflösen beider Gleichungen nch der gleichen Unbeknnten, z.b. nch x : x x y y x y 3 (5) x 4 y 2 (6) Gleichsetzen ( x x) beider Gleichungen (5) und (6): 2 y 2 22 y y 3 4y Auflösen nch y : y y Lösung in eine der beiden Ausgngsgleichungen einsetzen (z.b. in die erste) und Auflösen nch x führt zu: x x 2 und dmit zur Lösung des lineren Gleichungssystems. 6

7 Brückenkurs Linere Gleichungssysteme - Prof. r. M. Ludwig 4.2 Einsetzungsverfhren Auflösen einer Gleichung nch einer Unbeknnten, z.b. der ersten Gleichung (3) nch x - entsprechend (5) - und Einsetzen des Ergebnisses in die ndere Gleichung, z.b. in die zweite Gleichung(6): 2 y 2 y 22 2 ( y 3) 4y 2 Auflösen nch der verbleibenden Unbeknnten, hier nch y, führt zu: y y. ie zweite Unbeknnte berechnet mn wie bei dem Gleichsetzungsverfhren. 4.3 Additionsverfhren Addition eines bestimmten (evtl. uch negtiven) Vielfchen der ersten Gleichung (7) zu einem bestimmten Vielfchen der zweiten Gleichung (8) derrt, dß eine Unbeknnte nicht mehr uftritt. x2 y x y 3 (7) 2x22 y 2 x 4y 2 (8) ( 7) ( 8) bzw. ( 7) ( 8) führt zu: 2 22 y22 y 2 2 5y 5 und ( 7) ( 8) bzw. 4 ( 7) ( 8) führt zu: x22x x 0, worus die Unbeknnten x und y berechnet werden können: x y x 2 y. 7

8 Brückenkurs Linere Gleichungssysteme - Prof. r. M. Ludwig 4.4 eterminnten 2. Ordnung und CRAMERsche Regel Ordnet mn zweiml zwei reelle Zhlen i k i, k, 2, in einem Rechteckschem n, erhält mn ls Wert einer eterminnte (2. Ordnung) die Zhl: , (9) 2 22 d.h. ds Produkt der Elemente der Huptdigonlen minus dem Produkt der Elemente der Nebendigonlen. Betrchtet mn nun ds Ausgngsgleichungssystem (einschließlich Beispiel), knn mn zunächst us den Koeffizienten der Unbeknnten x und y eine eterminnte die sogennnte Koeffizientendeterminnte bilden, die die gleiche Gestlt wie (9) besitzt: (0) Ersetzt mn in (0) die erste Splte durch die rechte Seite des Gleichungssystems, entsteht eine (zu x gehörende) eterminnte : Ersetzt mn in nloger Weise in (0) die zweite Splte durch die rechte Seite des Gleichungssystems entsteht eine (zu y gehörende) eterminnte 2 : Vergleicht mn nun, und 2 mit den Lösungen für x und y nch dem Additionsverfhren, erhält mn die CRAMERsche Regel : CRAMERsche Regel Flls für die Koeffizientendeterminnte gilt, besitzt ds Gleichungssystem x2 y 2x22 y 2 die eindeutig bestimmte Lösung: x und y 2, wobei und 2 wie oben zu berechnen sind. Für ds ngegebene Beispiel erhält mn: x und y

9 Brückenkurs Linere Gleichungssysteme - Prof. r. M. Ludwig Bemerkungen zur CRAMERschen Regel: Flls 0, und für mindestens eine der eterminnten gilt 0 oder 2 0, ht ds Gleichungssystem (7), (8) keine Lösung. Seine Gleichungen widersprechen einnder. Gilt 2 0, so ist eine der beiden Gleichungen des Gleichungssystems überflüssig, eine ist ds Vielfche der nderen oder beide sind identisch. ies führt zum Problem: Lösung einer Gleichung mit zwei Unbeknnten. ie CRAMERsche Regel ist sinnvoll uch für 3 Gleichungen mit drei Unbeknnten einsetzbr. 4.5 GAUßscher Algorithmus (GAUßsches Elimintionsverfhren) Eine Kombintion von Additions- und Einsetzungsverfhren führt zum GAUßschen Algorithmus. Zunächst wählt mn die Fktoren zur Multipliktion mit den jeweiligen Gleichungen so, dß eine reiecksstruktur entsteht. ie erste Gleichung (7) wird unverändert übernommen. Anstelle der zweiten Gleichung (8) schreibt mn und erhält mit b22 22 und b2 2 x2 y x y 3 () b y b 5y 5 (2) 22 2 ie zweite Gleichung (2) löst mn nch y uf. ie erhltene Lösung wird in die erste Gleichung () eingesetzt, um x zu berechnen. Mn erhält: y x b b y y x 3 Somit besteht der GAUßsche Algorithmus us folgenden Schritten: * Erzeugung einer reiecksstruktur * Berechnung der Unbeknnten durch Rückrechnung (Einsetzungsverfhren). Bemerkungen: Bei Anwendung des GAUßschen Algorithmus ist druf zu chten, dß bei den uftretenden Multipliktionsfktoren die Nenner immer von Null verschieden sind. er GAUßsche Algorithmus eignet sich besonders für die rechentechnische Lösung von lineren Gleichungssystemen und läßt sich einfch uf n 2 übertrgen. ie einzelnen Schritte lssen sich us folgendem Schem unmittelbr blesen (, b ):

10 x y x y x y b x y Brückenkurs Linere Gleichungssysteme - Prof. r. M. Ludwig b y b x y 3 x 4y 2 x y 3 5y b2 2 b2 2 y x b y Fehlerdiskussion Gegeben ist ds Gleichungssystem 94664x y x470832y 0 mit der exkten Lösung, z.b. mittels CRAMERscher Regel x y Löst mn ds Gleichungssystem jedoch mittels Gleichsetzungsverfhren, erhält mn ls Lösung * bei Auflösung jeweils nch x: x 7509, y 06949, und * bei Auflösung jeweils nch y: x 5082, y 22389, unter der Vorussetzung, dß ein Rechenwerk mit 2 Gleitkommstellen verwendet wird. ie Ursche der sehr großen Abweichungen vom exkten Resultt liegt in der Stellenuslöschung bei der ifferenzbildung in Verbindung mit der ivision. Sie tritt besonders dnn uf, wenn die beiden Gleichungen Gerden repräsentieren, die fst prllel sind. In solchen Fällen sind solche Verfhren einzusetzen, die derrtige Stellenuslöschungen weitestgehend vermeiden. Eine bessere ls die oben berechneten Näherungslösungen liefert im vorliegenden Fll ds GAUßsche Verfhren: x , y 70706, 7887, die ber uch noch mit einem großen Fehler behftet ist. 0

11 Brückenkurs Linere Gleichungssysteme - Prof. r. M. Ludwig 6 Lösung linerer Gleichungssysteme mit veränderlichen Prmetern ie Vorgehensweise wird n zwei Beispielen demonstriert. Beispiel : Fll 3. ( 2.c) - Veränderlicher Prmeter c: s oben ngegebene Beispiel ht dnn die Form: x y c x4y 2 Mit einem der Lösungsverfhren erhält mn: x c y c (3) Betrchtet mn die Lösung (3) ls Prmeterdrstellung in Abhängigkeit vom Prmeter c, erkennt mn, dß es sich um die Gerde x 4y 2 hndelt ( Elimintion von c ), wie im Fll 3. ( 2.c) ngegeben. Wird nun zusätzlich für c ein Intervll vorgegeben, z.b. -2 c 2, ergibt (3) eine Strecke ls Lösung des Gleichungssystems. Beispiel 2: Zwei veränderliche Prmeter, z.b. c und b d: s oben ngegebene Beispiel ht dnn die Form: x y c x4y d Mit einem der Lösungsverfhren erhält mn 4 d d x c y c (4) ie Lösung (4) knn mn ls Prmeterdrstellung der x-y-ebene in Abhängigkeit von den Prmetern c und d interpretieren. Werden zusätzlich wieder für c und d Intervlle vorgegeben, z. B. - c und - d, ergibt (4) ein Ebenenstück der x-y-ebene ls Lösung des Gleichungssystems. Allgemein ist bei Auftreten eines oder mehrerer veränderlicher Prmeter ds Gleichungssystem uf Lösbrkeit in Abhängigkeit der Werte der veränderlichen Prmeter zu untersuchen.

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