2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )

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1 . Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ).1 Addition und Subtrktion 5 + = 7 Summnd Summnd Summe 5 - = 3 Minuend Subtrhend Differenz In Aussgen mit Vriblen lssen sich nur gleiche Vriblen ddieren bzw. subtrhieren. Im Übrigen gilt die Klmmerregel, d.h. Terme in Klmmern müssen ls erstes berechnet werden. Ht es verschchtelte Klmmern, müssen wir die Klmmern von innen nch ussen uflösen. Achtung: Beispiele Wenn wir Klmmern uflösen, vor denen ein Minuszeichen steht, dnn müssen sämtliche Vorzeichen in der Klmmer geändert werden. ) + 6b b = 6 + 7b b) 3 - b - = b c) 4 - ( b - ) = 4 - b + = 6 b d) 5 - [ b - ( - 3b ) ] - = 5 - [ b - + 3b ] - = 5 - b + - 3b - = 6 5b e) 3 + ( - b ) - ( b - ) b - b + 7-3b 7-3b f) -4b [ + c - ( + c ) ] -4b [ + c - - c ] -4b c + + c 4-4b 4-4b g) - [ 3 - b - ( b ) ] - [ 3 - b b ] b b - + b b - Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ) 11

2 . Multipliktion 3 = 6 Fktor Fktor Produkt Regel 1 Fktoren können mit jedem Fktor multipliziert werden. ) b = b b) 5b 3c = 30bc Regel Bei gleichen Fktoren wird die Potenzschreibweise ngewendet 1. c) = d) 3 = 6 3 Regel 3 (Vorzeichenregel) Die Multipliktion zweier positiver oder zweier negtiver Zhlen ergibt ein positives Produkt. Ist eine der beiden Zhlen negtiv, wird ds Produkt uch negtiv. Bei der Multipliktion von mehr ls Fktoren wird ds Produkt negtiv, wenn die Anzhl der negtiven Fktoren ungerde ist. e) b = b f) ( - ) ( -b ) = b g) ( -b ) = b h) ( - ) b = -b i) b ( -c ) ( -d ) = bcd j) ( -b ) ( -c ) ( -d ) = -bcd Regel 4 Bei der Multipliktion eines Fktors mit einer Summe, muss jeder Summnd mit dem Fktor multipliziert werden. Anlog muss uch bei der Multipliktion einer Differenz vorgegngen werden. k) ( 5b + c ) = 5b + c l) ( b - 3c ) = b - 3c m) ( 3 + 4b ) = 6 + 8b n) -3b ( 4 - b ) = 6b - 1b 1 Potenzschreibweise siehe Kpitel 8 1 Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in )

3 Regel 5 Bei der Multipliktion von Summen muss jeder Summnd der einen Summe mit jedem Summnd der nderen Summe multipliziert werden. o) ( + b ) ( c + d ) = c + d + bc + bd ( + b ) ( c + d ) c + d + b c + b d p) ( - b ) ( 3c - d ) 3c = 3c + ( -d ) = -d + ( -b ) 3c = -6bc + ( -b ) ( -d ) = 4bd 3c - d - 6bc + 4bd Regel 6 Gleichrtige Ausdrücke in der Lösung können jeweils zusmmengefsst werden. q) ( + b ) ( + b ) = + b + b + b = + 3b + b r) ( - c ) ( - c ) = + ( -c ) = -4c + ( -c ) = -c + ( -c ) ( -c ) = c - 5c + c Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ) 13

4 Regel 7 Anlog ist ds Vorgehen bei mehr ls Summnden in der Summe. s) ( b + c - d ) = b + c d t) ( - b ) ( + b - c ) = + b - c - b - b + bc = b c b + bc u) ( 3c + d ) ( b - 3c + d ) 3c b = 6bc + 3c ( -3c ) = -9c + 3c d = 6cd + d b = bd + d ( -3c ) = -3cd + d d = d 6bc + bd - 9c + 3cd + d Regel 8 Mehrere Klmmern werden miteinnder multipliziert, indem zuerst Klmmern usmultipliziert werden (= Schritt 1) und dnn ds Ergebnis noch mit der 3. Klmmer multipliziert wird (= Schritt ). v) ( + b ) ( c + d ) ( e + f ) Schritt 1: ( + b ) ( c + d ) = ( c + d + bc + bd ) Schritt : ( c + d + bc + bd ) ( e + f ) = ce + cf + de + df + bce + bcf + bde + bdf w) ( 4-3b ) ( + b ) ( 5 + 6b ) Schritt 1: ( 4-3b ) ( + b ) = b + ( -3b ) + ( -3b ) b = 4 + 8b - 3b - 6b = 4 + 5b - 6b Schritt : ( 4 + 5b - 6b ) ( 5 + 6b ) = b + 5b 5 + 5b 6b + ( -6b ) 5 + ( -6b ) 6b = b + 30b - 36b b - 30b = b - 36b b - 36b 3 14 Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in )

5 .3 Potenzen Zusätzlich zu den grundlegenden Ausführungen zum lgebrischen Rechnen mit gnzen Zhlen wollen wir hier noch einen kurzen Einblick in ds Rechnen mit Potenzen geben. (Ausführlich wird ds Them im Kpitel 8 behndelt.) Ds Potenzieren ist eigentlich die Abkürzung der Multipliktion. ) = b) = 5 c) ( + b ) ( + b ) = ( + b).3.1 Begriffe Potenzieren usgesprochen ls Beispiel b = c = Bsis b = Exponent c = Potenzwert hoch b = c 4 3 = Potenzieren und die Grundopertionen ) Addieren und Subtrhieren ) + = b) = 4 c) + b = + b d) + 3 = 3 + Potenzen mit unterschiedlichen Bsen können nicht ddiert oder subtrhiert werden. [Der Exponent knn uch nicht "usgeklmmert" werden: + b ( + b) ] Potenzen mit gleichen Bsen ber mit unterschiedlichen Exponenten können nicht ddiert oder subtrhiert werden. Fzit: Nur Potenzen mit gleicher Bsis und gleichem Exponent können ddiert oder subtrhiert werden. In llen nderen Fällen sind sie nicht miteinnder verrechenbr. Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ) 15

6 b) Multipliktion ) 3 = 5 b) 4 7 = 11 weil = 5 c) 3 3 = 5 6 d) = 8 8 Fzit: Potenzen mit gleicher Bsis werden multipliziert, indem mn ihre Exponenten ddiert. c) Division ) 5 : = 3 weil = 1 1 = b) 8 : 7 = c) 0 6 : (4 4 ) = 5 d) 1 3 : (3 5 ) = 4 e) 15 9 : (5 5 ) = 5 4 f) 16 4 : (8 8 ) = -4 Fzit: Potenzen mit gleicher Bsis werden dividiert, indem mn ihre Exponenten subtrhiert..3.3 Spezilfälle ) n 1 = denn 5 7 = = n 7 5 ber durch Kürzen erhlten wir = 1 = 1 b) 0 = denn ergibt sich z.b. durch die Division von = =. 4 D Zähler und Nenner identisch sind, ht der Bruch deshlb den Wert Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in )

7 .4 Die binomischen Formeln Eine besondere Stellung innerhlb der Multipliktion nehmen die sog. binomischen Formeln ein. Es ist dies die Multipliktion einer Summe bzw. Differenz mit sich selber. Dbei können wir nhnd der Vorzeichen 3 Vrinten unterscheiden. ) ( + b ) ( + b ) = + b + b ( + b ) ( + b ) = + b + b + b b D b = b ist, lssen sich die beiden mittleren Glieder zusmmenfssen. b) ( - b ) ( - b ) = b + b ( - b ) ( - b ) = + ( -b ) + ( -b ) + ( -b ) ( -b ) Es gilt -b = -b und ds letzte Glied wird durch die Multipliktion der beiden negtiven Vorzeichen wieder ein positiver Wert. c) ( + b ) ( - b ) = b ( + b ) ( - b ) = + ( -b ) + b + b ( -b ) D die beiden mittleren Glieder entgegengesetzt gleich sind (-b, +b), heben sie sich uf. Hinweis: + b ist kein Ergebnis einer binomischen Formel (in ) Zusmmenfssend können wir lso festhlten: Erklärung 1) ( + b ) ( + b ) oder ( + b ) = + b + b (+ +) (+ +) = ) ( - b ) ( - b ) oder ( - b ) = - b + b (+ -) (+ -) = ) ( + b ) ( - b ) = - b (+ +) (+ -) = + - Aus diesen Grundformen ergeben sich weiter folgende Formen: (diese lssen sich direkt us obigen drei Grundformen bleiten) 1)' ( - - b ) ( - - b ) oder ( - - b ) = + b + b )' ( - + b ) ( - + b ) oder ( - + b ) = b + b 3)' ( + b ) ( - + b ) = + b 3)'' ( - - b ) ( - b ) = + b 3)''' ( - - b ) ( - + b ) = b Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ) 17

8 Die binomischen Formeln lssen sich uf ndere Vriblen, Konstnten und Vorzeichenvrinten nwenden. Aus einer der binomischen Grundformen ergibt sich die Lösung jeweils durch Ersetzen der neuen Vriblen in der Lösung der binomischen Grundform, ein "normles" Multiplizieren entfällt. ) ( x + 3y ) ( + b ) = + b + b x 3y x x 3y (3y) = x + 6xy + 9y b) ( 5b - 3 ) ( - b ) = - b + b 5b 3 (5b) 5b 3 (3) = 5b - 30b + 9 oder geordnet c) ( 4 + c ) ( + b ) = + b + b 9 30b + 5b 4 c (4) 4 c c c + c d) ( -3 + b ) ( + b ) = + b + b (-3) b (-3) (-3) b b 9-6b + b e) ( -4x - 3y ) ( - b ) = - b + b (-4x) 3y (-4x) (-4x) 3y (3y) 16x + 4xy + 9y f) ( 3 - b ) ( 3 + b ) ( + b ) ( - b ) = - b 3 b 3 b (3) (b) 9-4b g) ( 8-3b ) ( b ) (-1) usklmmern: ( -1 ) ( 3b - 8 ) ( 3b - 8 ) ( - b ) = - b + b 3b 8 (-1) [ (3b) 3b 8 (8) ] b - 9b 18 Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in )

9 .5 Zerlegen von Summen in Fktoren (Ausklmmern) Je nch Aufgbenstellung ist nicht nur ds Ausmultiplizieren von Summen gefrgt, sondern uch ds Gegenteil: ds Zerlegen einer Summe bzw. einer Differenz in ihre Fktoren. Dbei geht es um ds Erkennen gemeinsmer Glieder in der Summe bzw. der Differenz. Beispiele ) b + c - 4d = ( b + c 4d ) Allen Gliedern gemeinsm ist die Vrible, sie lässt sich deshlb usklmmern. b) 9b - 1b + 6bc = 3b ( 3 4b + c ) Allen Gliedern gemeinsm ist die Vrible 3b, sie lässt sich deshlb usklmmern. c) 6xyz + 4x z - 10xy = x ( 3yz + xz 5y ) Allen Gliedern gemeinsm ist die Vrible x, sie lässt sich deshlb usklmmern. d) 4c - 6bc + 1bc 6c ( 4 - b + b ) 6c ( 4 - b + b ) e) 15cd e - 10cde - 5cd 5cd ( 3de - e - 5d ) Klmmern Sie bei den folgenden Aufgben negtive Fktoren us. f) -4x 3 y - 6x y - 8xy 3 5cd ( -5d + 3de - e ) -xy ( x + 3xy + 4y ) -xy ( x + 3xy + 4y ) g) 6bc - 13b - 65 b -13b ( -c ) -13b ( 5 - c + 1 ) h) 5-30b ( b + 1 ) -5 ( b + 1 ) Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ) 19

10 .6 Zerlegen von Summen in binomische Formeln Oft stellen Terme uch ds Resultt einer binomischen Formel dr. Sie lssen sich dher durch Zerlegung wieder in die Ausgngsschreibweise zurückverwndeln. ) x + xy + y = ( x + y ) ( x + y ) = ( x + y ) b) c - 4cd + 4d = ( c - d ) ( c - d ) = ( c d ) c) 5-16b = ( 5 + 4b ) ( 5 4b ) Schwierig ist dbei ds Erkennen, ob es sich um binomische Formeln hndelt b + b 4 + 9b - 1b 4-0c - 5c 9 + 6b + 4b ist keine binomische Formel (ds letzte Glied müsste b nsttt b sein) ist eine binomische Formel (nur noch nicht richtig geordnet) us 4-1b + 9b ergibt sich ( - 3b ) ist keine binomische Formel (ds letzte Glied müsste + 5c sein) ist keine binomische Formel (ds Mittelglied müsste doppelt so gross sein) ( 3 + b ) ( 3 + b ) = 9 + 1b + 4b b ist eine binomische Formel (die Glieder sind lediglich vertuscht) us 49b - 5 ergibt sich ( 7b - 5 ) ( 7b + 5 ) b ist keine binomische Formel in (ds letzte Glied müsste - 9b sein) d) + 6b + 9b ( + 3b ) ( + 3b ) ( + 3b ) 1. binomische Formel (d überll +) e) 9x - 30xy + 5y ( 3x - 5y ) ( 3x - 5y ) ( 3x - 5y ). binomische Formel (d ) f) 36-16b ( 6 + 4b ) ( 6-4b ) Vrinte 1: nur 3. binomische Formel Vrinte : Fktorisierung und 3. binomische Formel ( 6 + 4b ) ( 6-4b ) 4 ( 9-4b ) = 4 ( 3 + b ) ( 3 - b ) g) ( ) ( + 1 ) ( - 1 ) ( ) ( 4-1 ) 3. binomische Formel (d qudrtische Terme: + - ) entspricht nochmls einer 3. binomischen Formel ( ) ( + 1 ) ( - 1 ) h) ( ) ( 3 + ) ( 3 - ) ( ) ( 9-4 ) 3. binomische Formel (d qudrtische Terme: + - ) entspricht nochmls einer 3. binomischen Formel ( ) ( 3 + ) ( 3 - ) 0 Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in )

11 .7 Zerlegen von Summen in Fktoren von Summen Neben der Zurückverwndlung von Summen in ihre binomische Ausgngslge ist es zum Teil uch möglich, eine Summe in (nicht-binomische) Fktoren von Summen zu zerlegen. Beispiele ) + 5b + 6b = ( + b ) ( + 3b ) Die Plusibilität dieser Lösung ergibt sich us der Rückrechnung: + 3b ( + b ) ( + 3b ) b + 6b = + 3b + b + 6b = + 5b + 6b Aus dieser Aufstellung ersehen Sie zugleich uch die Überlegungen, die Sie bei der Fktorzerlegung nstellen müssen: Ds erste Glied ergibt sich us der Multipliktion der 1. Glieder der beiden Fktoren. Ds dritte Glied ergibt sich us der Multipliktion der. Glieder der beiden Fktoren. Ds zweite Glied ergibt sich us der Summe der Multipliktion "übers Kreuz", der Summe der Multipliktion des 1. Gliedes der 1. Summe mit dem. Glied der. Summe und der Multipliktion des. Gliedes der 1. Summe mit dem 1. Glied der. Summe. b) + 9b + 10b = ( + b ) ( + 5b ) + 9b + 10b entsteht us: entsteht us: b 10b oder b 5b Somit ergeben sich ufgrund der Aussenglieder folgende 4 Möglichkeiten: ( + b ) ( + 10b ) ( + 10b ) ( + b ) ( + b ) ( + 5b ) ( + 5b ) ( + b ) Nun gilt es heruszufinden, mit kombintorischem Geschick oder einfch durch Überprüfen ller Möglichkeiten, welche dieser 4 Vrinten zum Mittelglied 9b führt. Vrinte 1: Durch Überlegen und scheiden us, d die Zhlen sicher einen Wert über 10 ergeben. Vrinte scheidet us, d es so nur gerde Zhlen ergibt. Also bleibt Vrinte übrig. Vrinte : Durch Überprüfen Mittelglied ( + b ) ( + 10b ) 1b ( + 10b ) ( + b ) 1b ( + b ) ( + 5b ) 9b ( + 5b ) ( + b ) 1b Vrinte ist lso die Lösung. Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ) 1

12 c) 3b + 5bc + c In Frge kommende Vrinten: ( 3b + c ) ( b + c ) 3b + 6bc + bc + c Mittelglied: + 7bc ( 3b + c ) ( b + c ) 3b + 3bc + bc + c Mittelglied: + 5bc ( 3b + c ) ( b + c ) d) 6x - 6xy - 1y usklmmern: 6 ( x - xy - y ) In Frge kommende Vrinten: ( x + y ) ( x - y ) x - xy + xy - y Mittelglied: - xy ( x + y ) ( x - y ) x - xy + xy - y Mittelglied: + xy 6 ( x + y ) ( x - y ) e) - 3b - 5b In Frge kommende Vrinten: Mittelglied ( + b ) ( - 5b ) - 10b + b - 5b - 9b ( - b ) ( + 5b ) + 10b - b - 5b + 9b ( - 5b ) ( + b ) + b - 5b - 5b - 3b ( + 5b ) ( - b ) - b + 5b - 5b + 3b Vrinte ist lso die Lösung. ( - 5b ) ( + b ) f) usklmmern: 3 ( ) In Frge kommende Vrinten: Mittelglied ( + 1 ) ( - 6 ) ( - 1 ) ( + 6 ) ( + 3 ) ( - ) ( - 3 ) ( + ) Vrinte ist lso die Lösung. 3 ( + 3 ) ( - ) Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in )

13 .8 Division 1 : 3 = 4 Dividend Divisor Quotient Bei der Division muss jedes Glied des Dividenden durch den Divisor dividiert werden. ) ( 4 + 6b - b ) : () = + 3b b + 3b - b Zweckmässig ist oft die Lösung mit Hilfe der Bruch-Drstellung: 4 + 6b b Durch Ausklmmern von erhält mn: ( + 3b b ) Anschliessendes Kürzen führt uch zum Ergebnis + 3b b b) ( 4xy - 4xy + 16x ) : (4x) 4xy : (4x) = y ( -4xy ) : (4x) = -y 16x : (4x) = 4x 4x + y - y c) ( 6 - b + ) : () 6 : () = 3 ( -b ) : () = -b : () = b + 1 Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ) 3

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