MATHEMATIK GRUNDWISSEN KLASSE 5

Transkript

1 MATHEMATIK GRUNDWISSEN KLASSE 5 Them NATÜRLICHE ZAHLEN Zählen und Ordnen Ntürliche Zhlen werden zum Zählen und Ordnen verwendet Stefn ist beim 100m-Luf ls 2. ins Ziel gekommen. Große Zhlen und Zehnerpotenzen Große Zhlen schreibt mn mit Hilfe von Zehnerpotenzen: 1 Million = = Millirde = = Billion = = Dezimlsystem - Zhlen hben Ziffern mit unterschiedlichen Bedeutungen Zhlenstrhl - Abstände m Zhlenstrhl zwischen Zhlen, die ufeinnder folgen, müssen gleich groß sein zwei Billionen vierhundert Millirden zweiundzwnzig Millionen = Hunderter, 4 Zehner, 5 Einer Übungen: m_05_1_mthe/gm_a0186.pdf Digrmme - Zur übersichtlichen Drstellung verschiedener Zhlen bzw. Zhlenwerte Koordintensystem - Punkte im Koordintensystem lssen sich durch seine zwei Koordinten beschreiben P (2/3) x-koordinte y-koordinte Zhlenmengen - Menge der ntürlichen Zhlen: - und 0 : 0 - { } = Menge der ntürlichen Zhlen 34 ε d.h. 34 ist ein Element der Menge.

2 Runden - 0,1,2,3,4 Abrunden - 5,6,7,8,9 Aufrunden Runde die Zhl uf Hunderter! Lösung: Bei 7 wird ufgerundet Übungen: m_05_1_mthe/gm_a0381.pdf ADDITION UND SUBTRAKTION NATÜRLICHER ZAHLEN Addieren und Subtrhieren m Zhlenstrhl - Addieren bedeutet nch rechts gehen - Subtrhieren bedeutet mch links gehen Bezeichnungen beim Addieren und Subtrhieren = 9 1.Summnd 2. Summnd Wert der Summe Summe 5-2 = 3 Minuend Subtrhend Wert der Differenz Differenz Schriftliches Addieren und Subtrhieren Achte druf, dss Hunderter unter Hunderter, Zehner unter Zehner und Einer unter Einer stehen! Kommuttivgesetz Für lle ntürlichen Zhlen gilt: +b = b+ Assozitivgesetz Für lle ntürlichen Zhlen gilt: (+b)+c = +(b+c) Gemischtes Addieren und Subtrhieren ohne Klmmern 1. Bilde die Summe der Plusglieder 2. Subtrhiere dvon, die Summe der Minusglieder Terme - bestehen us Zhlen, Klmmern und Rechnungen - mn beginnt mit den Inneren - die Art des Terms (Summe, Differenz,...) wird durch die Rechenrt festgelegt, die zuletzt usgeführt wird. z.b = (15 + 2) 6 = 11 - In diesem Fll besteht der Minuend us der Summe von 15 und 2. - Der Subtrhend ist 6. - D die Summe in Klmmern steht, wird diese zuerst gerechnet: 17 6 = 11 Es hndelt sich um eine Differenz = (14 + 3) = ( ) + 3 Mit den Rechengesetzen lssen sich Rechenvorteile usnutzen = 1. ( ) ( ) - ( ) = = 20 (35 7) + [( ) 9] = 28 + [ ] = Differenz Summe Differenz = = 119 Summe Die Art des Terms ist eine Summe. Übungen: m_05_2_mthe/gm_a0183.pdf

3 DIE GANZEN ZAHLEN; ADDITION UND SUBTRAKTION Gnze Zhlenmengen - Menge der gnzen Zhlen: Hierzu gehören die positiven (ntürlichen) Zhlen, die negtiven Zhlen und die Zhl 0. Gnze Zhlen hben Vorzeichen: positiv +, negtiv - Auf dem Zhlenstrhl liegen positive Zhlen rechts von 0; negtive Zhlen links von 0. Die Gegenzhl zur Zhl ist. Liegt eine Zhl links von der Zhl b so gilt: < b Der Abstnd der Zhl zu 0 = der Betrg der Zhl Addition und Subtrktion - Gleiche Vorzeichen 1. Addiere die Beträge 2. Gib der Summe ds gemeinsme Vorzeichen - Verschiedene Vorzeichen: 1. Subtrhiere den kleineren Betrg vom größeren Betrg 2. Gib der Differenz ds Vorzeichen des Summnden mit dem größeren Betrg Subtrhieren einer Zhl = Addieren ihrer Gegenzhl Z = { ; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; } negtive Zhlen positive Zhlen < -1 < 0 < 2 < 3 2 < 4 gesprochen: Zwei ist kleiner ls 4 Betrg von -9: -9 =9 (-6) + (-8) : = = 14 (-6) + (-8) = (-8) : -8-6 = 8-6 = 2 (-8) + 6 = -2 (-6) 8 = (-6) + (-8) = - (6+8) = -14 Übungen: m_05_2_mthe/gm_a0183.pdf GEOMETRISCHE GRUNDBEGRIFFE

4 Punkte, Gerden, Strecken Bezeichnungen für Punkte: große Buchstben, z.b.: A,B,C,... Gerden: kleine Buchstben wie g, h,k, oder mithilfe von zwei Punkten uf der Gerden, z.b.: AB. Strecken: kleine Buchstben oder durch ihre Endpunkte, z.b. [AB]. Die Länge einer Strecke knn ebenflls mit kleinen Buchstben oder mit Hilfe ihrer Endpunkte beschrieben werden: z.b.: AB g = AB A = [PQ] = PQ = 2,5cm P B Q Besondere gegenseitige Lge von Gerden Zueinnder senkrechte Gerden, in Zeichen: g h Zueinnder prllele Gerden, in Zeichen: g k g ll h g _ h h g k Kreis Ein Kreis wird durch Angbe seines Mittelpunktes und seines Rdius eindeutig festgelegt. Alle Punkte eines Kreises hben von seinem Mittelpunkt den gleichen Abstnd. M r Vierecke Prllelogrmm: Gegenüberliegende Seiten sind zueinnder prllel. Rute: Prllelogrmm mit 4 gleich lngen Seiten. Qudrt: Rechteck mit gleich lngen Seiten. Prllelogrmm Qudrt Rute Rechteck Winkel - zwei Schenkel schneiden sich im Scheitel und somit einen Winkel α - Winkel werden mit griechischen Buchstben bezeichnet: z.b. : α, β, γ, δ,... - Größe eines Winkels wird in Grd gemessen Scheitel Schenkel α Schenkel Symmetrie - zwei Punkte liegen einer Gerden g symmetrisch: P und P' - Die Verbindungsstrecke [PP'] wird dnn von der Gerden g rechtwinklig geschnitten und hlbiert. P P' g

5 MULTIPLIKATION UND DIVISION NATÜRLICHER ZAHLEN Multiplizieren = mehrfches Addieren der selben Zhlen b = b 1. Fktor 2. Fktor Wert des Produkts 6 7 = = Fktor 2. Fktor Wert des Produkts Produkt Dividieren Dividieren = umkehren des Multiplizieren : b = c Dividend Divisor Wert des Quotienten Quotient Kommuttivgesetz und Assozitivgesetz gelten bei der Division nicht Für lle gilt: 0:=0 ber: durch 0 knn mn nicht dividieren Distributivgesetze Für lle Zhlen, b, c gilt: (+b) c = c + b c (-b) c = c - b c Für lle Zhlen, b und c gilt: (+b) : c = :c + b :c (-b) : c = :c - b :c (10+3) 5 = (20-2) 5 = (200+8) : 4 = 200 :4 + 8 :4 (150-6) : 3 = 150 :3-6 :3 Potenzieren = mehrfches Multiplizieren einer Zhl mit sich selbst. = 5 Bsis Exponent Der Exponent gibt n, wie oft die Zhl ls Fktor uftritt 2 10 = = ² = = 100 Terme Für die Reihenfolge der Rechenschritte gilt: 1. Ws in Klmmern steht, wird zuerst berechnet 2. Punktrechnung vor Strichrechnung 3. Der Rest wird von vorne nch hinten der Reihe nch gerechnet. 40 : ( ) +6 = Zuerst: Klmmer NR: ( ) = (6-4 ) = 2 40 : 2 +6 = Dnn: Punkt vor Strich NR: 40 : 2 = = 26 l Zuletzt: Addieren

6 MULTIPLIKATION UND DIVISION GANZER ZAHLEN Multiplizieren zweier gnzer Zhlen: 1. Multipliziere die Beträge 2. bei gleichen Vorzeichen Produkt: + bei verschiedenen Vorzeichen Produkt: - Dividieren zweier gnzer Zhlen : 1. Dividiere die Beträge 2. gleiches Vorzeichen Quotient: + verschiedene Vorzeichen Quotient: - (+3) (+8) = + 24 = 24 (-3) (-8) = + 24 = 24 (+3) (-8) = -24 (-3) (+8) = -24 (+12) : (+4) = +3 = 3 (-12) : (-4) = +3 = 3 (+12) : (-4) = -3 (-12) : (+4) = -3 GRÖSSEN UND IHRE EINHEITEN Jede Größe besteht us einer Mßzhl und einer Mßeinheit. Längen: 1km = 1 000m 1m = 10dm 1dm = 10cm 1cm = 10 mm Mssen: 1t = 1 000kg 1kg = 1 000g 1g = 1 000mg Zeitduern: 1d = 24h 1h = 60min 1min = 60s Geldwerte: 1 = 100ct 25m = (25 100) cm = 2500cm g = ( : 1000)kg = 12kg 5h 15min = (5 60min) + 15min = 315min Rechnen mit Größen Größen in gleiche Mßeinheit bringen Größe mit Zhl multiplizieren: - Mßzhl mit Zhl multiplizieren Mßeinheit beibehlten Dividieren zweier Größen: - Mßzhl durch Zhl dividieren Mßeinheit beibehlten - Mßzhl durch Mßzhl dividieren Ergebnis ist eine reine Zhl 2t 350kg kg = 2350kg kg = 3550kg = 3t 550kg 4m + 67,5dm = 4,00m + 6,75m = 10,75m = 10m 75cm 4,35m 8 = 435cm 8 = (435 8) cm = 3480cm = 34,80m 7,3kg : 25 = 7300g : 25 = (7300 : 25)g = 292g 5h 40min : 20min = 340min : 20min = 17

7 Mßstb Angben wie 1:200 in einem Pln bedeuten, dss die Länge in Wirklichkeit dem Zweihundertfchen der Länge im Pln entspricht. Die Länge im Pln ist der zweihundertste Teil der Länge in Wirklichkeit. Bei einem Mßstb 1: 200 entsprechen 20m in Wirklichkeit 1dm im Pln. 3mm im Pln 60cm in Wirklichkeit. FLÄCHEN UND FLÄCHENMESSUNG Flächeninhlte = die Größe einer Fläche Einheiten bei Flächeninhlten Zur Flächenmessung verwenden wir Qudrte mit Seitenlängen 1mm, 1cm, 1dm,... Sie hben die Flächeninhlte: 1mm², 1cm², 1dm²,... Umrechnung: 1km²=100h 1h=100 1=100m² 1m²=100dm² 1dm²=100cm² 1cm²=100mm² 400mm² = 4cm² 18m² = cm² = 250h =2,5km² Flächeninhlte von Rechtecken Rechtecke: A = b 80cm b Qudrte: A = = ² 9dm Flächeninhlt = Länge Breite der Fläche Flächeninhlt: A=80cm 90cm= 7200cm² Oberflächeninhlt von Qudern 1. Alle Flächeninhlte der verschiedenen Oberflächenteile usrechnen 2. Flächeninhlte ddieren Für Quder gilt : O = 2 b + 2 c + 2 b c = 2 ( b + c + b c ) b c Für Würfel gilt: O = 6 = 6 ²

8