G2 Grundlagen der Vektorrechnung

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1 G Grundlgen der Vektorrechnung G Grundlgen der Vektorrechnung G. Die Vektorräume R und R Vektoren Beispiel: Physiklische Größen wie Krft und Geschwindigkeit werden nicht nur durch ihre Mßzhl und ihre Einheit, sondern uch durch ihre Richtung und Orientierung vollständig beschrieben, und mn spricht vom Krftvektor bzw. vom Geschwindigkeitsvektor. Dgegen ist zum Beispiel die Zeit kein Vektor, sondern eine sklre Größe. Pfeile treten uch bei Verschiebungen uf (Verschiebungspfeile). C' D C B D' B' A' A Alle Verschiebungspfeile Richtung. sind gleich lng, prllel und zeigen in dieselbe Drus ergibt sich folgende Definition: Unter einem (Pfeil-)Vektor versteht mn die Menge ller zu einem Pfeil gleichsinnig prlleler und gleich lnger Pfeile (= prllelgleicher Pfeile). Ein einzelner Pfeil us dieser Menge heißt Repräsentnt dieses Vektors. Anmerkungen:. Mn knn immer nur einen Repräsentnten eines Vektors zeichnen.. Die Drstellung eines Vektors ist unbhängig von der Whl eines Repräsentnten.. Im oben erwähnten Sinn ist ein Krftvektor kein Vektor! Mit Hilfe der obigen Definition lässt sich die Gleichheit von Vektoren definieren: G-- test erstellt m 4.0.0

2 G Grundlgen der Vektorrechnung Definition: Zwei Vektoren und b sind genu dnn gleich, wenn zwei beliebige Repräsentnten von und b prllelgleich sind. Vektorddition Beispiel: Zwei Kräfte, die n einem Mssenpunkt ngreifen, können ersetzt werden durch die Resultierende, d. h. eine Erstzkrft, die dieselbe Wirkung hervorruft wie die Einzelkräfte zusmmen. F F = F + F F Anlog ist die Addition von Vektoren erklärt: Definition: Mn wählt den Repräsentnten des Vektors b so, dss sein Fußpunkt mit der Spitze des Repräsentnten von zusmmenfällt und erhält ls Repräsentnten von c b den Pfeil, der vom Fußpunkt von zur Spitze von b zeigt. Beispiel: An einem Körper herrscht Gleichgewicht, wenn n ihm zwei gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kräfte ngreifen. Dnn ist die resultierende Krft Null. Entsprechend definiert mn: Definition: Unter dem Gegenvektor eines Pfeilvektors versteht mn denjenigen Pfeilvektor, dessen Repräsentnten die gleiche Länge, ber die entgegengesetzte Richtung wie die Repräsentnten von hben. Der Nullvektor 0 ht die Länge Null und deshlb uch keine Richtung. Für jeden Pfeilvektor gilt: +- 0 und 0 0. Anmerkungen:. Der Nullvektor ht für die Vektorddition eine ähnliche Bedeutung wie die Zhl Null für die Addition reeller Zhlen.. Der Nullvektor lässt sich zeichnerisch nicht drstellen. G-- test erstellt m 4.0.0

3 G Grundlgen der Vektorrechnung Rechengesetze für die Vektorddition Aufgrund der freien Whl des Repräsentnten eines Pfeilvektors lssen sich die Rechengesetze für die Vektorddition geometrisch sehr leicht begründen. Kommuttivgesetz: Für lle, b V gilt: b b. Assozitivgesetz: Für lle, b, c V gilt: b c b c D uch bei der Vektorddition die Klmmern beliebig gesetzt werden dürfen, knn mn sie uch weglssen: b c b c b c Nun lssen sich uch Gleichungen der Form x b lösen, denn die eindeutige Addtion von uf beiden Seiten der Gleichung führt uf x b 0 x b b Dbei hben wir sttt b vereinfcht b geschrieben und sgen: Ein Vektor wird subtrhiert, indem mn seinen Gegenvektor ddiert. Vernschulichung: b x x b zum K-Gesetz b -b zur Subtrktion Sklre Multipliktion (S-Multipliktion) Es soll wieder eine Krft betrchtet werden, die n einem Mssenpunkt ngreift. Nch unseren Vorstellung versteht mn, wenn eine doppelt so große Krft in G-- test erstellt m 4.0.0

4 G Grundlgen der Vektorrechnung unveränderter Richtung ngreifen soll, unter diesem neuen Krftpfeil einen Pfeil in gleicher Richtung mit doppelter Länge, und schreibt dfür F F F. Diese Überlegungen werden jetzt uf die Multipliktion eines Vektors mit einer reellen Zhl übertrgen. Definition: Es sei k eine reelle Zhl und v ein Pfeilvektor. Dnn ht der Vektor k v die k -fche Länge des Vektors v. Für k > 0 hben v und k v dieselbe Richtung, für k < 0 hben v und k v entgegengesetzte Richtungen. Beispiel: v v -,v Anmerkungen: v Bei der S-Multipliktion hndelt es sich im Gegenstz zur Vektorddition um eine Verknüpfung von Elementen us verschiedenen Mengen. Mn bezeichnet eine solche Verknüpfung ls äußere Verknüpfung. v Es gelten (ohne Beweis) für die S-Multipliktion folgende Rechenregeln: gemischtes Assozitivgesetz: r s (r s) S-Distributivgesetz: (r s) r s V-Distributivgesetz: r b r r b v Für ds prktische Rechnen sind folgende Regeln von Bedeutung: k k 0 k 0 oder 0 k ( k) k Koordintendrstellung von Vektoren Beispiel: In einem -dimensionlen Koordintensystem sei ein Punkt A(; ) gegeben. Dnn ist uch der Verschiebungspfeil durch die Koordinten eindeutig bestimmt. Der Verschiebungspfeil knn ber ls Repräsentnt eines Vektors 0A ufgefsst werden, der seinen Anfngspunkt im Urspru0 ng des Koordintensystems ht. v Ein solcher Vektor wird üblicherweise ls Spltenvektor v geschrieben. v G--4 test erstellt m 4.0.0

5 G Grundlgen der Vektorrechnung Vernschulichung: y A(;) v v 0 v x Die Komponenten des Vektors v geben n, um welche Werte ein Punkt vom Anfngspunkt in den jeweiligen Koordintenrichtungen zu verschieben ist. In unserem Beispiel ht der Vektor v die Koordintendrstellung bezüglich der gezeichneten orthonormierten Bsis. Punkt und Ortsvektor Beispiel: Ein Repräsentnt des Vektors v entsteht sicher durch einen Vektor mit dem Anfngspunkt im Koordintenursprung und dem Zielpunkt im Punkt A. Dieser Repräsentnt heißt uch Ortsvektor von v : Definition: Denjenigen Repräsentnten eines Vektors, der die Verschiebung des Koordintenursprungs um in den Punkt A vernschulicht, bezeichnet mn ls den Ortsvektor Komponenten des Ortsvektors A des Punktes A. Die Koordinten von A stimmen mit den A überein. Im oben ngegebenen Beispiel gilt: A(; ); A. Anmerkungen:. Bezüglich des Koodintenusprungs O legt jeder Ortsvektor A genu den Punkt A im gewählten Koordintensystem fest. G-- test erstellt m 4.0.0

6 G Grundlgen der Vektorrechnung. Der Vektor PQ knn leicht durch die Ortsvektoren P und Q usgedrückt werden: Q Q 0 PQ P P Rechnen in Koordinten Die Zusmmenhänge zwischen Punkten und Ortsvektoren lssen ds Rechnen mit Ortsvektoren sehr einfch werden. Beispiele: P, Q PQ Q P 4 P Q ( ) ( ) Vernschulichung: y Q PQ P + Q 0 P x Ntürlich knn uch im -dimensionlen Rum mit Vektoren gerechnet werden. Beispiel: A ; ;, B ; ; AB B A 8. G--6 test erstellt m 4.0.0

7 G Grundlgen der Vektorrechnung Vektorrum In der Mthemtik werden Vektoren uch llgemeiner betrchtet ls Elemente einer Menge M mit einer Verknüpfung + und einer sklren Multipliktion. Unter bestimmten Bedingungen bezeichnet mn dise Menge ls Vektorrum: Definition: Mn nennt V einen Vektorrum über Zeichen (V,,, ), genu dnn, wenn gilt:. (V,+) ist ein kommuttive Gruppe.. Die S-Multipliktion erfüllt ) ds gemischte Assozitivgesetz, b) ds S-Distributivgesetz, c) ds V-Distributivgesetz, d) ds unitäre Gesetz. oder reellen Vektorrum, in Anmerkung: Die bisher vorgestellten Vektoren erfüllen die Kriterien für einen Vektorrum. G--7 test erstellt m 4.0.0

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