Lösungen Quadratische Gleichungen. x = x x = Also probieren wir es 3 4 = 12. x + + = Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf:

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1 Aufgbe : ) Lösen Sie die folgenden Gleichungen nch uf: = kein Problem einfch die Wurel iehen und ds ± nicht vergessen.. = = ±, b) + 5 = 0 Hier hben wir bei jedem Ausdruck ein, lso können wir usklmmern: + 5 = 0 ( + 5) = 0 = 0 = 5 c) + + = 7 0 Ds ist kein Binomischer Ausdruck weil mit Viet und siehe d und gehen: + = 7 = 7. Also probieren wir es = 0 ( + )( + ) = 0 = = d) = 0 Wiederum kein Binomischer Ausdruck ber Viet hilft uch hier, weil: ( )( + ) = 0 = =

2 e) Und wie grde Viet mit + und - geht, d = ( ) = Also: + = 0 ( + )( ) = 0 = = f) + = 7 0 Und noch ein Viet weil = 7 ( ) ( ) = Also los: 7 + = 0 ( )( ) = 0 = = g) + = Kein Binomi, kein Viet weil 8 die Teiler und ht und die ergeben in der Summe nicht 5. Also: Qudrtisches ergänen: = = Jett können wir uf beiden Seiten ergänen: = 8 + Nun rechts die. binomische Formel nwenden, links usrechnen

3 5 5 + = = Nun die Wurel iehen: = ± Und dmit ergibt sich mit den Potengeseten: 5 57 = = h) + = Gleichungen. Grdes mit können wir nicht llgemein lösen ber wie Sie sehen, tritt ds nur in gerden Potenen (,) uf. Also greifen wir u einem kleinen Trick: Wir erseten ds kommen dnn uf: = = durch eine neue Vrible und Diese Gleichung können wir norml lösen. Es ist kein Binomischer Ausdruck, d der hintere Term (-6) negtive ist ber geht Viet? Nein, wir finden keine Zhlen lso mit qudrtisch Ergänen: + = = = + ( ) usmmenfssen + = + = ± = + =, 6569 = = 9, 6569 Jett müssen wir ber wieder ds durch erseten es gilt: = = ± - Denken Sie n ds ± beim Wureliehen!!

4 Somit bekommen wir prinipiell Lösungen: = + = + = = Eine Gleichung. Grdes knn miml Nullstellen hben. Seten wir die Ergebnisse für und ein: = = + =, 6569 Diese Lösusung geht. Aber sehen sie ml, ws bei pssiert: = ist ber negtiv und eine Wurel us negtiven Zhlen ist für reelle Zhlen nicht erlubt! Also ist keine gültige Lösung. geht wieder: = + = =, 6569 Und geht wieder nicht, weil immer noch negtiv ist. Dmit erhlten wir wei gültige Lösungen: = = + =, 6569 = + = =, 6569 i) = 8 0 Wieder etws nspruchsvoller: Gleichungen dritter Grdes lso mit können wir wieder nicht llgemein lösen. Wir sehen ber, dß lle Terme Potenen von hben lso klmmern wir doch ein us: = 8 0 = ( 8 ) 0 Wird nun ein Anteil in dem Produkt Null, so gilt die Gleichung. Dmit hben wir schon die erste Lösung, direkt um Ablesen:

5 = 0 Die gesmte Gleichung wird ebenflls Null, wenn der Ausdruck in der Klmmer 0 wird lso müssen wir lösen = 8 0 Mchen wir es ml mit der p-q-formel: Es gilt:, p p = ± q Wir hben j schon dher die Indies und. Bestimmen wir p und q us der Gleichung: p = 8 q = Und seten ein:, ( 8) ( 8) = ± = ± ( ) = ± 6 + = ± 9 = ± 7 = = + ( ) usrechnen Also ergibt sich die Gesmtlösung, ml ls Menge geschrieben: { 0,, } j) + 8 = 6 Wenn wir diese Gleichung qudrieren, sind wir die Wureln los: + 8 = = 6 sortieren = 0 Und schon hben wir eine normls qudrtische Gleichung. Kein Binomi, ber nch Viet geht s, d

6 8 = ( ) ( ) 6 = Also: + = ( )( ) = 0 Und dmit ergibt sich in Mengenschreibweise: {,} k) + = 0 Hier hilft ml wieder nur qudrtisches Ergänen oder p-q-formel: + = = + + = = 5 + = ± 5 = + 5 = l) + + Versuchen wir es hier wieder mit qudrtisch ergänen:

7 + + = 0 + = + + = usrechnen + = usrechnen + = Und n der Stelle können wir ufhören. Wir können nun nicht die Wurel iehen, d die rechte Seite negtiv ist: Diese Aufgbe ht lso keine Lösung! Hätten wir die p-q-formel benutt, hätten wir es drn gemerkt, dß der Ausdruck unter der Wurel negtiv wird. p q = = ( die Diskriminnte) Aufgbe : Beim goldenen Schnitt verhlten sich wei Teilstrecken und b ueinnder wie die Summe der Teilstrecken ur längeren Strecke: b Bestimmen Sie und b, wenn beide Strecken usmmen ergeben. Ds Problem ist, dß wir hier wei Gleichungen hben. Nehmen wir die Verhältnisse und drücken es in einer Gleichung us. Sei die längere Strecke, dnn gilt: + b = b Weiterhin sollen beide Teilstrecken ddiert ergeben: + b = oder, nch b ufgelöst: b = Seten wir diese beiden Ausdrücke in die erste Gleichung ein, um nur noch eine Gleichung mit einer Vriblen u hben, erhlten wir: = Hier müssen wir erstml die Brüche loswerden, indem wir mit den Nennern multipliieren:

8 = ( ) = = sortieren + = Jett hben wir gleich die Form, um qudrtisch u ergänen: + = + + = = 5 + = ± usmmenfssen = + = + = = = = = = Der Wert für ist eindeutig negtiv, knn lso keine ulässige Lösung sein weil wir j eine positive Strecke suchen. Dmit ergibt sich für b: b = = = = = 0,8... Aufgbe : Gegeben sei die Gleichung + + = 0 Welchen Wert muß nnehmen, dmit die Gleichung genu eine Lösung ht? Nehmen wir ml wieder die p-q-formel, p p = ± q Dmit es nur eine Lösung gibt, muß der Wert unter der Wurel Null ergeben (Die Diskriminnte). Also seten wir ein: p = q = Und erhlten die Bestimmungsgleichung

9 = = Aufgbe : Lösen Sie die Gleichung 6 = Ht die Gleichung mehrere Lösungen? Achtung: Bei dieser Gleichung drf nicht werden, ds behlten wir im Hinterkopf. Ansonsten wird die linke Seite Null, wenn der Zähler Null wird. Also müssen wir lösen: 6 = 0 D sich 6 durch und teilen, lässt, ber -+ grde - ergibt, können wir fktorisieren: = 6 0 ( )( + ) = 0 Die Nullstellen dieser Gleichung sind lso = = D der Wert = für den Bruch verboten ist, ist nur die Lösung = korrekt.

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