Sponsored Search Markets

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Sponsored Search Markets"

Transkript

1 Sponsored Serch Mrkets ngelehnt n [EK1], Kpitel 15 Seminr Mschinelles Lernen, WS 21/211 Preise Slots b c Interessenten y z 19. Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 1

2 Them dieses Vortrgs Vortrg letzte Woche: Unbezhlte Ergebnisse: Reihenfolge mit PgeRnk Dieser Vortrg: Bezhlte Ergebnisse: Reihenfolge und Preise mit Auktionen 19. Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 2

3 Aufbu dieses Vortrgs Probleme der Preisbestimmung Verfhren 1: Generlized Second Price Auction (GSP) Idee, spieltheoretische Anlyse us Sicht der Bieter Verfhren 2: Vickrey-Clrke-Groves-Verfhren (VCG) Idee, spieltheoretische Anlyse us Sicht der Bieter Vergleich, Sicht des Suchmschinenbetreibers 19. Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 3

4 Probleme der Preisbestimmung Mehrere Slots, die unterschiedlich strk bechtet werden Jeder Interessent soll höchstens einen Slot bekommen Jeder Slot soll n genu einen verkuft werden (mrkträumende Preise) Suchmschinenbetreiber will möglichst hohen Erlös für sich erzielen Lösung durch Multi Item Auctions/Mtching Mrkets 19. Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie

5 Lösungsnstz: Verfhren us Kpitel 1 1. Auktiontor (=Suchmschinenbetreiber) psst Preise n (Vorschrift siehe Kpitel 1) 2. Jeder Interessent sgt, welche Slots bei diesen Preisen m besten für ihn sind 3. Wiederholung bis perfektes Mtching erreicht Preise Slots Interessenten fiktiver Slot (wird nicht bei Suchergebnissen ngezeigt) b y Betreibererlös c z 19. Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 5

6 Lösungsnstz: Verfhren us Kpitel 1 Problem: interktives Verfhren Bei jeder Preisfindung müssen lle Interessenten viele Itertionen lng teilnehmen Imprktikbel, besonders bei hoher Interessentenfluktution Lösung: Auktiontor muss Entscheidungsgrundlge der Interessenten kennen, brucht Interessenten dnn nicht immer wieder frgen Preise Slots Interessenten 7 Erlöse b c Gewinne 28 7-=3 Erlöse zu offenbren muss zu dominnter Strtegie gemcht werden b y =2 c z 1 -= 19. Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 6

7 Erlöse offenbren ls dominnte Strtegie Problem bereits bei Single Item Auctions (Kpitel 9) 1st Price Auction ist keine Lösung: Bieter ändern ihr Gebot häufig uf der Suche nch dem optimlen Gebot Arbeitsufwnd bei Interessenten, Serverlst beim Auktiontor 2nd Price Auction ist Lösung: Whren Erlös zu offenbren ist dominnte Strtegie Bruchen etws Anloges für Multi Item Auctions/Mtching Mrkets, d. h. eine Generlisierung der Single Item 2nd Price Auction Zwei Verfhren: Generlized Second Price Auction (GSP) Vickrey-Clrke-Groves-Verfhren (VCG) 19. Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 7

8 Generlized Second Price Auction GSP: Der Bieter, der ds i-te Item bekommt, zhlt ds (i+1)-te Gebot Single Item 2nd Price Auction Spezilfll dvon: Wer ds erste (=einzige) Item bekommt, zhlt ds zweite Gebot 19. Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 8

9 Einschub: Bezugseinheit bei der Online-Werbung Click Rtes Slots Interessenten Erlöse je Klick Erlöse b c Annhme: Click Rte hängt nur vom Slot b Unrelistisch führen deshlb später Korrekturfktoren ein b c y z Für den Erlös direkt relevnt ist nicht Welchen Slot belege ich?, sondern Wie viele Leute klicken uf meine Werbung? Also: Erlös = Click Rte Erlös je Klick Betreiber wird uch nicht je belegtem Slot bezhlt, sondern je erfolgtem Klick 19. Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 9

10 Generlized Second Price Auction Beispiel GSP: Der Bieter, der ds i-te Item bekommt, zhlt ds (i+1)-te Gebot Click Rtes Slots Interessenten Erlöse je Klick Gebote je Klick Gewinne (7-6) 1=1 5 (7-1) =2 b c y z (6-1) =2 (6-5) 1=1 (1-) = knn seinen Gewinn durch unehrliches Bieten erhöhen Whre Erlöse ls Gebote führen im Allgemeinen zu keinem Nsh Equilibrium Immerhin: Es gibt immer 1 Nsh Equilibri (Beweis siehe [EK1]) 19. Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 1

11 Vickrey-Clrke-Groves-Verfhren Beispiel VCG-Prinzip: Ein Bieter muss so viel zhlen, wie lle nderen zusmmen mehr Erlös hätten, wenn der Bieter nicht mitbieten würde Slots Interessenten Erlöse Erlöse Erlöse Mehrerlöse b c mit ohne Preise b y c z Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 11

12 Vickrey-Clrke-Groves-Verfhren Beispiel VCG-Prinzip: Ein Bieter muss so viel zhlen, wie lle nderen zusmmen mehr Erlös hätten, wenn der Bieter nicht mitbieten würde Slots Interessenten Erlöse Erlöse Erlöse Mehrerlöse b c mit y ohne y Preise b y c z Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 12

13 Vickrey-Clrke-Groves-Verfhren Formlisierung VCG-Prinzip: Ein Bieter muss so viel zhlen, wie lle nderen zusmmen mehr Erlös hätten, wenn der Bieter nicht mitbieten würde S := Menge ller Slots, B := Menge ller Bieter E B S := Durch ein perfektes Mtching zwischen S und B miml erreichbre Erlössumme (VCG-Verfhren erreicht diese, Beweis siehe [EK1]) Erlössumme der nderen, wenn Slot n Bieter vergeben wird: Erlössumme der nderen, wenn Bieter nicht mitböte: S E B {} S {} E B {} Preis, den Bieter für Slot bezhlen muss, wenn er ihm zugeteilt wird = Mehrerlössumme der nderen, wenn nicht mitbieten würde: p = S S {} EB {} E B {} Preis ist unbhängig von den echten und vorgeblichen Erlösen von Bieter 19. Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 13

14 Erlössummen Vernschulichung Erlössumme mit llen Slots und llen Bietern: Erlössumme der nderen, wenn Slot n Bieter vergeben wird: Erlössumme der nderen, wenn Bieter nicht mitböte: E B S S E B {} S {} E B {} Preis, den Bieter für Slot bezhlen muss, wenn er ihm zugeteilt wird: p = S S {} EB {} E B {} Interessenten b c mit ohne Erlöse Erlöse Erlöse Slots Mehrerlöse b y c z 1 S {} E B {} S E B {} p E B S 19. Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 1

15 Single Item 2nd Price Auction ls Spezilfll vom VCG-Verfhren Alle Items ußer sind fiktiv und wertlos; wer sie bekommt, ht keinen Erlös Wenn Höchstbietender ist und y Zweithöchstbietender: S {} E B {} = S EB {} = e y Erlös von Bieter y für Item = Gebot von Bieter y p = S S {} EB {} E B {} = ey Der Höchstbietende muss lso ds Gebot des Zweithöchstbietenden bezhlen 19. Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 15

16 Erlöse offenbren ist dominnte Strtegie beim VCG-Verfhren Annhme: Wenn Bieter ehrlich bietet, bekommt er Slot zugeteilt Behuptung: knn seinen Gewinn durch unehrliche Angbe seiner Erlöse nicht erhöhen Fll 1: Gebotsänderung ht keinen Einfluss uf erhltenen Slot Gewinn bleibt gleich Fll 2: Bieter erhält Slot f sttt Slot Zu beweisen: Gewinn durch Slot f Gewinn durch Slot e f p f e p Gewinn = Erlös e Preis p Einsetzen: f e S S {f} E B {} E e S B {} E B {} S {} E B {} Vereinfchen: f S {f} e EB {} S {} e EB {} Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 16

17 Erlöse offenbren ist dominnte Strtegie beim VCG-Verfhren... f S {f} e EB {} S {} e EB {} Die Terme sind die mimlen Erlössummen von Mtchings zwischen llen Slots und llen Bietern... Nch Annhme: VCG-Verfhren teilt Slot Bieter zu VCG-Verfhren erreicht die mimle Erlössumme (Beweis: [EK1]) Zuteilung von Slot n Bieter ist Teil eines optimlen Mtchings... jeweils mit der Einschränkung, dss Slot f bzw. Slot n Bieter vergeben wird S {} e EB {} = S EB f S {f} e EB {} E B S Ungleichung ist erfüllt (selbst wenn die nderen Bieter lügen) Unehrliche Angbe der Erlöse erhöht den Gewinn nicht, ehrliche Offenbrung ist lso dominnte Strtegie E B S Nch Definition miml 19. Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 17

18 Vergleich us Sicht des Suchmschinenbetreibers GSP VCG wichtig für Betreiber intuitiv verständlich j eher nein eher j (Trnsprenz) ht llgemeine dominnte Strtegie nein j eher j (Serverlst) mimiert Erlössumme der Bieter nein j eher nein mimiert Erlös des Betreibers nein nein j Welches Verfhren unter welchen Umständen besser ist: Them ktueller Forschung 19. Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 18

19 Click Rte bhängig von Werbung Click Rte ist nicht nur vom Slot bhängig Die im Slot ngezeigte Werbung ht großen Einfluss Z. B. zum Suchusdruck kum pssende Werbung uninteressnt Ungünstig für Betreiber: Uninteressnte Werbung mit hohem Gebot Belegt einen Slot Bringt zwr hohen Betreibererlös je Klick Aber es kommen nur wenig Klicks zustnde Niedriger Gesmterlös 19. Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 19

20 Click Rte bhängig von Werbung Lösung: Korrekturfktor je Werbung, mit dem ds Gebot multipliziert wird Einflüsse uf den Korrekturfktor: Bisherige Click Rte dieser speziellen Werbung Anlyse der Zielseite (z. B. PgeRnk) Geheime Zutten Trnsprenz des Verfhrens verringert Wie verhlten sich Spieler, wenn ihnen die genuen Regeln des Spiels nicht beknnt sind? Aktuelle Forschung 19. Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 2

21 Litertur Übersicht [EK1] Dvid Esley nd Jon Kleinberg. Networks, Clouds, nd Mrkets: Resoning bout Highly Connected World. Cmbridge University Press, 21. Generlized Second Price Auction [EOS7] Ben Edelmn, Michel Ostrovsky, nd Michel Schwrz. Internet dvertising nd the generlized second price uction: Selling billions of dollrs worth of keywords. Americn Economic Review, 97(1):22 259, Mrch 27. [Vr7] Hl Vrin. Position uctions. Interntionl Journl of Industril Orgniztion, 25: , 27. Vickrey-Clrke-Groves-Prinzip [Cl71] Edwrd H. Clrke. Multiprt pricing of public goods. Public Choice, 11:17 33, Fll [Gro73] Theodore Groves. Incentives in tems. Econometric, 1: , July Anwendung des Vickrey-Clrke-Groves-Prinzips uf Mtching Mrkets [Dem82] Gbrielle Demnge. Strtegyproofness in the ssignment mrket gme, Lbortiore d Econometrie de l Ecole Polytechnique. [Leo83] Hermn B. Leonrd. Elicittion of honest preferences for the ssignment of individuls to positions. Journl of Politicl Economy, 91(3):61 79, Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 21

Multiplikative Inverse

Multiplikative Inverse Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll

Mehr

1KOhm + - y = x LED leuchtet wenn Schalter x gedrückt ist

1KOhm + - y = x LED leuchtet wenn Schalter x gedrückt ist . Ohm = LED leuchtet wenn chlter gedrückt ist 2. Ohm = NICH ( = NO ) LED leuchtet wenn chlter nicht gedrückt ist = ist die Negtion von? Gibt es so einen kleinen chlter (Mikrotster)? 2. Ohm = UND LED leuchtet

Mehr

Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2

Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2 Mthe Wrm-Up, Teil 1 1 2 HEUTE: 1. Elementre Rechenopertionen: Brüche, Potenzen, Logrithmus, Wurzeln 2. Summen- und Produktzeichen 3. Gleichungen/Ungleichungen 1 orientiert sich n den Kpiteln 3,4,6,8 des

Mehr

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem

Mehr

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis - - VB Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... Die Inverse einer Mtrix.... Definition der Einheitsmtrix.... Bedingung für die inverse Mtrix.... Berechnung der Inversen Mtrix..... Ds Verfhren nch Guß mit

Mehr

Mathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen

Mathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen Mthemtik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen von Stefn Gärtner (Gr) Stefn Gärtner -00 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Inhlt Inhltsverzeichnis Seite Grundwissen Ws ist ein Bruch? Rtionle Zhlen Q Erweitern

Mehr

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................

Mehr

Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* aller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt:

Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* aller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt: 8. Grundlgen der Informtionstheorie 8.1 Informtionsgehlt, Entropie, Redundnz Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* ller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt: 1.

Mehr

Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke

Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke Umwndlung von endlichen Automten in reguläre Ausdrücke Wir werden sehen, wie mn us einem endlichen Automten M einen regulären Ausdruck γ konstruieren knn, der genu die von M kzeptierte Sprche erzeugt.

Mehr

Präfixcodes und der Huffman Algorithmus

Präfixcodes und der Huffman Algorithmus Präfixcodes und der Huffmn Algorithmus Präfixcodes und Codebäume Im Folgenden werden wir Codes untersuchen, die in der Regel keine Blockcodes sind. In diesem Fll können Codewörter verschiedene Länge hben

Mehr

Schritte international im Beruf

Schritte international im Beruf 1 Ws mchen die Leute uf dem Foto? Kreuzen Sie n. Die Leute sind ei der Berufsertung. mchen zusmmen ein Seminr. hen gerde Puse. pnthermedi / Werner H. Wer sind die Leute? Ergänzen Sie. die Referentin /

Mehr

Gedanken stoppen und entschleunigen

Gedanken stoppen und entschleunigen 32 AGOGIK 2/10 Bertie Frei, Luigi Chiodo Gednken stoppen und entschleunigen Individuelles Coching Burn-out-Prävention Probleme knn mn nie mit derselben Denkweise lösen, durch die sie entstnden sind. Albert

Mehr

Versuchsplanung. Grundlagen. Extrapolieren unzulässig! Beobachtungsbereich!

Versuchsplanung. Grundlagen. Extrapolieren unzulässig! Beobachtungsbereich! Versuchsplnung 22 CRGRAPH www.crgrph.de Grundlgen Die Aufgbe ist es Versuche so zu kombinieren, dss die Zusmmenhänge einer Funktion oder eines Prozesses bestmöglich durch eine spätere Auswertung wiedergegeben

Mehr

Mehrstufige Spiele mit beobachtbaren Handlungen

Mehrstufige Spiele mit beobachtbaren Handlungen 3. Wiederhole Spiele und kooperives Verhlen Mehrsufige Spiele mi beobchbren Hndlungen Idee: Ds Spiel sez sich us K+ Sufen zusmmen, wobei eine Sufe k us einem Teilspiel mi simulner Whl von Akionen k i beseh

Mehr

A.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ( )

A.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ( ) A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit A.5 Stetigkeit und Differenzierbrkeit ( ) Eine Funktion ist wenn die Kurve nicht unterbrochen wird, lso wenn mn sie zeichnen knn, ohne den Stift vom Bltt bzusetzen.

Mehr

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre Vorlesung Einführung in die mthemtische Sprche und nive Mengenlehre 1 Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johnn-von-Neumnn-Hus Fchschft Menge ller Studenten eines Institutes Fchschftsrt

Mehr

Seminar Quantum Computation - Finite Quanten-Automaten und Quanten-Turingmaschinen

Seminar Quantum Computation - Finite Quanten-Automaten und Quanten-Turingmaschinen Seminr Quntum Computtion - Finite Qunten-Automten und Qunten-Turingmschinen Sebstin Scholz sscholz@informtik.tu-cottbus.de Dezember 3. Einleitung Aus der klssischen Berechenbrkeitstheorie sind die odelle

Mehr

Nutzung der Abwärme aus Erneuerbare-Energie-Anlagen

Nutzung der Abwärme aus Erneuerbare-Energie-Anlagen 5 2014 Sonderdruck us BWK 5-2014 Wichtige Kennzhlen und effiziente Plnung für die dezentrle Wärmewende Nutzung der Abwärme us Erneuerbre-Energie-Anlgen Wichtige Kennzhlen und effiziente Plnung für die

Mehr

Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012. Sprachen. Grammatiken (Einführung)

Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012. Sprachen. Grammatiken (Einführung) Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Wörter Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 2012 Dr. Snder Bruggink Üungsleitung: Jn Stückrth Alphet Ein

Mehr

Lösung zur Klausur. Grundlagen der Theoretischen Informatik. 1. Zeigen Sie, dass die folgende Sprache regulär ist: w {a, b} w a w b 0 (mod 3) }.

Lösung zur Klausur. Grundlagen der Theoretischen Informatik. 1. Zeigen Sie, dass die folgende Sprache regulär ist: w {a, b} w a w b 0 (mod 3) }. Lösung zur Klusur Grundlgen der Theoretischen Informtik 1. Zeigen Sie, dss die folgende Sprche regulär ist: { w {, } w w 0 (mod 3) }. Lösung: Wir nennen die Sprche L. Eine Sprche ist genu dnn regulär,

Mehr

JUSTUS-LIEBIG-UNIVERSITÄT GIESSEN

JUSTUS-LIEBIG-UNIVERSITÄT GIESSEN JUSTUS-LIEBIG-UNIVERSITÄT GIESSEN Professur für VWL II Wolfgng Scherf Die Exmensklusur us der Volkswirtschftslehre Erschienen in: WISU 8-9/2000, S. 1163 1166. Fchbereich Wirtschftswissenschften Prof. Dr.

Mehr

Bsp 6.1: Slutsky Zerlegung für Kreuzpreiseffekte

Bsp 6.1: Slutsky Zerlegung für Kreuzpreiseffekte Bsp 6.1: Slutsky Zerlegung für Kreuzpreiseffekte Wie wirkt sich eine reiserhöhung für Gut uf die konsumierte Menge n us: Bzw.: d (,, ) h (,, V ) 2 V 0,5 0,5 Für die Unkompensierte Nchfrgefunktion gilt:

Mehr

Schützen Sie diejenigen, die Ihnen am Herzen liegen. Risikopremium

Schützen Sie diejenigen, die Ihnen am Herzen liegen. Risikopremium Schützen Sie diejenigen, die Ihnen m Herzen liegen Risikopremium 521310620_1001.indd 1 03.12.09 14:50 Verntwortung heißt, weiter zu denken Die richtige Berufswhl, die Gründung einer eigenen Fmilie, die

Mehr

1.2 Der goldene Schnitt

1.2 Der goldene Schnitt Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 8. Der goldene Schnitt Beim Begriff Goldener Schnitt denken viele Menschen n Kunst oder künstlerische Gestltung. Ds künstlerische Problem ist, wie ein Bild wohlproportioniert

Mehr

Mathematik schriftlich

Mathematik schriftlich WS KV Chur Abschlussprüfungen 00 für die Berufsmtur kufmännische Richtung Mthemtik schriftlich LÖSUNGEN Kndidtennummer Nme Vornme Dtum der Prüfung Bewertung mögliche erteilte Punkte Punkte. Aufgbe 0. Aufgbe

Mehr

Lineare DGL zweiter Ordnung

Lineare DGL zweiter Ordnung Universität Duisburg-Essen Essen, 03.06.01 Fkultät für Mthemtik S. Buer C. Hubcsek C. Thiel Linere DGL zweiter Ordnung Betrchten wir ds AWP { x + x + bx = 0 mit, b, t 0, x 0, v 0 R. Der Anstz xt 0 = x

Mehr

Dein Trainingsplan. sportmannschaft. ... und was sonst noch wichtig ist. Deine Zähne sind wie deine. und du bist der Trainer!

Dein Trainingsplan. sportmannschaft. ... und was sonst noch wichtig ist. Deine Zähne sind wie deine. und du bist der Trainer! hben Freunde Deine Zähne sind wie deine sportmnnschft und du bist der Triner! Und jeder Triner weiß, wie wichtig jeder einzelne Spieler ist eine wichtige und schöne Aufgbe! Drum sei nett zu deinen Zähnen

Mehr

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

Verbrauchswerte. 1. Umgang mit Verbrauchswerten

Verbrauchswerte. 1. Umgang mit Verbrauchswerten Verbruchswerte Dieses Unterkpitel ist speziell dem Them Energienlyse eines bestehenden Gebäudes nhnd von Verbruchswerten (Brennstoffverbräuche, Wrmwsserverbruch) gewidmet. BEISPIEL MFH: Ds Beispiel des

Mehr

Digitaltechnik. 3 Sequenzielle. Schaltungen. Revision 1.1

Digitaltechnik. 3 Sequenzielle. Schaltungen. Revision 1.1 igitltechnik 3 Sequenzielle Schltungen A Revision 1.1 Trnsitionssysteme Synchroner sequenzieller Entwurf Timing-Anlyse Pipelining Mely und Moore Mschinen Zustndsmschinen in Verilog Sequentielle Schltungen

Mehr

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist,

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist, Seitenlängen von Qudrten lssen sich mnchml sehr leicht und mnchml etws schwerer Wurzeln bestimmen. Dnn brucht mn Wurzeln. Treffender müsste mn von Qudrtwurzeln sprechen. Sie stehen in enger Beziehung zu

Mehr

Kurvenintegrale. 17. Juli 2006 (Korrigierte 2. Version) 1 Kurvenintegrale 1. Art (d.h. f ist Zahl, kein Vektor)

Kurvenintegrale. 17. Juli 2006 (Korrigierte 2. Version) 1 Kurvenintegrale 1. Art (d.h. f ist Zahl, kein Vektor) Kurvenintegrle Christin Mosch, Theoretische Chemie, Universität Ulm, christin.mosch@uni-ulm.de 7. Juli 26 (Korrigierte 2. Version Kurvenintegrle. Art (d.h. f ist Zhl, kein Vektor Bei Kurvenintegrlen. Art

Mehr

123 Familienausgleichskasse

123 Familienausgleichskasse 1 Fmilienzulgen: Anmeldung für Arbeitnehmende eines nicht beitrgspflichtigen Arbeitgebers (Anobg) Antrgstellerin / Antrgsteller Abrechnungsnummer (xxx.xxx) 123 Fmilienusgleichsksse Sozilversicherungsnstlt

Mehr

Canon Nikon Sony. Deutschland 55 45 25. Österreich 40 35 35. Schweiz 30 30 20. Resteuropa 60 40 30 55 45 25 40 35 35 J 30 30 20 60 40 30

Canon Nikon Sony. Deutschland 55 45 25. Österreich 40 35 35. Schweiz 30 30 20. Resteuropa 60 40 30 55 45 25 40 35 35 J 30 30 20 60 40 30 15 Mtrizenrechnung 15 Mtrizenrechnung 15.1 Mtrix ls Zhlenschem Eine Internetfirm verkuft über einen eigenen Shop Digitlkmers. Es wird jeweils nur ds Topmodel der Firmen Cnon, Nikon und Sony ngeboten. Verkuft

Mehr

Schützen Sie diejenigen, die Ihnen am Herzen liegen. Risikopremium

Schützen Sie diejenigen, die Ihnen am Herzen liegen. Risikopremium Schützen Sie diejenigen, die Ihnen m Herzen liegen Risikopremium Verntwortung heißt, weiter zu denken Die richtige Berufswhl, die Gründung einer eigenen Fmilie, die eigenen vier Wände, der Schritt in die

Mehr

Aufgaben zur Kreisgeometrie

Aufgaben zur Kreisgeometrie Dr. Krlhorst Meer Aufgben zur Kreisgeometrie 1. Frgen Die folgenden Aufgben sind entsprechend MEYER [1] geordnet und beziehen sich uf dieses Mnuskript. 1. Aufgben findet mn in jedem Buch über komplee Zhlen,

Mehr

Mathematik. Name, Vorname:

Mathematik. Name, Vorname: Kntonsschule Zürich Birch Fchmittelschule Aufnhmeprüfung 2007 Nme, Vornme: Nr.: Zeit: 90 Minuten erlubte Hilfsmittel: Tschenrechner us der Sekundrschule, lso weder progrmmierbr noch grfik- oder lgebrfähig

Mehr

Sport Club (SC) Swiss Re München e.v.

Sport Club (SC) Swiss Re München e.v. Sport Club (SC) Swiss Re München e.v. Außerordentliche Mitgliederversmmlung Donnerstg, 20.11.2014, 16:30 Uhr Rum 1.330, Swiss Re Europe S.A., Niederlssung Deutschlnd Dieselstrße 11, Unterföhring Außerordentliche

Mehr

Bruchterme und gebrochen rationale Funktionen ================================================================== Der Quotient zweier Terme

Bruchterme und gebrochen rationale Funktionen ================================================================== Der Quotient zweier Terme Bruchterme und gebrochen rtionle Funktionen Der Quotient zweier Terme Es ist ist 3 : 4 3 und. 4 : 3 4 3 4 Dehnt mn die Bruchschreibweise uf Terme us, dnn erhält mn sog. Bruchteme. ² ( + ) : (3 + 4) + 3

Mehr

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie -

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie - Für den Mthe GK, Henß - Linere Alger und nlytische Geometrie - Bis uf die Astände ist jetzt lles drin.. Ich h noch ne tolle Seite entdeckt mit vielen Beispielen und vor llem Aufgen zum Üen mit Lösungen..

Mehr

Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit

Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit WS 008/09 7 Elementrmthemtik (LH) und Fehlerfreiheit. Zhlenbereiche... Die rtionlen Zhlen... Definition Die Definition der rtionlen Zhlen erfolgt hier innermthemtisch ebenflls wie diejenige der gnzen Zhlen

Mehr

Mathematik PM Rechenarten

Mathematik PM Rechenarten Rechenrten.1 Addition Ds Pluszeichen besgt, dss mn zur Zhl die Zhl b hinzuzählt oder ddiert. Aus diesem Grunde heisst diese Rechenrt uch Addition. + b = c Summnd plus Summnd gleich Summe Kommuttivgesetz

Mehr

Musterlösung zu Aufgabe 1 (Klassenstufe 9/10)

Musterlösung zu Aufgabe 1 (Klassenstufe 9/10) Musterlösung zu Aufgbe 1 (Klssenstufe 9/10) Aufgbe. Drei Freunde spielen mehrere Runden eines Spiels, bei dem sie je nch Rundenpltzierung in jeder Runde einen festen, gnzzhligen Betrg x, y oder z usgezhlt

Mehr

Der beste Umzug, den wir je hatten. Privatumzüge Überseeumzüge Senioenumzüge Kunsttransporte Lagerung ERWIN WEDMANN

Der beste Umzug, den wir je hatten. Privatumzüge Überseeumzüge Senioenumzüge Kunsttransporte Lagerung ERWIN WEDMANN Der beste Umzug, den wir je htten. Privtumzüge Überseeumzüge Senioenumzüge Kunsttrnsporte Lgerung ERWIN WEDMANN Erwin Wedmnn Euromovers erfolgreiche Koopertion seit über 20 Jhren Heute zählt die EUROMOVERS

Mehr

Nullstellen quadratischer Gleichungen

Nullstellen quadratischer Gleichungen Nullstellen qudrtischer Gleichungen Rolnd Heynkes 5.11.005, Achen Nch y ufgelöst hen qudrtische Gleichungen die Form y = x +x+c. Zeichnet mn für jedes x uf der rechten Seite und ds drus resultierende y

Mehr

Definition Suffixbaum

Definition Suffixbaum Suffix-Bäume Definition Suche nch einer Menge von Mustern Längste gemeinsme Zeichenkette Pltzreduktion Suffixbäume für Muster Alle Pre Suffix-Präfix Übereinstimmung Sich wiederholende Strukturen Definition

Mehr

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6 Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.

Mehr

Das Rechnen mit Logarithmen

Das Rechnen mit Logarithmen Ds Rechnen mit Logrithmen Etw in der 0. Klssenstufe kommt mn in Kontkt mit Logrithmen. Für die, die noch nicht so weit sind oder die, die schon zu weit dvon entfernt sind, hier noch einml ein kleiner Einblick:

Mehr

vollständig (Vervollständigung) deterministisch, DFA (Potenzmengenkonstruktion) Minimalautomat: minimaler vollständiger DFA

vollständig (Vervollständigung) deterministisch, DFA (Potenzmengenkonstruktion) Minimalautomat: minimaler vollständiger DFA Ws isher geschh NFA A = (X, Q, δ, I, F ) vollständig (Vervollständigung) deterministisch, DFA (Potenzmengenkonstruktion) Minimlutomt: minimler vollständiger DFA Für jede Sprche L X sind die folgenden Aussgen

Mehr

Reader. für den Einsatz in der Wiederholungsphase im Mathematikunterricht der Jahrgangsstufe 11

Reader. für den Einsatz in der Wiederholungsphase im Mathematikunterricht der Jahrgangsstufe 11 Reder für den Einstz in der Wiederholungsphse im Mthemtikunterricht der Jhrgngsstufe Anhng zur schriftlichen Husrbeit zur Zweiten Sttsprüfung für ds Lehrmt n öffentlichen Schulen von Andres Rschke Vorwort

Mehr

Ausbildung zum Passagement-Consultant

Ausbildung zum Passagement-Consultant M & MAICONSULTING Mngementbertung Akdemie M MAICONSULTING Mngementbertung & Akdemie MAICONSULTING GmbH & Co. KG Hndschuhsheimer Lndstrße 60 D-69121 Heidelberg Telefon +49 (0) 6221 65024-70 Telefx +49 (0)

Mehr

Über die sog. «Ein-Franken-pro-Todesfall» -Kassen.

Über die sog. «Ein-Franken-pro-Todesfall» -Kassen. Über die sog. «Ein-Frnken-pro-Todesfll» -Kssen. Eine versicherungstechnische Studie von HEINRICH JECKLIN (Zürich). (AIs Mnuskript eingegngen m 25. Jnur 1940.) In der versicherungstechnischen Litertur finden

Mehr

Prof. Abdolkarim Sadrieh, Übung Struktur und Design elektronischer Märkte, SS13 1. Lösung Spieltheorie. Spieler 1

Prof. Abdolkarim Sadrieh, Übung Struktur und Design elektronischer Märkte, SS13 1. Lösung Spieltheorie. Spieler 1 Prof. dolkrim Sdrieh, Üung Struktur und Design elektronischer Märkte, SS3 ufge Spieltheorie Spieler Spieler 5,7 3,6 4, 5,8 Finden Sie i. ds(die) Nshgleichgewicht(e) NGG =(,); NGG =(,) ii. (schwch-) dominnte

Mehr

x usw., wie oben unter 1.) behauptet.]

x usw., wie oben unter 1.) behauptet.] [Anmerkung zur Berechnung im Beispiel: Ersetzen wir die Zhlen der AzM durch die Koeffizienten, 2, 2 und 22, so lässt sich die Rechnung sowohl für ) ls uch b) gnz nlog durchführen, und es ergibt sich z.

Mehr

REGSAM-Handbuch. für neue Facharbeitskreissprecherinnen und -sprecher

REGSAM-Handbuch. für neue Facharbeitskreissprecherinnen und -sprecher REGSAM-Hndbuch für neue Fchrbeitskreissprecherinnen und -sprecher Inhlte Vorwort. 2 Über REGSAM. o Wozu REGSAM? o REGSAM holt lle Hndelnden n einen Tisch o Wie wird gerbeitet? Oder: Die Gremien o Zentrler

Mehr

Lernumgebungen zu den binomischen Formeln

Lernumgebungen zu den binomischen Formeln Lernumgebungen zu den binomischen Formeln Die Fchmittelschule des Kntons Bsel-Lnd ist ein dreijähriger Bildungsgng der zum Fchmittelschulzeugnis führt. Dbei entspricht die 1.FMS dem 10. Schuljhr. Zu Beginn

Mehr

1.6 Bruchterme. 1 Einführung und Repetition 2. 2 Multiplikation und Division von Bruchtermen 3. 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3

1.6 Bruchterme. 1 Einführung und Repetition 2. 2 Multiplikation und Division von Bruchtermen 3. 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3 .6 Bruchterme Inhltsverzeichnis Einführung und Repetition 2 2 Multipliktion und Division von Bruchtermen 3 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3 4 Doppelbrüche 5 5 Die Addition von zwei Bruchtermen

Mehr

Übungsblatt 1 zum Propädeutikum

Übungsblatt 1 zum Propädeutikum Üungsltt zum Propädeutium. Gegeen seien die Mengen A = {,,,}, B = {,,} und C = {,,,}. Bilden Sie die Mengen A B, A C, (A B) C, (A C) B und geen Sie diese in ufzählender Form n.. Geen Sie lle Teilmengen

Mehr

Finanzbuchhaltung nach SWISS GAAP FER

Finanzbuchhaltung nach SWISS GAAP FER Finnzbuchhltung nch SWISS GAAP FER Frnz Crlen, Anton Riniker, Nicole Widmer Anpssungen der 2. Auflge 2013 Liebe Leserinnen und Leser In der Fchempfehlung zu Rechnungslegung 2014/15 wurden einige wesentliche

Mehr

Die kleine Box für den großen Erfolg. Fragen und Antworten zur. GUSbox 16, 90* So einfach wie telefonieren. mtl.ab. a Fernwartung Ihrer Praxis -

Die kleine Box für den großen Erfolg. Fragen und Antworten zur. GUSbox 16, 90* So einfach wie telefonieren. mtl.ab. a Fernwartung Ihrer Praxis - So einfch wie telefonieren Frgen und Antworten zur Fxe von jedem Arbeitspltz senden und empfngen. DMP Bögen elektronisch versenden. ** Dle-UV BG Formulre und Abrechnung elektronisch übertrgen. Arztbriefe

Mehr

Falls die Werte von X als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufallsvariable.

Falls die Werte von X als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufallsvariable. Sttistik I für Sttistiker, Mthemtiker und Informtiker Lösungen zu Bltt 11 Gerhrd Tutz, Jn Ulbricht, Jn Gertheiss WS 7/8 Theorie: Stetige Zufllsvriblen Begriff Stetigkeit: Eine Vrible oder ein Merkml X

Mehr

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt) Inneres Produkt (Sklrprodukt) 17 1.7 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt. 2003 7.1 Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ

Mehr

1.6 Bruchterme. 1 Theorie Lernziele Repetition Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I Doppelbrüche...

1.6 Bruchterme. 1 Theorie Lernziele Repetition Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I Doppelbrüche... .6 Bruchterme Inhltsverzeichnis Theorie. Lernziele............................................ Repetition............................................3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I.......................

Mehr

Matrizen und Determinanten

Matrizen und Determinanten Mtrizen und Determinnten Im bschnitt Vektorlgebr Rechenregeln für Vektoren Multipliktion - Sklrprodukt, Vektorprodukt, Mehrfchprodukte wurde in einem Vorgriff bereits eine interessnte mthemtische Konstruktion

Mehr

ARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG

ARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-6 FLÄHENBEREHNUNG MITTELS INTEGRLREHNUNG Geschichtlich entwickelte sich die Integrlrechnug us folgender Frgestellung: Wie knn mn den Flächeninhlt

Mehr

Grundwissen am Ende der Jahrgangsstufe 9. Wahlpflichtfächergruppe II / III

Grundwissen am Ende der Jahrgangsstufe 9. Wahlpflichtfächergruppe II / III Grundwissen m Ende der Jhrgngsstufe 9 Whlpflichtfächergruppe II / III Funktionsbegriff Gerdengleichungen ufstellen und zu gegebenen Gleichungen die Grphen der Gerden zeichnen Ssteme linerer Gleichungen

Mehr

Wie muss x gewählt werden, so dass K 1 anschließend einen geraden Stoß mit K 3 ausführt?

Wie muss x gewählt werden, so dass K 1 anschließend einen geraden Stoß mit K 3 ausführt? ZÜ 2.1 Aufgbe 2.1 Drei Kugeln K 1, K 2 und K 3 Mssen, m 2 und m 3 befinden sich in einer Rille und berühren sich nicht. Die erste Kugel gleitet mit der Geschwindigkeit v1 und stößt vollkommen elstisch

Mehr

Limit Texas Hold em. Meine persönlichen Erfahrungen

Limit Texas Hold em. Meine persönlichen Erfahrungen Limit Texs Hold em Meine persönlichen Erfhrungen Dominic Dietiker c Drft dte 21. September 2010 Inhltsverzeichnis 1. Spielnleitung...................................... 1 1.1 Der Spielverluf....................................

Mehr

1 Ergänzungen zur Differentialrechnung

1 Ergänzungen zur Differentialrechnung $Id: nlytisch.te,v 1.3 2011/04/13 11:01:11 hk Ep $ 1 Ergänzungen zur Differentilrechnung Dieses einleitende Kpitel wollen wir verwenden um den Anschluss n ds vorige Semester herzustellen. Eine direkte

Mehr

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 7. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie 25.11.2015

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 7. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie 25.11.2015 LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Anres Herz, Dr. Stefn Häusler emil: heusler@biologie.uni-muenchen.e Deprtment Biologie II Telefon: 089-280-74800 Großhernerstr. 2 Fx:

Mehr

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009 UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis

Mehr

Karlsruhe - Mannheim - Aachen

Karlsruhe - Mannheim - Aachen Deutsche Finnzdtenbnk - DFDB Krlsruhe - Mnnheim - Achen - Krlsruhe - Die Bereinigung von Aktienkursen - Ein kurzer Uberblick uber Konzept und prktische Umsetzung - Andres Suer Version 10, August 1991 Projektleitung:

Mehr

Endliche Automaten. S. Kuske: Endliche Automaten; 6.Novenber 2006

Endliche Automaten. S. Kuske: Endliche Automaten; 6.Novenber 2006 1 Endliche Automten Einfches Modellierungswekzeug (z.b. UML-Sttechrts) Verrbeiten Wörter/Ereignisfolgen Erkennen Sprchen Erluben schnelle Sprcherkennung Anwendungsbereiche: Objektorientierte Modellierung,

Mehr

Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090

Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090 OvTG Guting, Grundwissen Mthemtik 5. Klsse 1. Ntürliche Zhlen Dezimlsystem Mn nennt die Zhlen, die mn zum Zählen verwendet, 10963 = 1 10000+ 0 1000+ 9 100+ 6 10 + 3 1 ntürliche Zhlen. Der Stellenwert der

Mehr

Grundbegriffe der Informatik Aufgabenblatt 5

Grundbegriffe der Informatik Aufgabenblatt 5 Grundegriffe der Informtik Aufgenltt 5 Mtr.nr.: Nchnme: Vornme: Tutorium: Nr. Nme des Tutors: Ausge: 20. Novemer 2013 Age: 29. Novemer 2013, 12:30 Uhr im GBI-Briefksten im Untergeschoss von Geäude 50.34

Mehr

13 Rekonfigurierende binäre Suchbäume

13 Rekonfigurierende binäre Suchbäume 13 Rekonfigurierende inäre Suchäume U.-P. Schroeder, Uni Pderorn inäräume, die zufällig erzeugt wurden, weisen für die wesentlichen Opertionen Suchen, Einfügen und Löschen einen logrithmischen ufwnd uf.

Mehr

Übungen zur Analysis 2

Übungen zur Analysis 2 Mthemtisches Institut der Universität München Prof. Dr. Frnz Merkl Sommersemester 2013 Bltt 2 26.4.2013 Übungen zur Anlysis 2 2.1 Vernschulichung der Cuchy-Schwrz-Ungleichung. Gegeben seien die Vektoren

Mehr

Numerische Mathematik I

Numerische Mathematik I Numerische Mthemtik I Dr. Wolfgng Metzler Universität Kssel unter Mitwirkung von Dipl.-Mth. Mrtin Steigemnn Sommersemester 2005 ii c 2005 Dr. Wolfgng Metzler, Fchbereich Mthemtik und Informtik der Universität

Mehr

Repetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion

Repetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Inhltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Eponentilfunktionen mit Beispielen 2 D) Aufgben Ep.fkt. mit Musterlösungen 6 E) Logrithmusfunktionen

Mehr

Internationale Ökonomie I Vorlesung 3: Das Riccardo-Modell: Komparative Vorteile und Produktivität (Master)

Internationale Ökonomie I Vorlesung 3: Das Riccardo-Modell: Komparative Vorteile und Produktivität (Master) Interntionle Ökonomie I Vorlesung 3: Ds Riccrdo-Modell: Komprtive Vorteile und Produktivität (Mster) Dr. Dominik Mltritz Vorlesungsgliederung 1. Einführung 2. Der Welthndel: Ein Überblick 3. Ds Riccrdo-Modell:

Mehr

2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )

2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in ) . Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ).1 Addition und Subtrktion 5 + = 7 Summnd Summnd Summe 5 - = 3 Minuend Subtrhend Differenz In Aussgen mit Vriblen lssen sich nur gleiche Vriblen ddieren bzw. subtrhieren.

Mehr

Endliche Automaten 7. Endliche Automaten

Endliche Automaten 7. Endliche Automaten Endliche Automten 7 Endliche Automten Einfches Modellierungswekzeug (z.b. UML-Sttechrts) Verrbeiten Wörter/Ereignisfolgen Erkennen Sprchen Erluben schnelle Sprcherkennung Anwendungsbereiche: Objektorientierte

Mehr

Elemente der Analysis II: Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse

Elemente der Analysis II: Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse Elemente der Anlysis II: Zusmmenfssung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse J. Wengenroth Dies ist die einzige zugelssene Formelsmmlung, die bei der Klusur benutzt werden drf. Es dürfen Unterstreichungen

Mehr

MC-Serie 12 - Integrationstechniken

MC-Serie 12 - Integrationstechniken Anlysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 15 MC-Serie 1 - Integrtionstechniken 1. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx i) ist im Allgemeinen flsch. ii) folgt us der Sustitutionsregel. iii) folgt us dem Huptstz

Mehr

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Brückenkurs Mthemtik WS 0/ us und überrbeitet von B. Eng. Sevd Hppel und Dipl.Ing. Jun Rojs Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Inhltsverzeichnis Brüche, Potenzen und Wurzeln. Brüche..

Mehr

Grundwissen Mathematik 8

Grundwissen Mathematik 8 Grundwissen Mthemtik 8 Proportionle Zuordnung Gehört bei einer Zuordnung zweier Größen zu einem Vielfchen der einen Größe ds gleiche Vielfche der nderen Größe, so heißt sie proportionle Zuordnung. Die

Mehr

Analysis mit dem Voyage 1

Analysis mit dem Voyage 1 Anlysis mit dem Voyge 1 1. Kurvendiskussion Gegeben ist die Funktionschr Den Nenner erhält mn mit Hilfe der Funktion getdenom. Zeros liefert die Nullstellen des Nenners und dmit die Werte, die us dem Definitionsbereich

Mehr

Gebrochenrationale Funktionen (Einführung)

Gebrochenrationale Funktionen (Einführung) Gebrochenrtionle Funktionen (Einführung) Ac Eine gebrochenrtionle Funktion R ist von der Form R(x) P(x) und Q(x) gnzrtionle Funktionen n-ten Grdes sind. P(x) Q(x), wobei Im Allgemeinen ht eine gebrochenrtionle

Mehr

1 Folgen von Funktionen

1 Folgen von Funktionen Folgen von Funktionen Wir etrchten Folgen von reell-wertigen Funktionen f n U R mit Definitionsereicht U R und interessieren uns für ntürliche Konvergenzegriffe. Genuer setzen wir uns mit folgenden Frgen

Mehr

Leitfaden für die Berechnung des Netzentgeltes bei der Rhein-Ruhr Verteilnetz GmbH

Leitfaden für die Berechnung des Netzentgeltes bei der Rhein-Ruhr Verteilnetz GmbH Leitfden für die Berechnung des Netzentgeltes bei der Rhein-Ruhr Verteilnetz GmbH Stnd: 20.01.2012 Gültig b: 01.01.2012 Inhltsverzeichnis 1 Benötigte Dten... 3 2 Netzentgelte... 4 2.1 Entgelt für Entnhme

Mehr

Übungen zu Wurzeln III

Übungen zu Wurzeln III A.Nenner rtionl mchen: Nenner ist Qudrtwurzel: 5 bc 1.).).).) 5.) 1 15 9 bc.).) 8.) 9.) 10.) 5 5 B.Nenner rtionl mchen: Nenner ist höhere Wurzel: 1 1 9 5 1 1.).).).) 5.).) 5 C.Nenner rtionl mchen: Nenner

Mehr

t 1 t cos(t) sin(t) haben als Spur jeweils den Einheitshalbkreis in der oberen Halbebene.

t 1 t cos(t) sin(t) haben als Spur jeweils den Einheitshalbkreis in der oberen Halbebene. Kpitel Kurvenintegrle Kurven Sei I = [, b] R ein Intervll Eine Weg ist eine Abbildung dieses Intervlls in den R d, d, : I R d Dbei nennt mn () den Anfngspunkt, (b) den Endpunkt und ds Bild ([, b]) die

Mehr

Elektrischer Widerstand und Strom-Spannungs-Kennlinien

Elektrischer Widerstand und Strom-Spannungs-Kennlinien Versuch 6 Elektrischer Widerstnd und Strom-Spnnungs-Kennlinien Versuchsziel: Durch biochemische ektionen ufgebute Potentildifferenzen (Spnnungen) bewirken elektrische Ströme im Orgnismus, die n einer Vielzhl

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mthemtik für Informtiker I (Wintersemester 00/00) Aufgbenbltt (. Oktober 00)

Mehr

Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b

Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b Kpitel IV Euklidische Vektorräume 1 Elementrgeometrie in der Eene Sei E die Zeicheneene In der Schule lernt mn: (11) Stz des Pythgors: Sei E ein Dreieck mit den Seiten, und c, und sei γ der c gegenüerliegende

Mehr

Grundwissen Mathematik 7I

Grundwissen Mathematik 7I Winkel m Kreis Grundwissen themtik 7I Rndwinkelstz Der Winkel heißt ittelpunktswinkel über der Sehne []. Die Winkel n sind die Rndwinkel über der Sehne []. lle Rndwinkel über einer Sehne eines Kreises

Mehr

Formale Techniken in der Software-Entwicklung: Reaktive Systeme

Formale Techniken in der Software-Entwicklung: Reaktive Systeme Formle Techniken in der Softwre-Entwicklung: Rektive Systeme Christin Prehofer LMU München uf Bsis von Mterilien von Mrtin Wirsing SS 2012 C. Prehofer: Formle Techniken in der Softwre-Entwicklung: Rektive

Mehr

Domäne und Bereich. Relationen zwischen Mengen/auf einer Menge. Anmerkungen zur Terminologie. r Relationen auf/in einer Menge.

Domäne und Bereich. Relationen zwischen Mengen/auf einer Menge. Anmerkungen zur Terminologie. r Relationen auf/in einer Menge. Reltionen zwischen Mengen/uf einer Menge! Eine Reltion R A B (mit A B) ist eine Reltion zwischen der Menge A und der Menge B, oder uch: von A nch B. Drstellung: c A! Wenn A = B, d.h. R A A, heißt R eine

Mehr

Funktionen und Mächtigkeiten

Funktionen und Mächtigkeiten Vorlesung Funktionen und Mähtigkeiten. Etws Mengenlehre In der Folge reiten wir intuitiv mit Mengen. Eine Menge ist eine Zusmmenfssung von Elementen. Zum Beispiel ist A = {,,,,5} eine endlihe Menge mit

Mehr