Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2

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1 Mthe Wrm-Up, Teil HEUTE: 1. Elementre Rechenopertionen: Brüche, Potenzen, Logrithmus, Wurzeln 2. Summen- und Produktzeichen 3. Gleichungen/Ungleichungen 1 orientiert sich n den Kpiteln 3,4,6,8 des Buches: Vorkurs Mthemtik, Erhrd Crmer, Johnn Nešlehová, Springer 2 Bitte bechten Sie: Dieses Hndout knn Fehler enthlten und befindet sich noch in der Überrbeitung. 1

2 1 ELEMENTARE RECHENOPs 1.1 Rechnen mit Brüchen Erweitern und Kürzen Es gilt für Zhlen, b 0, c 0: b = c c b Kürzen ==== Erweitern ==== Tipps, Tricks, Beispiel(e): So knns einfcher werden: Trick 1: Fktorisieren 72xy 2 45x 2 y 36y 2 z + 18y 3 z = Trick 2: Binomische Formel 2x 2 + 4xy + 2y 2 4(x + y) = Addition und Subtrktion Summe/Differenz zweier Brüche für Zhlen, b 0, c, d 0: b + c d = d b d + c b d b = d + c b b d selber Nenner Erweitern Addition erforderlich Subtrktion b c d = d b d c b d b = d c b b d Regel durchziehen: = Bruch zunächst vereinfchen: x x 3y + y x + 3y = Multipliktion und Division Produkt zweier Brüche für Zhlen, b 0, c, d 0: b c d = c b d Multipliktion von Zähler und Nenner Quotient zweier Brüche für Zhlen, b 0, c 0, d 0: b : c d = b c d = b d c Multipliktion mit dem Kehrbruch Beispiele: 4bc 32 6b = 3b 2 : b 6 = 2

3 1.2 Potenzen Ws sind Potenzen? Bsis? Exponent? Ws soll ds? n-mlige Multipliktion (n N) identischer Zhlen R n :=... (n Fktoren) n ist n-te Potenz von (Bsis, Exponent n) Tipps, Tricks, Beispiel(e): Erweiterung uf Exponenten n Z? Potenzen mit negtivem Exponenten, R \ {0} und n N \ {0}: n = 1 n Potenzen mit Exponent 0: 0 = 1 Spezilfll Bsis 0: 0 0 = 1, 0 n = 0 Beispiel: ( 1) 2 = =!!! Gesetze!!! Für die Bsis, b R \ {0} und Exponenten n, m Z gilt: 1. n m = n+m 2. n m = n m 3. n b n = ( b) n 4. n b n = ( b )n 5. ( m ) n = m n Beispiele: x n x m n x 3m = ( 4 x 3 ) 2 (x 2 5 ) 3 = Erweiterung Bisher: n Z Potenzen mit rtionlem Exponenten p = n Q (siehe Wurzeln) m Potenzen mit reellem Exponenten uch hier gelten die Potenzregeln 3

4 Umkehrungsproblem: Wie knn mn b n = nch Bsis b uflösen (wenn n beknnt)??? WURZELZIEHEN WURZELN (Bsis b unbeknnt) Wurzeln? Rdiknd? R + 0, n 1: Die Gleichung b n = besitzt genu eine nichtnegtive Lösung b, nämlich b = n (n-te Wurzel von ) heißt Rdiknd, n Wurzelexponent Erweiterung uf R: Lösung der Gleichung b n =, wenn n N ungerde: b = n n N gerde und > 0: b 1 = n, b 2 = n... und < 0: keine reelle Lösung... nch Exponent n uflösen (wenn b beknnt)??? LOGARITHMIEREN LOGARITHMEN (Exponent n unbeknnt) Logrithmus? verschiedene Bsen?... Die Gleichung b n = besitzt genu eine Lösung n R, nämlich n = log b () (Logrithmus von zur Bsis b) log b () ist nur für, b R + mit b 1 definiert Bsis e = : Ntürlicher Logrithmus (Nottion: log e = ln) Wichtiges zum Logrithmus: log b (1) = 0 log b (b ) =, z.b. ln(e ) = b log b() =, z.b. e ln() =!!!Logrithmusregeln!!!: Für, b, c R + 0 mit c 1 gilt: 1. log c ( b) = log c () + log c (b) 2. log c ( b ) = log c() log c (b) 3. log c (b ) = log c (b) Bezug zu Potenzen: Potenzen mit rtionlem Exponenten in Wurzelschreibweise Für R + 0, n N, m Z: 1 n = n p = m n Q: p = m n = 1 n m = ( n ) m Beispiele: 1 3 ln(x3 ) + ln(4) = log (4xy) log (8x) = 4

5 2 SUMMEN- UND PRODUKTZEICHEN 2.1 Ds Summenzeichen Die Bestndteile m j=n (j), wobei Σ ds Summenzeichen ist... j der Lufindex ist... n der Strtwert ist... m der Endwert ist... (j) ein Ausdruck in Abhängigkeit von Lufindex j ist Bedienungsnleitung 2 Schritte: 1. Setzte für j ncheinnder lle gnzen Zhlen zwischen Strtwert und Endwert ein 2. Summiere lle so entstndenen Ausdrücke uf Wrum überhupt? Summenzeichen ermöglicht kurze Schreibweise von Summen mit bestimmten Muster i=1 i 2 = Ein pr Beispiele... 5 (2l + 1) = l=0 5 2l + 1 = l=0 7 4(j 1) 2 = j=1 4 5 = k=2 3 4 (j i + 2) = i=1 j=2 WICHTIG: Auf Klmmersetzung chten!!! 5

6 2.2 Ds Produktzeichen Ähnliche Bedienungsnleitung wie ds Summenzeichen, ber nun: In Schritt 2 werden lle so entstndenen Terme multipliziert Ein pr Beispiele: 3 (j + 1) = i=1 3 c (j + 1) = j=1 4 e 2v = v=1 4 e 2v 1 = v=1 3 Gleichungen 3.1 Allgemeines: Gleichungen, Lösungsmenge, Lösungsstrtegie... Gleichung: Zwei Terme werden durch = in Reltion gesetzt (linke Seite = rechte Seite) Terme enthlten i.a. mindestens eine Unbeknnte (Vrible), z.b. x Einsetzen konkreter Zhlen für die Vrible führt zu whrer oder flscher Aussge Äquivlente Gleichungen: Zwei äquivlente Gleichugen hben die gleiche Lösungsmenge (Gleichung 1 Gleichung 2) Unser Ziel: Bestimmung der Menge n Werten für die Vrible(n), die zu einer whren Aussge führen (Lösungsmenge) Zunächst: Nur eine Vrible Rezept zur Bestimmung der Lösungsmenge: Illustrtion nhnd von 4x 5(x + 1) = 7 2x 1. Bestimme den Definitionsbereich D der Gleichung (bestehend us llen reellen Zhlen, für welche die Terme links und rechts erklärt sind) Bsp: 2. Bestimme die Lösungsmenge L = {x D x löst die Gleichung} Welche Werte des Definitionsbereiches führen zu einer whren Aussge? () Vereinfche die Terme uf beiden Seiten soweit wie möglich Bsp: (b) Nutze elementre Umformungen 6

7 Addition oder Subtrktion einer reellen Zhl bzw. eines Terms Multipliktion oder Divison einer reellen Zhl bzw. Term 0, um die Gleichung nch der Unbeknnten ufzulösen Die Wge bleibt im Gleichgewicht: Abbildung 1: Elementre Umformung Die Lösungsmenge wird ddurch nicht verändert Bsp: (c) Schreibe die Lösungsmenge uf Bsp: (d) Mche evlt. Probe: Einsetzen der Vrible in die ursprüngliche Gleichung whre Aussge? Bsp: 3.2 Linere Gleichungen Unbeknnte kommen nur in linerer Form vor Definitionsbereich D = R Lösungsmenge einer lineren Gleichung x = b (, b R): wenn 0: L = { b } (eindeutige Lösung) wenn = und b 0: L = {} = (keine Lösung) Bsp: 4 (3y 1) = 2 (6y 3)... und b = 0: L = R (unendlich viele Lösungen) Bsp: Wie müsste mn ds obige Beispiel verändern, dmit mn unendlich viele Lösungen bekommt? 7

8 3.3 Qudrtische Gleichungen Gleichungen, in denen die Vrible höchstens ls zweite Potenz vorkommt Bringe Gleichung uf die Form (, b, c R): x 2 + bx + c = 0, mit qudrtischem Term x 2, Linerterm bx und Absolutglied c. Definitionsbereich: R Wissenswert für die Bestimmung der Lösungsmenge: Ds Produkt zweier Fktoren knn nur dnn Null sein, wenn mindestens einer der Fktoren Null ist: (x x 1 ) (x x 2 ) = 0, L = {x 1, x 2 } Mitternchtsformel: x 1,2 = b ± b 2 4c 2 Anhnd der Mitternchtsformel ist unmittelbr ersichtlich, dss qudrtische Gleichungen zwei Lösungen (nämlich wenn: D = b 2 4c > 0), eine Lösung (nämlich wenn: D = 0) oder keine Lösung (nämlich wenn: D < 0) hben können. 3.4 Spezielle Gleichungen Betrgsgleichungen: Allgemein: Rechnen mit Beträgen = für 0 für < 0 Schreibe folgende Ausdrücke ohne Betrgszeichen: 2x 2, e 2x, 3x + 6 Gleichungen mit Beträgen: Bestimmung des Definitionsbereichs Wenn unklr, ob Term innerhlb der Betrgsstriche positiv oder negtiv ist Fllunterscheidung Wo ist Inhlt von positiv? Wo negtiv? Löse für beide Fälle nch der Unbeknnten uf Überprüfe, ob Lösung innerhlb des Definitionsbereiches liegt Bestimme die Lösungsmenge Beispiel: 3x + 6 2x = 5 8

9 Weitere spezielle Gleichungen: Gleichungstyp!!Bechte!! Beispiel Bruchgleichungen (wenn Unbeknnte x im Nenner) Definitionsbereich: nur x- Werte, die zu einem Nenner ungleich Null führen Überprüfe, ob für x berechneten Werte vorb Multipliktionen mit (Divisionen durch) Null nötig wren x 3 2x 1 = 1 3 x 3 x 2 9 = 0 Wurzelgleichungen (wenn Unbeknnte ls Argument von Wurzel vorkommt) Definitionsbereich: nur x- Werte, für die Term unter Wurzel 0 Auflösen durch Qudrieren x = 5 Logrithmische Gleichungen (wenn Unbeknnte ls Argument von Logrithmus vorkommt) Definitionsbereich: nur x- Werte, für die Term in Logrithmus positiv Auflösen durch Potenzbildung zur Bsis des Logrithmus ln(4x + 1) ln(3) + 2 = 3 Exponentilgleichungen (wenn Unbeknnte im Exponenten einer Potenz vorkommt) Auflösung durch Logrithmieren e 2x 1 e 4x = Linere Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbeknnten Ds Einsetzungsverfhren: Illustrtion nhnd von I.) 2x 1 4x 2 = 3 II.) x 1 + x 2 = 1 1. Löse eine der beiden Gleichungen nch einer beliebigen Unbeknnten uf 2. Setze ds Ergebnis in die ndere Gleichung ein 3. Löse die entstndene linere Gleichung mit einer Unbeknnten 4. Setze die Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein und löse nch der nderen Unbeknnten uf 9

10 4 Ungleichungen Nun: Terme nicht mit =, sondern mit,, < oder > in Reltion gesetzt Lösungsstrtegie nlog zu Gleichungen Bechte llerdings: Bei Multipliktion mit einem (bzw. Division durch einen) negtiven Ausdruck ist ds Ungleichheitszeichen umzudrehen: 1 x < 4 ( 3) x > 12, L =] 12, [ 3 2x 4 /( 2) x 2, L = [ 2, [ 10

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