Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2. Fachhochschule Frankfurt am Main Fachbereich Informatik und Ingenieurwissenschaften

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1 Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich Fchhochschule Frnkfurt m Min Fchereich Informtik und Ingenieurwissenschften Vorkurs Mthemtik Sie finden lle Mterilien sowie ergänzende Informtionen unter der Internet- Adresse: = ( u + v u v u + v ) = u u + v u v /( u + v) u v v ( + ) 5 = Die Sinus-Funktion sin(x) zwischen x = 0 und x = π :

2 Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich 1. Aufgenltt: Rechnen mit Klmmern und Brüchen Die Aufgen uf diesem Bltt ehndeln elementre Umformungen. Bitte führen Sie diese sorgfältig us. Distriutivgesetz: ( + c ) = + c ; gelesen von links nch rechts: Ausmultiplizieren, gelesen von rechts nch links: Ausklmmern. Bechten Sie dei die Vorzeichen! Ferner gilt: + = +, = ( Kommuttivgesetze ). 1.) Lösen Sie die Klmmern uf und fssen Sie zusmmen: ) 5 ( ) ) 5 ( ) c) ( 7 c - 5 ) d) y ( x y) e) x ( (x y) ) + f) - z x + ( 6 y + x z ).) Schreien Sie die folgenden Summen ls Produkt, in dem Sie lle gemeinsmen Terme usklmmern (Fktorisieren) ) x + y ) x ( + ) y ( + ) c) (u v) + ( v u) d) ( x y ) ( + ) ( ) ( x y ) Definition der Potenzen: für schreit mn uch, =, usw. ; 1 =..) Multiplizieren Sie us ) ( x + y) ( x y) ) ( ) ( ) c) ( x y) (x + x y + y ) d) ( 4 ) ( ) 4.) Leiten Sie durch Ausmultiplizieren die inomischen Formel her für : ) ( + ) ) ( + ) 4 c) ( + + c ) Tipp: Assozitivgesetze : u + (v + w) = (u + v) + w ; u (v w) = ( u v ) w

3 Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich Bei der Addition von Brüchen sucht mn systemtisch den Huptnenner: jeder Nenner wird ls Produkt von nicht weiter zerlegren Fktoren ( irreduzile Fktoren ) geschrieen. Bei Zhlen entspricht dies der Zerlegung in Primfktoren. Im Huptnenner wird jeder (irreduzile) Fktor mit seiner höchsten Potenz erücksichtigt, er ist ds kleinste gemeinsme Vielfche (kgv). Bspl.: 45 = 15 = 5 = 5, 48 = 4 = 1 =... 4 kgv(45,48) = 4 5 Bspl.: x = x x, x 1 = (x + 1)(x 1) ; eide Ausgngsterme lssen sich lso in Fktoren zerlegen. Die Terme x + 1 und x 1 sind nicht weiter (in Fktoren) zerlegr, sie sind irreduziel. kgv(x, x 1) = x (x + 1)(x 1). 5.) Addieren Sie die folgenden Brüche ) ) + c) + d) x x x e) f) g) + x x x x + u u + u + 1 u 1 + cd xy uv 6.) Schreien Sie mit nur einem Bruchstrich: xy x + y 4 ) ) c) d) cd uv cd u + v Kürzen heißt, den gnzen Zähler und den gnzen Nenner durch denselen Term zu teilen. Am sichersten ist dies, wenn mn Zähler und Nenner ls Produkte schreit (den gemeinsmen Fktor lso vorher usklmmert). 7.) Kürzen Sie die folgenden Brüche, wenn dies möglich ist. ) ) + c) + d) + e) + f) + + g) + h) + + i) ( + ) j) ( + ) k) + l) uv u u v m) v mn m n ( u + v)

4 Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich Division durch eine Summe ( Polymomdivision ); Zähler (Dividend) und Nenner (Divisor) müssen nch dem gleichen Schem geordnet sein! Die Polynomdivision verläuft nlog zur schriftlichen Division. Mchen Sie sich diese n folgendem Beispiel klr: 67 : ; und dnn diesele Aufge geschrieen mit Zehnerpotenzen: ( ) : ( ) 8.) Führen Sie die folgenden Divisionen us ) (4 x + 50 x + x 0) : (x + ) ) (x - 5x + 8) : ( x ) c ) (x y ) : ( x y) d) (49 5x 9 0x) : (5x ) Die folgenden Aufgen greifen die vorhergehenden Themen noch einml uf: 9.) Vereinfchen Sie: ) u (14v (8v + 6u v (4v 16u) 16u) ) ) (p q) (q + p) 10.) Fktorisieren Sie: ) x y + x y c x + c y ) x n d x n c + n d n c 11.) ) Wnn ist y = x negtiv? ) Bestimmen Sie : x 5 + = ) Vereinfchen Sie: ) m n + 7n 4n 9m ) x x m n 15mn + 10n x x 1 1.) Bestimmen Sie Q : ) (x y ) = Q ( x y) ) Q : ( u + v) = u v c) ( 5 5 ) : ( ) = Q 14.) ) Wie muss mn E wählen, dmit sich 9w 480 w + E ls Qudrt schreien lässt? E ist die qudrtische Ergänzung. Tipp: inomische Formel! ) Lösen Sie mit Hilfe der qudrtischen Ergänzung die Gleichung : x + 6x 5 = 0.

5 Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich. Aufgenltt: Potenzen und Logrithmen Definition der Potenzen: n =... ( n gleiche Fktoren ) ; heißt Bsis, n heißt Exponent (Hochzhl). Hier sind die Hochzhlen ntürliche Zhlen. Zustzdefinitionen (n N ) : 0 = 1 ; - n n = 1/ n n ; =. Diese Zustzdefinitionen erweitern uf sinnvolle Weise den erluten Zhlenereich für den Exponenten. Dfür muss der erlute Zhlenereich für die Bsis eingeschränkt werden, insesondere eim Wurzelziehen. Hinweis: Viele Mthemtikücher lssen uch die n-te Wurzel us einer negtiven Zhl zu, wenn n ungerde ist. Eine solche Wurzel knn er nicht mehr ls Potenz mit gerochenem Exponenten geschrieen werden: die Potenzgesetze gelten dfür nämlich nicht mehr! Bspl: 8 = -, er dnn wäre uch 1/ 8 = (-8) wenn mn die Potenzgesetze weiter nwendet. 1 / 6 = (-8) = ((-8) 1/ 6 ) = +, 1. Vereinfchen Sie die folgenden Ausdrücke zunächst mit Hilfe der Definition der Potenzen, dnn noch einml mit Hilfe der Potenzgesetze : 5 ; 5 : ; : ; ( ) Verdeutlichen Sie eenso: = ( ) ; / = ( / ). Fssen Sie zusmmen: u v 5 u v + 8 v u u v + 9 u v. Schreien Sie ls Dezimlzhl: 10 ; 1 ; - ; 5 - ; 8 1/ ; 16 1/ 4. Schreien Sie ls Zehnerpotenz der Einheit m (die einzige Ziffer vor dem Komm soll keine Null sein): 0,048 mm ; 7451 km ; 0,456 cm 5. Schreien Sie folgenden Ausdrücke so um, dss keine negtiven Exponenten mehr uftreten: - ; -1 ; - / -5

6 Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich 6. Bestimmen Sie x in: x = 7 ; 5 x = ; - 4 x = ; - / x = 4 Bestimmen Sie dnch so dss x = (d die Exponenten gnzzhlig sind, sind uch negtive Bsen zulässig! ). 7. Vereinfchen Sie: ) 5 x n - x m - 4n + 7 / x m - n ; ws ergit sich für x =, n = 1, m = 5? ) ( x / y ) (y / x ) Addieren Sie: ) ) + 5 m 4 m+ 1 m Welche Gleichung ergit sich jeweils für, wenn ds Ergenis 1 sein soll? Bestimmen Sie jeweils, wenn ds Ergenis 0 sein soll Schreien Sie mit einem Exponenten (>0, >0) : 4 4 ; 9 / 9 5 ; ; ; ; ; ( ) 5 5 ; 10. Schreien Sie mit einem Wurzelzeichen (x > 0, > 0, > 0) : ; 4 ; x x ; 1 ; k k 7 ; x ; x 11. Qudrieren Sie ( x>0, >0, >0) : x + x ; 4 x ; x x ; + ; + 1. Ziehen Sie (sofern möglich) die Wurzel (x>0,y>0,>0, >0) : 4 ; 4 4 y x ; + ; + + ; ws ergit sich, wenn mn ds Vorzeichen der Größen nicht kennt? Tipp: Betrg einer reellen Zhl! 1. Bestimmen Sie x in: x = 7 ; x = -15 ; x = 8 ; x = - ; x = Wird ein Kpitl K jährlich mit p% verzinst und werden die Zinsen ngesmmelt (Zinseszins), ergit sich nch n Jhren ein ngesprter Betrg B = K q n, q = 1 + p/100. Ws wird us 1000 nch 10 Jhren, wenn p = 1 zw. p = zw. p = 5?

7 Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich Wenn x =, dnn heißt x der Logrithmus von zur Bsis. Der Logrithmus ist lso eine Hochzhl. Mn schreit: x = log (). In Worten: Derjenige Exponent, mit dem mn potenzieren muss, um zu erhlten, heißt Logrithmus von zur Bsis. heißt in diesem Zusmmenhng uch Numerus. Für die Bsis wird vorusgesetzt: > 0, 1 ; für den Numerus: > Bestimmen Sie mit Hilfe der oigen Definition: log (16) ; log (7) ; log 5 ( 5 ) ; log 5 (1/5) ; log (1/4 ) ; log 10 (8) log (5) 10 ; 16. Es gilt: log ( y ) = y log (). Bestimmen Sie dmit x in : () x = 5 ; () 4 x = 8 ; (c) 5 x = ; (d) x = 0.. Tipp: eide Seiten zur Bsis 10 logrithmieren. Ermitteln Sie den numerischen Wert mit dem Tschenrechner. Mchen Sie die Proe. 17. Formen Sie mit Hilfe der Logrithmengesetze um: x y ) log ( ) ) log 4 ( 4 ) c) log (u) log (v) + 4 log (z) d) u v log ( x ) log 4 ( x ) 18. Wenn eine Volkswirtschft jedes Jhr um % wächst, wnn ht sie sich dnn verdoppelt? Tipp: Aufgen 14 und 16!

8 Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich. Aufgenltt: Linere und qudrtische (Un-)Gleichungen, Wurzelgleichungen Linere Gleichungen: die Uneknnte kommt nur in der ersten Potenz vor 1. Bestimmen Sie lle Lösungen (die Lösungsmenge) der folgenden Gleichungen: ) 14 + x = 11 7x ) 17 ( x) 8 (1-7x) = 5 (x + 1) c) ( + ) x = ( - ) x (c + x) 5x x x 4 4x d) = e) 8 (1-7x) 5 (x + 1) = 17(x -) 4 Bruchgleichungen: die Uneknnte kommt im Nenner vor. Vorgehen: Definitionsereich festlegen und dnn mit dem Huptnenner multiplizieren.. Die folgenden Bruchgleichungen führen uf linere Gleichungen: ) x = x 5x + 4x + 9 ) = 7x 9 9 7x Qudrtische Gleichungen: die Uneknnte kommt uch in der zweiten Potenz vor. Solche Gleichungen knn mn mit der qudrtischen Ergänzung lösen. Liegt die Gleichung in der Normlform vor, lso x + p x + q = 0, knn mn uch die p-q-formel nwenden.. Bestimmen Sie lle reellen Lösungen der folgenden Gleichungen: ) 4x = 5 6x ) x 4 x 1 = 0 c) 16x 97x + 85 = 0 x + 1 x 4 x + d) = x 1 x + 1 x 1 4. Bestimmen Sie den Prmeter t so, dss die Gleichung x + 4x = t genu eine Lösung ht.

9 Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich (Qudrt-) Wurzelgleichungen: hier muss mn zunächst die Wurzel isolieren und dnn qudrieren. Dei können Scheinlösungen uftreten: Proe (oder vorheriges Nchdenken) ist unerlässlich. 5. Lösen Sie die folgenden Gleichungen: ) 0 - x = x ) x + = 6 x + 5 c) x - 8 x + 5 = - 4 d) x = x Ungleichungen: hier muss mn vor llem echten, dss sich ds Reltionszeichen umdreht, wenn mn mit einer negtiven Zhl multipliziert. Mn knn uch hilfsweise die zugehörige Gleichung lösen und dnn nchdenken. 6. Lösen Sie die folgenden Ungleichungen: ) x < x ) 1 x c) 9x 5 < 0 d) x 8x + 8 > 1 4 Treten in einer lineren Gleichung zwei Vrilen uf, eschreit diese Gleichung in einem zweidimensionlen Koordintensystem eine Gerde: x + y + c = 0 y = c/ (/) x (für 0). Werden zwei linere Gleichungen kominiert, erhält mn ein lineres Gleichungssystem mit Uneknnten. 7. Zeichnen Sie die durch die folgenden Gleichungen estimmten Gerden. Geen Sie uch die Schnittpunkte mit den Koordintenchsen, die Steigung und den Schnittwinkel mit der x-achse n: ) x + y + 1 = 0 ) x y 6 = 0 8. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden lineren Gleichungssysteme und interpretieren Sie ds Ergenis geometrisch. ) x + y + 1 = 0 ; x y 6 = 0 ) x 4y = ; -x +8y + 4 = 0 c) x 4y = ; -x +8y + 6 = 0 Eine qudrtische Gleichung der Form y = x + x + c eschreit in einem zweidimensionlen Koordintensystem eine Prel. 9. Bestimmen Sie für die folgenden Preln die Schnittpunkte mit den Koordinten- chsen und den Scheitelpunkt: ) y = x 6x + 8 ) y = x + 7x 6

10 Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich 4. Aufgenltt: Geometrie und Trigonometrie Wird ein Grdenkreuz von zwei Prllelen geschnitten, entstehen zwei ähnliche Dreiecke. Ähnliche Dreiecke hen gleiche Seitenverhältnisse. Druf sieren die Strhlensätze. 1. Gegeen sei die folgende Sitution: OC = cm, OA = 4cm, OB = 7cm, AC =. cm. Gesucht sind die Längen der Strecken OD und BD. C D O A B In jedem Dreieck gelten der Sinus-Stz und der Cosinus-Stz. In jedem rechtwinkligen Dreieck gelten: der Stz des Pythgors, der Höhenstz und der Kthetenstz.. In einem rechtwinkligen Dreieck mit c ls Hypotenuse sind gegeen: die Länge der Seite = 9 cm sowie p = 1 cm. Bestimmen Sie die Länge der ürigen Seiten. c p Kreis und Bogenmß. Aus einem Kreis mit Rdius cm wird ein Sektor mit dem Öffnungswinkel 74 usgeschnitten. Wie lng ist der Bogen des Sektors und wie groß ist seine Fläche? Bestimmen Sie uch den Öffnungswinkel im Bogenmß. 4. Bestimmen Sie die Bogenmße der Winkel 0, 45, 60, 90, 10, 15, 150 und 180 in Bruchteilen von π.

11 Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich Die trigonometrischen Funktionen werden zunächst im rechtwinkligen Dreieck definiert. Anschließend wird diese Definitionen mit Hilfe des Einheitskreises erweitert uf Winkel zwischen 0 und Bestimmen Sie die Werte der trigonometrischen Funktionen für die Winkel 0, 45, 60, 90, 10, 15, 150 und 180. Sie sollten dies zunächst ohne Tschenrechner durch Betrchtung geeigneter Dreiecke (und dnn mit Hilfe des Einheitskreises) versuchen. 6. Bestimmen Sie die Winkel im Dreieck us Aufge. 7. Bestimmen Sie in einem Würfel den Winkel zwischen Rum- und Flächendigonle. 8. Eine regelmäßige qudrtische Pyrmide he die Grundknte = 4 cm und die Seitenknte s = 8 cm. Berechnen Sie ihre Höhe, ihr Volumen und ihre Oerfläche. 9. Eine Seilhn üerwindet uf einer Strecke von 50 m (längs des Seiles gemessen) den Höhenunterschied von 60 m. Wie groß ist der Steigungswinkel? 10. Berechnen Sie die fehlende Seite in einem Prllelogrmm, wenn die Grundlinie AB = 8cm, der Winkel ei B mit 4 und die Länge der von A usgehenden Digonlen mit 1.5 cm ngegeen ist.

12 Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich Lösungen zum 1. Aufgenltt: Rechnen mit Klmmern und Brüchen 1. ) 11- ) 4- c)1-14c d) 4y-x e) x-y f) 6y. ) (x+y) ) (+)(x-y) c) (u-v)(-) d) (x-y)(+). ) x²-y² ) -²+-² c) x³-y³ d) -4³+1²-² 4. ) ³+²+²+³ ) 4 +4³+6²²+4³+ 4 c) ²+²+c²+ + c + c 5. ) 5 / 70 ) (55+ 7) / 60 c) (8x+5) / ( x(x+1) ) d) (uv+cdxy) / ( cduv ) e) - / ( x(x-) ) f) x / (² -x²) g) (u³+u²-6u-) / (u (u -1) (u+1) ) 6. ) xy / (cduv) ) (x+y) / ( cd(u+v) ) c) 4 / (+) d) / (²-²) 7. ) / ) / (+1) c) geht nicht d) ² / (²+1) e) geht nicht f) 1 g) -1 h) geht nicht i) 1 / (-) j) (+) / (-) k) geht nicht l) u² m) (u-v)m / (4n²) 8. ) 1x²+7x-10 ) x+1+10/(x-) c) x²+xy+y² d) 7-5x- 9. ) 9u-5v ) -4pq 10. ) (+-c)(x-y) ) n(x+)(d-c) 11. ) x < / ) 4/1 1. ) (5m²+7) / (5n) ) -1/x 1. ) x²+xy+y² ) u 4 v-u²+u²v²-v c) 4 +³+²²+³ ) 6400 ) x 1 = , x =

13 Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich Lösungen zum. Aufgenltt: Potenzen und Logrithmen 1. 8 ² 1/ 6. 11u²v³ - 7u³v² + 9uv³ , m, m 4, m 5. 1/³ ²/ 5 /³ 6. x = 4 ; x = = ± 1/4 = ± 4 x = - ; x = = ± ( ½ ) ½ = ± 1/ = ± / x = 6 ; x = = ± () 1/6 = ± 6 x = -6 ; x = = ± (½) 1/6 6 6 = ± 1/ = ± / 7. ) 10 x n+5 = t ; x=,n=1,m=5 t=790 ) (xy)³ = x³y³ 8. ) s= (³+1)/ 5 ; s=1 ³+1 = 5, s=0 = -1 ) s= (³-1)/ m+1 ; s=1 ³-1 = m+1, s=0 = 1 9. () 4 (/) 9 / 7/ / 5/ 5/ 8/ k x 8 x 4 9 x x ² + x x + x x x 4 x 7/ + x / x y stehen lssen +; ohne die Einschränkungen: (für <0 nicht def.) x y stehen lssen + 1. x = x = -5 x = 64 keine Lösung x = 0, p = 1 : B = 1104,6 p = : B = 14,9 p = 5 : B = 168,89

14 Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich 15. 4; ; ½; -1; -; 8; ) x=lg(5) / lg() 1,465 ) x= lg(8) / lg(4) =1,5 c) x= lg() / lg(5) 0,41 d) x= lg(0.) / lg() -, 17. ) log (x) + log (y) 4 log (u) log (v) ) ¾ c) log (uz 4 / v²) d)1 18. n= lg() /lg (1,0),45

15 Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich Lösungen zum.aufgenltt: Linere und qudrtische (Un-)Gleichungen, Wurzelgleichungen 1. ) x = -1/ ) unlösr c) x = (+c)/ d) x = 1/ e) x ist elieig. ) x = (-)/(+) ; d x 1 sein muss, muss 0 sein ) x = 6. ) x 1 = 1, x = -1 ) x 1 = 7, x = - c) x 1 =17/16, x = 5 d) x = 6 4. ) t = - 5. ) x = 5 ) x = 4 c) x 1 =, x = - d) keine Lösung 6. ) x > 7/5 ) x c) -5/ < x < 5/ d) x < 1 oder x > 7 7. ) y = -x 1 S1 = ( 0, -1 ) ) y = 1/ x S1 = ( 0, - ) S = ( -1, 0 ) S = ( 6, 0 ) α = -45 α 18,4 8. ) L = { (x = ¾, y = -7/4) } ; zwei Gerden, die sich in ( ¾, - 7/4 ) schneiden. ) Durch die eiden Gleichungen wird diesele Gerde eschrieen, nämlich y = x/4 ½. Alle Punkte uf dieser Gerden lösen ds Gleichungssystem: L = { (x,y) y = x/4 ½ } c) Es ergit sich ein Widerspruch, L = { } ; die Gleichungen eschreien prllele Gerden, nämlich y = x/4 1/ und y = x/4 /4, die sich nicht schneiden. 9. ) S1 = ( 0, 8 ) Scheitelpunkt, hier tiefster Punkt: (, -1 ) S = (, 0 ) S = ( 4, 0 ) 10. ) S1 = ( 0, -6 ) Scheitelpunkt, hier höchster Punkt: ( 7/4,1/8 ) S = (, 0 ) S = ( /, 0 )

16 Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich Lösungen zum 4.Aufgenltt: Geometrie und Trigonometrie 1. OD =.5cm, BD = 5. 6cm. = 14.1 cm, c = 16.8 cm. Bogenlänge:.87 cm, Fläche: 5.81 cm, Öffnungswinkel (Bogenmß): π /6 π /4 π / π / π / π /4 5π /6 π 5. s. Formelsmmlung 6. α = 57.65, β = Höhe: 7.48 cm, Volumen: 9.91 cm, Oerfläche: cm cm Hinweis: uch wo ds Gleichheitszeichen steht, sind die Ergenisse u.u. gerundet.