Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Definitionen

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1 Definitionen Wir gehen von der Gleichung c und dem Beispiel 8 2 us: nennt mn Potenz nennt mn Bsis nennt mn Eponent Allgemein: "Unter versteht mn die -te Potenz zur Bsis " " ist hoch " Beispiel: 2 8 Vorgng: potenzieren "8 ist die. Potenz zur Bsis 2" "8 ist 2 hoch " c c nennt mn Potenz nennt mn Bsis nennt mn Eponent Allgemein: Unter c versteht mn die Bsis in der Gleichung c= " ist die -te Wurzel us c" Beispiel: 8 ; Vorgng: Wurzel ziehen "2 ist die. Wurzel von 8" c c nennt mn Potenz nennt mn Bsis nennt mn Eponent Unter Allgemein: log c versteht mn den Eponenten in der Gleichung c= " ist der Logrithmus von c zur Bsis " Beispiel: 8 2 ; log 2(8) Vorgng: logrithmieren " ist der Logrithmus von 8 zur Bsis 2" " ist der 2er-Logrithmus von 8" PoWuLog-BS BWI /

2 Definitionen Zusmmenfssung: Ds Bild fsst nochmls zusmmen, ws wir isher erklärt hen: Die Gleichung c knn mn noch uf zwei ndere Arten schreien: Als Wurzel oder ls Logrithmus. Welche Schreiweise mn wählt, hängt immer dvon, welche der Grössen (Bsis, Eponent, Potenzwert) uneknnt ist, d.h. nch welcher Grösse (Bsis, Eponent, Potenzwert) die Formel umgestellt werden soll. Wenn mn von der Potenzschreiweise einer Gleichung zur Logrithmusschreiweise üergeht, dnn verändern sich uch die Bezeichnungen: Die Telle fsst ds Bild nochmls zusmmen: Vrile Potenzschreiweise Logrithmusschreiweise Eponent Logrithmus Bsis Logrithmussis (Bsis) c Potenzwert (Potenz) Numerus PoWuLog-BS BWI 2 /

3 Beispiele zum Logrithmus Bsp. log9 = Äquivlente Gleichung: = 9 Wir finden: = 2 Mit welcher Zhl muss ich potenzieren um die Zhl 9 zu Bsp. 2 log26 = Äquivlente Gleichung: 2 = 6 Wir finden: = 4 Mit welcher Zhl muss ich 2 potenzieren um die Zhl 6 zu Bsp. log525 = Äquivlente Gleichung: 5 = 25 Wir finden: = Mit welcher Zhl muss ich 5 potenzieren um die Zhl 25 zu Bsp. 4 log0000 = Äquivlente Gleichung: 0 = 000 Wir finden: = Mit welcher Zhl muss ich 0 potenzieren um die Zhl 000 zu PoWuLog-BS BWI /

4 Üungen zum Logrithmus Üung Äquivlente Gleichung: Wir finden: log000 = Mit welcher Zhl muss ich potenzieren um die Zhl zu Üung 2 Äquivlente Gleichung: Wir finden: log22 = Mit welcher Zhl muss ich potenzieren um die Zhl zu Üung Äquivlente Gleichung: Wir finden: log8 = Mit welcher Zhl muss ich potenzieren um die Zhl zu Üung 4 Äquivlente Gleichung: Wir finden: log = Mit welcher Zhl muss ich potenzieren um die Zhl zu Lösungen siehe Seite 6 PoWuLog-BS BWI 4 /

5 Der Bsiswechselstz Der Bsiswechselstz: Dmit können wir endlich Logrithmen mit dem TR erechnen! Mit dem TR: Wir möchten log (07) erechnen. D wir keine log Funktion hen, müssen wir die Berechnung mit einer nderen Bsis durchführen. Es stehen uf den Rechnern der Zehner-Logrithmus und/oder der 'logrithmus nturlis' zur Verfügung. Es git Rechner, die he eide Funktionen, den 'ln' und den 'log'; ndere jedoch nur den 'ln'. (Der log 0 wird mit log gekürzt). Der 0er-Logrithmus ht die Bsis 0 Der logrithmus nturlis ht die Bsis e = 2, Diese Bsis ist nch dem Bsler Mthemtiker Leonhrd Euler ennnt und ht eine grosse Bedeutung in der höheren Mthemtik. Diese 'krumme' Bsis soll Sie nicht stören, der TR knn dmit genu so gut rechnen wie mit der 'nicht krummen' Bsis 0. Also: ln(07) ln() log(07) log() 4,254 log (07) 4,254; Test : 07,0009 PoWuLog-BS BWI 5 /

6 Lösungen zu den Üungen zum Logrithmus Lösungen zu den Aufgen Seite 4 Lösung log000 = Äquivlente Gleichung: 0 = 00 Wir finden: = 2 Mit welcher Zhl muss ich 0 potenzieren um die Zhl 00 zu Lösung 2 log22 = Äquivlente Gleichung: 2 = 2 Wir finden: = 5 Mit welcher Zhl muss ich 2 potenzieren um die Zhl 2 zu Lösung log8 = Äquivlente Gleichung: = 8 Wir finden: = 4 Mit welcher Zhl muss ich potenzieren um die Zhl 8 zu erhlten. Lösung 4 log = Äquivlente Gleichung: 0.5 = 0.25 Wir finden: = 2 Mit welcher Zhl muss ich 0.5 potenzieren um die Zhl 0.25 zu PoWuLog-BS BWI 6 /

7 Logrithmengesetze Logrithmengesetze: log c c log (hoch) Log einer Potenz (ml) Eponent ml Log log c log log c (ml) Log eines Produktes (plus) Logrithmen ddieren log log log c c (durch) Log eines Quotienten (minus) Logrithmen sutrhieren log c (plus) Log einer Summe (nichts) keine Logrithmusregel Der Bsiswechselstz: log c log c d log c ln c log log ln d PoWuLog-BS BWI 7 /

8 Logrithmengesetze Die einzige Formel für die kommenden Anwendungen: 'Kko-Formel' K K 0 p Kurzform: K K q mit q p 0 in diversen Büchern wird missverständlich p K K geschrieen In diversen Büchern wird häufig vom Kufmännischen her kommend durch n ersetzt: n p Kn K0 00 Erklärung der Vrilen: K p q K 0 Anfngskpitl (Kpitl zum Zeitpunkt 0, Kpitl ei Kontoeröffnung) Zeit in Jhren der Geldnlge; wie Anlgeduer, wie,nnée (in gewissen Formelsmmlungen mit n ezeichnet) Zinsstz, Zinsfuss; p wie Prozente: Beispiel: p=5%=0.05 Zinsfktor; mit dem schreit sich die Formel einfcher: q p Endkpitl (Kpitl nch einer Anlge von Jhren (in gewissen Formelsmmlungen mit Kn ezeichnet) PoWuLog-BS BWI 8 /

9 Beispielnwendungen Kpitlvermehrung Zinseszinsrechnung () Ein Kpitl von 5'000 Fr. wird zu % verzinst. Welches Kpitl knn mn uf der Bnk nch Jhren holen wenn mn nie Einlgen und Rückzüge getätigt ht? 5'000,0 6'92Fr. K = 6'92 Fr. Potenzrechnung Diese Rechnung ist unser Mustereispiel für eponentielles Wchstum die Vrile ist ein Kpitl. Kpitlvermehrung Zinseszinsrechnung (2) Ein Kpitl von 5'000 Fr. ist nch Jhren uf 6'92 Fr. ngewchsen. Zu wie viel Prozent wurde es ngelegt? K 5'000 6'92Fr. 6'92 5'000 6'92 6'92, '000 5'000 p = % Wurzelrechnung Diese Rechnung ist unser Mustereispiel für eponentielles Wchstum die Vrile efindet sich in der Bsis. c Kpitlvermehrung Zinseszinsrechnung () Ein Kpitl von 5'000 Fr. wird zu % verzinst. Nch wie vielen Jhren ist es uf 6'92 Fr. ngewchsen? K 5'000,0 6'92Fr. 5'000 Fr. 6'92,0 5'000 uf eiden Seiten logrithmieren (log oder ln) 6'92 log,0 log 5'000 TU: rechts Log-Gesetz (Log einer Potenz) nwenden 6'92 log,0 log 5'000 : log(,0) 6'92 log 5' log,0 = Jhre Logrithmusrechnung Diese Rechnung ist unser Mustereispiel für eponentielles Wchstum die Vrile efindet sich im Eponenten. PoWuLog-BS BWI 9 /

10 Üungen eponentielles Wchstum, eponentielle Anhme. Bevölkerungswchstum Eine Stdt ht heute 00'000 Einwohner. Der zukünftige jährliche Zuwchs wird uf 2% geschätzt. Wie viele Einwohner wird diese Stdt in 20 Jhren hen? 2. Bevölkerungswchstum Eine Stdt htte vor 20 Jhren 00'000 Einwohner, heute sind es 87'800 Einwohner. Wie gross wr der durchschnittliche jährliche Zuwchs?. Bevölkerungswchstum Eine Stdt ht heute K Einwohner. Der jährliche Zuwchs wird uf 2,5% geschätzt. Wnn wird sich die Einwohnerzhl verdoppelt hen? 4. Bevölkerungswchstum - Bestimmung zweier Grössen Eine Stdt htte 890 eine Einwohnerzhl von 57'867 und 920 eine von 20'899. Wie viele Einwohner htte sie 2007 und ws wr die durchschnittliche jährliche Zuwchsrte? Berechnung der Zuwchsrte: PoWuLog-BS BWI 0 /

11 Üungen eponentielles Wchstum, eponentielle Anhme Berechnung der Einwohnerzhl 2007: 5. Lichtmenge in trüem Gewässer In einem Gewässer nimmt die Menge Licht mit jedem Meter um 0%. In welcher Tiefe ist nur noch ein Viertel des Lichtes n der Oerfläche vorhnden? 6. Jährliche Spesen Eine Bnk zieht jährlich % des Wertschriftendepots ls Verwltungsgeühren. Seit der Depoteröffnung erwirtschftete dieser Kunde durch Aktienkäufe und -verkäufe einen Vermögenszuwchs von jährlich 0,7%. Bis heute ht der Kunde 0% seines Vermögens verloren. Vor wie vielen Jhren ht er ds Depot eröffnet? PoWuLog-BS BWI /

12 Üungen eponentielles Wchstum, eponentielle Anhme Lösungen. Bevölkerungswchstum Eine Stdt ht heute 00'000 Einwohner. Der zukünftige jährliche Zuwchs wird uf 2% geschätzt. Wie viele Einwohner wird diese Stdt in 20 Jhren hen? 20 00'000,02 48'595 Sie wird etw 48'595 Einwohner hen 2. Bevölkerungswchstum Eine Stdt htte vor 20 Jhren 00'000 Einwohner, heute sind es 87'800 Einwohner. Wie gross wr der durchschnittliche jährliche Zuwchs? 20 00'000 87' '800 00'000,878 20,878,878 20,02 Der jährliche Zuwchs eträgt c.,2%. Bevölkerungswchstum Eine Stdt ht heute q Einwohner. Der jährliche Zuwchs wird uf 2,5% geschätzt. Wnn wird sich die Einwohnerzhl verdoppelt hen? q,025 2 q,025 2 ln,025 ln 2 ln 2 28, ln,025 In gut 28 Jhren wird die Stdt doppelt so viele Einwohner hen 4. Bevölkerungswchstum - Bestimmung zweier Grössen Eine Stdt htte 890 eine Einwohnerzhl von 57'867 und 920 eine von 20'899. Wie viele Einwohner htte sie2007 und ws wr die durchschnittliche jährliche Zuwchsrte? Berechnung der Zuwchsrte: 0 57'867 20' '899 57'867 20' '867,00970 Die Zuwchsrte etrug 0,970% PoWuLog-BS BWI 2 /

13 Üungen eponentielles Wchstum, eponentielle Anhme Lösungen Berechnung der Einwohnerzhl 2007: 87 20'899, '480 oder 7 57'867, '48 Die heutige Einwohnerzhl ist c. 488'480 Bechten Sie die Rundungsdifferenz von, owohl wir die Zuwchsrte uf 6(!) Stellen genu eingesetzt hen. Würden wir die Zuwchsrte uf % runden, erhielten wir folgende Zhlen: 87 20'899,0 50'227 oder 7 57'867,0 505'699 ds sind immerhin fst 20'000 mehr. 5. Lichtmenge in trüem Gewässer In einem Gewässer nimmt die Menge Licht mit jedem Meter um 0%. In welcher Tiefe ist nur noch ein Viertel des Lichtes n der Oerfläche vorhnden? L 0, L 0,9 0,25 L 0,9 0,25 ln 0,9 ln 0,25 ln 0,25 ln 0,9,2 m 6. Jährliche Spesen Eine Bnk zieht jährlich % des Wertschriftendepots ls Verwltungsgeühren. Seit der Depoteröffnung erwirtschftete dieser Kunde durch Aktienkäufe und -verkäufe einen durchschnittlichen Vermögenszuwchs von jährlich 0,7%. Bis heute ht der Kunde 0% seines Vermögens verloren. Vor wie vielen Jhren ht er ds Depot eröffnet? Der jährliche Verlust etrug 0,%. K 0,00 K 0,997 0,9 K 0,997 0,9 ln 0,997 ln 0,9 ln 0,9 5,07 ln 0,997 Der Kunde ht ds Depot vor rund 5 Jhren eröffnet PoWuLog-BS BWI /