5.6 Gleichsetzungsverfahren

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1 .6 Gleihsetzungsverfhren Verfhren: Beide Gleihungen des Gleihungssystems werden nh derselen Vrilen ufgelöst und die entsprehenden Terme werden einnder gleihgesetzt. Beispiele (G x ) ) () x + y () x - y Definitionsmenge D x Ausrehnen und ordnen Beide Gleihungen nh einer Vrilen (hier: y) uflösen: () x + y - x y - x : y. -.x () x - y - x -y - x ( - ) y x - Eliminieren einer Vrilen Die erehneten Terme einnder gleihsetzen: hier y. -.x us Gleihung () und y x - us Gleihung (). -.x x -. Vrile usrehnen. -.x x - +.x..x x :. x. Vrile usrehnen Berehnete Vrile in einer Gleihung einsetzen (hier: x in Gleihung ()): y x - und x y - y - ösungsmenge { ( / ) } 0 Gleihungssysteme mit mehreren Vrilen

2 ) () x + y 6 () x - y - D x Definitionsmenge D x Ausrehnen und ordnen () x + y 6 x -y + 6 x -.y + () x - y - x y - x 0.y - 6 Eliminieren einer Vrilen -.y + 0.y - 6. Vrile usrehnen -.y + 0.y y, y : y.. Vrile usrehnen x 0.y - 6 x x. - 6 x -.7 ösungsmenge { ( -.7 /. ) } / ) () 6x + y () x - y - D x Definitionsmenge D x Ausrehnen und ordnen () 6x + y y -6x + y -x +. () x - y - y x + Eliminieren einer Vrilen -x +. x +. Vrile usrehnen -x +. x + + x, x : 7 x -.. Vrile usrehnen y x + y ( -. ) + y -6 + y 6 ösungsmenge { ( -. / 6 ) } / 6 Gleihungssysteme mit mehreren Vrilen

3 6.. pq-formel Neen den eiden mthemtishen Methoden der Fktorzerlegung und der qudrtishen Ergänzung git es uh ösungsmethoden, die uf Formeln sieren: die pq- und die -Formel der qudrtishen Gleihungen. Hen wir eine qudrtishe Gleihung, ei der vor dem x der Fktor steht, lässt sih die pq-ösungsformel nwenden. Normlform: x + px + q 0 x, p ± p q (Die mthemtishe Herleitung der pq-formel können Sie im Kpitel 6.. nhvollziehen.) Allgemeines ösungsvorgehen: Definitionsmenge estimmen Werte für p und q estimmen Werte für p und q in der Formel einsetzen Vrilen x / x usrehnen ösungsmenge estimmen Beispiele (G ) ) x + x - 0 D D x lleine steht (lso eigentlih mit dem Fktor ), lässt sih die pq-formel nwenden. Wir estimmen zuerst p und q. x + x - 0 p q Die Vorzeihen gehören zu p und q dzu. Die Werte für p und q in der Formel einsetzen: x, ± Vrilen x und x usrehnen: x, ± + x, ± ( ) x, ± x - -, x - + x -7, x { 7, } Qudrtishe Gleihungen 6

4 ) x - 6x - D Durh Umformen erhlten wir: x - 6x - + x - 6x + 0 : x - x + 0 x - x + 0 p q Die Werte für p und q in der Formel einsetzen: x, ± Vrilen x und x usrehnen: x,. ±. x,. ±. x,. ±.8... x. -.8, x 0.8, x. +.8 x.68 { 0.8,.6 } ) x - x D D x - x x - x - 0 x - x - 0 p q x, ± ( ) x,. ±. + x,. ± 6. x,. ± 7. x -6, x 9 { -6, 9 } { -6, 9 } 6 Qudrtishe Gleihungen

5 ) Die Differenz zweier ntürliher Zhlen eträgt. Ihre Summe ist 0 Ml so gross wie der Quotient der grösseren durh die kleinere Zhl. Wie heissen die eiden Zhlen? Anlyse grössere Zhl kleinere Zhl Differenz: Summe Quotient + 0 Ml so gross Summe der [eiden Zhlen] [Quotient der Zhlen] 0 x kleinere Zhl / x + grössere Zhl x + (x + ) x + 0 x D x + (x + ) x + 0 x x x ( x + ) 0 ( x + ) usmultiplizieren x + x 0x + 0-0x, - 0 x + x : x + 7x x, 7 7 ± ( 0) x,. ±. + 0 x,. ±. x,. ±. x -, x 8 x fällt ls ösung weg, d niht in D enthlten Die gesuhten Zhlen luten: 8 und. Proe: Summe: ( + 8 ) 0 Quotient: : 8 Die Summe ist 0 Ml so gross wie der Quotient 9 Gleihungen: Textufgen

6 d) Zähler und Nenner eines Bruhes ergeen zusmmen. Zählt mn zum Zähler und Nenner je die Zhl 7 dzu, erhält der Bruh den Wert. Wie heisst der Bruh? Anlyse () Zähler + Nenner () Zähler Nenner () [Zähler] + [Nenner] () ( [Zähler] + 7 ) : ( [Nenner] + 7 ) x Zähler y Nenner () x + y () x y D x, D y \ { -7 } oder D x \ { -7 } () x + y x -y + x -y + 8 () x + 7 y + 7 ( x + 7 ) ( y + 7 ) x + 8 y + x y - 7 Gleihsetzungsverfhren -y + 8 y y y y x + y x + x 8 Der Bruh lutet 8. Gleihungen: Textufgen 9

7 Aufge. Bestimmen Sie die ösungsmengen der folgenden Gleihungen in der Grundmenge. ) 6x (x ) D ) x + 6x x x 7 D \, 6 { - } x ) x x + D \ { -, ½ } { } d) x 0 x 6 x x 6 6 x D \ { 6 } x 6 { } e) x + + x + x + + x + D \ { -, -¼ } 0 x f). x 6 x D \ {, 6 } { 6 } g) 8 x 6 6 D \ { -6, 6 } + x 6 x + 6 x 7 h) 9 x + 6 x + + x + 0x + x + 0 x + D \ { - } i) x x x + 6 x 9 x D \ { 6 } { 8 } j) x 9 x D \ { -, } { 9 } x 9 x + inere Gleihungen mit Vrilen 0

8 Aufge 8.9 Berehnen Sie die folgenden Ausdrüke, und shreien Sie ds Resultt ohne Prmeter im Nenner, sondern llenflls mit negtivem Exponenten. ) ) ) d) e) f) g) 8 h) (9) i) () 6 j) () () k) ( 6) 6 6 l) () 8 66 Potenzen

9 Aufge 0.8 Bestimmen Sie folgende ogrithmen. ) log ) log ) log d) log e) log f) log g) log h) log i) 7 log 9 j) log k) log l) log m) log n) log o) log p) log q) log r) log ogrithmen 7

10 Aufge 0.9 Bestimmen Sie die ösungsmengen der folgenden Gleihungen in der Grundmenge. ) log 6 x D { } ) log x D { } ) log 6 7'776 x D { } d) log x D { 0 } e) log 6 6 x D { } f) log 8 x D { } g) log 79 6x D { } h) log '0 x D i) log 0 00'000 0x D j) log x k) log 6 x l) log 9 x D { } D D {. } m) x 9 n) x 6 o) log x D log 7 D { } log D { } p) log 0 x D 0 q) log.. x r) log x D D { } s) log x t) log x u) log 9 x D D D 9 7 ogrithmen