Mathematik Trigonometrie Einführung

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1 Mthemtik Trigonometrie Einführung Ws edeutet ds Wort Trigonometrie und mit ws eshäftigt sih die Trigonometrie? Eine kleine Wortkunde: tri edeutet 'drei' Beispiel: Trithlon,... gon edeutet 'Winkel'/'Ek' Beispiel: Pentgon ds Fünfek mit 5 Winkeln metrie edeutet 'Messung' Beispiel: Geometrie die Erdvermessung Ds Wort impliziert lso die 'Dreiwinkelmessung' oder llgemein die 'Dreiekserehnung'. Während die Plnimetrie die Konstruktion eines Dreiekes us gegeenen Stüken lehrt, ei der die Genuigkeit der Resultte verhältnismässig gering ist, liefert die Trigonometrie uf rehnerishem Weg exktere Ergenisse. Erklärung der trigonometrishen Funktionen: In einem rehtwinkligen Dreiek ABC seien und die Ktheten, die Hypothenuse, die spitzen Winkel entsprehend α und β, woei gilt: α + β = 90 o. Mn nennt die Gegenkthete und die Ankthete des Winkels α. (Anlog nennt mn die und die des Winkels β.) Zieht mn in einem rehtwinkligen Dreiek ABC zur Kthete Prllelen wie B 1 C 1, B 2 C 2 usw., so entstehen rehtwinklige Dreieke AB 1 C 1, AB 2 C 2 usw., die einnder ähnlih sind. 1 2 Drus folgt (Strhlensätze!): = = = D durh ds Verhältnis zweier Seiten ds rehtwinklige Dreiek in seiner Gestlt festgelegt ist, ist uh die Grösse des Winkels α (und dmit ntürlih uh β ) eindeutig estimmt. Umgekehrt ist ds Seitenverhältnis im rehtwinkligen Dreiek durh den Winkel α estimmt. Mn ezeihnet ein solhes Strekenverhältnis ls eine Funktion des Winkels α und zwr ls trigonometrishe Funktion von α. Ddurh ist die Möglihkeit gegeen, gesuhte Winkel durh Strekenverhältnisse uszudrüken. Auf diese Weise kommt mn üer die metrishe Geometrie der Eene, die huptsählih nur Beziehungen zwishen Streken kennt, hinus mn denke n die Stzgruppe des Pythgors, die nur Aussgen üer Beziehungen zwishen Streken mht zur Trigonometrie ls neuen Wissenzweig. A5100-Trigonometrie B. Willimnn Seite 1 / 6 Einführung

2 Mthemtik Trigonometrie Definition der trigonometrishen Funktionen Definition der trigonometrishen Funktionen Ds Seitenverhältnis Gegenkthete zu Hypothenuse wird ls der Sinus des Winkels α ezeihnet: sinα= Ds Seitenverhältnis Ankthete zu Hypothenuse wird ls der Cosinus des Winkels α ezeihnet: osα= Ds Seitenverhältnis Gegenkthete zu Ankthete wird ls der Tngens des Winkels α ezeihnet: tnα= (Steigung) Ds Seitenverhältnis Ankthete zu Gegenkthete wird ls der Cotngens des Winkels α ezeihnet: otα= Ds Seitenverhältnis Hypothenuse zu Ankthete wird ls der Sens des Winkels α ezeihnet: seα= Ds Seitenverhältnis Hypothenuse zu Kthete wird ls der Cosens des Winkels α ezeihnet: oseα= Anmerkungen: 1. Die letzten eiden trigonometrishen Funktionen sind seit längerem niht mehr geräuhlih. 2. In früheren Lehrmitteln wren uh noh die Akürzungen t g tg α= für α= für tn ot α= und α= zu finden heute ülih sind durhgehend dreistellige Bezeihnungen für die Winkelfunktionen: sin, os, tn, und ot. A5100-Trigonometrie B. Willimnn Seite 2 / 6 Definition der trigonometrishen Funktionen

3 Mthemtik Trigonometrie Konstruktive Ermittlung der Werte trigonometrisher Funktionen spitzer Winkel - Üung Zeihnen Sie mit Hilfe des Trnsporteurs Winkel der Grösse α = 10 o, 20 o,..., 80 o, fällen Sie von einem elieigen Punkt uf dem einen Shenkel ds Lot uf den nderen, messen Sie in dem entstndenen rehtwinkligen Dreiek die Ktheten und und die Hypothenuse und estimmen Sie dnn rehnerish in der folgenden Telle für diese Winkel die Seitenverhältnisse des Sinus, Kosinus, Tngens und Kotngens - uf 2 Stellen nh dem Komm: A5100-Trigonometrie B. Willimnn Seite 3 / 6 Konstruktive Ermittlung der Werte trigonometrisher Funktionen spitzer Winkel - Üung

4 Mthemtik Trigonometrie Konstruktive Ermittlung der Werte trigonometrisher Funktionen spitzer Winkel - Üung Messen Sie für jeden Winkel die ngegeenen Streken in mm und ilden Sie die Verhältnisse für die Winkelfunktionen: (Telle 1) α α α sinα= osα= tnα= otα= 0 o 10 o 20 o 30 o 40 o 50 o 60 o 70 o 80 o 90 o Üertrgen Sie nun die Verhältnisse in diese Telle und rehnen Sie rükwärts den Winkel us: (Telle 2) 0 o 10 o 20 o 30 o 40 o 50 o 60 o 70 o 80 o 90 o sinα= α osα= α tnα= α A5100-Trigonometrie B. Willimnn Seite 4 / 6 Konstruktive Ermittlung der Werte trigonometrisher Funktionen spitzer Winkel - Üung

5 Mthemtik Trigonometrie Die Grfen der trigonometrishen Funktionen spitzer Winkel - Üung Zeihnen Sie nun mit den Dten us Telle 1 die Grphen der Winkelfunktionen von 0 o is 90 o : A5100-Trigonometrie B. Willimnn Seite 5 / 6 Die Grfen der trigonometrishen Funktionen spitzer Winkel - Üung

6 Mthemtik Trigonometrie Die Grfen der trigonometrishen Funktionen spitzer Winkel - Lösung Lösung: Der Verluf der trigonometrishen Funktionen sin, os, tn und ot von 0 o is 90 o : A5100-Trigonometrie B. Willimnn Seite 6 / 6 Die Grfen der trigonometrishen Funktionen spitzer Winkel - Lösung