Mathematik für Berufsfachschüler und Berufsaufbauschüler

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1 Michel Buhlmnn Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler Dten- und Aufgenlätter zur Mthemtik Version Essen 05

2 Vorwort Diese Smmlung us Dten- und Aufgenlättern geht us einer jhrelngen Tätigkeit ls Nchhilfelehrer für Mittelstufenschüler hervor. Die einzelnen Dten- und Aufgenlätter wurden in einer sinnvollen Reihenfolge zusmmengestellt. Zudem finden sich Rechenprogrmme zu den ehndelten Themen uf meiner Homepge Die Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler gliedert sich hier in: Terme, Gleichungen, linere Gleichungssysteme; Geometrie, Trigonometrie, Stereometrie; Schufgen. Essen im Mi 05, Michel Buhlmnn Impressum: 05 Wissenschftlicher Selstverlg Michel Buhlmnn Sednstr. 5, D-458 Essen, Deutschlnd Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler

3 Inhlt Dtenltt: Reelle Zhlen Dtenltt: Teilweises Wurzelziehen Dtenltt: Mße und Umrechnungen Aufgenltt: Terme Dtenltt: Gleichungen Aufgenltt: Linere Gleichungen Aufgenltt: Qudrtische Gleichungen Dtenltt: Linere Gleichungssysteme Aufgenltt: Linere Gleichungssysteme Dtenltt: Gerden Aufgenltt: Gerden Dtenltt: Preln Aufgenltt: Preln Dtenltt: Eene Geometrie Aufgenltt: Eene Geometrie Dtenltt: Trigonometrie Aufgenltt: Trigonometrie Dtenltt: Prism Dtenltt: Qudrtische Pyrmide Dtenltt: Zylinder Dtenltt: Kegel Dtenltt: Kugel Aufgenltt: Räumliche Geometrie Musterufgen Formelsmmlung Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler

4 Dtenltt: Reelle Zhlen Die reellen Zhlen R ist Zhlenmenge ller rechenden, periodischen und nichtperiodischen Dezimlzhlen. Auf den reellen Zhlen sind die Verknüpfungen + und * für Addition (Sutrktion) und Multipliktion (Division) definiert: +,, *, / ( 0) Terme sind Rezepte, sind mthemtische Formeln, in die mn gegeenenflls Werte, Zhlen einsetzt. Mit Termen knn mn dher uf diesele Weise rechnen wie mit Zhlen, d.h. es gelten für Zhlen,, c, d die Rechengesetze und Termumformungen (z.b. Punktrechnung vor Strichrechung, Klmmerrechnung [Klmmern uflösen, Ausklmmern): + 0, 0, + +, ( + ) + c + ( + c),, ( + c) + c, ( + )(c + d) c + d + c + d +, - -, +(+), +(-) -, -(+) -, -(-) +( + ) +, -( + ) -,, 4 Es gelten die inomischen Formeln: ( + + ) + (. inomische Formel) ( + ) (. inomische Formel) ( + )( ) (. inomische Formel) Es gelten die Bruchgesetze: n c + c c d + c,, +, +, n d d n n,,, n n + c c, d d c d d d, c c c, c Es gelten die Potenzgesetze: 0,, n n m n+ m, n n n, n n m, m n n, n m n m ( ),, ( ) n (n ungerde), ( ) n (n gerde) n n n ( ), Es gelten die Wurzelgesetze:, n n,, n (teilweises Wurzelziehen) Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 4

5 Dtenltt: Teilweises Wurzelziehen Rechenregel: Wurzeln, Teilweises Wurzelziehen Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 5

6 Dtenltt: Mße und Umrechnungen Länge: Umrechnung km m dm cm mm km m : dm :0000 : cm :00000 :00 :0 0 mm : :000 :00 :0 Fläche: Umrechnung km h m dm cm km h : :0000 : m : :0000 : dm : : :0000 :00 00 cm : : : :0000 :00 Volumen: Umrechnung km m dm l cm ml km m : dm l : : cm ml : : :000 Gewicht: Umrechnung t kg g mg t kg : g : : mg : : :000 Zeit: Umrechnung Tg h min sek Tg h 0, min 0, , sek 0, , ,06667 Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 6

7 Aufgenltt: Terme. Vereinfche: ) + 4 ) c) c c 8 d) 4 (5 6) e) 5x + y (4x + y) f) 4x + (y z) (4x + 8z) g) 7(x 9) + (8 x) 9( + x) h) x(54+) x i) ( + ) ( ) j) x(x+y) + y(x y) k) (4 + ) + 6(7 + ) l) (x + y)(4 x) m) x(8 + 4y) y( 5x) n) -p(p+q) + q(p+) (4+q) o) (4x 6)(x+8) p) (6+5)(-+). Binomische Formeln: ) (x+y) ) ( 4) c) (x+)(x ) d) (x+9)(9 x) e) (4x 7) f) (+) g) (x+y) h) (8x y)(8x+y) i) ( ) j) (i-j) j k) (m n) (m+n) l) (x y) + (x y) + xy m) 4(5r s) 6(r+7s) n) (p+6q) + (p 6q) p 7q. Vereinfche: ) Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 7

8 ) x + 6x + 64 x p 8q c) 6 p 64q d) x x 4 x 00 x + 00 e) x + 0 x 0 f) g) x 0x x 00 : 5x ( + ) 4 ( + ) : 5x + 0 h) (4x 8) x 4 i) ( + ) ( ) 6 4. Potenzen: 0 ) 5 4 ) c) 5 0 d) 6 e) f) ( 0) 4 ( ) 8 c g) 4 c 5 8c h) c 6 5 i) 5 5 j) 5 4 x k) 5x 6x 5 5 l) ( cd ) 5 m) ( 4x y ) ( x y) 4 Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 8

9 5 cd n) ( ) 5 0 ( c d) 4 4 o) ( x ) (x ) p) ( ) ( ) 5. Wurzeln: ) 56 ) 96 5 c) 64 d) 4 e) 8x y f) 4x 8 g) y 4x h) 6 p i) 4 6q j) 5 x 0x k) 8xy xy 6 x y l) 45x y 5 y x x 8y m) 6. Vereinfche: 5 4 ) 8 x y z xy z 4 ) c) : 4 6 7( + ) d) 5( ) 0( + ) ( + x) ( x) e) x Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 9

10 f) x ( x + 4) + ( x ) + ( x ) g) ( x + ) + 5( + x) 7 Lösungen: ) / ) 6+8 / c) c / d) 0 5 / e) -x+0y / f) 0x+6y z / g) -x 75 / h) 54x / i) + / j) x + xy y / k) / l) 4x - x +8y 6xy / m) 6x + xy 6y / n) -p q 8 / ) x + xy + y / ) / c) x 9 / d) 8 4x / e) 6x 56x + 49 / f) / g) x + 6xy + 9y / h) 64x 9y / i) / j) i ij / k) -4mn / l) 6x + 9y / m) 76r 48rs 78s / n) 0 / ) - / ) x+8 / c) / d) x+8 / e) x +00 / f) / g) / h) 0 / i) ½ / 4 p + 8q + 6) 4x y z / 6) (4 )/( ) / 6c) / / 6d) 6/5 (+) / 6e) / 6f) x / 6g) x+6. Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 0

11 Dtenltt: Gleichungen Gleichungen estehen us zwei durch ein Gleichheitszeichen verundene Terme (linke, rechte Seite der Gleichung; Term Term ), von denen mindestens einer eine Vrile (Uneknnte) x enthält. Gleichungen können (gegeenenflls) mit Gleichungsumformungen (mit Termumformungen) nch der Vrile umgeformt zw. ufgelöst werden. Gleichungen sind d definiert, wo eide Terme definiert sind (Definitionsereich der Gleichung). Die Lösungsmenge einer Gleichung umfsst die Uneknnten, die die Gleichung lösen. Nch den in der Gleichung vorliegenden Termen werden Gleichungen liner, qudrtisch,, Potenz-, Exponentilgleichungen oder trigonometrische Gleichungen gennnt (Typen von Gleichungen). Im Folgenden seien lle Uneknnten x und Koeffizienten reell. Linere Gleichungen sind Gleichungen mit der Vrilen x, die der Form: x + 0 mit den Zhlen, genügen. Die Lösung der lineren Gleichung ist für 0 dnn: x Die linere Gleichung x + 0 entspricht dmit grfisch der Nullstelle einer Gerden y x + mit Steigung und y-achsenschnitt. Qudrtische Gleichungen sind von der Form: x + x + c 0 0, 0, p, c q 0,, c x x x x ± + c 0 c c c Rein qudrtische Gleichung: 0 Lösungen (ei c <0), Lösung (ei c0), Lösungen (ei c >0) x, x + px + q 0 p ± p q Gemischt qudrtische Gleichung (pq-formel): D p q ls Diskriminnte -> 0 Lösungen (ei D<0) Lösung (ei D0) Lösungen (ei D>0) Qudrtische Gleichung ht die Form: ( x x ) 0 x x ), (ei Lösung ( x x )( x x) 0 (ei Lsg. x x, x x ) x, x + x + c 0 ± 4c Gemischt qudrtische Gleichung (p-q- Formel): D ls Diskriminnte -> 4c 0 Lösungen (ei D<0) Lösung (ei D0) Lösungen (ei D>0) Qudrtische Gleichung ht die Form: ( x x ) 0 x x ), (ei Lösung ( x x )( x x ) 0 (ei Lsg. x x, x x ) Qudrtische Gleichungen Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler

12 Beispiele (linere Gleichungen): ) 4x x 8 :4 x (Lösung) / Lösungsmenge L {} ) x x + x x -x x - (Lösung) / Lösungsmenge L {-} c) (x+4) (x-) + (Ausmultiplizieren) x + 8 x + (Addieren) x + 8 x -8 x x 9 -x -x -9 (-) x 9 (Lösung) / Lösungsmenge L {9} 5 d) (x + ) ( x ) (Huptnenner) (x + ) 8( x ) 5 4 (Ausmultiplizieren) 4x + 8x - 5 (Zusmmenfssen) 4x + 8x x + 8 8x -4x 8 4x :4 x (Lösung) / Lösungsmenge L {} Beispiele (qudrtische Gleichungen): ) (Rein qudrtische Gleichung:) 4x + 5 x + -x x x 8 : x 9 x ± (Lösungen) / Lösungsmenge L {-;} ) (Gemischt qudrtische Gleichung:) x 4x (p-q-formel) 4 4 x ± 4 (Ausrechnen) x ± 4 4 (Ausrechnen) x ± 0 (Ausrechnen) x (Lösung) ) / Lösungsmenge L {} c) x + x 0 (p-q-formel) x, ± ( ) (Ausrechnen) x, ± + (Ausrechnen) 4 9 x, ± 4 (Ausrechnen) x, ± (Ausrechnen) x -, x (Lösungen) / Lösungsmenge L {-;} Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler

13 d) x + 96x -8 0 : x + x 4 0 (p-q-formel) 9 x, ± (Ausrechnen) 5 x, ± (Ausrechnen) x -4, x (Lösungen) / Lösungsmenge L {-4;} e) x x + x + ( x 4) 0 0 (Huptnennermultipliktion) 5x + 0x + 0 x(x-4) (Ausmultiplizieren) 5x + 0x + 0 x 4x -x x + 0x + 0-4x +4x x + 4x : x + 7x (p-q-formel) 7 49 x, ± 0 4 (Ausrechnen) 7 9 x, ± 4 (Ausrechnen) 7 x, ± (Ausrechnen) x -5, x - (Lösungen) / Lösungsmenge L {-5;-} f) x x (--c-formel) ± 4 ( ) 0 x, ( ) (Ausrechnen) ± 7 x, (Ausrechnen) x -5, x (Lösungen) / Lösungsmenge L {-5;} g) 6x x 0 (--c-formel) ± 4 6 ( ) x, 6 (Ausrechnen) ± 7 x, (Ausrechnen) 4 x, 4 ; } Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler

14 Aufgenltt: Linere Gleichungen. Löse die folgenden lineren Gleichungen: ) x + 7 ) 4 + x 7x c) x + 5 x 6 4 d) 6 (5x + ) + ( x 7) 8x 0 e) 4x + 7x 0 5x + f) 5(x+) 5 + 7( x) g) 4(x ) (x+) (x+) 8 h) 5 (x 8) x + 7(7 x) i) ( x + ) ( x) + x j) (x + ) ( x ) k) 0,(4 5x) 0,5(6 7x) + 0,7(8 9x), 4x l) 9[x (4x + ) + 7] [5( x + 9) 6x + ] (5 8x) + x 9. Löse die folgenden Gleichungen: ) (x + x ) (x +x + ) 5 ) x x 4 (x )(x+5) c) x 98 (x+)(x 7) d) (x+5) x + x +9 e) x (x+) (x+) -4 f) -(x+) 64 x g) -4(x+) -6x 0x 7 h) ( x)(x+8) -(x+7) + i) -,5 + 5x ( x)(x+) + (x+,5) j) (x+8) 4(x+) -x 6 k) (x+)(x ) (x+) l) -x + (x+) (x+4). Textufgen: ) Sutrhiert mn vom Vierfchen einer Zhl, so erhält mn 40. ) Vergrößert mn ds Sechsfche einer Zhl um 0, so erhält mn 68. c) Der sechste Teil einer Zhl ist um kleiner ls ihr vierter Teil. d) Sutrhiert mn von der Differenz des Doppelten einer Zhl und 9 ds Dreifche der Zhl, so ergit sich die Summe us und dem Vierfchen der Zhl. e) Ein Geldetrg in Höhe von 5.000,- soll unter den Personen A, B, C und D so ufgeteilt werden, dss B ds Doppelte von A, C 5000,- mehr ls A, D 4000,- mehr ls B erhält, Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 4

15 f) A und Mutter B sind zusmmen 48 Jhre lt. B ist doppelt so lt wie A. Wie lt sind A und B? g) Eine Person ist in 8 Jhren doppelt so lt wie heute. Wie lt ist die Person jetzt? h) Von den Geschwistern A und B ist B 6 Jhre älter ls A. In 4 Jhren wird B doppelt so lt wie A sein. Wie lt sind A und B jetzt? i) In einem Rechteck ist die eine Seite 6 cm länger ls die ndere, der Umfng eträgt 84 cm. Wie groß ist der Flächeninhlt des Rechtecks? j) Die eine Seite eines Rechtecks ist um 4 cm länger ls die ndere. Verlängert mn eide Rechteckseiten um jeweils cm, wächst der Flächeninhlt um 60 cm. Wie lng sind die Seiten des ursprünglichen Rechtecks? k) In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kthete cm lng, die ndere Kthete ist 6 cm kürzer ls die Hypotenuse. Bestimme den Umfng des Dreiecks. l) Formuliere zu der Gleichung ( x ) + x 4 den Text eines Zhlenrätsel und löse die Gleichung. 4. Forme die folgenden Gleichungen nch der jeweils ngegeenen Vrilen um: ) + 4x 0, Umformen nch x ) (x ) + (x+) 0, Umformen nch x c) +, Umformen nch c c d) x(+) 5, Umformen nch x 4 e) : c 0, Umformen nch 4 f) +, Umformen nch c 0 c + h) h 4 h, Umformen nch c Lösungen: ) / ) -/ / c) Huptnenner -> 8x+609x-7 -> / d) 6 / e) 9 / f) / g) 4 / h) / i) Huptnenner -> 6(x+) (-x)+x -> -/7 / j) Huptnenner 6 -> (x+0,5)8(x-0,5)-5 -> / k) 9 / l) / ) / ) / c) 7 / d) - / e) / f) -6,5 / g) 0,5 / h) -8 / i) 7,5 / j),5 / k) -4 / l) -8 / ) / ) 8 / c) 44 / d) -4 / e) A7000, B4000, C000, D8000 / f) A6, B / g) 8 / h) A, B8 / i) A4 / j), 6 / k), 9, c 5, u6 / l) x4 / 4e) (80+6c)/ ( 0) / 4f) c 40/(+0-0) / 4g) h(+c)/(c-h)/. Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 5

16 Aufgenltt: Qudrtische Gleichungen. Löse die folgenden qudrtischen Gleichungen: ) x 79 ) 6x 44 0 c) x + 8x 0 d) 4x 8x e) x + 8x 0 f) x x g) x,6x +,8 0 h) 4x 4x + 0 i) 9 x x j) 6x + 0x + 0 k) 5x + 87x l) 4 9x 5x m) x( x 7) (7 x) n) 0x 4x - o) 0,x x -8. Löse die folgenden qudrtischen Gleichungen: ) (x 4) + (x 7) 9 ) (x+4) (x 5) (x ) 4x c) (x+) (x ) (-x ) 9 d) (x ) (x 5) 4(x 7) (x 5) 0 e) (x-)(x+) + (x 4) x(x ) + 5 f) -(x ) + (x )(x+5) 5(-+5x) g) x(x 4) x -(x+)(x ) + (x+) h) (x 5)(x+4) ( x) (x+) + 67 i) 5 ( x ) + ( x ) 6 x + x + 4 ( x )( x + ) ( x ) j) + k) l) 5(x )( x + ) 5( x ) 8. Textufgen: (x + ) ( x + )( x 5) + x x 8 ) Die Summe der Qudrte zweier ufeinnderfolgender ntürlicher Zhlen ist 6. Wie heißen die Zhlen? ) Ds Produkt zweier positiver Zhlen ist 4, die Differenz zwischen den Zhlen ist. Wie luten die eiden Zhlen. Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 6

17 c) Verringert mn eine Zhl um 7 und multipliziert die Differenz mit der um vergrößerten Zhl, so ergit sich 5. Wie lutet die Zhl? d) Welche Zhlen ergeen ls Produkt 450, wenn ihre Differenz 7 eträgt? e) In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kthete 4 cm länger ls die ndere Kthete, die wiederum 4 cm kürzer ls die Hypotenuse ist. Bestimme Umfng und Fläche des Dreiecks. f) Die Seiten eines Rechtecks unterscheiden sich um 0 cm. Der Flächeninhlt des Rechtecks eträgt 75 cm. Bestimme die Längen der Rechteckseiten. Lösungen: ) -7; 7 / ) -; / c) -8; 0 / d) 0; 0,5 / e) -; / f) 6; 7 / g) 0,4;, / h) 0,5 / i) -/; -8/5 / j) -7/4; -/4 / k) -;,5 / l) -/; 7/ m) x -6,5x-,50 -> -0,5; 7 / n) 0,5; /5 / o) keine Lösung / ) x x+60 -> ; 9 / ) x -6x+90 -> / c) 4x 4x + 0 -> 0,5 / d) -5x +7x-480 -> 6,; 8 / e) x -5x-70 -> -;,5 / f) x -x-80 -> -9; - / g) x -8x+0 -> keine Lösung / h) x -8x-00 -> -6; 0 / i) Huptnenner 6 -> 5x -8x+6 0 ->,6; / j) Huptnenner 6 -> x +9x-0 -> -4; / k) Huptnenner -> 8x +x-0 -> -/8; / l) Huptnenner 8 -> -4/7; 5 / ) x5, x+6 / ) x4, x+6 / c) / d) x8, x+75 / e), 6, c0, u48, A96 / f) 5, 5 Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 7

18 Dtenltt: Linere Gleichungssysteme Ein lineres Gleichungssystem mit Gleichungen und Uneknnten he die Form: x + x () x + x () mit den reellen Vrilen x, x, den reellen Koeffizienten, und reellen Ergenissen (rechten Seiten),. Ds linere Gleichungssystem ht dnn entweder keine Lösung, eine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Zur Bestimmung der Vrilen x und x gilt Folgendes: Lösen von lineren Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen und zwei Uneknnten Gleichsetzungsverfhren: Beide Gleichungen () und () werden nch derselen Vrilen ufgelöst, die zwei Ausdrücke gleichgesetzt, die drus entstndene Gleichung nch der nderen Vrilen ufgelöst, die Lösung in eine der nch der ersten Vrilen ufgelösten Gleichung einsetzen, um die zweite Vrile zu errechnen. Einsetzungsverfhren: Eine Gleichung nch einer Vrilen uflösen, Vrile in die ndere Gleichung einsetzen, Lösung dieser Gleichung ermitteln, Lösung in die Gleichung für die ufgelöste Vrile einsetzen. Additionsverfhren: Hier führt die Addition des Vielfchen einer Gleichung zu der nderen zur Elimintion einer Vrilen. Die zweite Vrile knn estimmt werden, Einsetzen in eine der Ursprungsgleichungen führt zur Bestimmung der nderen Vrilen. Beispiele: ) (Gleichsetzungsverfhren:) x + y 4 I -x (Auflösen nch y) 4x - y -0 II y 4 x I 4x - y -0 II -4x (Auflösen nch y) y 4 x -y -0 4x :(-) y 4 x I y 60 + x II (Gleichsetzen I II) y 4 -x 4 x 60 + x +x y 4 x x -60 y 4 x -6 x : y 4 x I x - II (Einsetzen von x in I) y 4 (-) 4+ 6 x - Lösung: x-, y6 -> L{(-;6)} ) (Additionsverfhren:) 5x y 0-4 4x + y - + 5x + y 6 I (Vorereitung zur 4x + y (-) Elimintion von y) 5x + 6y 8 I (Ersetzen durch I) -8x 6y -4 II (Addition I + II) 5x + y 6 I 7x 4 :7 5x + y 6 I x II (Einsetzen von x in I) Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 8

19 5 + y 6 x y -4 : x y - x Lösung: x, y- -> L{;-)} c) (Einsetzungsverfhren:) x + 4y 8 I -x + y II -y x + 4y 8 -x - y (-) x + 4y 8 I x - + y II (Einsetzen von x in I) (-+y) + 4y 8 I x - + y II - + 6y + 4y 8 + x - + y 0y 0 :0 x - + y II (Einsetzen von y in II) y I (Einsetzen von y in II) x - + y II y x - + Lösung: x, y -> L{(;)} Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 9

20 Aufgenltt: Linere Gleichungssysteme. Löse folgende linere Gleichungssysteme: ) y 5x y x + ) x + y 5 4x y c) y x + 4 x y -8 d) x y + x -y 4 e) -x y 8 x 5y 6 f) x + 4y 0 x 0y 9 g) (x-y) + 4 (y+) 7 (x-) (y-x) 9 h) 5x (7y+x) 7 x (7y x) i) x 5 + y 6 6 x + y 4 x + y 8 x y 9 0 j) 9 5 k) x + (y+) ( x + 4) ( y ) l) 5(y ) (x 7) 0 + x y + y 7 m) 5 x x + y 6 5 x n) y + x 5 0( y ) 6 Lösungen: ) x, y7 / ) x, y / c) x0; y4 / d) x, y-5 / e) x-, y-8 / f) x8, y0,5 / g) x4, y / h) x, y / i) x, y8 / j) x8, y4 / k) x, y / l) x-5, y-6 / m) x, y7 / n) x4, y-0,5 Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 0

21 Dtenltt: Gerden Eine Gerde y mx + esitzt die Steigung m und den y-achsenschnitt, d.h.: y y mx + 0 m y mx + x N x Es gilt: S y (0 ) ist y-achsenschnittspunkt der Gerde (Schnittpunkt mit der y-achse), N(x N 0) Nullstelle der Gerden (Schnittpunkt mit der x-achse) uf Grund von: mx N + 0, d.h.: x N m Die Steigung der Gerden errechnet sich mit zwei Gerdenpunkten P(x y ) und Q(x y ) ls: m y x y x Zu einer Gerden g: y mx + gehört der Steigungswinkel α mit: tnα m α tn ( m) Schneiden sich die Gerden g: y m x + und h: y m x +, so git es einen Schnittpunkt. Der Schnittpunkt S ist durch Gleichsetzen der Gerden zu ermitteln: m x + m x + > S(x S y S ) Die Bestimmung einer Gerdengleichung y mx + erfolgt üer: ) m, gegeen -> y mx + ) m, P(x y ) gegeen -> y mx -> y mx + c) P(x y ), Q(x y ) gegeen -> lineres Gleichungssystem: y mx +, y mx + -> m, -> y mx + Es gelten drüer hinus zur Gerdenestimmung die Punkt-Steigungsform: sowie die Zweipunkteform: y y g: m x x Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler

22 g: y x y x y x mit den Punkten P(x y ), Q(x y ) und der Steigung m. y x Gerden vom Typ g: x + y + c 0 genügen der llgemeinen Form der Gerdengleichung. Die Gerdengleichung knn ei 0 umgeformt werden zu: g: c y x, Gerden x x 0 sind prllel zur y-achse, Gerden y y 0 sind prllel zur x-achse. Beispiele (Gerden): ) Die Gerde g mit Steigung und y-achsenschnitt -8 heißt: g: y x 8. ) Die Gerde g durch den Punkt S y (0 7) und mit der Steigung - heißt: g: y -x + 7. c) Die Gerde g durch den Punkt P(4 ) und mit der Steigung -4 heißt: g: y -4x + 7. d) Die Gerde g durch die Punkte P( ) und Q( 4) heißt: g: y x +. e) Die Gerde g: y -x + 5 ht ls Schnittpunkte mit den Achsen: S y (0 5), N(,5 0). Der Steigungswinkel der Gerden eträgt: α tn - () 6,4. Beispiele (Schnittpunkt von Gerden): y h: y m x + S(x y) g: y m x + x ) Für die Gerden g: y x 5 und h: y -x + 7 ergit ds Gleichsetzen: x 5 -x + 7 +x 5x x :5 x,4 Einsetzen von x,4 in die Gerde g führt uf: y,4 5-0,. Der Schnittpunkt der eiden Gerden g und h lutet lso: S(,4-0,). ) Für die Gerden g: y x + und h: y 4 + x ergit ds Gleichsetzen: Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler

23 x x -x 4 und dmit einen Widerspruch. Die Gerden schneiden sich lso nicht und sind prllel. Beispiele (Gerdenestimmung): ) Die Gerde durch den Punkt (4 ) und mit der Steigung -4 lässt sich mit der Punkt-Steigungsform estimmen nch: y 4 y 4( x 4) y 4x + 7 (Gerde) x 4 ) Die Gerde durch die Punkte ( ) und ( 4) folgt us der Zweipunkteform gemäß: y 4 y y x y x + (Gerde) x x Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler

24 Aufgenltt: Gerden. Zeichne die folgenden Gerden in ein rechtwinkliges Koordintensystem. ) y x + ) y -x +5 c) y 0,5x 4 d) y x 4 e) y x f) y 7 x. Bestimme die jeweilige Funktionsgleichung der Gerden ) is 9).. Zeichne die folgenden Gerden in ein rechtwinkliges Koordintensystem. Berechne die Schnittpunkte der jeweiligen Gerden mit den Achsen des Koordintensystems. ) y 4x ) y x + 4 c) y x 5 d) y -x + 0 e) y x + f) y x 4. Welche Punkte liegen uf welchen Gerden? ) P(4 -), y 4x 8 ) Q(0 ), y 0,75x + c) R(- -), y 6x d) S(- 9), y -x + e) T( -4), y x f) U(44-89), y x 5 Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 4

25 5. Bestimme die Gerdengleichungen. ) P(4 ), m ) P(- ), m -0,5 c) P(- -4), m 4 d) P( -), Q(6 8) e) P(-4 0), Q( ) f) P( 5), Q(5 ) 6. Bestimme die prllelen Gerden durch den Punkt P. ) y x +, P( 7) ) y -x + 5, P(- 0) c) y x +, P(4 5) d) y 5 x, P(- ) e) y x, P(0-4) 5 5 f) y x +, P(0 -) 6 7. Bestimme den Schnittpunkt der Gerden g und h. ) g: y 4x, h: y x + ) g: y 0 x, h: y 4 c) g: y x 7, h: y 0 x d) g: y x +, h: y -x + 7 e) g: y x +, h: y x + f) g: y 4 x +5, h: y -x 7 g) g: y x 5, h: y -4x h) g: y 5x + 4, h: y 0,5x 5 8. Allgemeine Form der Gerdengleichung: ) Wndle um in eine Gerdengleichung der Form y mx + : g: 4x + y 0, h: -5x + y + 4 0, k: x y 6 ) Zeichne die folgenden Gerden in ein rechtwinkliges Koordintensystem: g: -x + y + 4 0, h: x + y + 6 0, k: x 7 Lösungen: ) y-achsenschnittspunkt S y (0 ), Steigungsdreieck m n S y -> Gerde ymx+ ) : y 6-0,5x, : yx+4, : yx/+, 4: yx-4, 5: y, 6: yx/4, 7: yx/5-, 8: y-x/-, 9: y-,5x ) S y (0 -), N(0,75 0) / ) S y (0 ), N(-4/ 0) / c) S y (0 0) N(0 0) / d) S y (0 0), N(0/ 0) / e) S y (0 ), N(- 0) / f) S y (0 ), N(4 0) 4) j / 4) j / 4c) nein / 4d) j / 4e) j / 4f) nein 5) yx-5 / 5) y-0,5x+,5 / 5c) y0,5x-,5 / 5d) y,5x-7 / 5e) yx/+/ / 5f) y-x+7 6) yx+4 / 6) y-x- / 6c) y-x/+9/ / 6d) y-x+ / 6e) y0,x+4 / 6f) y-5x/6+/ 7) S( 4) / 7) S( 4) / 7c) S(70/9 7/9) / 7d) S(,5 4) / 7e) g h / 7f) S(-6/ /) / 7g) S(- -8) / 7h) S(- -6) Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 5

26 Dtenltt: Preln Allgemeine Preln sind Funktionen vom Typ y x + x + c. Ist >0, so ist die Prel nch oen, ist <0, so ist sie nch unten geöffnet. Jede Prel lässt sich in der Scheitelpunktsform y (x x S ) + y S drstellen, woei S(x S y s ) der Scheitelpunkt ist mit: x S, y S x S + x S + c c 4 Nullstellen ls Schnittpunkte mit der x-achse ergeen sich mit der Hilfe der --c-formel gemäß: y 0 x + x + c 0 ± 4c x, > N (x 0), N (x 0) Je nch Diskriminnte (D 4c unter der Wurzel) git es keine (D<0), eine (D0), zwei Nullstellen (D>0). Existieren die eiden Nullstellen der Prel, so gilt für den Scheitelpunkt S(x S y S ): x + x x S, d.h.: der Scheitelpunkt liegt in der Mitte zwischen den Nullstellen uf der Prel. Der y-achsenschnittspunkt einer llgemeinen Prel ist S y (0 c) wegen: x 0 > y c> S y (0 c) Normlpreln (mit dem Koeffizienten vor dem x ) sind von der Form: y x + px + q (Normlform) y (x x S ) + y S (Scheitelform) mit den Zhlen p, q und dem Scheitelpunkt S(x S y S ). Scheitelpunkt, Nullstellen, y-achsenschnitt einer Normlprel sind dnn: y x + px + q x p + p q x p N (x 0) p q S(x S y S ) 4 N (x 0) S y (0 q) Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 6

27 Normlpreln der Form y x +px+q sind nch oen geöffnet, Normlpreln der Form y -x +px+q sind nch unten geöffnet. Allgemeine Preln mit Scheitelpunkt S(0 c) uf der y-achse sind von der Form: ( 0). y x + c (Normlform, Scheitelform) Der y-achsenschnittspunkt ist der Scheitelpunkt S(0 c), die Nullstellen errechnen sich ls: Je nch Diskriminnte (D y 0 x + c 0 x -c c x c x, ± c, unter der Wurzel) git es keine (D<0), eine (D0), zwei Nullstel- len (D>0). Bei der Wertetelle zur Prel y x + c ergeen sich gleiche y-werte für etrgsmäßig gleiche x-werte (±, ±, ), lso: x y y 4 y y y c y y y y 4 Normlpreln der Form y x +px+q sind nch oen geöffnet, eenso llgemeine Preln der Form y x + c mit >0. Normlpreln der Form y -x +px+q sind nch unten geöffnet, eenso llgemeine Preln der Form y x + c mit <0. Durch Gleichsetzen der entsprechenden Kurvengleichungen lssen sich die Schnittpunkte zwischen llgemeiner Prel und Gerde zw. zwei llgemeinen Preln ermitteln, lso: y x + x + c, y mx + > x + x + mx + (Prel, Gerde) y x + x + c, y x + x + c > x + x + c x + x + c (zwei Preln) Linere oder qudrtische Gleichungen ergeen dnn die x-koordinten des zw. der Schnittpunkte; die y-koordinte des zw. der Schnittpunkte ermittelt sich durch Einsetzen der x- Koordinte in eine Prel- oder Gerdengleichung. Die Bestimmung der Gleichung y x + px + q einer Normlprel erfolgt üer ein lineres Gleichungssystem, wenn zwei Punkte P(x y ) und Q(x y ) uf der Prel gegeen sind. Es gilt: y x + px + q y x + px + q Ds linere Gleichungssystem ist nch p und q ufzulösen. Gleiches gilt für Preln der Form y x + c und den Prelpunkten P(x y ) und Q(x y ): y x + c y x + c Ds linere Gleichungssystem ist nch und c ufzulösen. Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 7

28 Beispiele (Preln): ) Die Prel y x + 8 knn geschrieen werden ls y (x+0) + 8 und esitzt dher den Scheitelpunkt S(0 8). ) Die Prel y x 6x x 6x + ( x ) 9 ht den Scheitelpunkt S( -9). c) Die Prel y x 5x 6 ht den Scheitelpunkt S(,5 -,5), die Nullstellen N(- 0), N(6 0), den y-achsenschnittspunkt S y (0-6). d) Die Normlprel mit Scheitelpunkt S(-4 ) lutet: y (x+4) + 6 x + 8x + 9. e) Die Normlprel y x + px + q soll durch die Punkte P(- -5) und Q( -) gehen. Zur Bestimmung der Prel wird ds folgende linere Gleichungssystem ufgestellt: P(- -5) > -5 (-) + p (-) + q > -p + q -9 Q( -) > - + p + q > p + q -0 Ds Auflösen des lineren Gleichungssystems führt uf: -p + q -9 I (-) p + q -0 II p q 9 p + q -0 (Addition I + II) p q 9 5p 9 p q 9 p,8 (Einsetzen von p,8),8 q 9 -,6 p,8 -q 5,4 (-) p,8 q -5,4 p,8 Die Prelgleichung lutet dmit: y x +,8x 5,4. f) Die Gerde g: y x 5 und die nch oen geöffnete Normlprel mit Scheitelpunkt S( -) schneiden sich in den Schnittpunkten S ( -) und S (6 7), denn Gleichsetzen von Prel- und Gerdengleichung ergit mit der Prelgleichung y (x ) x 6x+9 x 6x+7: x 6x + 7 x 5 -x x 8x x 8x + 0 (p-q-formel) x 4 ± 4 4 ± 4 4 (Ausrechnen), ± x, x 6 (Lösungen) Einsetzen der x-werte in die Gerdengleichung ergit: y -, y 7 und dmit die een gennnten Schnittpunkte. Der Astnd der Schnittpunkte voneinnder ist dnn: (Stz des Pythgors: P(x y ), Q(x y ) -> ls Astnd der Punkte P und Q). S S (6 ) + (7 ( )) 4 + 8,94 8 PQ ( x x) + ( y y g) Die Prel y x 6 ht ls Achsenschnittpunkte: S y (0-6), N (-6 0), N (6 0). Die drei Punkte ilden ein gleichschenkliges Dreieck mit Fläche A gh/ 6/ 6 FE (Grundseite 6 g, Höhe h6) und mit Umfng u g + 8,97 (Schenkel S y 8,49). ) N Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 8

29 Aufgenltt: Preln. Ordne die Prelgleichung einer Prelkurve zu. ) y x ) y (x ) + 4 c) y -x d) y x + x + e) y x 8x + 6 f) y x + x 6 g) y x 4x + 44 h) y -0,5x. Bestimme die Gleichung der Normlprel y x + px + q us dem Scheitelpunkt S(x S y S ). ) S(4 -) ) S(- -5) c) S( 7) d) S(-,5 5). Bestimme den Scheitelpunkt der folgenden Preln. ) y x + 4 ) y x + x 4 c) y (x+,5) 4,5 d) y x x + e) y (x 5) + f) y (x+,),8 g) y x + 9x + h) y x 4x + 49 i) y -x 6x 6 j) y x + 9x + 6 k) y x + x + l) y x + x Zeichne die folgenden Preln. ) y x,5 ) y x + 5x c) y x x +8 d) y - x + e) y x,5x f) y x +,5x + 4,5 g) y (x+4) 0 h) y x 5x + 6,5 Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 9

30 5. Für die gegeenen Preln sind der Scheitelpunkt, die Nullstellen und der Schnittpunkt mit der y-achse zu estimmen. ) y x 0,4 ) y -0,5x + 8 c) y (x+,.5) + d) y (x ) 4 e) y x 5x + 6 f) y x + 0,5x 5 g) y 5 8 x + h) y x + 4x + 6 i) y x x 80 j) y (x+4,5) 5 k) y (x,5)(x+,5) l) y x + x 6. Bestimme die Nullstellen folgender llgemeiner Preln. ) y -x + 9x + 0 ) y x 4x + c) y 0 x + x d) y x + x e) y -4x + 6x 56 f) y 0x 00x Bestimme die Gleichung der llgemeinen Prel us Scheitelpunkt S und Prelpunkt P. ) S( ), P( 4) ) S(- ), P( 0) c) S(0,5-0), P(- -8) d) S(4 -), P( -4) e) S(0-5), P(-50 5) 8. Bestimme die Gleichung der Normlprel. ) y x + 5x + q mit P( 8) ) y x + px mit Q(- 5) c) y x + px + mit R(4,5 8) d) y x + px + q mit A(0 4), B( ) e) y x + px + q mit P(- ), Q(,5 ) f) y x + px + q mit A(- 0), B(5 0) g) y x + px + q mit Q(-4-4), R(-,5-0,5) 9. Berechne die Schnittpunkte zwischen den Preln. ) y x +, y -x + 0 ) y x 4, y 0,5x,5 c) y x + 4x, y x + x + d) y x x + 5, y x + x + 5 e) y x 7x +, y x +,5x f) y (x ) + 6, y x + 5x 0,5 g) y (x+5,5), y (x 4) + 5,5 h) y x + 6x 0. y -x + 0 i) y x + x, y x + j) y (x+) +, y 5 x + 47 k) y (x 4) 0, y x 8x + 4 l) y x +, y (x 5) +,5 0. Berechne die Schnittpunkte zwischen Prel und Gerde. ) y x + x, y -x 7 ) y x + 5, y 4x + c) y (x+), y -4 d) y x + x +, y -x e) y 5 x + 7, y 0,5x f) y x 5x + 8,5, y g) y x x 5, y x h) y (x+0,5) 5, y - x i) y (x ) +, y 6x 0 j) y x + 0x + 0, y 5x + 6 k) y x x +, y -0,x l) y -x + 6, y x + 0. Gegeen ist die Normlprel y x x 8. ) Wie lutet der Scheitelpunkt der Prel? ) Wo schneidet die Prel die x-achse? c) Wo schneidet die Prel die y-achse? d) Wie lutet die Gleichung der Gerden, die durch den y-achsenschnittspunkt und die positive Nullstelle der Prel geht? e) Liegen die Punkte A( -8), B(-0 ) und C(6 ) uf der Prel?. ) Wie lutet die Gleichung der nch oen geöffneten Normlprel, die den Scheitelpunkt S(- -6) ht? ) Wie luten die Nullstellen der Prel? Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 0

31 c) Wo schneiden sich die Prel und die Gerde mit der Gleichung y 5x? d) Wie lutet die zur Gerden y 5x prllele Gerde durch den Punkt P(6 0)?. ) Bestimme die nch oen geöffnete Normlprel, die durch die Punkte A( -6) und B(0 ) geht. ) Bestimme die Gerde durch die Punkte A und B. c) Wie lutet der Scheitelpunkt der Prel? d) Wo schneidet die Prel die x-achse? e) Wo schneidet die Gerde die x-achse? f) Wo schneidet die Prel die y-achse? g) Wo schneidet die Gerde die y-achse? 4. ) Bestimme die Schnittpunkte der nch oen geöffneten Normlprel mit Scheitelpunkt S(4-9) und der llgemeinen Prel y x 7? ) Bestimme die Gerde durch die Schnittpunkte? c) Welchen Flächeninhlt ht ds Dreieck, dessen Ecken die Nullstellen und der Scheitelpunkt der Normlprel sind? d) Welchen Umfng ht ds Dreieck, dessen Ecken die Schnittpunkte und der Scheitelpunkt der llgemeinen Prel sind? 5. ) Welche nch unten geöffnete Normlprel p ht S(- 6) ls Scheitelpunkt? ) Bestimme die Schnittpunkte der Prel p und der Prel y x x? c) Bestimme die Gerde durch die Schnittpunkte. 6. ) Gegeen ist die llgemeine Prel p : y x + x +. Bestimme den Scheitelpunkt S 4 sowie die Nullstellen der Prel. ) Durch den Scheitel S und die Nullstelle uf der positiven x-achse verläuft eine Gerde g. Berechne die Fläche des Dreiecks, ds die Gerde mit der x- und y-achse ildet. c) Eine nch oen geöffnete Normlprel p ht den Scheitelpunkt S (-0,5-4,5). In welchen Punkten T und U schneiden sich die eiden Preln? d) Die Gerde h verläuft durch die Prelschnittpunkte T und U. Wie lutet die Gerdengleichung? e) Wie lutet der Schnittpunkt V der eiden Gerden g und h? 7. ) Bestimme die Scheitelpunkte S und S der eiden llgemeinen Preln p : y -x +4x + und p : y 0,5x 6x +. Welche Gerde g verläuft durch die Scheitelpunkte? ) Bestimme die Schnittpunkte T und U der eiden Preln. Welche Gerde h verläuft durch die Schnittpunkte? c) Weise nch, dss die Gerden g und h prllel zueinnder sind. d) Die Gerden g und h ilden mit den Achsen des Koordintensystems jeweils ein Dreieck. Zeige, dss ds von der Gerde g geildete Dreieck einen neunml größeren Flächeninhlt ht ls den des Dreiecks der Gerden h. Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler

32 Lösungen: ) p / ) p / c) p / d) p 4 /e) p 8 / f) p 7 / g) p 5 / h) p 6 ) y x 8x + / ) y x + 6x + 4 / c) y x 4x + / d) y x + 5x +,5 ) S(0 4) / ) S(-,5-6,5) / c) S(-,5-4,5) / d) S( ) / e) S(5 ) / f) S(-, -,8) / g) S(-4,5-9,5) / h) S(7 0) / i) S( -) / j) S(-,5-0,75) / k) S(- 0) / l) S(-,5 -,75) 4) S(0 -,5) / 4) S(-,5-9,5) / 4c) S( 7) / 4d) S(0 ) / 4e) S(,5 -,565) / 4f) S(-0,75,975) / 4g) S(-4-0) / 4h) S(,5 0) 5) S(0-0,4), N(-, 0), N(, 0), S y (0-0,4) / 5) S(0 8), N(-4 0), N(4 0), S y (0 8) / 5c) S(-,5 ), S y (0 8,5) / 5d) S( -4), N( 0), N(5 0), S y (0 5) / 5e) S(,5-0,5), N( 0), N( 0), S y (0 6) / 5f) S(-0,5-5,065), N(-,5 0), N( 0), S y (0-5) / 5g) S(0 ), S y (0 ) / 5h) S(- ), S y (0 6) / 5i) S( -8), N(-8 0), N(0 0), S y (0-80) / 5j) S(-4,5-5), N(-9,5 0), N(0,5 0), S y (0-4,75) / 5k) y x x + 5,5, S( 4,5), N(-,5 0), N(,5 0), S y (0 5,5) / 5l) S(-6,5-4,5), N(- 0), N(0 0), S y (0 0) 6) N (- 0), N (0 0) / 6) N( 0)S( 0) / 6c) N (-0 0), N (5 0) / 6d) N (-9 0), N (6 0) / 6e) N ( 0), N (7 0) / 6f) keine Nullstellen. 7) y 0,5(x-) + / ) y (x+) + / c) y -8(x-0,5) 0 / d) y -(x-4) / e) y 0,(x-0) 5 8) y x + 5x + / 8) y x 6x / 8c) y x x + / 8d) y x x + 4 / 8e) y x + 0,5x / 8f) y (x+)(x-5) x x 5 / 8g) y x + 7x 9) S (- 6), S ( 6) / 9) S (- -), S ( -) / 9c) S (7 74) / 9d) S (0 5) / 9e) S ( ) / 9f) S (,5 8,5) / 9g) S ( 56,5) / 9h) S (-5-5), S ( 6) / 9i) S ( 4), S (,5 48,75) / 9j) S (-0 67), S (5 5) / 9k) / 9l) S ( 7,5), S (7 47,5) 0) S (-5 8), S ( -0) / 8) S (- 7), S ( ) / 0c) / 0d) S (- -) / 0e) / 0f) S (,5 ) / 0g) S ( -7), S ( -5) / 0h) S (-9/6 9/9), S (,5 -) / 0i) S (5 0) / 0j) S (-4-4), S (- ) / 0k) S (0,4 4,04), S (,5 5,5) / 0l) S (- 4), S ( ). y x x 8: ) S( -9); ) N(- 0), N(4 0); c) P(0-8); d) y x-8; e) A und B liegen uf der Prel, C nicht. ) y (x+) 6 x + 4x ; ) N(-6 0), N( 0); c) S(- -5), S(4 0); d) y 5x 0. ) y x 9 8x 9; ) y x 9; c) S(4-5); d) N(- 0), N(9 0); e) N( 0); f) P(0-9); g) P(0 -). 4) y (x-4) -9, P ( -5), P (4 9), ) y 8x, c) y x -8x+7, N ( 0), N (7 0), A7, d) N (- 4 0), N ( 4 0), u,5. 5) y -(x-) 5 + 6; ) S(-4 ), S( 0), c) y x +. 6) S (,5), N (- 0), N (4 0), ) g: y -x/4+, A6, c) y x +x-4, T(-,4-0,64), U( ), d) y 0,6x+0,8, e) V(44/7 6/9). 7) S ( 5), S (6-5), y -4x+9, ) T(0 ), U(4 -), y -4x+, c) gleiche Steigung m-4, d) A g 0,5, A h,5, A g /A h 9. Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler

33 Dtenltt: Eene Geometrie Eene Figuren: Dreieck Dreieck mit Seitenlängen,, c und Höhen h, h, h c uf den Seiten zw. Grundseite g und Höhe h: h h ch gh c Umfng: U + + c, Fläche: A zw.: A U + + c U c U c c U h A A A h h A h A ch A c gh A Gleichschenkliges Dreieck h A c h c A g h A h A h c c A h g Gleichschenkliges Dreieck mit Seitenlängen,, c ( ) und Höhe h h c uf der Grundseite g c: ch gh Umfng: U + c, Fläche: A c zw.: A U + c A ch c c + h Gleichseitiges Dreieck U c c U A A c h h c + h c h Gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge und Höhe h: Umfng: U, Fläche: A U U h h h A 4 A h A Trpez Trpez mit Seitenlängen,, c, d und Höhe h: Umfng: U + + c + d, Fläche: A U + + c + d U c d U c d c U d d U c + c h A + c h A c h A c h h A + c Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler

34 Prllelogrmm Prllelogrmm mit Seitenlängen, und Höhen h, h : Umfng: U +, Fläche: A h h U U + A A h A h h A h U h A h A Rute ef Rute mit Seitenlänge und Digonlen e, f: Umfng: U 4, Fläche: A U 4 4 U A ef A e f f A e e f + e f + e f f e Drchen ef Drchen mit Seitenlängen, und Digonlen e, f: Umfng: U +, Fläche: A U + U U ef A A e f f A e Rechteck Rechteck mit Seitenlängen, und mit Digonle d: Umfng: U +, Fläche: A U + U A A A A + U + U U U U A A A + d U U + U 6A U 6A d + d d Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 4

35 Qudrt Qudrt mit Seitenlänge und Digonle d: Umfng: U 4, Fläche: A Kreis U 4 U 4 A A U 4 d d U 6 A U 4 A Kreis mit Rdius r, Durchmesser d: Durchmesser: d r, Umfng: U d r U U πr r r d U π U π d d π d πr π d, Fläche: A π r πd 4 A π r r πd A 4 Kreisusschnitt A A π U 4π d U A π πa Kreisusschnitt (Kreissektor) mit Innenwinkel α und Rdius r: Bogenlänge: α r Fläche: A π r r πα 80 α πr παr 80 A πr α 60 A 60 r πα A 60 α πr A r r A A r 90 α πa A πaα πα παr A 80, r Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 5

36 Kreisusschnitt Kreisring mit Rdius r und r <r, Durchmesser d und d : Durchmesser: d r, Durchmesser: d r, Breite des Kreisrings: r r, Umfng: U π r + πr π ( r + ), U π d + πd π d + ), r πd πd π Fläche: A π r πr π ( r r ), A ( d d ) d r d r d r d r r r r r + r r U π ( r + r ) U U r r r r π π A π ( r r ) A A r + r r r π π ( d Strhlensätze: Es gilt die geometrische Sitution: Zwei vom Strhlenzentrum S usgehende Gerden werden von zwei prllelen Gerden geschnitten. Dnn gilt gemäß der neenstehenden Aildungen:. Strhlenstz: c d zw. d c für jeweils zwei ei S eginnende Strecken und uf dem. sowie c und d uf dem zweiten Gerdenstrhl.. Strhlenstz: c d zw. d c für die zwei ei S eginnenden Strecken und uf einem Gerdenstrhl sowie die Strecken c und d uf den Prllelen. Es gilt dmit die Fustregel: kurz kurz lng lng zw. kurz kurz lng lng Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 6

37 Aufgenltt: Eene Geometrie. Bestimme die fehlenden Größen: ) Qudrt Seite 4,5 cm Umfng U 60 m 78 cm Fläche A 8 dm ) Rechteck Seite,6 cm 8 cm Seite 8,4 cm 7,5 dm, dm Umfng U 0 cm m Fläche A 480 cm c) Prllelogrmm Seite 0,5 cm 0 cm Seite 6,5 cm 4 cm Höhe h 4 cm cm 40 mm Höhe h 6 cm 5 cm Umfng U 0 cm Fläche A 0 cm 40 cm d) Rute Seite 6 cm Digonle e 6, cm 4 cm 0,5 dm Digonle f 4,8 cm cm Umfng U 0 mm Fläche A 0 cm e) Trpez Seite 0 cm 8 cm 6 cm Seite c 8 cm 45 mm 4 cm,8 dm Höhe h 4 cm 0,65 dm 80 mm Fläche A 5 cm 0 cm f) Dreieck Seite c 4,5 cm 8 m 80 cm Höhe h c 6 cm 0 dm 40 cm Fläche A 00 dm 5,6 m. Berechne die fehlende Seitenlänge im rechtwinkligen Dreieck (, Ktheten, c Hypotenuse; lle Werte in cm): ).4, 0.7 ).9, c 6.5 c) 0, c 9 d) 9.9, c 0. e) 6, c 6.5 f) 77, c 85 g) 0, h) 6, c 65 Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 7

38 . Bestimme die Dreiecksseite x: ) ) c) d) 4. Bestimme die Strecke x nch dem. oder. Strhlenstz. ) ) c) d) e) f) Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 8

39 Dtenltt: Trigonometrie Gegeen sei ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit den Seiten,, c und den Winkeln α, β, γ mit γ 90 : und heißen Ktheten, c heißt Hypotenuse, h h c heißt Höhe des Dreiecks. Rechtwinkliges Dreieck Winkelsumme α+β+γ 80 γ 90 α+β 90 α 90 β β 90 α Umfng U + + c U c U c c U Flächeninhlt A A ch A Stz des Pythgors + c A A c h Trigonometrische Funktionen c + c + csinα c cosα c c c Gegenkthete sin α (Sinus) c Hypotenuse c sinα c Ankthete cos α (Cosinus) c Hypotenuse c cosα sin α Gegenkthe te α cosα Ankthete tn (Tngens) tnα tnα Gegenkthete sin β (Sinus) c Hypotenuse csin β c sin β Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 9

40 ccos β β Ankthete c Hypotenuse cos (Cosinus) c cos β sin β Gegenkthete β cos β Ankthete tn (Tngens) tn β tn β sin α cos β cos α sin β tn α tn β tn β tn α Beispiele: ) Aufge: Gegeen ist ein Dreieck ABC mit Winkel γ90 und den Seiten 6 cm, 4,8 cm. Bestimme lle Seiten, Winkel, Fläche und Umfng des rechtwinkligen Dreiecks. Lösung: I. Stz des Pythgors -> c 6 + 4,8 6 > c 7,68 cm. II. Winkel: tn α, 5 4,8 6 4,8 > α 5,4 > β 8,66. III. Fläche: A 4, 4 cm, Umfng: u + + c 8,48 cm. ) Aufge: In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit Winkel γ90 ist: α 40, 0 cm. Bestimme die ürigen Seiten und Winkel. 0 Lösung: I. Winkel: β II. Hypotenuse: cos α cos 40 > c c,05 cm. III. Stz des Pythgors:,05 0 > 8,9 cm. 0 c cos 40 Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 40

41 Aufgenltt: Trigonometrie. Berechne die fehlenden Seiten und Winkel im, die Fläche und den Umfng des rechtwinkligen Dreiecks ABC (γ90 ). ).5 cm, c 9.9 cm ) 8. cm, β 8. c) 8. cm, 8. cm d) c. cm, β 4.4 e).9 cm, A.5 cm f) c.4 cm, α 8.4 g).4 cm, α 9.9 h).9 cm, A 4. cm. Textufgen: ) Die Sonne steht 40 üer dem Horizont, ein Bum wirft einen 4 m lngen Schtten. Bestimme die Höhe des Bums. ) Ds Ende eines senkrecht stehenden Mstes wird mit einem Seil efestigt, ds in einem Winkel von 6 in 0 m Entfernung vom Mst im Erdoden ef estigt wird. Berechne die Höhe des Mstes und die Länge des Seils. c) In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kthete 7 cm größer ls die ndere, die Hypotenuse cm größer ls die größere Kthete. Bestimme lle Winkel im Dreieck. d) Ein gleichschenkliges Dreieck ht die Schenkellänge 5 cm und die Bsisseite 8 cm. Berechne Bsiswinkel und Winkel in der Spitze. e) In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit Winkel γ 90 ist die Strecke BC 6 cm lng, die Höhe des Dreiecks eträgt 4 cm. Berechne die fehlenden Winkel und Seiten. Lösungen: ) 9.6 cm,.5 cm, c 9.9 cm, α 75.4, β 4.6, A cm, u cm / ) 8. cm, 6.5 cm, c 0.5 cm, α 5.9, β 8., A 7 cm, u 5. cm / c) 8. cm, 8. cm, c.6 cm, α 45.7, β 44., A.6 cm, u 8 cm / d) 9. cm, 8. cm, c. cm, α 48.6, β 4.4, A 7. cm, u 9.6 cm / e).7 cm,.9 cm, c 4. cm, α 6.8, β 7., A.5 cm, u 9.8 cm / f) 7.7 cm, 9.7 cm, c.4 cm, α 8.4, β 5.6, A 7. cm, u 9.8 cm / g).4 cm, 9.4 cm, c 0 cm, α 9.9, β 70., A 6 cm, u.8 cm / h).9 cm,.9 cm, c 4. cm, α 45, β 45, A 4. cm, u 9.9 cm / c) 8, 5, c7 -> α, β, γ90. Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 4

42 Dtenltt: Prismen Ein (gerdes) Prism ist ein geometrischer Körper, ei dem eine (n-eckige) Grundfläche prllel zu einer dzu gleichen Deckfläche ist und die Prismenhöhe h ls Verindung zwischen entsprechenden Ecken senkrecht zu Grund- und Deckfläche steht. Wir unterscheiden ei Grundknten,, c, die Grund- und Deckfläche G, die Mntelfläche M, die Oerfläche O sowie ds Volumen V. Prismen Grundfläche, Umfng: Dreieck Grundfläche, Umfng: Qudrt Grundfläche, Umfng: Rechteck Grundfläche, Umfng: Prllelogrmm Grundfläche, Umfng: Trpez Grundfläche, Umfng: Regelmäßiges 6-Eck Grundfläche, Umfng: Regelmäßiges n-eck Mntelfläche Oerfläche Volumen G gh u + + c g G u 4 G u + G h h u + G ( + c) htr u + + c + d G u 6 n G 80 4 tn n u n M u h M u h O G + M M O G V G h Winkel zwischen Mntelfläche und Grundfläche: 90 Würfel: Grundfläche, Umfng Oerfläche V G h G G u 4 O 6 Volumen V Quder: Grundfläche, Umfng Oerfläche ) Volumen O 6 V G u + O ( + c + c O c ( + c) V c V c O c ( + c) V c M h u O M G V h G u 4 O c ( + ) c V Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 4

43 Dtenltt: Qudrtische Pyrmide Qudrtische Pyrmide: Eine Pyrmide mit qudrtischer Grundfläche ist durch die Seitenlänge des Qudrts und durch die Pyrmidenhöhe h estimmt, weiter durch die Seitenhöhe h s, die Kntenlänge s, die Oerfläche O, die Mntelfläche M, die Grundfläche G und ds Volumen V. Qudrtische Pyrmide Grundfläche, Grundknte G G Grundflächendigonle d d Seitenhöhe Seitenknte Pyrmidenhöhe Mntelfläche Oerfläche Volumen Winkel zwischen Knte s und Grundknte Winkel zwischen Seitenhöhe h s und Grundfläche G Winkel zwischen Knte s und Grundfläche G h s h s hs s h + + d + M hs h hs h s s h s s d d h s s h M M h s h s O G + M + h ( + ) G O M M O G s h s O h s hs + hs + O V V V G h h h h h s h sin α cos α s s tn α s h h sin β cos β tn β hs h s h d h sin γ cos γ tn γ s s d h h s Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 4

44 Dtenltt: Zylinder Ein gerder Zylinder mit einem Kreis ls Grundfläche ist durch den Rdius r des Kreises und durch die Zylinderhöhe h estimmt, weiter durch die Grundfläche G, die Oerfläche O, die Mntelfläche M und ds Volumen V. Zylinder Grundfläche, Rdius Durchmesser Kreisumfng Mntelfläche Oerfläche Volumen Rdius, Höhe V G πr d r r r G π d U πr U πd M πrh M r πh O G + M π r + πrh πr ( r + r h h) U π M πr O M G M O G h h O O r + + h r 4 π π r V V G h πr h r h πh πr V M V r h h M 4πV G Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 44

45 Dtenltt: Kegel Ein gerder Kegel ist durch den Rdius r des Kreises ls Grundfläche G und durch die Kegelhöhe h estimmt, weiter durch die Mntellinie s, die Oerfläche O, die Mntelfläche M und ds Volumen V is hin zum Winkel des zum Kegel gehörenden Kreisusschnitts, der entsteht, wenn mn den Kegel rollt. Kegel Grundfläche, Rdius Durchmesser Kreisumfng Mntellinie, Höhe Mntelfläche Oerfläche Volumen Winkel zwischen Mntel- und Grundfläche Hler Winkel in der Kegelspitze Kreisogen Arollfläche, Kreisusschnitt G πr d r r r G π d U πr U πd s r + h M πrs r s h h M r πs O G + M π r + πrs πr( r + s) G O M M O G V G h πr h sin α sin β πr h s r s Arollwinkel 80 s s r V r πh r cos α s h cos β s γ πs 80 O π r U π s r M s πr O s r π r γ V h πr h tn α r r tn β h 80 s π γ A M πrs A πs 60 A r γ γ 60 γ 60 πs πs s Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 45

46 Dtenltt: Kugel Eine Kugel ist durch den Rdius r estimmt, weiter durch die Oerfläche O und ds Volumen V. Kugel Rdius, Durchmesser Kugelumfng Oerfläche Volumen d r d r U πr U πd O 4πr V 4 r r O 4π π 4 r V π r U π V r O Hlkugel Rdius, Durchmesser Kugelumfng Oerfläche Volumen d r d r U πr U πd O πr V r r O π π r V π r U π V r O Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 46

47 Aufgenltt: Räumliche Geometrie. Berechne Oerfläche, Volumen, Seitendigonle und Rumdigonle der Würfel mit Kntenlänge: ) 4 cm ) 6,4 m c),8 dm. Berechne Oerfläche, Volumen, Seitendigonlen und Rumdigonle der Quder mit den Kntenlängen: ) cm, 8 cm, c 6 cm ) 6, dm, 0 cm, c 0,4 m c) 5,8 m, 58 cm, c 58 dm. Berechne Oerfläche und Volumen folgender Dreiecksprismen: ) 5cm, h cm, c cm, h cm ) h 6 cm, cm, c 0 cm, h 4 cm 4. Berechne Oerfläche und Volumen folgender Trpezprismen: ) 6 cm, d 5 cm, h T 4 cm, h cm ) m, 0m, c 4 m, d h Tr 6 m, h m 5. Gegeen ist eine qudrtische Pyrmide. Berechne die fehlenden Größen: Knten, Höhen, Grund-, Mntel-, Oerfläche, Volumen, Winkel. ) 4 cm, h 6 cm ) 0 cm, h s 8 cm c) h s 0 cm, s 4 cm d) 4 cm, M 560 cm e) M 76 cm, O 97 cm f) 8 cm, V 56 cm 6. Bestimme die fehlenden Größen: I. Kugel ) 4 r d O V ) c),8 d) 66,5 e) 00 f) 706 II. Zylinder r h d U G M O V ) 6 8 ) 0 c) Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 47

48 d) 6,8 9 e) 0 6,8 f) 5,4 0, g),7 55,4 h) 6, 544,5 i) 6 55,9 j) 5,4 7,5 k),8, l) 0,8 5,74 m) 5, 45,6 n) 6,98 96, o) 45,6 56, p) 7,5 767,5 q) 6 0,6 r) 57,58 99,4 III. Kegel r h s G M O V α β γ ) 6 8 ) 0 6 c) 0 d) 8 4 e) 8 8 f) 4,5 9,5 g) 7 78,54 h) 5 4,6 i) 0 444, j) 9 678,6 k) 6,4 46,57 l) 5 87,4 m) 0 670, n) 60,8 59,87 o) 45,4 06,4 Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 48

49 p),6 q) 0 78,5 r) 7,5 4,8 7. Textufgen: ) Berechne den Winkel zwischen Rumdigonle und Seitenfläche in einem Würfel. ) Berechne den Winkel zwischen Rumdigonle und Grundfläche in einem Quder mit Länge 6 cm, Breite 4 cm und Höhe c 5 cm. c) Ein Quder ht die Grundfläche 60 cm, die Quderlänge eträgt 0 cm. Bestimme Höhe und Volumen des Quders, wenn die Rumdigonle mit der Grundfläche einen Winkel von 8 einschließt. d) Im Achsenquerschnitt eines Zylinders schließen Digonle und Durchmesser d 8 cm einen Winkel von 74 ein. Berechne Oerfläche und Volumen des Zylinders. e) Einem Zylinder ist ein Kegel mit gleichem Durchmesser ufgesetzt. Die Mntellinie des Kegels ist 6 cm lng, der Winkel zwischen Mntellinie und Kegelgrundfläche eträgt 0, die Höhe des Zylinders ist 7,5 cm groß. Berechne Oerfläche und Volumen des zusmmengesetzten Körpers. Lösungen: 5) h s 6. cm, s 6.6 cm, G 6 cm, M 50,56 cm, O 66,56 cm, V cm, α 7,4, β 7,7, γ 64,8 / ) h 6.4 cm, s 9.4 cm, G 00 cm, M 60 cm, O 60 cm, V 08 cm, α 58,0, β 5,, γ 4,4 / c) 9.6 cm, h cm, G 84,6 cm, M 9 cm, O 776,6 cm, V 54,8 cm, α 45,6, β,5, γ 8, / d) h 8.7 cm, h s 0 cm, s,9 cm, G 96 cm, O 756 cm, V.69 cm, α 70,07, β 69,5, γ 6, / e) cm, h 5,8 cm, h s 8 cm, s 9.7 cm, G cm, V 4,4 cm, α 55,5, β 46,6, γ 6,75 / f) h cm, h s.65 cm, s.7 cm, G 64 cm, M 0,4 cm, O 66,4 cm, V 4,4 cm, α 7,4, β 7,6, γ 64,7 / 6. I. r/d/o/v ) 4, 8, 0,, 68,; ) 6,, 45,4, 904,8; c),8,,6, 749,7, 688,; d),, 4,6, 66,5, 5; e),6, 7,6, 65,4, 00; f) 9,6, 9,, 58,, 706 / II. r/h/d/g/m/ov ) 6, 8, ; 7,7,,, 0,6, 57,8, 904,8; ) 0,, 0, 6,8, 4,6, 5,66, 754, 68,; c) 6,,, 7,7,,, 45,4, 678,6, 57,; d) 4,5, 6,8, 9, 8,7, 6,6, 9,7, 9,5, 4,6; e),, 5,4, 6,4, 0,,,7, 08,57, 7,9, 7,7; f) 0, 0, 0, 6,8, 4,6, 56,64, 884,96, 68,9, g) 4,,,7, 8,4, 6,9, 55,4, 97,64, 08,8, 05,05; h) 6,, 4,,,, 8,, 6,9, 544,5, 778,05, 659,96; i) 8,, 6, 50,7, 0,06, 55,9, 955,04,,68; j) 7, 5,4, 4, 4,98, 5,94, 7,5, 545,8, 8,7; k),8, 9,, 5,6, 7,6, 4,6, 6,85,,, 6,6; l) 6,7, 0,8,,4, 4,, 4,0,,68, 5,74,,8; m),,,, 4,4,,8, 5,, 45,6, 76,04, 50,8; n) 8,5, 9,5, 7, 5,4, 6,98, 507,7, 96,, 56,; o) 7,, 5,5, 4,, 44,6, 58,7, 45,6, 56,, 87,0; p) 7,5, 0, 5, 47,, 76,7, 47,4, 84,66, 767,5; q) 4, 6, 8, 5,, 50,7, 50,8, 5,4, 0,6; r),8, 6,6, 7,6,,88, 45,6, 57,58, 48,, 99,4 / III. r/h/s/u/g/m/o/v ) 6, 8, 0, 7,7,,, 88,5, 0,6, 0,6; ) 0, 6, 8,87, 6,8, 4,6, 59,8, 906,98, 675,5; c) 6,6, 0,, 4,66, 8,, 50, 88, 460,; d),5, 8, 4, 7,, 44,75, 505,6, 90,, 06; e) 8, 6,, 8, 50,, 0,, 45,4, 65,5, 080,4; f) 4,5, 8,7, 9,5, 8,7, 6,6, 4,, 97,9, 77,5; g) 5, 9,6, 0,,4, 78,54, 4,6, 9,7, 506,84; h) 0, 0, 4,4, 6,8, 4,6, 444,, 758,8, 047,; i) 9,, 5, 56,55, 54,47, 44,, 678,6, 07,9; j) 5,, 9,, 94,5, 706,9, 905,, 6,, 87,4; k) 8, 0,,8, 50,7, 0,06,,95, 5, 670,; l) 4,4, 8,8, 8,8, 7,65, 60,8, 59,87, 0,69, 70,6; m), 6, 0, 75,4, 45,4, 754, 06,4, 4,7; n) 7,68, 6,4, 0, 48,5, 85,, 4,7, 46,57, 95,; o) 5, 7, 8,6,,4, 78,54, 5,,,6, 8,6; p), 5,, 75,4, 45,4, 490,, 94,5, 754; q) 6,7, 7,5, 0,06, 4,, 4,0,,75, 5,78, 5,57; r) 4, 9,6, 0, 5,, 50,7, 5,, 0,6, 8,4 Michel Buhlmnn, Mthemtik für Berufsfchschüler und Berufsufuschüler 49