2.2. Aufgaben zu Figuren

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1 2.2. Aufgen zu Figuren Aufge 1 Zeichne ds Dreieck ABC in ein Koordintensystem. Bestimme die Innenwinkel, und und erechne ihre Summe. Ws stellst Du fest? ) A(1 2), B(8 3) und C(3 7) ) A(0 3), B(10 1) und C(8 8) c) A(1 7), B(3 3) und C(9 4) Aufge 2 Zeige nhnd der neenstehenden Skizze, dss die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck immer 180 ist: + + = 180 Aufge 3 Bestimme die Längen und Winkel in den folgenden Dreiecken und vergleiche: c Aufge 4 Konstruiere: ) ein gleichschenkliges Dreieck mit Bsis c = 6 cm und Schenkel = 5 cm. Hinweis: Benutze einen Zirkel und zeichne zwei Kreise mit Rdius 5 cm um die Eckpunkte der Bsis. ) ein gleichschenkliges Dreieck mit Bsis c = 8 cm und Bsiswinkel = 40 c) ein gleichschenkliges Dreieck mit Schenkel = 5 cm und Schenkelwinkel = 40 d) ein gleichschenkliges Dreieck mit Bsis c = 6 cm und Schenkelwinkel = 50 e) ein gleichseitiges Dreieck mit den Seiten = 4 cm. f) ein rechtwinkliges Dreieck mit den Ktheten = 3 cm und = 4 cm. g) ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 6 cm und = 30 h) ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 7 cm und der Kthete = 4 cm. Hinweis: Benutze eine Tngente. Aufge 5 Zeichne ds Viereck ABCD in ein Koordintensystem. Bestimme die Innenwinkel,, und δ und erechne ihre Summe. Ws stellst Du fest? ) A(0 0), B(6 0), C(5 5), D(2 6) ) A(1 4), B(5 4), C(7 0), D(7 7) c) A(0 1), B(10 1), C(6 5), D(5 2) Aufge 6 Zeige nhnd der neenstehenden Skizze und mit Hilfe von Aufge 2, dss die Summe der Innenwinkel in einem Viereck immer 360 ist: ε = 180 c Aufge 7 Zeichne eventuelle Symmetriezentren und Symmetriechsen in die folgenden Vierecke ein. Umkreise jeweils lle Vierecke, Drchen, Ruten, Trpeze, Prllelogrmme, Rechtecke und Qudrte, die du findest. (!) δ c Drchen Rute Viereck Qudrt Trpez Prllelogrmm Rechteck 1

2 Aufge 8 Konstruiere die folgenden Vierecke: ) ein Trpez mit = 6 cm, = 4 cm, = 80, = 120 ) ein Prllelogrmm mit = 8 cm, = 2 cm, und = 60 c) ein Prllelogrmm mit = 4 cm, = 5 cm, und e = 7 cm d) einen Drchen mit = 6 cm, = 60 und = 4 cm. e) einen Drchen mit = 5 cm, = 2 cm und e = 6 cm f) einen Drchen mit e = 10 cm, f = 5 cm und = 50 g) eine Rute mit e = 10 cm und f = 5 cm h) eine Rute mit = 4 cm und = 60 Aufge 9 Rechne in die ngegeene Einheit um: ) 5 m 2 in dm 2, 13 dm 2 in cm 2, 33 km 2 in h, 24 h in ) 2 km 2 3 h in h, 7 cm 2 15 mm 2 in mm 2, 20 h 15 in c) 4 h 9m 2 in m 2, 4 km 2 19 in, 3 dm 2 78 cm 2 in cm 2. d) 730 dm 2 in m 2 und dm 2, 1250 mm 2 in cm 2 und mm 2, cm 2 in m 2, dm 2 und cm 2, dm 2 in, m 2 und dm 2, m 2 in h, und m 2, h in km 2 und h zu Aufge 11 Aufge 10 Wndle zunächst in die kleinere Einheit um: 3 m dm 2, 17 m dm 2, 8 dm cm 2, 9 dm cm 2, 5 m cm 2, 1 m dm 2 ü 5 cm 2 Aufge 11 Bestimme den Flächeninhlt der rechts oen geildeten Figuren, wenn ein qudrtisches Kästchen 5 mm reit ist. zu Aufge 12 Aufge 12 Gi den Flächeninhlt der rechts oen geildeten Rechtecke n, wenn ein qudrtisches Kästchen 1 mm zw. 1 cm zw. 1 dm reit ist. Welchen Flächeninhlt ht ein Rechteck, ds 60 cm reit und 50 cm hoch ist? Aufge 13 Vervollständige die Telle: ) ) c) d) e) 4 cm 5 m 23 mm 300 m 3 dm 30 cm A 200 m 2 60 m cm 2 15 km 2 Aufge 14 ) Fru Mier will die sechs Türen ihrer Wohnung nstreichen, die lle 2 m hoch und 82 cm reit sind. Leider erhält sie nur Dosen, deren Inhlt für 12 m 2 reicht. Wie viele Dosen muss Fru Brun kufen, wenn sie die Türen uf eiden Seiten jeweils zweiml streichen will? ) Eine 3 m reite und 4 m lnge Vernd soll mit rechteckigen Pltten gepflstert werden. Die Pltten sind 25 cm lng und 12 cm reit. Eine Pckung mit 16 Stück kostet 8,90. Wie viel kosten die Pltten insgesmt? c) Die Fensterfront eines Bunglows soll neu verglst werden. Sie esteht us cht gleich großen Scheien, die 1500 mm reit und 2400 mm hoch sind. Für die Erneuerung der Scheien sind 78 pro m 2 zu ezhlen. Wie viel kostet die gesmte Fensterfront? d) Ein Lndwirt ut uf einem 3 m reiten Streifen um seine Felder nichts n, dmit Igel, Rehühner und seltene Pflnzen hier leen können. Wie viel Fläche verliert der Lndwirt ddurch von einem qudrtischen, ursprünglich 4 h großen Feld? Wie viel Fläche verliert er ei einem rechteckigen Feld von 500 x 80 m? Woher kommt der Unterschied? 2

3 Aufge 15 Bestimme durch Azählen der Kästchen die Flächeninhlte der unten geildeten Figuren, wenn ein qudrtisches Kästchen 5 mm 2 reit ist: Aufge 16 Berechne die Fläche der Dreiecke us Aufge 4 Aufge 17 Zeige mit Hilfe der Skizze, dss ein Trpez mit den Seitenlängen und sowie der Höhe h den Flächeninhlt A = 1 ( + ) h ht. 2 h Aufge 18 Bestimme mit Hilfe der Skizzen den Flächeninhlt ) eines Prllelogrmms mit der Seitenlänge und der Höhe h uf ) eines Drchen mit den Digonlen e und f. h Aufge 19 Berechne den Flächeninhlt der Vierecke us Aufge 8 Aufge 20 Zeichne ) ein konvexes Hexgon ) ein konkves Hexgon c) ein konvexes Heptgon d) ein konkves Heptgon e f Aufge 21 ) Bestimme die Summe der Innenwinkel in den folgenden regelmäßigen Polygonen. Hinweis: Wenn mn die Regelmäßigkeit (Symmetrie) der Figuren und Neenwinkel geschickt nutzt, muss mn jeweils nur einen einzigen Winkel messen! ) Fsse Deine Ergenisse in der folgenden Telle zusmmen und stelle eine Formel uf, mit der mn die Winkelsumme us der Zhl n der Ecken erechnen knn: Eckenzhl n Winkelsumme 3

4 Aufge 22 Beweise den Winkelsummenstz für ds unten geildete Sieeneck nch der folgenden Anleitung 1. Durchwndert mn ds Polygon einml 4 vollständig, so ht mn sich insgesmt genu 4 einml um sich selst gedreht Wenn mn sich n der 1. Ecke um 1, n der Ecke um 2, n der 3. Ecke um 3 usw. nch 3 links gedreht ht, muss die Summe der Außenwinkel lso ergeen: = 6 3. Die Innenwinkel 1, 2, 3, sind die 2 2 der Winkel 1, 2, 3,, d.h., 1 = 1, 2 = 2 usw. 4. Durch Einsetzen in die Summe der Außenwinkel erhält mn =. 5. Durch Auflösenerhält mn =

5 Aufge 1 ) = 60,0, = 46,8 und = 73,2 ) = 43,3, = 62,7 und = 70,0 c) = 42,9, = 107,1 und = 30,0 Aufgen 2 und Lösungen zu den Aufgen zu Figuren Aufge 4 ) Höhe h = 4 cm, Bsiswinkel = 26,9, Schenkelwinkel = 53,1 ) Höhe h = 3,35 cm, Schenkel = 5,2 cm, Schenkelwinkel = 100 c) Höhe h = 4,7 cm, Bsis c = 3,4 cm, Bsiswinkel = 70. d) Höhe h = 3,57 cm, Schenkel = 4,66 cm, Bsiswinkel = 65 e) Höhe h = 4,47 cm f) Hypotenuse c = 5 cm, = 26,9, = 53,1 g) Ktheten = 3 cm und = 5,2 cm, = 60 h) = 5,74 cm, = 34,8, = 55,2 Aufge 5 ) = 71,6, = 55,5, = 119,7 und ε = 113,1 ) = 26,6, = 116,5, = 26,6 und ε = 190,3 c) = 11,3, = 135,0, = 63,4 und ε = 150,3 Aufgen 6 und 7 Aufge 8 ) Höhe h = 3,46 cm, c = 7,13 cm, d = 3,41 cm ) Höhe h = 1,73 cm, = 120 c) Höhe h = 4,9 cm, = 101,5, = 78,5 d) e = 7,84 cm, f = 6 cm. e) f = 3,12 cm f) = 5,91 cm, = 4,79 cm g) = 5,59 cm h) e = 6,93 cm, f = 4 cm Aufge 9 ) 50 dm 2, 1300 cm 2, 2200 h, 2400 ) 2030 h, 715 mm 2, 2015 c) m 2, 4 019, 378 cm 2 d) 7 m 2 30 dm 2, 12 cm 2 50 mm 2, 1 m 2 43 dm 2 60 cm 2, 5 43 m 2, 8 h, m 2, 700 km 2 60 h Aufge dm 2, 1701 dm 2, 802 cm 2, 931 cm 2, cm 2, cm 2. Aufge Splte: lle 7 cm 2 und 2. Splte: lle 5 cm 2! Aufge 12 10, 20, 30, 50 und 8 17 = 136 mm 2 zw. cm 2 zw. dm 2. Rechteck: A = 30 cm 60 cm = 1800 cm 2 = 12 dm 2. Aufge 13 ) ) c) d) e) 4 cm 5 m 200 m 23 mm 300 m 3 dm 40 m 30 cm 80 cm 50 km (!) A 120 cm m 2 60 m cm 2 15 km 2 Aufge 14 ) Die Türen hen eine Gesmtfläche von cm 82 cm = cm 2 = dm 2 = 984 dm 2. Vorderund Rückseite je zweiml streichen erfordert Fre für dm 2 = 3936 dm 2, d.h. 4 Eimer für jeweils 12 m 2 = 1200 dm 2. 5

6 ) Mn knn die Terrsse ohne Verschnitt mit = 400 Pltten uslegen, ds mcht dnn 25 8,90 = 222,50. c) Die Scheien hen eine Gesmtfläche von 8 15 dm 24 dm = 2880 dm 2 = 28,8 m 2 ds mcht dnn 78 28,8 = 2246,40. d) Ds qudrtische Feld ht eine Seitenlänge von 200 m. der Streifen ist dnn 200 m m m m = 788 m lng mit einer Fläche von3 m 788 m = 2364 m 2. Bei dem rechteckigen Feld ist der Streifen 500 m + 74 m m + 74 m = 1148 m lng und enötigt eine Fläche von 3 m 1148 m = 3444 m 2. Von llen Rechtecken mit der Fläche 4 h ht ds Qudrt den kleinsten Umfng. Aufge 15 Links: Sechseck: 375 mm 2, Sieeneck: 150 mm 2, Rechteck: 175 mm 2, Trpez: 250 mm 2, Qudrt mit Fenstern: 525 mm 2, kleines Dreieck: 50 mm 2, großes Dreieck: 150 mm 2. Rechts: oeres Dreieck: 150 mm 2, untere Dreiecke: lle 200 mm 2, Fünfeck: 450 mm 2, Achteck: 1050 mm 2. Aufge 16 ) 12 cm 2 ) 13,4 cm 2 c) 16 cm 2 d) 10,71 cm 2 e) 8,94 cm 2 f) 6 cm 2 g) 7,8 cm 2 h) 11,48 cm 2 Aufgen 17 und 18 Aufge 19 ) 17,3 cm 2 ) 13,84 cm 2 c) 19,6 cm 2 d) 23,52 cm 2 e) 9,36 cm 2 f) 25 cm 2 g) 25 cm 2 h) 13,86 cm 2 Aufge 20 ) ) c) d) Aufgen 21 und 22 6

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