Schriftliche Abiturprüfung Grundkursfach Mathematik. - Nachtermin -

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Jacob Färber
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1 Abschrift des Originlmterils vom Sächsischen Sttsministerium für Kultus Sächsisches Sttsministerium für Kultus Schuljhr 00/03 Geltungsbereich: - Allgemein bildendes Gymnsium - Abendgymnsium und Kolleg - Schulfremde Prüfungsteilnehmer Schriftliche Abiturprüfung Grundkursfch Mthemtik - Nchtermin - Mteril für den Prüfungsteilnehmer Allgemeine Arbeitshinweise Ihre Arbeitszeit (einschließlich der Zeit für ds Lesen der Aufgbentete und der Zeit für die Auswhl der Whlufgbe) beträgt 40 Minuten. Auf dem Deckbltt der Arbeit hben Sie den verwendeten GTR-Typ nzugeben. Die Prüfungsrbeit besteht us den zu berbeitenden Pflichtteilen A, B und C sowie dem Whlteil D. Es sind lle Aufgben der Pflichtteile zu berbeiten. Aus dem Teil D ist genu eine der beiden Aufgben zu berbeiten. Der Lösungsweg mit Begründungen, Nebenrechnungen und (bei Konstruktionen) Hilfslinien muss deutlich erkennbr in gut lesbrer Form drgestellt werden. Insgesmt sind 60 Bewertungseinheiten (BE) erreichbr, dvon im Teil A 5 BE, im Teil B 5 BE, im Teil C 0 BE, im Teil D 0 BE. Erlubte Hilfsmittel: Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung grfikfähiger, progrmmierbrer Tschenrechner (GTR) ohne Computer-Algebr-System Tbellen- und Formelsmmlung, ohne usführliche Musterbeispiele (im Unterricht eingeführt) Zeichengeräte Seite

2 Abschrift des Originlmterils vom Sächsischen Sttsministerium für Kultus Prüfungsinhlt Pflichtufgben Teil A: Anlysis Gegeben ist eine Funktion f durch y = f ( ) = e ( R) ) Geben Sie die Nullstelle, die Koordinten der loklen Etrempunkte und deren Art sowie die Koordinten der Wendepunkte des Grphen der Funktion f n. Erreichbre BE-Anzhl: 5 b) Ermitteln Sie eine Gleichung der qudrtischen Funktion, deren Grph durch den P ; einen loklen Etrempunkt ht. Koordintenursprung geht und im Punkt ( ) c) Weisen Sie nch, dss die Funktion F mit F( ) = e ( 4 8) ( R). Erreichbre BE-Anzhl: 4 eine Stmmfunktion der Funktion f ist. Ermitteln Sie eine Gleichung derjenigen Stmmfunktion von f, deren Grph durch den Punkt Q 0; geht. ( ) und Der Grph der Funktion f, die Prbel g mit der Gleichung y = g( ) = + ( R) die Gerde = begrenzen im Intervll [ 0 ;] eine Fläche vollständig. Weisen Sie ohne Verwendung von Näherungswerten nch, dss der Inhlt dieser Flche 0 6 beträgt. e 3 Erreichbre BE-Anzhl: 7 d) Es gibt genu eine Tngente n den Grphen der Funktion f, die zur Gerden mit der Gleichung y = 3 e ( R) prllel ist. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Tngente. Erreichbre BE-Anzhl: 4 e) Für jede Zhl t ( R, t > 0) f durch y = f ( ) = t e ( R) t ist eine Funktion t t Der Grph der Funktion f t besitzt genu einen loklen Mimumpunkt. Zeigen Sie, dss lle diese Punkte uf ein und derselben Gerden liegen. Geben Sie eine gegeben. Gleichung dieser Gerden n. Begründen Sie, dss es keine Zhl t gibt, so dss der lokle Mimumpunkt der Funktion f t unterhlb der -Achse liegt. Erreichbre BE-Anzhl: 5 Seite

3 Abschrift des Originlmterils vom Sächsischen Sttsministerium für Kultus Teil B: Geometrie / Algebr In einem krtesischen Koordintensystem ist ein Prism ABCDEFGH mit rechteckiger Grundfläche ABCD durch die Punkte A ( 4;; 4), B ( 5;7; ), C ( ;7; ) und E ( 5,5;,5;0,5 ) gegeben. Die Strecke AE ist eine Knte des Prisms. ) Ermitteln Sie die Koordinten des Punktes D. Stellen Sie ds Prism in einem krtesischen Koordintensystem dr. Zeigen Sie, dss dieses Prism ein Quder ist. Erreichbre BE-Anzhl: 5 b) Bestimmen Sie die Größe des Neigungswinkels der Rumdigonlen EC zur Digonlen AC der Grundfläche ABCD des Quders. Begründen Sie, dss die Rumdigonlen EC und AG eindeutig eine Ebene bestimmen und geben Sie eine Gleichung dieser Ebene n. Erreichbre BE-Anzhl: 4 c) Auf der Verlängerung der Knte AE über den Punkt E hinus eistiert ein Punkt K derrt, dss gilt: EK = 5. Ermitteln Sie die Koordinten des Punktes K. Erreichbre BE-Anzhl: 3 d) Ein Punkt P teilt die Knte AB im Verhältnis :3. Der Punkt Q ist der Mittelpunkt der Strecke EF. Die Strecke PQ teilt ds Rechteck ABFE in zwei Trpeze. Zeigen Sie, dss sich die Flächeninhlte dieser Trpeze wie 9: verhlten. Erreichbre BE-Anzhl: 3 Seite 3

4 Abschrift des Originlmterils vom Sächsischen Sttsministerium für Kultus Teil C: Stochstik Im ersten Qudrnten des Koordintensystems betrchten wir die Qudrtfläche, die von der -Achse, der y-achse sowie den Gerden mit den Gleichungen = 50 und y = 50 begrenzt wird. In dieses Qudrt wird ein Kreis mit einem Durchmesser von 30,9 so eingezeichnet, dss er völlig innerhlb des Qudrtes liegt. Zufällig wird ein Punkt uf die Qudrtfläche geworfen". Dbei wird bei jedem Wurf" die Qudrtfläche getroffen. Die Trefferwhrscheinlichkeit ist uf dieser Fläche gleich verteilt. Lndet der geworfene" Punkt dbei innerhlb des Kreises oder uf dem Kreisbogen, dnn zählt er ls Treffer", lndet er ußerhlb des Kreises, dnn zählt er ls Niete". ) Zeigen Sie, dss die Whrscheinlichkeit dfür, bei einem Wurf uf die Qudrtfläche einen Treffer zu erzielen, etw 0,3 beträgt. Erreichbre BE-Anzhl: b) Ermitteln Sie die Whrscheinlichkeit dfür, dss mn bei zehn Würfen genu drei Treffer erzielt. Erreichbre BE-Anzhl: c) Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit dfür, dss bei 00 Würfen die Anzhl der Treffer höchstens um zwei vom erwrteten Wert bweicht. Erreichbre BE-Anzhl: 3 d) Berechnen Sie die Anzhl der Würfe, die mindestens notwendig sind, dmit die Whrscheinlichkeit, wenigstens einen Treffer zu erzielen, mindestens 95% beträgt. Erreichbre BE-Anzhl: e) Jemnd behuptet, mit diesem Zufllseperiment die Zhl π näherungsweise bestimmen zu können. Dzu führt er zunächst ds Eperiment 000 ml durch. Er zählt dbei 96 Treffer. Geben Sie einen unter Nutzung dieser Werte bestimmten Näherungswert für π n. Erreichbre BE-Anzhl: Seite 4

5 Abschrift des Originlmterils vom Sächsischen Sttsministerium für Kultus Teil D: Whlufgben Wählen Sie genu eine der folgenden Aufgben zur Berbeitung us. Aufgbe D : Anlysis Gegeben sind die Funktionen f durch f ( ) = (,5 ln ) ( ) g ( ) = ( ln )( ). D g D f und g durch ) Die Funktionen hben denselben größtmöglichen Definitionsbereich. Geben Sie diesen n. Begründen Sie nhnd von mindestens zwei Eigenschften der Grphen der Funktionen f und g, dss die Funktion g die erste Ableitung der Funktion f sein könnte. Untersuchen Sie, ob die Vermutung zutrifft, dss die Funktion g die erste Ableitung der Funktion f ist. Erreichbre BE-Anzhl: 5 b) Für jedes ( R, > 0) ist eine Funktion Zeigen Sie, dss die Funktion g durch g ( ) = ( ln ) ( ) g genu eine lokle Etremstelle Es gibt genu einen Wert, für den gilt: ( ) = g ( ) Berechnen Sie diesen Wert. E E gegeben. D g E besitzt. Erreichbre BE-Anzhl: 5 Seite 5

6 Abschrift des Originlmterils vom Sächsischen Sttsministerium für Kultus Aufgbe D: Geometrie/Algebr In einem krtesischen Koordintensystem sind die Punkte A ( ;0; ), B ( 3;; 3), ( ;;7 ) ( ; ; )( R) gegeben. Die Punkte A und B liegen uf der Gerden g. P Die Gerde g und der Punkt C bestimmen eine Ebene E. C und ) Zeigen Sie, dss kein Punkt P uf der Gerden g liegt. Es eistieren Punkte P, für die die Punkte A, B und P ein gleichschenkliges Dreieck mit der Bsis P B bilden. Ermitteln Sie die Koordinten dieser Punkte P. b) Ermitteln Sie lle Werte, für die der Winkel BAP stumpf ist. Erreichbre BE-Anzhl: 3 Erreichbre BE-Anzhl: c) Die Punkte A, B und C entstehen durch senkrechte Projektion der Punkte A, B und C in die -y-ebene und liegen uf dem Kreis k. Sie sind ußerdem Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks. Der Kreis k begrenzt die Grundfläche eines gerden Kreiskegels, dessen Spitze in der Ebene E liegt. Bestimmen Sie ds Volumen dieses Kreiskegels. Erreichbre BE-Anzhl: 5 Seite 6

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