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Falko Koch
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1 Hilfsmittelfreie Aufgben us dem Mthemtik-Pool zum Abitur 015 T. Wrncke m301 Abi015_M_Pool1_A1 Anlysis Gegeben sind die in IR definierten Funktionen f, g und h durch ( ) f = + 1, ( ) 3 g = + 1 und ( ) 4 h = Die Abbildung zeigt den Grphen einer der drei Funktionen. Geben Sie n, um welche Funktion es sich hndelt. Begründen Sie, dss der Grph die nderen beiden Funktionen nicht drstellt. y Die erste Ableitungsfunktion von h ist h. 1 Bestimmen Sie den Wert von h () d. BE Die Funktion g wird drgestellt. Mögliche Begründungen: Die Funktion f ist eine qudrtische Funktion, deren Grph nur einen einzigen Etrempunkt hben knn. Die Funktion h ist eine Funktion mit einem chsensymmetrischen Grphen, der bgebildete Grph ist nicht chsensymmetrisch Es ist h ( ) d = h( 1) h ( 0) = 3 1=. BE Seite 1 von 6

2 Abi015_M_Pool1_A Für jeden Wert von ( IR, 0 ) ist eine Funktion f durch gegeben. 6 f () = 4 ( IR) 1.1 Bestimmen Sie diejenigen Werte von, für die f mehr ls eine Nullstelle ht. 1. Für genu einen Wert von ht f n der Stelle =1 ein Minimum. Bestimmen Sie diesen Wert von. BE 1.1 f () = 0 ( 1 ) 4 = 0 1 = 0 oder = f ht genu dnn mehr ls eine Nullstelle, wenn gilt >0. 1. ' 5 3 f ( ) = 6 4 Die notwendige Bedingung für ein Minimum n der Stelle =1 ist f ' ( 1 ) = 6 4 = 0 =. 3 BE Seite von 6

3 Abi015_M_Pool1_L1 Linere Algebr Gegeben ist ds folgende linere Gleichungssystem: = = = 13 + = Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems. 1. Eine der letzten beiden Gleichungen des Gleichungssystems knn weggelssen werden, ohne dss sich die Lösungsmenge ändert. Geben Sie diese Gleichung n und begründen Sie Ihre Angbe. BE 1.1 Aus den letzten beiden Gleichungen folgt = und = Dnn ergibt sich us der zweiten Gleichung 1 =. Eine Probe in der ersten Gleichung geht uf: = Die dritte Gleichung ist die Differenz zwischen der ersten und zweiten Gleichung. Somit knn diese weggelssen werden. BE Seite 3 von 6

4 Abi015_M_Pool1_L Ein Betrieb erzeugt us drei Rohstoffen ( R 1, R, R 3 ) drei Zwischenprodukte ( Z 1, Z, Z 3 ), die zu drei Endprodukten ( E 1, E, E 3 ) weiterverrbeitet werden. Es gibt Werte für und b, so dss die Zusmmenhänge durch den folgenden Verflechtungsgrphen und die Rohstoff-Endprodukt-Tbelle gegeben sind. R 1 Verflechtungsgrph Angben in Mengeneinheiten R R Z1 Z Z3 Rohstoff-Endprodukt-Tbelle Anzhl der benötigten Mengeneinheiten der Rohstoffe je Mengeneinheit des Endprodukts Rohstoff Endprodukt E 1 E E 3 R R R b 4 3 E1 E E3 1.1 Der Zusmmenhng Rohstoff-Zwischenprodukt wird durch eine Mtri RZ, der Zusmmenhng Zwischenprodukt-Endprodukt durch eine Mtri ZE und der Zusmmenhng Rohstoff-Endprodukt durch eine Mtri RE beschrieben. Geben Sie eine Beziehung zwischen diesen drei Mtrizen n. 1. Bestimmen Sie die im Verflechtungsgrphen fehlenden Werte für und b. 1 BE 4 BE 1.1 RZ ZE = RE 1 BE Mit RZ = 3, ZE = 0 b 4 und RZ ZE = ergibt sich = 5 ; = 4 und 3 b + 10 = 16 ; b =. 4 BE Seite 4 von 6

5 Abi015_M_Pool1_S1 Stochstik Bei der Wintersportrt Bithlon wird bei jeder Schießeinlge uf fünf Scheiben geschossen. Ein Bithlet tritt bei einem Einzelrennen zu einer Schießeinlge n, bei der er uf jede Scheibe einen Schuss bgibt. Diese Schießeinlge wird modellhft durch eine Bernoullikette mit der Länge 5 und der Trefferwhrscheinlichkeit p beschrieben. 1.1 Geben Sie für die folgenden Ereignisse jeweils einen Term n, der die Whrscheinlichkeit des Ereignisses in Abhängigkeit von p beschreibt. Der Bithlet trifft bei genu vier Schüssen. Der Bithlet trifft nur bei den ersten beiden Schüssen. 1. Erläutern Sie nhnd eines Beispiels, dss die modellhfte Beschreibung der Schießeinlge durch eine Bernoullikette unter Umständen der Relität nicht gerecht wird. BE p 4 (1 p) 4 1 BE ( ) 3 p 1 p BE 1. z. B.: Trifft der Bithlet bei keinem der ersten drei Schüsse, so ht er möglicherweise ufgrund zunehmender Nervosität beim vierten Schuss eine geringere Trefferwhrscheinlichkeit. BE Seite 5 von 6

6 Abi015_M_Pool1_S Für ein Zufllseperiment wird eine Zufllsgröße X festgelegt, welche die drei Werte, 1 und nnehmen knn. In der Abbildung ist die Whrscheinlichkeitsverteilung von X drgestellt. Pfeilspitze uf k-achse entfernen 1.1 Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung den Erwrtungswert der Zufllsgröße X. BE 1. Ds Zufllseperiment wird zweiml durchgeführt. Dbei wird jeweils der Wert der Zufllsgröße X notiert. Bestimmen Sie die Whrscheinlichkeit dfür, dss die Summe dieser beiden Werte negtiv ist. 1.1 Berechnung des Erwrtungswertes: (-) 0, ,5 + 0,5 = 0,75 BE 1. Die Summe der Werte ist in drei Fällen negtiv, zu berechnen sind die Whrscheinlichkeiten: P( ) = 1 = P( 1) = P( 1 ) 16 Als gesuchte Whrscheinlichkeit ergibt sich somit: 3 p =. 16 Seite 6 von 6

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