Integralrechnung. Aufgabe 1

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1 Integrlrechnung Aufgbe Bestimme die Fläche zwischen der Kurve der Funktion f() = und -Achse über dem Intervll I = [; 3] näherungsweise. Bestimme die Obersumme und Teile ds Intervll I in drei gleich große Teile. Wir zerlegen ds Intervll in drei gleich große Teile. Die Intervllbreite eines Teilintervlls ist dnn h = (3 )/3 =. Also Höhen der Rechtecke mit der wir die Fläche nnähern wollen, wählen wir den rechten Rnd der Teilintervlle. Dmit ist ds erste Rechteck (von links) f() = (LE = Längeneinheit) hoch. Wir überschätzen dmit die Fläche (die Summe der Rechteckflächen heißt hier Obersumme), d f über dem Intervll I streng monoton steigend ist. Würden wir den jeweils den linken Rnd eines Teilintervlls verwenden, dnn würden wir die Fläche unterschätzen (Untersumme). Jedes Rechteck ist (LE) breit. Die Obersumme O 3 (der Inde 3 steht für die Anzhl der verwendeten Teilintervlle) ht hier einen Wert: O = ÿf() + ÿf() + ÿf(3) = = 4

2 Aufgbe Bestimme die Stmmfunktionen der folgenden Funktionen: ) f() = 4 b) f() = 6 /4 + 3 c) f() = 3 = -3 ) F() = /5 5 + c b) F() = 3 / c c) F() = -/ - = + c Aufgbe 3 Bestimme ds unbestimmte Integrl von ) f() = +5 b) f() = ²+b ) b) d c ( 5) 5 3 b d c ( ) b 3 Aufgbe 4 Berechne ( 6 ) d ( 6 ) d ( )

3 Flächen berechnen Aufgbe 5 Gesucht ist die Fläche zwischen der Kurve von f() = und der -Achse über dem Intervll [; ]. Wir prüfen zunächst, ob eine Nullstelle im Intervll [; ] liegt: f() = = Hier erben sich zwei Nullstellen = - und =. Beide liegen nicht im Inneren des Intervlls [; ] und d sich der Grf von f über dem Intervll [; ] nur oberhlb der -Achse befindet benötigt mn uch keine Betrgsstriche: 3 ( ) 4 4 () f d Womit die Fläche A = 3 FE = Flächeneinheiten) groß ist.

4 Der Tet zur obigen Aufgbe hätte uch wie folgt luten können: Gesucht ist die Fläche zwischen der Kurve von f() = - + 4, der -Achse und den beiden Gerden = und =. Aufgbe 6 Gesucht ist die Fläche zwischen der Kurve von f() = - + 4, der -Achse im Intervll [-3; 3]. Beide Nullstellen fllen in dieses Intervll und mn muss drei bestimmte Integrle berechnen. A = 3 f( ) d A = 3 f( ) d 3

5 A 3 = f( ) d 3 3 Die Gesmtfläche ist somit: A = A + A + A 3 = = 46 3 Aufgbe 7 Es soll die Fläche zwischen der Kurve der Funktion f() = + 9 und der Funktion g() = + 4 bestimmt werden. Wir berechnen die Schnittstellen: f() = g() + 9 = = 4 5 Die Grphen der beiden Funktionen besitzen die Schnittstellen = - und = 5. Die Fläche ergibt sich nun llgemein (d.h. bei zwei Schnittstellen) über: A (f () g())d Wenn f() g() für œ [ ; ] wie in der Aufgbe gilt, lso wenn der Grf von f über dem Integrtionsbereich über oder uf dem Grf von g liegt, dnn benötigt mn keine Betrgsstriche, d dnn der Wert des Integrls positiv ist. Möchte mn uf die Betrgsstriche verzichten, dnn muss mn ls Integrnd nur f() g() oder g() f() wählen, je nchdem, welcher Grf über dem Integrtionsintervll oben liegt. Hier gilt nun: A 5 (f () g())d 5 ( 9 ( 4))d 5 ( 4 5)d ( ( ) ( ) 5 ( )) = 36 (FE)

6 Aufgbe 8 ) Es ist die Fläche gesucht, die von der Gerden =, = (mit > ) und der Funktion f() = / eingeschlossen wird. b) Welcher Wert ergibt sich für diese Fläche, wenn die Fläche rechts bis unendlich usgedehnt wäre (d.h. wenn gegen unendlich geht)? ) D die Fläche von bhängt, bezeichnen wir diese mit A(): A() d d

7 b) Nun knn mn untersuchen, welcher Wert sich für diese Fläche ergibt, wenn die Fläche rechts bis unendlich usgedehnt wäre (d.h. wenn gegen unendlich geht) und ob dieser Wert eistiert. lim A() lim Somit ht die Fläche, obwohl sie unendlich usgedehnt ist und keinen endlichen Umfng ht einen endlichen Wert. Aufgbe 9 Wie muss gewählt werden, dmit die Fläche A() us Aufgbe 8 den Wert ¾ (FE) ht? In Aufgbe 8 ergb sich: Somit muss A() d 3 4 sein. Wir lösen nch uf: ÿ - = -/4ÿ ÿ (-4) Somit ist = 4. Aufgbe Der Grf der Funktion f() = 3 soll im vierten Qudrnten (siehe Grfik, die Qudrten wurden mit römischen Ziffern bezeichnet) mit der -Achse eine Fläche von 4 (FE) einschließen. Wie muss gewählt werden?

8 Wir bestimmen zunächst die Nullstellen: f() = 3 = ( ) = Somit hben wir drei Nullstellen =, = und 3 = -. Zur Berechnung der Fläche im vierten Qudrten muss somit über den Bereich [; ] integriert werden. Hier ist zu bechten, dss der Wert des Integrls negtiv ist, d die Fläche im vierten Qudrnten liegt. ( 3 )d 4 / 4 / / 4 / -/4 Mn hätte oben uch usklmmern und vor ds Integrl schreiben können. Also muss -/4 = -4 sein, womit = 6 ist und die gesuchte Funktion ist f() = Prtielle Integrtion und Substitution (wird oft nur im Leistungskurs behndelt) Aufgbe Berechne mit prtieller Integrtion (siehe uch Skript/Anlysis-Integrlrechnung.pdf b Seite 3 bzw. 73): e d

9 Nun knn mn v() = setzen und u () = e. Dmit ist v () = und u() = e und wir erhlten: e d e e d e e e e e e ( e ) Aufgbe Bestimme durch Substitution (siehe uch Skript/Anlysis-Integrlrechnung.pdf b Seite 3 bzw. 73): e d e bleiten, dnn ergibt sich durch die Kettenregel e Würde mn, ws bis uf den Fktor mit dem Integrnd übereinstimmt. Nun setzen wir z = (ws der innere Teil bei der Kettenregel wäre). Es gilt z'() dz, d womit dz = ÿd ist und dz d. Somit können wir d durch den obigen Ausdruck ersetzen und durch z: e d e z dz z z / e dz / e c Nch einer Rücksubstitution von z = erhlten wir: e d / e c Hätte es sich um ein bestimmtes Integrl gehndelt, so benötigt mn keine Rücksubstitution, d mn die Grenzen mit ersetzt: e d z() 4 z() z / e dz z 4 4 / e / e / e 5, 94