Kapitel 13. Taylorentwicklung Motivation

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1 Kpitel 13 Tylorentwicklung 13.1 Motivtion Sei D R offen. Sie erinnern sich: Eine in D stetig differenzierbre Funktion f : D R wird durch die linere Funktion g(x) = f() + f ()(x ) in einer Umgebung von in erster Ordnung pproximiert, d.h. f() = g() und f(x) g(x) lim x = 0. Schon Brook Tylor ( ), ein Schüler Newtons, ht x gezeigt, dss diese Approximtion verbessert werden knn, wenn mn zur Approximtion Polynome höherer Ordnung verwendet. Ein Blick uf die Reihendrstellung der Exponentilfunktion, Gl. (10.16), beispielsweise genügt, um sich zu überzeugen, dss ds Polynom zweiter Ordnung T 2 (x) = 1 + x x2 die Exponentilfunktion in der Umgebung von x = 0 besser pproximiert ls ds Polynom erster Ordnung T 1 (x) = 1 + x: ds Polynom T 2 berücksichtigt uch die Krümmung der Exponentilfunktion bei x = 0. Abb 13.1 Die Exponentilfunktion und ihre Tylorpolynome der Grde 1,2,3. c Mrtin Wilkens März 2012

2 150 Tylorentwicklung 13.2 Tylorpolynom Ausgngspunkt ist der Huptstz der Integrlrechnung (12.11) f(x) = f() + f (t)dt (13.1) Den Integrnden knn mn reformulieren f = gh, mit g = f und h(t) = (t x). N-mlige Anwendung der prtielle Integrtion liefert dnn f(x) = f() + f () + (x t)f (t)dt = f() + f () + f () (x )2 + 2 =... = f() + f () + f () (x )2 2 mit R N (x, ) ds sog. Restglied, R N (x, ) := Ds hier uftretende Polynom N-ten Grdes T N f(x, ) := (x t) 2 f (t)dt f (N) () (x )N N! + R N (x, ),(13.2) (x t) N f (N+1) (t)dt. (13.3) N! N n=0 f (n) () (x ) k (13.4) n! heißt ds N-te Tylorpolynom von f für den Entwicklungspunkt. Ist f (N+1) uf D beschränkt, f (N+1) (t) C N, läßt sich ds Restglied bschätzen (x t) N R N (x, ) C N N! dt = C N (x ) N+1 (N + 1)!. (13.5) 7. März c Mrtin Wilkens

3 13.3 Tylorreihe 151 In diesem Flle f(x) T N f(x, ) lim = 0. (13.6) x (x ) N Mn sgt dnn T N f(x, ) pproximiere die Funktion f bei von N-ter Ordnung, mit Lndu s o-symbol notiert f(x) = T N f(x, ) + o( x N ). (13.7) Von llen Polynomen N-ten Grdes ist ds Tylorpolynom T N f ddurch usgezeichnet, dss es eine gegebene Funktion C N -Funktion f in N-ter Ordnung pproximiert, d.h. die Abweichung f T N f geht selbst nch Division durch (x ) N noch gegen Null Tylorreihe Sofern die Folge der C N im Limes N gr konvergiert, wird ds Restglied beliebig klein, und () wird zu f(x) = T f(x, ) bzw. f(x) = k=0 f (k) () (x ) k. (13.8) k! kurz: die Funktion f stimmt mit ihrer Tylorreihe überein. Für N wird us dem Tylorpolynom die unendliche Reihe, T f(x, ) = gennnt die Tylorreihe von f bei. n=0 f (n) n! (x )n. (13.9) c Mrtin Wilkens März 2012

4 152 Tylorentwicklung Wenngleich in der Prxis eine Funktion und ihre Tylorreihe indentifiziert werden dürfen, gibt es durchus Ausnhmen wo entweder Konvergenzrdius einer Potenzreihe: die größte Zhl r für welche die Potenzreihe für lle x mit x < r konvergiert, r = sup{ x c n (x ) n < }. Konvergenzbereich einer Funktionenfolge: Größtmögliche Menge von Punkten im Definitionsbereich, in denen die Funktionenreihe punktweise konvergiert Aufgben Aufgbe 13-1 Bestimmen Sie die Tylorreihe der Funktion f(x) = 1 zum Entwicklungspunkt 0. 1 x Konvergenzrdius? Vergleich mit der geometrischen Reihe? Aufgbe 13-2 Bestimmen Sie die Tylorreihe der Funktion f(x) = 1 + x zum Entwicklungspunkt 0. Ws ist der Konvergenzrdius der Reihe? Skizzieren sie die Grphen der Funktion und ihrer ersten 3 Tylorpolynome. Aufgbe 13-3 Zeigen Sie: Die Tylorreihe des ntürlichen Logrithmus mit Entwicklungspunkt 1 ht Konvergenzrdius 1 und ist gegeben ln(1 + x) = ( 1) n=1 n+1 xn n, 1 < x < 1. (13.10) 7. März c Mrtin Wilkens

5 13.4 Aufgben 153 Skizzieren Sie den Funktionsgrphen des ntürlichen Logrithmus, die ersten 3 Tylorpolynome, und ds Tylorpolynom 10-ter Ordnung (Wenn s gr nicht nders geht Computerunterstützt). Wird der Konvergenzrdius in ihrer Skizze sinnfällig? Aufgbe 13-4 Für die Schwingungsperiode eines physiklischen Pendels der Länge l im homogenen Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigung g) ls Funktion der Amplitude A gilt l π/2 1 T (A) = 4 (13.11) g 0 1 α2 sin 2 x wobei α = sin(a/2). Mn berechne ds Integerl näherungsweise für kleine A bis zur vierten Ordnung in A und skizziere in dieser Näherung T (A). Aufgbe 13-5 Beweisen Sie die Restgliedformel von Lgrnge: Für eine C N+1 -Funktion f uf einem offenen llgemeinen Intervll D R und D gibt es für jedes x D eine Stelle ξ x zwischen und x, so dss sich ds Restglied R N der Tylorentwicklung von f drstellen lässt R N (x) = f (N+1) (ξ x ) (N + 1)! (x )N+1. (13.12) Hinweis: Nehmen Sie die Tylor sche Restgliedformel ls Ausgngspunkt, schätzen mittels minimlem und mximlem Funktionswerten von f uf dem Integrtionsintervll [, x] (bzw. [x, ]) ds Restglied nch unten und oben b, und rufen einen Mittelwertstz uf: Für f stetig uf [, b] gibt es zu jedem y zwischen dem globlen Minimum und dem globlen Mximum von f ein ξ [, b] mit f(ξ) = y. c Mrtin Wilkens März 2012

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