(x t) n f (n+1) (t) dt. f(x) =f(a)+ f (t) dt

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1 6 Der Stz von Tylor Gleichmäßige Konvergenz Potenzreihen Der Stz von Tylor Es sei D ein Intervll, X ein Bnchrum und f : D X eine Funtion Stz Tylorsche Formel Ist f (n +)-ml stetig differenzierbr, so gilt für, x D n f () () f(x) (x ) + R n+ (x),! wobei R n+ (x) n! (x t) n f (n+) (t) dt Beweis DurchIndutionnchn () Indutionsnfng: n : f(x) f()+ f (t) dt gilt nch dem Fundmentlstz der Differentil- und Integrlrechnung (2) Indutionsschritt n n +: Nch Indutionsnnhme ist x R n+ (x) (x t) n f (n+) (t) dt n! f (n+) (t) d ( ) (x t) n+ dt dt prt Int [ f (n+) (t) (x t)n+ ] x + f (n+) () (x )n+ + (x t) n+ f (n+2) (t) dt (x t) n+ f (n+) (t) dt Dies ist der (n +)-te Entwiclungstem plus R n+2 HierhbenwirStz99leichterweitert uf Produte slrer mit X-wertigen Funtionen 2 Folgerung Ist f (n +)-ml differenzierbr mit f (n+) (t) für lle t D, soistf ein Polynom vom Grd n Beweis R n+ 3 Folgerung Es sei f (n +)-ml stetig differenzierbr und x D (für x<nlog) Dnn gilt f(x) n f () () (x ) sup f! ξ x (n+) n+ (ξ) x Beweis Esist R n+ (x) n! (x t) n f (n+) (t) dt (n+) )n+ sup f (ξ) (x ξ x

2 62 4 Beispiel: f(t) t Wir berechnen näherungsweise, 2, lsodenwertvonf n der Stelle x, 2, usgehendvondenbenntenwertenvonf und seinen Ableitungen in Hier ist f (t) 2 t /2, f (t) 4 t 3/2, f (t) 3 8 t 5/2 Nullte Näherung, 2+R mit R sup2 ξ, 2, lso(mitderabschätzung ξ < ): R <, Erste Näherung:, 2+, 2/2+R, +R,wobei R 4 sup ξ,2 ξ 3/2,22 2, 2 2 /8 Somit ist, 2, mit einem Fehler, 4/8, 5 Zweite Näherung:, 2+, 2/2, 2 2 /8+R 2,wobei R sup ξ,2 ξ 5/2,23 6 Somit, 2+,, 4/8+R2, 95 + R 2 mit R 2, 8/6, 5 (Der whre Wert ist, ) Frge:Wird der Fehler beliebig lein,wenn wir N groß wählen? Funtionenfolgen Es seien D eine beliebige Menge und X ein normierter Rum 5 Definition Für jedes, 2, sei f : D X eine Funtion Mn nennt (f ) eine Funtionenfolge () (b) Die Folge (f ) heißt puntweise onvergent gegen die Funtion f : D X, fllsfürjedes t D gilt f (t) f(t), Die Folge (f ) heißt gleichmäßig onvergent gegen f : D X, fllszujedemε> ein N N(ε) existiert mit f (t) f(t) X <ε für lle t D, N 6 Beispiele () (b) f : R R, f (t) sin(t) onvergiert gleichmäßig gegen (Nullfuntion), denn sin t <ε für lle unbh von t ε f :[, ] R, f (t) t Definieref :[, ] R durch f(t) { t< t (c) Dnn onvergiert (f ) puntweise gegen f, bernichtgleichmäßig: (i) (ii) für t< gilt f (t) t für t gilt f (t), lso hben wir puntweise Konvergenz Die Konvergenz ist nicht gleichmäßig, denn für t 2 gilt f (t ) 2,dh f (t ) f(t ) 2 f :[, ] R sei die durch folgende Sizze definierte Funtion

3 63 /(2) / Die Folge ist puntweise onvergent gegen Null, denn zu jedem t> existiert ein N mit N <tdnnistf (t) für lle N Ferneriststetsf () Sie ist nicht gleichmäßig onvergent gegen Null, d f(/(2)) 7 Definition/Erinnerung Mn setzt f sup sup{ f(t) X : t D} [, ] Eine Funtion f ist genu dnn beschränt, wenn f sup < Die Bedingung für gleichmäßige Konvergenz von (f ) gegen f läßt sich so formulieren: ε > N : f f sup <ε N 8 Stz Es sei D Teilmenge eines normierten Rums und f : D X eine Folge stetiger Funtionen, die gleichmäßig gegen f : D X onvergieren Dnn ist f stetig Der gleichmäßige Grenzwert stetiger Funtionen ist stetig Bemerung Liegt nur puntweise Konvergenz vor, so brucht die Grenzfuntion nicht stetig zu sein (vgl 6(b)) Beweis Esseit D Zeige:Zujedemε> existiert ein δ> mit f(t) f(t ) X <ε, flls t t D <δ Wegen der gleichmäßigen Konvergenz existiert ein N so dss für jedes t D gilt f N (t) f(t) X < ε/3 Df N stetig ist, existiert ein δ> so, dss f N (t) f N (t ) X <ε/3, fllsflls t t D <δ Dnn folgt für t t D <δ f(t) f(t ) X f(t) f N (t) X + f N (t) f N (t ) X + f N (t ) f(t ) X <ε 9 Folgerung C([, b],x) ist ein Bnchrum: Es sei (f ) eine Cuchy-Folge in C([, b],x) Dnn ist ür jedes t [, b] die Folge (f (t) eine Cuchy-Folge in X WirerhltendieFuntion f :[, b] X durch f(t) limf (t) Behuptung (f ) onvergiert gleichmäßig gegen f: Istε vorgelegt, so wähle so groß, dss f (t) f m (t) <ε/2 für, m DnnfolgtusderStetigeitderNormfuntionfürf : f (t) f(t) f (t) lim f m (t) lim f (t) f m (t) ε/2 <ε Nch Stz 8 ist f ls gleichmäßiger Grenzwert stetiger Funtionen stetig

4 64 Stz: Vertuschbreit von Limes und Integrl bei gleichmäßiger Konvergenz Es sei f :[, b] X,, 2,,eineFolgestetigerFuntionenmitWertenineinem Bnchrum X, diegleichmäßiggegeneinefuntion f onvergiert Dnn gilt lim f n (t) dt lim f n (t) dt f(t) dt Beweis Nch 8 ist f wieder stetig, lso integrierbr, d X ein Bnchrum ist Ferner: f (t) dt f(t) dt f (t) f(t) dt (b ) f f sup Bemerung Stz ist im llgemeinen flsch, wenn die Konvergenz nur puntweise vorliegt: Im Beispiel 6(c) ist f (t) dt /2, ber f(t) dt 2 Stz Es seien f :[, b] X stetig differenzierbre Funtionen mit Werten in dem Bnchrum X InwenigstenseinemPuntt [, b] onvergiere die Folge (f (t )) DieFolge der Ableitungen f :[, b] X onvergiere gleichmäßig gegen eine Funtion g Dnngilt () (f ) onvergiert gleichmäßig gegen eine Funtion f :[, b] X (b) f ist stetig differenzierbr und f g Beweis Esistf (t) f (t )+ Integrlrechnung t f (s) ds, t [, b] nch dem Huptstz der Differentil- und Nch onvergiert t f (s) ds gegen t g(s) ds, g ist stetig nch 8 Wir setzen () f(t) limf (t ) }{{} :c + g(s) ds t Dnn gilt f(t) f (t) X c f (t ) X + g(s) f (s) X ds t lso ist f f sup c f (t ) X + b g f sup N Dher onvergiert (f ) gleichmäßig gegen f Aus()folgt,dssf differenzierbr ist und f g 3 Stz (Konvergenzriterium von Weierstrß) Es sei X ein Bnchrum und f : D X eine Folge von Funtionen mit f sup < Dnn ist für jedes t D die Reihe F (t) f (t) bsolut onvergent, und die Reihe f onvergiert gleichmäßig uf D gegen F Beweis Fürjedest ist f (t) f sup,lsoonvergiert f (t) bsolut nch dem Mjorntenriterium Gleichmäßige Konvergenz: Zu ε> existiert ein N mit N+ f sup <ε Dnn folgt für K N K f (t) F (t) X f (t) f sup <ε K+ K+

5 Potenzreihen In diesem Abschnitt sei X ein Bnchrum und D C 4 Definition Es sei (x ) eine Folge in X und C EineFuntionf : D X der Form f(z) x (z ) heißt Potenzreihe mit Entwiclungspunt Die Reihe onvergiert trivilerweise für z Es gilt jedoch mehr: 5 Stz Die Potenzreihe f(z) x (z ) onvergiert bsolut und gleichmäßig uf jedem bgeschlossenen Kreis B(, ρ) {z C : z ( ρ} mit ρ<r lim sup x ) ( Mn nennt r lim sup x ) [, ] den Konvergenzrdius der Potenzreihe Klr: Für ein z mit z >rist die Reihe für f(z) nicht onvergent Beweis Setzef (z) x (z ) DnnistufB(, ρ) f sup sup{ x z : z ρ} x ρ Nch dem Wurzelriterium onvergiert lso f sup,fllslim sup x ρ< Ausdem Weierstrß-Kriterium folgt dnn die bsolute und gleichmäßige Konvergenz 6 Stz Es sei (x ) eine Folge in X und C;diePotenzreihe x (z ) onvergiere für ein z C,z Dnngiltfürjedesρ mit ρ< z : f(z) x (z ) onvergiert bsolut und gleichmäßig uf B(, ρ) Die Potenzreihe g(z) x (z ) onvergiert ebenflls bsolut und und gleichmäßig uf B(, ρ) Beweis Setzef (z) :x (z ),sodssf f Df(z ) nch Annhme onvergiert, existiert ein M>mit f (z ) X M für lle Fürz B(, ρ) gilt dnn f (z) X x (z ) X f (z ) X z z Setze θ ρ/ z [, [ (bechte ρ< z ) Dnn gilt uf B(, ρ): f sup Mθ und f sup Mθ M θ Nch dem Weierstrß-Kriterium onvergiert f bsolut und gleichmäßig Nun setze g (z) x (z ) WieobenistufB(, ρ) g sup x X z sup z z z M z θ 65

6 66 Nch dem Quotientenriterium onvergiert g sup,undderstzvonweierstrßliefert die Behuptung 7 Folgerung Für in R sei f(t) x (t ) eine Potenzreihe mit dem Konvergenzrdius r> und Werten in dem Bnchrum X Dnn ist f differenzierbr uf dem Intervll D ] r, + r[, und f (t) x (t ) Dies folgt sofort us 2, d d dt x (t ) x (t ) und d die zugehörige Reihe nch 6 gleichmäßig uf [ ρ, + ρ] für ρ<ronvergiert Auf die Ableitung önnen wir denselben Schluss nwenden, d sie den gleichen Konvergenzrdius ht (weil lim sup x X limsup x X ) So sehen wir, dss f : D X beliebig oft differenzierbr ist mit f (n) (t) ( ) ( n +)x (t ) n n Insbesondere erhlten wir, indem wir t setzen: () x f () ()! Die Koeffizienten x önnen lso us den Ableitungen in wiedergewonnen werden 8 Bemerung Mn nn hier sogr zeigen, dss für z <rder Limes des omplexen Differenzenquotienten f (z ): lim z z f(z) f(z ) z z existiert; dies ist eine stärere Eigenschft ls reelle Differenzierbreit ( Holomorphie ) 9 Beispiel t t t t d dt ( ( ) t )t t t ( t) 2 2 Folgerung Identitätsstz für Potenzreihen Es sei R und eine Potenzreihendrstellung von f Ist f(t) f(t) x (t ) y (t ) eine weitere Potenzreihendrstellung und hben beide positiven Konvergenzrdius, so gilt x y für lle nch 7()

7 67 Tylorreihen 2 Definition D sei ein Intervll in R, f : D X beliebig oft differenzierbr, D Dnn heißt f () () T f (t) (t )! die Tylor-Reihe von f mit Entwiclungspunt 22 Folgerung Nch 7 ist die Tylor-Reihe einer durch eine Potenzreihe drgestellten Funtion die Potenzreihe selbst 23 Beispiel Die Tylorreihe von exp, sin, cos sind die uns bennten Reihen 24 Beispiel f(t) ln(+t) Für t < gilt f (t) +t ( ) t Die Summe onvergiert bsolut und gleichmäßig uf [ c, c] für jedes c ], [ Alsoist f(t) f(t) f() }{{} +s ds ( ) + t+ ( ) s ds ( ) t Bemerung: Mn nn zeigen, dss die Formel uch noch für t +gilt: ln (lternierende hrmonische Reihe) 25 Stz: Binomilreihe Es sei α R Dnngiltfür t < ( ) α () ( + t) α t Dbei ist ( ) α : j α j + j ( flls ) definiert Dies ergänzt die uns bennte Definition, denn für α N ergibt ds Produt für α +stets Bechte: Für α R \ N sind lle ( α ) von Null verschieden Beweis Setzef(t) (+t) α Differentitionliefertf () (t) α(α ) (α +)(+t) α Also ist () die Tylorreihe für f Konvergiert diese Reihe? J, nch dem Quotientenriterium: ( α ) + t + ) t α + t t < Stellt ber die Tylor-Reihe wirlich die Funtion dr? ( α

8 68 Betrchte ds Restglied R n+ (t) (t s) n f (n+) (s) ds n! ( ) α t (n +) (t s) n ( + s) α n ds n + Fll : t< SetzeC mx{, ( + t) α }Dnngiltfür s t und somit d die Reihe ( α n) t n onvergiert ( + s) α n ( + s) α C ( ) R n+ (t) (n +) α C n + ( ) α C n + (t s) n ds t n+ n, flls t <, Fll 2: <t< Dnnist(weilfür s t gilt t + s t s t s) ( ) R n+ (t) (n +) α t (t s) n ( + s) α n ds n + ( ) (n +) α t (t + s) n ( s) α n ds n + ( ) (n +) α t ( t s) n ( s) α n ds n + ( ) α α t ( ) t s n ( s) α ds n s ( ) Nun ist d t s ds s ( s)+( t s) t < für <s< t, lsoistdiesefuntionmonoton ( s) 2 ( s) 2 fllend und ( ) R n+ (t) α α t t n ( s) α dt n ( ) C α t n, n t wobei C α ( s)α dt unbhängig von n ist Nun folgt us der Konvergenz von ( α ) n t n,dssr n+ (t) 26 Beispiel () α : Hierist ( ) ( ) Die geometrische Reihe +t ( ) t ist lso Spezilfll der Exponentilreihe (b) α 2 :Hierist( ) ( /2, /2 ) 2, ( ) /2 2 /2( /2) 2 8, ( ) /2 3 /2( /2)( 3/2) 6, ( /2) 4 /2( /2)( 3/2)( 5/2) / Also +t + 2 t 8 t2 + 6 t t

9 27 Beispiel: Kinetische Energie eines reltivistischen Teilchens Ein Teilchen hbe die Msse m NchEinsteinhtesdnndieGesmtenergieE mc 2 DieMssewiederumhängt von der Geschwindigeit v des Teilchens b; es gilt m m, (v/c) 2 wobei m die Ruhemsse ist In Ruhe ht ds Teilchen die Energie E m c 2 Dieinetische Energie ist die Differenz E in E E Dv<cist schließen wir us der Binomilreihenentwiclung (α /2): ( ) E in mc 2 m c 2 m c 2 (v/c) 2 ( m c 2 2 (v/c)2 + 3 ) 8 (v/c)4 + 2 m v m v 2 (v/c) 4 + Die erste reltivistische Korretur zur lssischen inetischen Energie ist lso 3 8 m v 2 (v/c) 4 28 Wrnendes Beispiel: Tylorreihe Funtion { e t f(t) 2 t t Dnn ist f C (R, R) und f () () Esfolgt:T f ist onvergent, ber T f (t) f(t) flls t 69