Hilfsblätter Folgen und Reihen

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1 Hilfsblätter Folgen und Reihen Sebstin Suchnek unter Mithilfe von Klus Flittner Steffen Hofmnn Mtthis Stb c 2002 by Sebstin Suchnek Printed with L A TEX

2 Inhltsverzeichnis 1 Folgen Definition Konvergenz Rechenregeln und Beispiele Rechenregeln Beispiele Beschränktheit Einschließungskriterium Cuchy-Kriterium Reihen Definition Cuchy-Kriterium Leibniz-Kriterium Absolute Konvergenz Mjornten-Kriterium Quotientenkriterium Wurzelkriterium Rechenregeln Funktionenfolgen und -Reihen Definition Punktweise Konvergenz Funktionenfolge Funktionsreihe Gleichmäßige Konvergenz Funktionenfolge Funktionenreihe Stetigkeit Integrierbrkeit Differentition Potenzreihen Definition Konvergenz Quotientenkriterium Wurzelkriterium Differentition, Integrtion Rechenregeln Tylorreihe 5 i

3 1 Folgen 1.1 Definition Ordnet mn jeder ntürlichen Zhl ein Element zu, so entsteht eine Folge 1, 2, 3... reeller Zhlen. Schreibweise: ( n ) n N oder ( n ) n=1 oder ( n ) n 1. Die n heißen Glieder der Folge. 1.2 Konvergenz Eine Folge heißt konvergent mit dem Grenzwert, wenn für jedes ε lle Folgenglieder b einem bestimmten Folgenindex N innerhlb der ε-umgebung von liegen. Es gibt genu einen Grenzwert. 1.3 Rechenregeln und Beispiele Rechenregeln n ε Beispiele n = n = c n + b n ) = + b n b n ) = b = fürb n, b 0 b n b n = für n 0 n 1.4 Beschränktheit n x = 1 n n = 1 x n n! = 0 ( 1 + n) 1 n = e Eine Folge heißt nch oben bzw. unten beschränkt, flls jedes Glied der Folge kleinergleich bzw. größergleich ls eine bestimmte obere Schrnke ist. Ist eine Folge reeller Zhlen konvergent, so ist sie beschränkt. Ist eine Folge nch oben beschränkt und monoton steigend oder nch unten beschränkt und monoton fllend, so ist sie konvergent. 1.5 Einschließungskriterium Sind n, b n und c n Folgen reeller Zhlen mit n c n b n und sind n und b n konvergent mit dem Grenzwert, so ist uch die Folge c n mit konvergent. 1

4 1.6 Cuchy-Kriterium Eine Folge ist genu dnn konvergent, wenn für jedes ε sich lle Folgenglieder b einem bestimmten Index N N höchsten um ε unterscheiden. 2 Reihen 2.1 Definition Ist k eine Folge reeller Zhlen, dnn heißt s n = n eine (unendliche) Reihe. Für diese Reihe schreibt mn k k oder Eine Reihe ist eine Folge Prtilsummen, der Wert der Reihe ist der Grenzwert der Prtilsummen. Der Wert einer Reihe existiert nur, wenn die Reihe konvergent ist. 2.2 Cuchy-Kriterium Eine Reihe ist genu dnn konvergent, wenn für jedes ε eine Summe der Folgenglieder mit unterer Grenze größer ls ein bestimmtes N N kleiner ls ε ist. 2.3 Leibniz-Kriterium Gilt in der lternierenden Reihe ( 1) k b k = b 0 b 1 + b 2 b 3 ±... b k 0, b k+1 b k für k N 0 sowie k b k = 0, ist die Reihe konvergent. Es gelten die Abschätzungen s n s b n+1, n N 2.4 Absolute Konvergenz s 2m+1 s s 2m, n N Eine Reihe k heißt bsolut konvergent flls die Reihe k der Beträge der Glieder konvergent ist. Tritt Konvergenz nun ohne Betrgsbildung der Reihenglieder ein, nennt mn die Reihe konvergent. 2.5 Mjornten-Kriterium In der Reihe k gelte k b k für lle k N. Ist die Reihe b k konvergent, dnn ist die Reihe k bsolut konvergent. 2

5 2.6 Quotientenkriterium Flls für 0 qle1 und k N gilt: so ist k konvergent. Gilt k+1 k q, k k + 1 k 1 k Für q = 1 knn die Reihe konvergent oder divergent sein. 2.7 Wurzelkriterium Gilt für k k = q k q 1, so ist die Reihe konvergent, für 1 ist die Reihe divergent. Für q = 1 knn die Reihe konvergent oder divergent sein. 2.8 Rechenregeln Sind k, b k zwei konvergente Reihen, so gilt: Cuchyprodukt: α k + β b k = α k + β k b k = c n mit c n = 0 b n + 1 b n n b 0 = k b n k 3 Funktionenfolgen und -Reihen 3.1 Definition Ordnet mn jeder Zhl n N eine Funktion zu, so entsteht eine Funktionenfolge. Die Folge der entsprechenden Prtilsummen nennt mn Funktionenreihe. 3.2 Punktweise Konvergenz Funktionenfolge Die Funktionenfolge f n heißt uf D punktweise konvergent, wenn für lle x die Folge f n (x) konvergiert. Ist f n punktweise konvergent, so heißt f(x) = f n (x) Grenzfunktion der Funktionenfolge Funktionsreihe Die Funktionenreihe n=1 f n heißt punktweise konvergent, wenn für lle x die Reihe n=1 f n(x) konvergiert. Ist die Funktionenreihe punktweise konvergent, so heißt die Funktion g(x) = n=1 f n(x) die Summe der Funktionsreihe. b k 3

6 3.3 Gleichmäßige Konvergenz Funktionenfolge Die Funktionenfolge f n (x) heißt uf D gleichmäßig konvergent gegen die Grenzfunktion f(x), wenn sich b einem bestimmten Index N N für lle x die Folgenglieder f n (x) von f(x) höchstens um ε unterscheiden. Die Funktionenfolge f n ist uf D genu dnn gleichmäßig konvergent gegen f, wenn Funktionenreihe [sup f n(x) f(x) ] = 0. Die Funktionenreihe n=1 f n heißt uf D gleichmäßig konvergent, wenn die Folge Ihrer Prtilsummen uf D gleichmäßig konvergiert. In der Funktionenreihe n=1 f n uf D gelte f n (x) c n für lle x D und die Reihe n=1 c n reeller Zhlen sei konvergent. Dnn konvergiert die Reihe n=1 f n gleichmäßig uf D. 3.4 Stetigkeit f ist stetig, wenn (f n ) n N gleichmäßig gegen f konvergiert und f n stetig ist. Anloges gilt für Funktionenreihen. 3.5 Integrierbrkeit f ist integrierbr uf [, b], flls (f n ) n N gleichmäßig gegen f konvergent ist und f n integrierbr ist. Dnn gilt: Anlog gilt bei Reihen: 3.6 Differentition f(x)dx = g(x)dx = n=1 f n (x)dx = f n (x)dx = f n(x)dx [ ] f n (x) dx f ist differenzierbr uf I, wenn (f n ) n N punktweise uf I konvergent ist und f n stetig differenzierbr ist. Dnn gilt: [ ] f (x) = f n(x) = f n(x) Anlog gilt bei Reihen: [ ] g (x) = f n(x) = f n (x) 4 Potenzreihen 4.1 Definition Ist n eine Folge reller Zhlen und ist x 0 R, so heißt die Funktionenreihe n (x x 0 ) n eine Potenzreihe um x 0. Die n heißen Koeffizienten der Potenzreihe. n=1 n=1 n=1 4

7 4.2 Konvergenz Ist die Reihe nx n konvergent für x = r mit r 0, so ist die Reihe bsolut konvergent für lle x innerhlb des Konvergenzrdius r ( x r ). Ist die Reihe n x n divergent für ein x = s, so ist die Reihe divergent für lle x > s. 4.3 Quotientenkriterium Existiert mit 0 b, so ist b der Konvergenzrdius. 4.4 Wurzelkriterium Existiert n n+1 = b n n = c mit 0 c, so ist der Konvergenzrdius gleich 1 c. 4.5 Differentition, Integrtion Jede Potenzreihe ist uf dem Intervll des Konvergenzrdius differenzierbr und integrierbr. Ds Ergebnis ht jeweils den selben Konvergenzrdius. 4.6 Rechenregeln Für lle x mit x min(ϱ, ϱ b ) gilt n x n ± b n x n = ( n ± b n ) x n [ ] [ ] n x n b n x n = c n x n mit c n = 0 b n + 1 b n n b 0 5 Tylorreihe Ist eine Funktion n + 1-ml stetig differenzierbr, dnn gilt mit dem Tylor-Polynom un dem Restglied f(x) = T n (x, x 0 ) + R n (x, x 0 ) T n (x, x 0 ) = x f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! R n (x, x 0 ) = 1 (x t) n f n+1 (t)dt. n! x 0 Für ds Restglied ist weiters die Drstellung von Lgrnge R n (x, x 0 ) = f (n+1) (x + ϑ(x x 0 )) (x x 0 ) n+1 (n + 1)! 5

8 und die Drstellung von Cuchy (jeweils mit 0 ϑ 1) möglich. R n (x, x 0 ) = f (n+1) (x + ϑ(x x 0 )) (1 ϑ) n (x x 0 ) n+1 n! 6

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