Definition 3.33 (Oberintegral und Unterintegral). Es sei f : [a,b] R eine beschränkte Funktion. Weiter sei

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1 8. Integrierbre Funktionen Definition 3.3 (Treppenfunktionen). Eine Funktion t : [,b] R heißt Treppenfunktion, flls es endlih viele Punkte x < x 1 < < x n mit x = und x n = b gibt, so dss f uf jedem der offenen Intervlle ]x k 1,x k [, k = 1,...,n konstnt ist. Den Wert n ( ) xk 1 +x k t(x)dx := t (x k x k 1 ) k=1 nennt mn Integrl der Treppenfunktiuon t. Die Menge der Treppenfunktionen uf dem kompkten Intervll [,b] nennen wir T([,b]). Definition 3.33 (Oberintegrl und Unterintegrl). Es sei f : [,b] R eine beshränkte Funktion. Weiter sei { } U(f) = t(x)dx t T([,b]) mit t(x) f(x) für lle x [,b] und { O(f) = } t(x)dx t T([,b]) mit t(x) f(x) für lle x [,b] Die Zhl supu(f) heißt Unterintegrl von f und die Zhl infu heißt Oberintegrl von f. Definition 3.34 (Riemnn-integrierbre Funktionen). Eine Funktion f : [,b] R heißt (Riemnn)-integrierbr flls sie beshränkt ist und supu(f) = info(f) gilt. Stz 3.35 (Eigenshften integrierbre Funktionen). Es seien f : [,b] R und g : [,b] R uf dem Intervll I integrierbr. Dnn gilt: ) Die Funktionen f+g und λf (mit λ R) sind integrierbr und es gilt (f+g)(x)dx = f(x)dx+ g(x)dx und λf(x)dx = λ f(x)dx. b) Gilt f(x) g(x) für lle x I so ist f(x)dx g(x)dx. ) Die Funktionen f + : I R, f + (x) := mx{f(x),} und f : I R, f (x) := min{f(x),} sind integrierbr. d) Die Funktion f ist integrierbr und es gilt f(x)dx f(x) dx e) Die Funktion f g ist integrierbr. f) Es sei α < β < γ b. Die eingeshränkte Funktion f [α,γ] ist integrierbr. Es gilt γ α f(x)dx = β α f(x)dx+ γ β f(x)dx.

2 Stz 3.36 (Integrierbrkeit stetiger Funktionen). Ist f : K R uf einem kompkten Intervll K stetig, so ist f uf K integrierbr. Definition 3.37 (π). Die Zhl x dx nennet mn Kreiszhl. Die Kreiszhl wird mit π bezeihnet.

3 9. Stmmfunktionen Definition 3.38 (Stmmfunktion). Es sei f :],b[ R eine Funktion. Die Funktion F : [,b] R heißt Stmmfunktion von f flls F differenzierbr uf ],b[ ist und für lle x ],b[ die Gleihung F (x) = f(x) gilt. Stz 3.39 (Mittelwertstz der Integrlrehnung). Es sei f : [,b] R eine stetige Funktion. Es gibt ein ξ [,b] mit f(x)dx = f(ξ) (b ). Stz 3.4 (Huptstz der Integrlrehnung). Es sei f : [,b] R eine stetige Funktion. ) f ht eine Stmmfunktion. Diese ist von der Form F : [,b] R, x d f(t)dt+ mit d [,b] und R. b) Ist F eine Stmmfunktion von f so gilt für lle α,β [,b] β α f(t)dt = F(β) F(α).

4 1. Integrieren Stz 3.41 (Prtielle Integrtion). Es seien f : I R und g : I R stetig differenzierbre Funktionen uf einem Intervll I. Für beliebige,b I gilt f(t)g (t)dt = f(b)g(b) f()g() f (t)g(t)dt. Stz 3.4 (Substitution). Es seien I und J reelle Intervlle, f : I R stetig und g : J I stetig differenzierbr. Dnn gilt: für lle,b J. f(g(t))g (t)dt = g(b) g() f(x)dx. Stz 3.43 (Logrithmishes Integrieren). Es sei g : I R eine differenzierbre und nullstellenfreie Funktion uf [,b]. Dnn gilt: g (x) dx = log g(b) log (g()). g(x) Definition 3.44 (Uneigentlihe Integrle). Es sei I ein Intervll (beshränkt oder unbeshränkt) und I. Ds Integrl f(t)dt existiere für lle x I. Weiter sei α entweder ein Häufungspunkt von I oder α {, }. Existiert nun der Grenzwert lim x α f(t)dt, so nennt mn den Wert dieses Grenzwert Uneigentlihes Integrl von f über [,α[. Shreibweise: bzw. α x x α f(t)dt, f(t)dt, α x α x x f(t)dt x f(t)dt.

5 11. Trigonometrishe Funktionen Definition 3.45 (Die Arustngens-Funktion). Die Funktion heißt Arustngensfunktion. rtn : R R, y y 1 1+s ds Stz Die Arustngensfunktion ist injektiv und es gilt rtn(r) = ] π, π [ mit π := 4rtn(1). Definition 3.47 (Tngens-Funktion). Es sei tn :] π, π [ R die Umkehrfunktion der Arustngens-Funktion und R := R\{ π +k π}. Die Tngens-Funktion tn : R R ist die π-periodishe Fortsetzung von tn uf R, d.h. für lle α R gilt tn(α+ π) = tn(α). Stz Für lle α R\{ π +k π} gilt tn (α) = 1+(tn(α)). Definition 3.49 (Cosinus- und Sinus-Funktion). Es sei tn :] π, π [ R die Umkehrfunktion der Arustngens-Funktion. 1 ) Die Cosinus-Funktion os : R R ist durh os(α) =, 1+(tn(α)) os( π ) = und os(α+ π) = os(α) definiert. b) Die Sinus-Funktion sin : R R ist durh sin(α) = sin( π ) = 1 und sin(α+ π) = sin(α) definiert. Stz 3.5. Für lle α R gilt ) os(α) = os( α) und sin(α) = sin( α). b) os(α+ π) = os(α) und sin(α+ π) = sin(α). ) (sin(α)) +(os(α)) = 1. d) sin (α) = os(α) und os (α) = sin(α). Stz Es gilt: π = π := x dx. tn(α) 1+(tn(α)),