3 Differential- und Integralrechnung

Transkript

1 3 Differentil- und Integrlrechnung 3. Differenzierbre Funktionen Gegeben sei eine beliebige Funktion f : I = [, b] R und ein fester Punkt x 0 I. Außerdem sei h R so klein, dss uch noch x 0 + h in I liegt. Wir beschreiben die Gerde durch P = (x 0, f(x 0 )) und Q = (x 0 + h, f(x 0 + h)) durch eine ffin-linere Funktion λ h (x) = m h x + b. Dnn ist λ h (x 0 ) = f(x 0 ) und λ h (x 0 + h) = f(x 0 + h). (*) Eine solche Gerde (lso den Grphen von λ h ) nennt mn eine Seknte, weil sie den Grphen von f in den beiden Punkten P und Q schneidet. Aus (*) erhält mn die Steigung m h und dmit die endgültige Form der Seknte, m h = f(x 0 + h) f(x 0 ) h und λ h (x) = f(x 0 ) + m h (x x 0 ). Bezeichnet α den Steigungswinkel in dem Steigungsdreieck, ds us den Punkten P, P = (x 0 + h, f(x 0 )) und Q gebildet wird, so ist tn(α) = m h. Wenn m h für h 0 gegen einen wohlbestimmten Wert m konvergiert, so nennt mn die ffin-linere Funktion T (x) := f(x 0 ) + m (x x 0 ) (oder genuer ihren Grphen) die Tngente n (den Grphen von) f in x 0. f(x 0 + h) Tngente Q Seknte f f(x 0 ) P α P x 0 x 0 + h Definition Eine Funktion f : I R heißt differenzierbr in x 0 I, flls der Grenzwert f (x 0 ) := lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h (für h 0 und x 0 + h I) existiert. Die Zhl df dx (x 0) := f (x 0 ) nennt mn die Ableitung von f in x 0.

2 2 3 Differentil- und Integrlrechnung.. Beispiel Die Funktion f(x) = x 2 ist überll differenzierbr, denn es ist (x + h) 2 x 2 h = 2xh + h2 h = 2x + h, und dieser Ausdruck strebt für h 0 gegen 2x. Also ist f (x) = 2x. Etws llgemeiner erhält mn im Flle der Funktion f(x) = x n die Beziehung ( n f(x + h) f(x) = (x + h)n x n = ( ) n )x i h n i x n h h h i i=0 n ( ) n = x i h n i = n x n + Terme, die h enthlten. i i=0 Lässt mn h gegen Null gehen, so fllen die Terme weg, die h ls Fktor enthlten, und der gnze Ausdruck strebt gegen n x n. Also ist uch die Funktion f(x) = x n differenzierbr und f (x) = n x n. Definition Die Funktion heißt uf I differenzierbr, flls sie in jedem Punkt t I differenzierbr ist. Ist die Funktion f uf gnz I differenzierbr, so nennt mn die uf I definierte Funktion f : t f (t) die bgeleitete Funktion (oder kurz: die Ableitung) von f uf I..2. Äquivlente Formulierungen der Differenzierbrkeit Sei I R ein beliebiges Intervll und t 0 I. Folgende Aussgen über eine Funktion f : I R sind äquivlent:. f ist differenzierbr in t Es gibt ein R und eine Funktion δ : I R mit f(t) = f(t 0 ) + (t t 0 ) + δ(t) (t t 0 ) uf I und lim δ(t) = 0. t t0 3. Es gilt ds Gruert-Kriterium : Es gibt eine in t 0 stetige Abbildung : I R mit f(t) = f(t 0 ) + (t t 0 ) (t). Ist f in t 0 differenzierbr, so ist f (t 0 ) = = (t 0 ).

3 3. Differenzierbre Funktionen 3 Beweis: () = (3): Ist f in t 0 differenzierbr, so setzen wir (t) = f(t) f(t 0) t t 0 für t t 0. Im Grenzwert t t 0 strebt (t) gegen f (t 0 ). Mn knn lso durch f (t 0 ) in t 0 stetig ergänzen. Die gewünschte Gleichung gilt uf gnz I. (3) = (2): Gilt ds Gruert-Kriterium, so setzen wir := (x 0 ) und δ(t) := (t) (t 0 ). Dnn ist offensichtlich Eigenschft (2) erfüllt. (2) = (): Gilt Eigenschft (2), so strebt f(t) f(t 0 ) t t 0 = + δ(t) für t t 0 gegen, und f ist in t 0 differenzierbr, mit f (t 0 ) =. Definition f = g + i h : I C heißt differenzierbr in t 0 I, flls g und h in t 0 differenzierbr sind. Dnn nennt mn f (t 0 ) := g (t 0 ) + i h (t 0 ) die Ableitung von f in t 0. Auch im Flle einer komplexwertigen differenzierbren Funktion ist f (t 0 ) := lim t t0 f(t) f(t 0 ) t t 0, und die Kriterien des vorigen Stzes gelten uch in dieser Sitution..3. Beispiele A. Ist f(t) c eine konstnte (reell- oder komplexwertige) Funktion, so ist f(t) f(t 0 ) 0 für lle t, t 0, lso f (t) 0. B. Ist f(t) := + bt eine ffin-linere Funktion, so ist lso f (t) b. f(t) f(t 0 ) t t 0 = b für beliebige Prmeter t, t 0, C. Die Ableitung der Potenzfunktion x n hben wir schon weiter oben berechnet. Betrchten wir jetzt die Exponentilfunktion! Es ist exp(x) = n=0 x n n! = + x n= x n n! = + x n=0 x n (n + )!. Diese Umformung ist erlubt, weil (x) := n=0 xn /(n+)! genu wie exp(x) den Konvergenzrdius ht. Außerdem folgt sofort, dss (uf gnz R und dmit insbesondere in x = 0) stetig ist. Die Zerlegung

4 4 3 Differentil- und Integrlrechnung exp(x) = exp(0) + x (x) zeigt, dss exp in x = 0 differenzierbr ist, mit exp (0) = (0) =. Ist nun x 0 R ein beliebiger Punkt, so ist exp(x) exp(x 0 ) = exp(x 0 + (x x 0 )) exp(x 0 ) Die Zerlegung exp(x) = + x (x) liefert: = exp(x 0 ) exp(x x 0 ) exp(x 0 ) = exp(x 0 ) (exp(x x 0 ) ). exp(x x 0 ) = (x x 0 ) (x x 0 ). D die Funktion 0 (x) := exp(x 0 ) (x x 0 ) überll (und dmit insbesondere in x = x 0 ) stetig und exp(x) = exp(x 0 ) + (x x 0 ) 0 (x) ist, folgt: exp ist in x 0 differenzierbr und exp (x 0 ) = 0 (x 0 ) = exp(x 0 ). Also ist llgemein (e x ) = e x. D. Jetzt betrchten wir die komplexwertige Funktion f(t) := exp( i t). Genu wie oben erhlten wir eine Zerlegung ( i t) n f(t) = n! n=0 = + ( i t) n=0 ( i t) n (n + )! = f(0) + t (t), mit der stetigen komplexwertigen Funktion (t) := i n=0 ( i t)n /(n + )!. Also ist f in t = 0 differenzierbr, und es ist f (0) = (0) = i. Ist t 0 R beliebig, so folgt us dem Additionstheorem für die Exponentilfunktion die Formel exp( i t) exp( i t 0 ) = exp( i t 0 ) (exp( i (t t 0 )) ), lso f(t) = f(t 0 )+(t t 0 ) f(t 0 ) (t t 0 ). Dmit ist f uch in t 0 differenzierbr, und f (t 0 ) = f(t 0 ) (0) = i f(t 0 ). Aus der Euler schen Formel e i t = cos t + i sin t erhlten wir nun, dss cos(t) und sin(t) uf gnz R differenzierbr sind, und es gilt: cos (t) + i sin (t) = i (cos(t) + i sin(t)), lso cos (t) = sin(t) und sin (t) = cos(t).

5 3. Differenzierbre Funktionen 5 E. Bis jetzt hben wir nur Beispiele von differenzierbren Funktionen kennengelernt. Die Funktion f(t) := t ist llerdings in t = 0 nicht differenzierbr, denn f(t) f(0) = t { für t > 0 t t = für t < 0 besitzt für t 0 unterschiedliche Grenzwerte von links und von rechts. f(t) = t t Ttsächlich ist f in llen Punkten ußerhlb 0 differenzierbr, ber bei x = 0 ht die Funktion einen Knick. Sie ist dort nicht genügend gltt und besitzt deshlb keine eindeutig bestimmte Tngente. Ist eine Funktion f : I R in t 0 differenzierbr, so ist f in t 0 erst recht stetig. Ds folgt sofort us der Drstellung f(t) = f(t 0 ) + (t t 0 ) (t), mit einer in t 0 stetigen Funktion. Wie mn n Hnd des obigen Beispiels sehen knn, brucht umgekehrt eine stetige Funktion durchus nicht differenzierbr zu sein!.4. Die Berechnung von (u f) für lineres u Sei f : I C differenzierbr in t 0 und u : C R liner. Dnn ist uch die Abbildung u f : I R in t 0 differenzierbr, und es ist (u f) (t 0 ) = u(f (t 0 )). Beweis: Wegen der Linerität von u ist ( ) u f(t) u f(t 0 ) f(t) f(t0 ) = u, t t 0 t t 0 und d u stetig ist, konvergiert der rechte Ausdruck für t t 0 gegen u(f (t 0 ))..5. Beispiele A. Sind f, g : I R differenzierbr, so ist uch die Funktion F := f + i g : I C differenzierbr. Die Abbildung u : C R mit u(x + i y) := x + y ist liner. Also ist uch f + g = u (f + i g) differenzierbr, und es ist (f + g) = u(f + i g ) = f + g. B. Genuso folgt: Mit f : I C und c C ist uch c f differenzierbr, und es ist (c f) = c f, für beliebiges c R (mn benutze die linere Abbildung u : z c z).

6 6 3 Differentil- und Integrlrechnung.6. Produktregel Sind die Funktionen f, g : I R beide in t 0 differenzierbr, so ist uch ihr Produkt f g : I R in t 0 differenzierbr, und es gilt: (f g) (t 0 ) = f (t 0 ) g(t 0 ) + f(t 0 ) g (t 0 ). Beweis: Nch Vorussetzung sind die einzelnen Funktionen in t 0 differenzierbr, es gibt lso in t 0 stetige Funktionen f und g, so dss gilt: f(t) = f(t 0 ) + (t t 0 ) f (t) und g(t) = g(t 0 ) + (t t 0 ) g (t), sowie f (t 0 ) = f (t 0 ) und g (t 0 ) = g (t 0 ). Jetzt benutzen wir einen kleinen Trick: (f g)(t) (f g)(t 0 ) = (f(t) f(t 0 )) g(t) + f(t 0 ) (g(t) g(t 0 )) = (t t 0 ) [ f (t) g(t) + f(t 0 ) g (t)]. D die Funktion in der eckigen Klmmer stetig in t 0 ist, ist f g dort differenzierbr, und es ist (f g) (t 0 ) = f (t 0 ) g(t 0 ) + f(t 0 ) g (t 0 ). Bemerkung: Mn rechnet leicht nch, dss die Produktregel uch für komplexwertige Funktionen gilt. Aus der Produktregel folgt scheinbr uch gleich die beknnte Quotientenregel : (f ) (t) f (t)g(t) f(t)g (t) g =, flls g(t) 0 ist. g(t) 2 Es ist nämlich f = (g (f/g)) = g (f/g) + g (f/g), lso (f/g) = [f g (f/g)]/g = (f g g f)/g 2. Leider tugt dieser Beweis nur ls Merkregel, wir müssen zuvor noch die Differenzierbrkeit von f/g beweisen. Es reicht, dies im Flle f = zu tun. Ist g in t 0 differenzierbr (und dmit dort uch stetig) und g(t 0 ) 0, so gilt g(t) 0 uf einer gnzen Umgebung von t 0, und ußerdem hben wir eine Drstellung g(t) = g(t 0 ) + (t t 0 ) g (t) mit einer in t 0 stetigen Funktion g. Dnn gilt: g(t) g(t 0 ) = g(t 0) g(t) g(t)g(t 0 ) = (t t 0) g (t) g(t)g(t 0 ) D (t) := g (t)/(g(t)g(t 0 )) in t 0 stetig ist, folgt die Differenzierbrkeit von /g in t 0 mit (/g) (t 0 ) = g (t 0 )/g(t 0 ) 2. Mit Hilfe der Produktregel ergibt sich drus die Differenzierbrkeit llgemeiner Quotienten..

7 3. Differenzierbre Funktionen 7.7. Beispiel Als Anwendung berechnen wir die Ableitung des Tngens: tn (t) = ( ) sin (t) = cos2 (t) ( sin 2 (t)) cos cos 2 (t) = +tn 2 (t), für t ( π 2, +π 2 )..8. Die Kettenregel Sei f : I R differenzierbr in t 0, J ein weiteres Intervll mit f(i) J und g : J R differenzierbr in s 0 := f(t 0 ) J. Dnn ist uch g f : I R differenzierbr in t 0, und es gilt: (g f) (t 0 ) = g (f(t 0 )) f (t 0 ). Beweis: Wir schreiben f(t) = f(t 0 ) + (t t 0 ) f (t) und g(s) = g(s 0 ) + (s s 0 ) g (s), wobei f in t 0 und g in s 0 stetig ist, sowie f (t 0 ) = f (t 0 ) und g (s 0 ) = g (s 0 ). Einfches Einsetzen ergibt: g f(t) = g(s 0 ) + (f(t) s 0 ) g (f(t)) = g(f(t 0 )) + (f(t) f(t 0 )) g (f(t)) = g f(t 0 ) + (t t 0 ) f (t) g (f(t)). Dbei ist t f (t) g (f(t)) in t = t 0 stetig. Also ist g f in t 0 differenzierbr und (g f) (t 0 ) = g (f(t 0 )) f (t 0 ) = g (f(t 0 )) f (t 0 )..9. Beispiele A. Ist f differenzierbr, so ist uch t e f(t) differenzierbr, und es gilt: (e f ) (t) = f (t) e f(t). Will mn etw die Funktion g(x) := e x sin(x2) differenzieren, so knn mn f(x) := x sin(x 2 ) setzen. Es ist f (x) = sin(x 2 ) + x cos(x 2 ) 2x = sin(x 2 ) + 2x 2 cos(x 2 ), unter Verwendung von Produkt- und Kettenregel. Drus folgt: g (x) = e x sin(x2) (sin(x 2 ) + 2x 2 cos(x 2 )).

8 8 3 Differentil- und Integrlrechnung B. Die llgemeine Potenzfunktion t t knn in der Form t = exp(ln() t) geschrieben werden. Dher ist ( t ) = ln() t, für > 0, t R. Wir beschäftigen uns jetzt mit höheren Ableitungen. Sei I R ein Intervll und f : I R eine in jedem Punkt t I differenzierbre Funktion. Ist die Ableitung f : I R in t 0 I noch ein weiteres Ml differenzierbr, so sgt mn, f ist in t 0 zweiml differenzierbr, und mn schreibt: f (t 0 ) := (f ) (t 0 ). Entsprechend definiert mn die dritte Ableitung f (t 0 ) := (f ) (t 0 ), die 4. Ableitung f (4) (t 0 ) := (f ) (t 0 ) und schließlich induktiv: Definition Ist f uf I (n )-ml differenzierbr und die (n )-te Ableitung f (n ) in t 0 noch ein weiteres Ml differenzierbr, so sgt mn, f ist in t 0 n-ml differenzierbr, und die n-te Ableitung in t 0 wird definiert durch f (n) (t 0 ) := (f (n ) ) (t 0 ). Bemerkung: Mnchml benutzt mn uch die Leibniz sche Schreibweise: An Stelle von f (n) schreibt mn uch dn f. Höhere Ableitungen von komplexwertigen dt n Funktionen definiert mn nlog. Definition Ist f : I C überll k-ml differenzierbr und f (k) uf I noch stetig, so nennt mn f uf I k-ml stetig differenzierbr. Die Menge der k-ml stetig differenzierbren Funktionen uf I bezeichnet mn mit C k (I), die Menge der beliebig oft differenzierbren Funktionen uf I mit C (I). Bemerkung: C k (I) ist ein C-Vektorrum..0. Beispiel Sei f(t) := e t2. Wir wollen sehen, dss f beliebig oft differenzierbr ist, und wir suchen nch einer Beschreibung der n-ten Ableitung. Dzu berechnen wir zunächst die ersten drei Ableitungen:

9 3. Differenzierbre Funktionen 9 f (t) = 2t e t2, f (t) = 2 e t2 + 2t (2t e t2 ) = (2 + 4t 2 ) e t2, f (3) (t) = 8t e t2 + (2 + 4t 2 ) (2t e t2 ) = (2t + 8t 3 ) e t2. Die Versuche lssen folgendes vermuten: f (n) (t) = p(t) e t2, mit einem Polynom p(t) vom Grd n, ds nur gerde bzw. nur ungerde Potenzen von t enthält, je nchdem, ob n gerde oder ungerde ist. Für kleine n hben wir ds verifiziert. Also können wir einen Induktionsbeweis führen. Ist die Formel für n richtig, so gilt: f (n+) (t) = (p (t) + 2t p(t)) e t2. Ist etw n = 2k, so enthält p(t) nur gerde Potenzen von t. Aber dnn ist p (t) ein Polynom vom Grd n und 2t p(t) ein Polynom vom Grd n +, und beide enthlten nur ungerde Potenzen von t. Ähnlich funktioniert es im Flle n = 2k +. Also gilt die Formel uch für n + und dmit für lle n. Wir wollen uns jetzt mit bijektiven Funktionen und ihren Umkehrfunktionen befssen. Im zweiten Kpitel hben wir schon gezeigt, dss eine stetige injektive Funktion f uf einem bgeschlossenen Intervll I = [, b] streng monoton, J := f(i) wieder ein bgeschlossenes Intervll und f : J I stetig ist. Ist I ein beliebiges (z.b. offenes) Intervll, so ist jeder Punkt von I Element eines bgeschlossenen Teilintervlls I I. Also überträgt sich die obige Aussge uch uf beliebige Intervlle... Ableitung der Umkehrfunktion Es seien I, J R Intervlle. Ist f : I J bijektiv, stetig, in x 0 I differenzierbr und f (x 0 ) 0, so ist die Umkehrfunktion f : J I in y 0 := f(x 0 ) differenzierbr, und es gilt: (f ) (f(x 0 )) = f (x 0 ). Beweis: Wir schreiben f(x) = f(x 0 ) + (x) (x x 0 ), mit einer in x 0 stetigen Funktion. Dnn ist (x 0 ) = f (x 0 ) 0. Wäre (x) = 0 für ein x I, so wäre x x 0 und f(x) = f(x 0 ). Wegen der Injektivität von f ist ds usgeschlossen. Also ist (x) 0 für lle x I, und wir können die obige Gleichung nch x uflösen: x = x 0 + f(x) f(x 0). (x)

10 0 3 Differentil- und Integrlrechnung Setzen wir f (y) für x und f (y 0 ) für x 0 ein, so erhlten wir: f (y) = f (y 0 ) + (f (y)) (y y 0). D f ds Intervll I bijektiv und stetig uf ds Intervll J bbildet, ist uch die Umkehrfunktion f in y 0 stetig. Also ist / (f (y)) in y 0 stetig und f in y 0 differenzierbr, mit (f ) (y 0 ) = (x 0 ) = f (x 0 )..2. Beispiele A. exp : R R + ist bijektiv und differenzierbr, und exp (x) = exp(x) ist stets > 0. Also ist uch die Umkehrfunktion ln : R + R überll differenzierbr, mit (ln) (e x ) = /e x, lso ln (y) = y. B. Sei I R ein Intervll und f : I R + eine differenzierbre Funktion. Dnn ist uch g := ln f : I R differenzierbr, und es gilt: g (x) = (ln f) (x) = ln (f(x)) f (x) = f (x)/f(x). Mn nennt diesen Ausdruck uch die logrithmische Ableitung von f. C. Die Funktion x α ist für festes α 0 und x > 0 definiert durch x α := e α ln(x). Dher ist (x α ) = α x e α ln(x), lso (x α ) = α x α, für x > 0 und α 0. Speziell ist n x = x /n für x > 0 differenzierbr, mit ( n x) = n x (n )/n, lso z.b. ( x) = 2 x und ( 3 x) = 3 3, jeweils für x > 0. x2 Die Funktion x x = e x ln(x) ergibt dgegen beim Differenzieren: (x x ) = (ln x + ) x x. D. Die Funktion tn = sin / cos : ( π/2, π/2) R ist differenzierbr. D der Cosinus uf [0, π/2) streng monoton fällt (und der Sinus dementsprechend streng monoton steigt), ist der Tngens dort streng monoton wchsend. Weil der Cosinus eine gerde und der Sinus eine ungerde Funktion ist, wächst

11 3. Differenzierbre Funktionen der Tngens uch uf ( π/2, 0] streng monoton. Weil tn x für x < π/2 und x π/2 gegen + strebt, bildet der Tngens ( π/2, π/2) bijektiv uf R b. Die Ableitung tn (x) = + tn 2 (x) ht uf ( π/2, π/2) keine Nullstelle. Also ist die Umkehrfunktion uf gnz R differenzierbr. Mn bezeichnet diese Umkehrfunktion ls Arcustngens (in Zeichen rctn). Dnn gilt: rctn (y) = tn (rctn(y)) = + y. 2 Dieses Ergebnis sollte mn sich für später merken: Die Ableitung des Arcustngens ist eine rtionle Funktion! Definition f : I R ht in x 0 I ein lokles Mximum (bzw. ein lokles Minimum), flls es ein ε > 0 gibt, so dss gilt: f(x) f(x 0 ) (bzw. f(x) f(x 0 ) ) für x I und x x 0 < ε. In beiden Fällen sgt mn, f ht in x 0 einen (loklen) Extremwert. Mn bechte: Ist f in der Nähe von x 0 konstnt, so ht f dort nch unserer Definition uch einen Extremwert! Ds entspricht nicht gnz der Vorstellung von Hochpunkten und Tiefpunkten. Wir führen deshlb noch einen zusätzlichen Begriff ein: Definition f : I R ht in x 0 I ein isoliertes Mximum (bzw. ein isoliertes Minimum), flls es ein ε > 0 gibt, so dss gilt: f(x) < f(x 0 ) (im Flle des Mximums), bzw. f(x) > f(x 0 ) (im Flle des Minimums), für x I, x x 0 < ε und x x Notwendiges Kriterium für Extremwerte Sei I ein Intervll, x 0 ein innerer Punkt von I und f : I R in x 0 differenzierbr. Wenn f in x 0 ein lokles Extremum besitzt, dnn ist f (x 0 ) = 0. Beweis: Anschulich ist klr, dss der Grph von f in x 0 eine wgerechte Tngente besitzen muss:

12 2 3 Differentil- und Integrlrechnung Mximum f Minimum Wir müssen nun einen Beweis finden, der nicht uf der Anschuung beruht. Dzu verwenden wir die Drstellung f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 ) (x), mit einer in x 0 stetigen Funktion. Ht f in x 0 ein lokles Mximum, so ist f(x) f(x 0 ) für x nhe bei x 0, lso (x x 0 ) (x) 0. Ist x < x 0, so ist x x 0 < 0 und dher (x) 0. Ist dgegen x > x 0, so ist (x) 0. Aber dnn muss lim x x0 (x) = 0 sein, lso f (x 0 ) = 0. Im Flle eines loklen Minimums ist (x) 0 links von x 0 und 0 rechts von x 0. Genu wie oben folgt uch dnn, dss f (x 0 ) = 0 ist. Aus der Existenz eines loklen Extremums folgt lso ds Verschwinden der ersten Ableitung. Ds bedeutet, dss die Eigenschft f (x 0 ) = 0 dfür notwendig ist, dss in x 0 ein lokles Extremum vorliegt, und deshlb spricht mn vom notwendigen Kriterium..4. Beispiele A. Sei I = [, ], f : I R definiert durch f(x) := x 2. Dnn gilt für lle x I : f(x) 0 = f(0). Also ht f in x 0 := 0 ein (sogr isoliertes) lokles Minimum. Und ttsächlich besitzt f (x) = 2x in x 0 eine Nullstelle. Die Ableitung der Funktion h(x) := x 3 verschwindet uch in x = 0, ber h ht kein lokles Extremum in diesem Punkt, denn für x < 0 ist f(x) < 0 und für x > 0 ist f(x) > 0. Ds zeigt, dss ds notwendige Kriterium llein noch nicht hinreichend ist. B. g : I R mit g(x) := x ht ebenflls in x 0 = 0 ein lokles Minimum. Aber weil x dort nicht differenzierbr ist, knn mn ds Kriterium nicht nwenden. In den Punkten x = und x = + ht x (ls Funktion uf I) jeweils ein lokles Mximum. Auch dzu liefert ds notwendige Kriterium keinen Beitrg, denn die Punkte liegen nicht im Innern von I.

13 3.2 Der Mittelwertstz Der Mittelwertstz 2.. Der Stz von Rolle Sei f : I := [, b] R stetig und im Innern von I differenzierbr. Ist f() = f(b), so gibt es einen Punkt x 0 im Innern von I mit f (x 0 ) = 0. x 0 b Beweis: Sei c := f() = f(b). Ist f(x) c uf gnz I, so ist uch f (x) 0. Ist f uf I nicht konstnt, so muss ds Minimum oder ds Mximum von f im Innern von I liegen. Und dort muss dnn f verschwinden. Jetzt folgt: 2.2. Der. Mittelwertstz der Differentilrechnung Sei f : I := [, b] R stetig und im Innern von I differenzierbr. Dnn gibt es einen Punkt x 0 im Innern von I mit f (x 0 ) = f(b) f(). b x 0 b Beweis: Sei L : R R die eindeutig bestimmte ffin-linere Funktion mit L() = f() und L(b) = f(b) (lso die Seknte durch (, f()) und (b, f(b))). Dnn ist f(b) f() L(x) = f() + m (x ), mit m :=. b Setzen wir g := f L uf I, so ist g() = g(b) = 0 und g (x) = f (x) m. Nch dem Stz von Rolle, ngewndt uf die Funktion g, existiert ein Punkt x 0 im Innern von I mit g (x 0 ) = 0, lso f (x 0 ) = m.

14 4 3 Differentil- und Integrlrechnung Bemerkung: Ein pr Worte zu den Vorussetzungen: Die Stetigkeit von f uf dem gnzen Intervll wird gebrucht, um beim Stz von Rolle die Existenz eines globlen Mximums und eines globlen Minimums zu sichern. Ist f nicht konstnt, so muss wenigstens eins von beiden im Innern des Intervlls liegen. Um dort ds Verschwinden der Ableitung zu erhlten, bruchen wir ntürlich die Differenzierbrkeit in llen inneren Punkten des Intervlls Funktionen mit verschwindender Ableitung Sei f : I R stetig und im Inneren von I differenzierbr. Ist f (x) 0, so ist f konstnt. Beweis: Sei I = [, b], x < x 2 b. Nch dem Mittelwertstz existiert ein x 0 mit x < x 0 < x 2 und 0 = f (x 0 ) = f(x 2) f(x ) x 2 x. Ds ist nur möglich, wenn f(x ) = f(x 2 ) ist. Und d die Punkte x und x 2 beliebig gewählt werden können, ist f konstnt. Der Stz bleibt uch für komplexwertige Funktionen richtig Hilfsstz Ist c C, so ist f(t) := e ct uf gnz R differenzierbr und f (t) = c e ct für t R. Beweis: Sei c = + i b. Wir wissen, dss (e t ) = e t und uch (e i t ) = i e i t ist. Mit der Kettenregel folgt nun, dss (e i bt ) = i be i bt ist, und die Produktregel liefert (e ct ) = ( e t e i bt) = e t e i bt + e t ( i b) e i bt = c e ct Die Differentilgleichung y c y = 0 Seien c, γ C zwei Konstnten und t 0 R. Dnn gibt es genu eine differenzierbre Funktion f : R C, so dss gilt:. f (t) = c f(t) für lle t R. 2. f(t 0 ) = γ. Die eindeutig bestimmte Lösung ist gegeben durch f(t) = γ e c(t t 0).

15 3.2 Der Mittelwertstz 5 Beweis: Wäre c R und f eine reellwertige differenzierbre Funktion ohne Nullstellen, so könnte mn schließen: (ln f) (t) = f (t)/f(t) = c, lso ln(f(t)) = ct + d und f(t) = exp(ct + d). Diesen Schluss können wir hier nicht durchführen, deshlb verwenden wir einen kleinen Trick. ) Ist f eine Lösung, so setzen wir F (t) := f(t) e ct. Dnn folgt: F (t) = (f (t) c f(t)) e ct 0. Also ist F konstnt. Wegen F (t) = F (t 0 ) = γe ct 0 ist dnn f(t) = γ e c(t t0). Ds zeigt die Eindeutigkeit der Lösung. 2) Wählt mn umgekehrt f wie oben, so ist f(t 0 ) = γ und f (t) = cγe c(t t 0) = c f(t). Als nächstes befssen wir uns mit der Differentilgleichung y + y + by = 0 (mit, b R). Unter einer Lösung dieser DGL (über einem Intervll I) verstehen wir eine zweiml differenzierbre Funktion f : I C mit f (t) + f (t) + b f(t) 0 uf I. Zur Bestimmung der Lösungsgesmtheit wird etws linere Algebr benötigt. Erinnerung: Elemente X,..., X n eines (komplexen) Vektorrumes V heißen liner unbhängig, flls us c X + + c n X n = 0 (mit c i C) stets c =... = c n = 0 folgt. Ein System {X,..., X n } von liner unbhängigen Vektoren heißt eine Bsis von V, wenn sich jeder Vektor X V ls Linerkombintion der X i schreiben lässt: X = c X + + c n X n. In der Lineren Algebr wird gezeigt: Besitzt V eine Bsis us n Elementen, so besteht uch jede ndere Bsis von V us genu n Elementen. Die Zhl n nennt mn dnn die Dimension von V. Besitzt ein Vektorrum keine endliche Bsis, so nennt mn ihn unendlich-dimensionl. Letzteres ist bei Räumen von Funktionen leider der Normlfll. Es seien V und W zwei (komplexe) Vektorräume. Eine Abbildung f : V W heißt liner oder ein Homomorphismus, flls gilt: f(x + Y ) = f(x) + f(y ) für lle X, Y V und f(cx) = c f(x) für c C und X V. Im Flle unendlich-dimensionler Räume spricht mn uch gerne von einem (lineren) Opertor. Die Menge Ker(f) := {X V : f(x) = 0} bezeichnet mn ls Kern der lineren Abbildung. Der Kern ist ein Untervektorrum von V, der zumindest den Nullvektor enthält. Besteht er nur us dem Nullvektor, so ist f injektiv: Sind nämlich X, X 2 V mit f(x ) = f(x 2 ), so ist f(x X 2 ) = f(x ) f(x 2 ) = 0, lso X X 2 Ker(f). Drus folgt, dss X X 2 = 0, lso X = X 2 ist. Die Menge Im(f) := f(v ) = {Y W : X V mit f(x) = Y } nennt mn ds Bild von f. Ds Bild ist ein Unterrum von W. Ist sogr Im(f) = W, so ist f surjektiv.

16 6 3 Differentil- und Integrlrechnung Sind V und W endlich-dimensionl, so gilt die folgende Dimensionsformel: dim V = dim(ker f) + dim(im f). Ein Isomorphismus zwischen zwei Vektorräumen V und W ist eine bijektive linere Abbildung f : V W. Dnn ist uch f : W V liner, und ntürlich ist Ker(f) = {0} und Im(f) = W. Sind die Vektorräume endlich-dimensionl, so folgt us der Dimensionsformel, dss es nur dnn einen Isomorphismus zwischen V und W geben knn, wenn dim(v ) = dim(w ) ist. Definition Sei D : C (I) C 0 (I) definiert durch D[f] := f. Auf C 2 (I) definiert mn D 2 := D D durch D 2 [f] = f. Dnn sind D und D 2 linere Opertoren Stz Sei p(x) = x 2 + x + b = (x c )(x c 2 ) ein Polynom zweiten Grdes. Dnn ist (D c id) (D c 2 id) = D 2 + D + b id (uf C 2 (I)). Beweis: c c 2 = b. Dnn ist Es ist (x c )(x c 2 ) = x 2 (c + c 2 )x + c c 2, lso c + c 2 = und (D c id) (D c 2 id)[h] = (D c id)[h c 2 h] = h c 2 h c h + c c 2 h = h + h + bh = (D 2 + D + b id)[h] Stz Ist c eine Nullstelle des Polynoms p(x) = x 2 + x + b, so ist f(t) := e ct eine Lösung der Differentilgleichung y + y + by = 0. Beweis: Es ist f (t) = c e ct und f (t) = c 2 e ct, lso f (t) + f (t) + bf(t) = (c 2 + c + b)e ct 0.

17 3.2 Der Mittelwertstz Stz ) Sei c C. Dnn sind die Funktionen f(t) := e ct und g(t) := t e ct liner unbhängig über C. 2) Sind c c 2 zwei komplexe Zhlen. Dnn sind die Funktionen f (t) := e c t und f 2 (t) := e c 2t liner unbhängig über C. Beweis: ) Sei α e ct + β te ct 0. Multipliziert mn beide Seiten mit e ct, so erhält mn: α + β t 0, lso α = 0 (t = 0 einsetzen) und dnn β = 0 (t = einsetzen). 2) Sei α e c t + βe c 2t 0, lso α + β e (c 2 c )t 0. Differentition nch t ergibt: β(c 2 c ) e (c 2 c )t 0, lso β = 0 und dnn α = 0. Ds Polynom p(x) = x 2 + x + b nennt mn ds chrkteristische Polynom der DGL y + y + by = 0. Ht p(x) zwei verschiedene Nullstellen c, c 2, so sind f (t) = e c t und f 2 (t) = e c 2t zwei liner unbhängige Lösungen der DGL. Ht p(x) = (x c) 2 eine Nullstelle c der Ordnung 2, dnn ist = 2c und b = c 2. Wir wissen schon, dss f(t) = e ct eine Lösung der DGL ist. Sei g(t) := te ct. Dnn ist g (t) = ( + tc)e ct und g (t) = (2c + tc 2 )e ct, lso g (t) 2cg (t) + c 2 g(t) = (2c + tc 2 2c 2tc 2 + tc 2 )e ct 0. Ds bedeutet, dss in diesem Fll f und g zwei liner unbhängige Lösungen der DGL sind Stz Sind A, B C gegeben, so gibt es höchstens eine Lösung f der DGL y + y + by = 0 mit f(t 0 ) = A und f (t 0 ) = B. Beweis: Es reicht zu zeigen, dss h(t) 0 die einzige Lösung der DGL mit h(t 0 ) = h (t 0 ) = 0 ist. Sind nämlich f, f 2 zwei Lösungen mit den gegebenen Anfngsbedigungen, so betrchte mn h := f f 2. Sei nun L := D 2 + D + b id = (D c id) (D c 2 id) und h eine Funktion mit L[h] = 0 und h(t 0 ) = h (t 0 ) = 0. Wir setzen h := h c 2 h. Dnn ist h (t 0 ) = h (t 0 ) c 2 h(t 0 ) = 0 und h c h = L[h] = 0, lso h (t) = h (t 0 )e c (t t 0 ) 0. Drus folgt, dss h(t) = h(t 0 )e c 2(t t 0 ) 0 ist. Sei weiterhin L := D 2 + D + b id. Dnn ist Ker(L) C 2 (I) der Rum der Lösungen der DGL y + y + by = 0 über I Folgerung Es ist dim C Ker(L) = 2.

18 8 3 Differentil- und Integrlrechnung Beweis: Es ist schon klr, dss dim C Ker(L) 2 ist. Nun sei A : Ker(L) C 2 definiert durch A(f) := ( f(t 0 ), f (t 0 ) ). Die Abbildung A ist offensichtlich liner, und nch dem Stz von oben ist A injektiv. Also ist dim C Ker(L) 2. In jedem Fll knn eine Bsis des Lösungsrumes (ein sogennntes Fundmentlsystem von Lösungen ) ngegeben werden. Nun noch ein pr Worte über die inhomogene Gleichung L[f] = q(t), mit einer stetigen Funktion q. Den llgemeinen Fll können wir mit unseren derzeit verfügbren Mitteln nicht lösen. Wir beschränken uns uf den Fll q(t) = h(t)e µt, mit einem Polynom h(t).. Ist λ = µ, so ist (D λ id)[g(t)e µt ] = g (t)e µt. 2. Ist µ λ, so ist (D λ id)[g(t)e µt ] = ( g (t) + (µ λ)g(t) ) e µt. Offensichtlich knn mn in beiden Fällen g(t) ls Polynom wählen, so dss g(t)e µt eine Lösung der Gleichung (D λ id)[f] = q(t) ist. Weil es stets Zhlen c, c 2 mit L = (D c id) (D c 2 id) gibt, knn uch die Gleichung L[f] = q(t) gelöst werden. Wir kommen nun zu weiteren Anwendungen des Mittelwertstzes. 2.. Ableitung und Monotonie Sei f : I := [, b] R stetig und im Inneren von I differenzierbr.. f ist genu dnn uf I monoton wchsend (bzw. fllend), wenn f (x) 0 (bzw. f (x) 0 ) für lle x (, b) ist. 2. Ist sogr f (x) > 0 für lle x I (bzw. f (x) < 0 für lle x I), so ist f streng monoton wchsend (bzw. fllend). Beweis: Wir beschränken uns uf wchsende Funktionen.. ) Ist f monoton wchsend, so sind lle Differenzenquotienten 0, und dher ist uch überll f (x) 0. b) Nun sei f (x) 0 für lle x (, b). Ist x < x 2, so gibt es nch dem Mittelwertstz ein x 0 mit x < x 0 < x 2, so dss gilt: 0 f (x 0 ) = f(x 2) f(x ) x 2 x, lso f(x ) f(x 2 ). 2) Ist f monoton wchsend, ber nicht streng monoton wchsend, so gibt es Punkte x, x 2 I mit x < x 2 und f(x ) = f(x 2 ). Dnn muss f uf dem Teilintervll

19 3.2 Der Mittelwertstz 9 [x, x 2 ] konstnt sein und die Ableitung dort verschwinden. Also knn f nicht überll positiv sein Beispiele A. Sei f(x) := x 3. Dnn ist f (x) = 3x 2 und f (x) = 6x. D überll f (x) 0 ist, wächst f uf gnz R monoton. Außerhlb des Nullpunktes ist f (x) sogr positiv, lso wächst f dort streng monoton. Aber eine monotone Funktion, die uf keinem Intervll positiver Länge konstnt ist, muss insgesmt streng monoton sein. Obwohl f(x) = x 3 überll streng monoton steigt, ist f (0) = 0. f : R R ist bijektiv und stetig, besitzt lso eine überll stetige Umkehrfunktion. Offensichtlich ist f (y) = 3 y. Wäre diese Funktion in y = 0 differenzierbr, so müsste 0 = f (0) (f ) (0) = (f f ) (0) = sein. Widerspruch! x x = f (y) = 3 y y So sieht mn, dss f im Nullpunkt nicht differenzierbr sein knn. Der Grund dfür ist, dss f im Nullpunkt eine senkrechte Tngente besitzt. B. Es ist sin (x) = cos(x) > 0 für π 2 < x < π. Also ist sin(x) dort streng 2 monoton wchsend und dmit injektiv (ws wir ntürlich schon wissen). Die x +π/2 Umkehrfunktion von x = rcsin(y) sin : ( π 2, π ) (, ) 2 ist die Funktion y rcsin : (, ) ( π 2, π 2 ), π/2 der sogennnte Arcussinus. Für die Ableitung gilt: rcsin (y) = = sin (rcsin(y)) = cos(rcsin(y)) sin 2 (rcsin(y)) =. y 2 D der Sinus uf llen Intervllen ((k 2 )π, (k+ 2 )π) streng monoton ist, gibt es uch dzu Umkehrfunktionen rcsin k (y). Mn spricht von verschiedenen

20 20 3 Differentil- und Integrlrechnung Zweigen des Arcussinus. Im Flle k = 0 ergibt sich der Huptzweig, den wir oben behndelt hben. Beim Cosinus knn mn nloge Überlegungen nstellen. Wegen cos(π/2 rcsin(x)) = sin(rcsin(x)) = x erhält mn den Arcuscosinus ls rccos(x) = π/2 rcsin(x). C. Die Hyperbelfunktionen sinh(x) = 2 (ex e x ) und cosh(x) = 2 (ex + e x ) sind offensichtlich überll differenzierbr, und es gilt: sinh (x) = cosh(x) und cosh (x) = sinh(x). D sinh (x) > 0 für lle x ist, ist sinh streng monoton wchsend und somit umkehrbr. Die Umkehrfunktion wird mit rsinh (Are-Sinus hyperbolicus) bezeichnet. Die Beziehung y = sinh(x) = (e x e x )/2 liefert eine qudrtische Gleichung für e x, nämlich 2y = ( (e x ) 2 ) /e x, lso (e x ) 2 2y e x = 0. Dmit ist x = rsinh(y) = ln(y + + y 2 ). Ds positive Vorzeichen vor der Wurzel muss gewählt werden, weil e x > 0 ist. Drus folgt: rsinh (y) = / + y 2. Der Cosinus hyperbolicus lässt sich nur für x 0 oder für x 0 umkehren. Die Umkehrfunktion rcosh (Are-Cosinus hyperbolicus) ist jeweils für y erklärt. Sie ist gegeben durch rcosh(y) = ln(y ± y 2 ). Ds Vorzeichen vor der Wurzel hängt dvon b, welchen Teil des Cosinus hyperbolicus mn umkehren möchte. Wir können den Mittelwertstz noch etws verllgemeinern: 2.3. Der Stz von Cuchy Es seien f und g uf I := [, b] stetig und im Innern von I differenzierbr. Dnn gibt es einen Punkt c im Innern von I mit f (c) (g(b) g()) = g (c) (f(b) f()). Für g(x) = x erhält mn den. Mittelwertstz zurück. Beweis: Ist g() = g(b), so gibt es ein c (, b) mit g (c) = 0, und die Gleichung ist offensichtlich erfüllt.

21 3.2 Der Mittelwertstz 2 Ist g() g(b), so benutzen wir die Hilfsfunktion h(x) := f(x) g(x) g() g(b) g() (f(b) f()). Weil h() = f() = h(b) ist, gibt es nch dem Stz von Rolle ein c im Innern des Intervlls, so dss h (c) = 0 ist. Aber offensichtlich ist h (c) = f (c) Drus folgt die gewünschte Gleichung. g (c) (f(b) f()). g(b) g() Es ht sich ergeben, dss der Stz von Cuchy sogr äquivlent zum. Mittelwertstz ist! Sofort folgt nun 2.4. Der 2. Mittelwertstz der Differentilrechnung Es seien f und g uf I := [, b] stetig und im Innern von I differenzierbr. Außerdem sei g (x) 0 im Innern von I. Dnn gibt es einen Punkt c im Innern von I mit f (c) g (c) = f(b) f() g(b) g(). Beweis: Wäre g() = g(b), so müsste g (c) = 0 für mindestens ein c sein. Ds hben wir ber usgeschlossen. Also können wir in der Formel im Stz von Cuchy durch g(b) g() teilen. Als Anwendung us dem 2. Mittelwertstz ergibt sich: 2.5. Erste Regel von de l Hospitl (der Grenzwert 0/0 ) Die Funktionen f und g seien uf dem offenen Intervll I := (, b) differenzierbr, und es sei g (x) 0 für lle x I. Außerdem sei f (x) Wenn lim x + g (x) lim f(x) = lim g(x) = 0. x + x + f(x) existiert, dnn existiert uch lim x + g(x), und die beiden Grenzwerte sind gleich. Eine entsprechende Aussge gilt uch für den linksseitigen Grenzwert bei b. Beweis: Wir betrchten nur den Fll des rechtsseitigen Grenzwertes. Nch Vorussetzung knn mn f und g stetig nch (durch den Wert Null) fortsetzen. Nun

22 22 3 Differentil- und Integrlrechnung sei (x ν ) eine beliebige Folge von Zhlen mit < x ν < b und lim ν x ν = (nicht notwendig monoton). Nch dem 2. Mittelwertstz gibt es Zhlen c ν mit < c ν < x ν und f(x ν ) g(x ν ) = f(x ν) f() g(x ν ) g() = f (c ν ) g (c ν ). D uch lim ν c ν = ist, strebt der letzte Quotient nch Vorussetzung gegen lim x + f (x)/g (x). Aber dnn ist lim x + f(x)/g(x) = lim x + f (x)/g (x). Bemerkung: An Stelle der Annäherung n eine endliche Intervllgrenze knn mn uch den Fll x ± betrchten, es gelten nloge Aussgen Beispiele A. Sei f(x) := sin x und g(x) := x. D f(0) = g(0) = 0 ist und f (x)/g (x) = cos x für x 0 gegen strebt, ist uch lim x 0 sin(x)/x =. B. Sei f(x) := ln( x) und g(x) := x + cos x. Dnn gilt: f (x) g (x) = (x )( sin x) konvergiert für x 0 gegen. Aber trotzdem drf mn l Hospitl nicht nwenden, denn es ist zwr f(0) = 0, ber g(0) =. Ttsächlich ist lim x 0 f(x) g(x) = f(0) g(0) = Zweite Regel von de l Hospitl (der Grenzwert / ) Die Funktionen f und g seien uf dem offenen Intervll I := (, b) differenzierbr, und es sei g (x) 0 für lle x I. Außerdem sei f (x) Wenn lim x + g (x) lim g(x) = lim f(x) = +. x + x + f(x) =: c existiert, dnn existiert uch lim x + g(x), und die beiden Grenzwerte sind gleich. Eine entsprechende Aussge gilt für die Annäherung n b von links. Beweis: Mn würde erwrten, dss der Beweis nichts Neues bringt, ber die Schlussweise ist doch etws komplizierter ls bei der. Regel von de l Hospitl. Es sei ein ε > 0 vorgegeben, sowie ε := ε/(2 + c ). Dnn gibt es ein δ > 0, so dss gilt:

23 3.2 Der Mittelwertstz 23 f (x) g (x) c < ε für < x < + δ. Wegen lim x + g(x) = + knn mn ußerdem nnehmen, dss g(x) > 0 für < x < + δ ist. Wir wählen ein festes x 0 zwischen und + δ. Zu jedem x mit < x < x 0 gibt es nch dem Stz von Cuchy ein ξ = ξ(x) mit x < ξ < x 0 und g (ξ) (f(x) f(x 0 ) ) = f (ξ) (g(x) g(x 0 ) ). Weil g uf I nirgends verschwindet, knn mn durch g (ξ) teilen, und nschließend durch g(x). Dnn erhält mn: lso f(x) g(x) = f(x 0) g(x) + f (ξ) ( g (ξ) g(x 0) g(x) f(x) g(x) c = f(x ( 0) f g(x) + (ξ) ) ( g (ξ) c g(x ) 0) g(x) Ist x nhe genug bei, so ist f(x 0) g(x) Dnn folgt: ), < ε und g(x 0) < ε. g(x) f(x) g(x) c 2ε + c ε < ε für < x < x 0. Ds zeigt, dss lim f(x)/g(x) = c ist. x Beispiele c g(x 0) g(x). A. Wir wollen lim x 0+ x ln(x) berechnen. Dzu müssen wir x ln(x) zunächst ml ls Quotient schreiben: Es ist x ln(x) = ln(x) x, ln (x) lim ( ln(x)) = lim x 0+ x 0+ x = + und lim = lim x 0+ (x ) x = 0, x 0+ lso uch lim x 0+ x ln(x) = 0. B. Sei p(x) = k x k + + x + 0 ein Polynom vom Grd k, k > 0. Dnn ist p (x) = k k x k + + ein Polynom vom Grd k, p (x) ein Polynom vom Grd k 2, und schließlich p (k) (x) = k! k =: c eine Konstnte > 0. Jedes Polynom, dessen höchster Koeffizient positiv ist, strebt für x + gegen +, denn /x strebt für x gegen Null, und

24 24 3 Differentil- und Integrlrechnung x n + n x n + + x + 0 = x n( + n x + + x n+ + 0 x n) verhält sich deshlb für x wie x n. Auch sämtliche Ableitungen der Exponentilfunktion streben für x + gegen +. Mehrfche Anwendung von l Hospitl ergibt dher lim x e x p(x) = lim (e x ) x p (x) =... = lim (e x ) (k) x p (k) (x) = lim e x x c = +. Die Exponentilfunktion wächst stärker ls jedes Polynom! Dgegen gilt: ln(x) lim x p(x) = lim x x p (x) = 0. Die Logrithmusfunktion wächst lso schwächer ls jedes Polynom Erstes Hinreichendes Kriterium für Extremwerte Sei I ein Intervll, x 0 ein innerer Punkt von I, f : I R differenzierbr und f (x 0 ) = 0. Außerdem gebe es ein ε > 0, so dss f (x) 0 für x 0 ε < x < x 0 und f (x) 0 für x 0 < x < x 0 +ε ist. Dnn besitzt f in x 0 ein lokles Minimum. Ist f (x) 0 links von x 0 und 0 rechts von x 0, so liegt ein lokles Mximum vor. Beweis: Wir betrchten zunächst den Fll, dss f (x) 0 für x 0 ε < x < x 0 und 0 für x 0 < x < x 0 + ε ist. Anschulich: Links von x 0 ist die Richtung der Tngente n den Grphen von f negtiv (genuer: nicht positiv), rechts von x 0 wird sie positiv (genuer: nicht negtiv). Fssen wir den Grphen ls Wnderweg uf, so muss ein Wnderer zunächst bergb und nch x 0 wieder berguf lufen. Bei x 0 wird ein Tiefpunkt erreicht. Der formle Beweis ist fst noch einfcher. Aus dem Monotoniekriterium folgt nämlich, dss f uf [x 0 ε, x 0 ] monoton fällt und uf [x 0, x 0 + ε] monoton wächst. Ist lso x x 0 < ε und x < x 0, so muss uf jeden Fll f(x) f(x 0 ) sein. Ist x > x 0, so ist x 0 < x und wieder f(x 0 ) f(x). Ds bedeutet, dss f in x 0 ein lokles Minimum besitzt. Im zweiten Fll wird nlog rgumentiert Zweites Hinreichendes Kriterium für Extremwerte Sei I ein Intervll, x 0 ein innerer Punkt von I, f : I R einml differenzierbr und in x 0 zweiml differenzierbr. Außerdem sei f (x 0 ) = 0. Ist f (x 0 ) > 0, so besitzt f in x 0 ein isoliertes lokles Minimum. Ist f (x 0 ) < 0, so liegt ein isoliertes lokles Mximum vor.

25 3.2 Der Mittelwertstz 25 Beweis: Der Beweis wäre gnz einfch, wenn wir wüssten, dss f in einer gnzen Umgebung von x 0 zweiml differenzierbr und f in x 0 stetig ist. Wir schffen den Beweis ber uch unter unseren eingeschränkten Bedingungen. Dzu benutzen wir wieder einml die lterntive Beschreibung der Differenzierbrkeit, ngewndt uf die bgeleitete Funktion f : f (x) = f (x 0 ) + (x x 0 ) (x), mit einer in x 0 stetigen Funktion und (x 0 ) = f (x 0 ). Ist f (x 0 ) > 0, so gibt es eine Umgebung U = U ε (x 0 ) I, so dss > 0 uf U ist. Aber für x x 0 ist (x) = f (x) f (x 0 ) x x 0. Ist lso x < x 0, so muss f (x) < f (x 0 ) = 0 sein, und im Flle x > x 0 muss f (x) > f (x 0 ) = 0 sein. Dmit fällt f(x) streng monoton für x < x 0 und wächst streng monoton für x > x 0. Ds bedeutet, dss f in x 0 ein isoliertes Minimum besitzt. Im Flle des Mximums verläuft der Beweis nlog. Ws ist die nschuliche Bedeutung der zweiten Ableitung? Wir beschäftigen uns zunächst mit Krümmungen. Linkskrümmung (konvex) Rechtskrümmung (konkv) Im Flle einer Linkskrümmung verläuft der Funktionsgrph oberhlb der Tngente, im Flle einer Rechtskrümmung unterhlb. Ersetzt mn die Tngente durch eine dzu prllel verlufende Seknte, so verhält es sich genu umgekehrt. Definition Eine Funktion f : I R heißt uf I konvex, flls für lle x, x I mit x < x und lle t [x, x ] gilt: (t, f(t)) liegt unterhlb der Verbindungsstrecke von (x, f(x)) und (x, f(x )). Die Funktion f : I R heißt uf I strikt konvex, flls für lle x, x I mit x < x und lle t (x, x ) gilt: (t, f(t)) liegt echt unterhlb der Verbindungsstrecke von (x, f(x)) und (x, f(x )). Ersetzt mn unterhlb durch oberhlb, so bekommt mn die Begriffe konkv und strikt konkv.

26 26 3 Differentil- und Integrlrechnung s f x t x Die Verbindungsstrecke von (x, f(x)) und (x, f(x )) ist der Grph der ffin-lineren Funktion s : [x, x ] R mit s(t) = s(x, x ; t) := f(x) + (t x) f(x ) f(x). x x Dss (t, f(t)) unterhlb (bzw. echt unterhlb) der Strecke liegt, bedeutet, dss f(t) s(t) (bzw. f(t) < s(t)) ist. Für x < t x führen wir den Differenzenquotienten D(x, t) := f(t) f(x) t x ein. Dnn ist s(x, x ; t) = f(x) + (t x) D(x, x ). Offensichtlich gilt: 2.2. Hilfsstz Die folgenden Aussgen über eine Funktion f : I R sind äquivlent:. f ist konvex. 2. Für x, t, y I mit x < t < y ist D(x, t) D(x, y). Beweis: Es ist f(t) s(x, y; t) D(x, t) D(x, y) Konvexität und zweite Ableitung Ist f : I R zweiml differenzierbr, so ist f genu dnn uf I konvex, wenn dort f (x) 0 ist. Ist sogr f (x) > 0 uf gnz I, so ist f strikt konvex. Beweis: Dss f (x) 0 ist, ist gleichbedeutend dmit, dss f (x) monoton wchsend ist. ) Sei zunächst f monoton wchsend und x < t < y (in I). Nch dem Mittelwertstz gibt es Punkte c, d mit x < c < t < d < y, so dss D(x, t) = f (c) und D(t, y) = f (d) ist. Drus folgt die Ungleichung D(x, t) D(t, y), lso

27 3.2 Der Mittelwertstz 27 ( f(t) f(x) ) (y t) ( f(y) f(t) ) (t x). Addiert mn uf beiden Seiten den Term ( f(t) f(x) ) (t x), so folgt: ( f(t) f(x) ) (y x) ( f(y) f(x) ) (t x), lso D(x, t) D(x, y). Also ist f konvex. Wächst f sogr streng monoton, so ist D(x, t) < D(t, y) für lle x, t, y mit x < t < y, und es folgt, dss f strikt konvex ist. 2) Jetzt setzen wir die Konvexität vorus. Ist x < y, so wählen wir einen beliebigen Zwischenpunkt t mit x < t < y. Für lle x mit x < x < t ist D(x, x ) D(x, t). Lässt mn x gegen x gehen, so strebt D(x, x ) gegen f (x). Also ist f (x) D(x, t). Sei nun t < y < y. Wegen der Konvexität ist D(x, t) D(x, y ). Wir werden zeigen, dss D(x, y ) D(y, y) ist. Lässt mn dnn y gegen y gehen, so strebt D(y, y) gegen f (y), und mn erhält die Ungleichung D(x, t) f (y). Dmit folgt, dss f monoton wächst und f 0 ist. Aus der Ungleichung D(x, y ) D(x, y), die us der Konvexität folgt, ergibt sich: ( f(y ) f(x) ) (y x) ( f(y) f(x) ) (y x). Subtrhiert mn uf beiden Seiten den Term ( f(y ) f(x) ) (y x), so erhält mn ( f(y ) f(x) ) (y y ) ( f(y) f(y ) ) (y x), lso D(x, y ) D(y, y). Dmit ist lles gezeigt. Wir hben gelernt: Beschreibt der Grph von f eine Linkskurve, so ist f strikt konvex. In einer Rechtskurve ist f dgegen strikt konkv. Die Punkte, n denen der Grph von einer Rechtskurve in eine Linkskurve übergeht (oder umgekehrt) besitzen einen besonderen Nmen. Definition Sei f : I R zweiml differenzierbr und x 0 ein innerer Punkt von I. Wir sgen, f ht in x 0 einen Wendepunkt, flls es ein ε > 0 gibt, so dss f in U ε (x 0 ) uf der einen Seite von x 0 strikt konvex und uf der nderen strikt konkv ist. Leider werden Wendepunkte in der Litertur nicht einheitlich definiert. Wir hben hier eine sehr geometrische Beschreibung gewählt. Ist f links von x 0 strikt konvex und rechts von x 0 strikt konkv, so ist f (x) 0 für x < x 0 und f (x) 0 für x > x 0. Dnn wächst f monoton für x < x 0 und fällt monoton für x > x 0. Ds bedeutet, dss f in x 0 ein lokles Minimum besitzt. Geht dgegen f bei x 0 von einer konkven Phse in eine konvexe Phse über, so besitzt f dort ein lokles Mximum. In beiden Fällen erhlten wir:

28 28 3 Differentil- und Integrlrechnung Notwendiges Kriterium für Wendepunkte Sei f : I R zweiml differenzierbr und x 0 I ein innerer Punkt. Besitzt f in x 0 einen Wendepunkt, so ht f dort ein lokles Extremum, und es ist insbesondere f (x 0 ) = 0. Die Umkehrung stimmt nicht: Wenn f in x 0 ein Extremum besitzt, dnn knn x 0 z.b. ein Häufungspunkt einer gnzen Folge von Wendepunkten sein, ohne selbst ein Wendepunkt zu sein Hinreichendes Kriterium für Wendepunkte Sei f : I R zweiml differenzierbr und in einem inneren Punkt x 0 I ein drittes Ml differenzierbr. Ist f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) 0, so besitzt f in x 0 einen Wendepunkt. Beweis: Sei etw f (x 0 ) > 0. Wie im Beweis des 2. hinreichenden Kriteriums für Extremstellen folgt, dss f (x) < 0 für x < x 0 und f (x) > 0 für x > x 0 ist. Drus ergeben sich die gewünschten Konvexitätsussgen.

29 3.3 Integrle und Stmmfunktionen Integrle und Stmmfunktionen Sei f : I = [, b] R eine beschränkte (ber nsonsten beliebige) Funktion. Unter einer Zerlegung des Intervlls I = [, b] verstehen wir eine endliche Menge Z = {x 0, x,..., x n } I mit = x 0 < x <... < x n = b. Für i =,..., n sei m i = m i (f, Z) := inf{f(x) : x i x x i } und M i = M i (f, Z) := sup{f(x) : x i x x i }. Dmit knn mn die folgenden Größen definieren: Die Untersumme U(f, Z) := und die Obersumme O(f, Z) := n m i (x i x i ) i= n M i (x i x i ). Eine Zerlegung Z heißt feiner ls die Zerlegung Z, flls Z Z ist. Ds bedeutet, dss Z uf jeden Fll die Teilungspunkte von Z enthält, eventuell ber noch mehr. Zu zwei Zerlegungen Z, Z 2 gibt es immer eine gemeinsme Verfeinerung, die Zerlegung Z = Z Z 2. i= y Obersumme f Untersumme x x 2 x 3 x 4 x 5 b x 3.. Eigenschften von Ober- und Untersumme Unter den obigen Vorussetzungen sei noch m := inf I (f) und M := sup I (f). Dnn gilt:. m(b ) U(f, Z) O(f, Z) M(b ) für jede Zerlegung Z. 2. Ist Z eine Verfeinerung von Z, so ist U(f, Z) U(f, Z ) O(f, Z ) O(f, Z). 3. Sind Z, Z 2 zwei beliebige Zerlegungen von I, so ist U(f, Z ) O(f, Z 2 ). Beweis: ) ist klr, denn es ist stets m m i M i M.

30 30 3 Differentil- und Integrlrechnung 2) Sei Z = {x 0, x,..., x n }. Es reicht, den Fll Z = {x 0, x,..., x i, z, x i,..., x n } zu betrchten, mit x i < z < x i. Dnn sei m i := inf f und m i := inf f. [x i,z] [z,x i ] Offensichtlich ist m i min(m i, m i ), lso m i (x i x i ) m i(z x i )+m i (x i z). Drus folgt, dss U(f, Z) U(f, Z ) ist. Eine entsprechende Ungleichung (in der nderen Richtung) erhält mn für die Obersumme. 3) Sei Z eine gemeinsme Verfeinerung der zwei Zerlegungen Z und Z 2. Dnn folgt: U(f, Z ) U(f, Z) O(f, Z) O(f, Z 2 ). Ds sogennnte Unterintegrl I (f) := sup{u(f, Z) : Z Zerlegung von I} ist die beste Approximtion des Flächeninhltes von unten, und ds Oberintegrl I (f) := inf{o(f, Z) : Z Zerlegung von I} ist die beste Approximtion des Flächeninhltes von oben. Definition Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Ist I (f) = I (f), so nennen wir f integrierbr und den gemeinsmen Wert I,b (f) := I (f) = I (f). ds (bestimmte) Integrl von f über [, b]. Sehr oft benutzen wir uch ds klssische Integrlsymbol f(x) dx := I,b (f). Bemerkung: Mn bezeichnet ds hier eingeführte Integrl uch ls ds Riemnn (Drboux )Integrl. In Anlysis 2 werden wir ein weiteres, llgemeineres Integrl (ds Integrl von Lebesgue) einführen. Ist f(x) 0 uf dem gnzen Intervll, so können wir I,b (f) ls den Flächeninhlt des Gebietes zwischen der x-achse und dem Grphen von f uffssen. Nimmt f uch negtive Werte n, so ist I,b (f) die Differenz us dem Flächennteil oberhlb der x-achse und dem Flächennteil unter der x-achse. Speziell ist I, (f) = 0, und wenn > b ist, setzen wir I,b (f) := I b, (f).

31 3.3 Integrle und Stmmfunktionen Integrierbrkeit stetiger Funktionen Ist f : [, b] R stetig, so ist I (f) = I (f), lso f integrierbr. Beweis: Wir zeigen: Zu jedem ε > 0 gibt es eine Zerlegung Z ε = {x 0, x,..., x n }, so dss für i =,..., n gilt: Dnn ist nämlich M i (f, Z ε ) m i (f, Z ε ) < ε b. O(f, Z ε ) U(f, Z ε ) = n ( Mi (f, Z ε ) m i (f, Z ε ) ) (x i x i ) < ε i= und uch I (f) I (f) O(f, Z ε ) U(f, Z ε ) < ε. Weil ε beliebig klein gewählt werden knn, folgt der Stz. Es sei jetzt ein ε > 0 beliebig vorgegeben. Wie beweisen die Anfngsbehuptung. Als stetige Funktion uf einem bgeschlossenen Intervll ist f sogr gleichmäßig stetig. Dher gibt es ein δ > 0, so dss gilt: Für lle x, y [, b] mit x y < δ ist f(x) f(y) < ε/(b ). Jetzt sei Z ε = {x 0, x,..., x n } eine Zerlegung, bei der x i x i < δ für lle i gilt. Zu jedem i gibt es Punkte x i,u, x i,o [x i, x i ] mit f(x i,u ) = m i (f, Z ε ) und f(x i,o ) = M i (f, Z ε ). Weil x i,o x i,u < δ ist, folgt: Dmit ist lles bewiesen. M i (f, Z ε ) m i (f, Z ε ) = f(x i,o ) f(x i,u ) < ε b. Mn knn die Zhl I,b (f) uch noch uf nderem Wege berechnen. Definition Es sei Z = {x 0, x,..., x n } eine Zerlegung von I, und für jedes i sei ein Punkt ξ i [x i, x i ] gewählt. Wir fssen die ξ i zu einem Vektor ξ = (ξ,..., ξ n ) zusmmen. Dnn nennt mn n Σ(f, Z, ξ) := f(ξ i )(x i x i ) i= die Riemnn sche Summe von f zur Zerlegung Z und zur Whl ξ von Zwischenpunkten.

32 32 3 Differentil- und Integrlrechnung y Riemnn sche Summe f x x 2 x 3 x 4 x 5 b ξ ξ 2 ξ 3 ξ 4 ξ 5 ξ 6 x 3.3. Ds Integrl ls Grenzwert Riemnn scher Summen Sei f : [, b] R eine integrierbre Funktion. Dnn gibt es zu jedem ε > 0 eine Zerlegung Z 0, so dss für jede feinere Zerlegung Z und jede dzu pssende Whl von Zwischenpunkten ξ gilt: Σ(f, Z, ξ) I,b (f) < ε. Beweis: Weil I (f) = I (f) = I,b (f) ist, gibt es Folgen (Z n) und (Z n) von Zerlegungen, so dss die Untersummen U(f, Z n) monoton wchsend und die Obersummen O(f, Z n) monoton fllend gegen I,b (f) konvergieren. Ist ε > 0 vorgegeben, so gibt es ein n 0, so dss O(f, Z n) U(f, Z n) < ε für n n 0 ist. Sei Z 0 eine gemeinsme Verfeinerung von Z n 0 und Z n 0. Dnn gilt für jede feinere Zerlegung Z und jede dzu pssende Whl von Zwischenpunkten ξ:. O(f, Z) U(f, Z) O(f, Z n 0 ) U(f, Z n 0 ) < ε. 2. U(f, Z) Σ(f, Z, ξ) O(f, Z) (weil m i (f, Z) f(ξ i ) M i (f, Z) ist). Dnn ist ε < U(f, Z) O(f, Z) U(f, Z) I,b (f) Σ(f, Z, ξ) I,b Σ(f, Z, ξ) I,b O(f, Z) I,b (f) O(f, Z) U(f, Z) < ε. und 3.4. Beispiel Wir betrchten die Funktion f(x) = x 2 uf einem Intervll [, b] mit 0 < < b. Als Zerlegung wählen wir Z n := {, + δ n, + 2δ n,..., b}, mit δ n := (b )/n, ls Zwischenpunkte wählen wir ξ (n) i := + iδ n. Dnn ist n Σ(f, Z n, ξ (n) ) = ( + iδ n ) 2 δ n i= = 2 δ n n + 2δ 2 n n i + δn 3 i= = 2 (b ) + (b ) 2 n + n n i= i (b )3 (n + )(2n + ) n 2.

33 3.3 Integrle und Stmmfunktionen 33 Für n strebt dieser Ausdruck gegen f(x) dx = 2 b 3 + b b (b3 3b 2 + 3b 2 3 ) = 3 (b3 3 ). Im nächsten Kpitel werden wir lernen, wie ein solches Integrl viel leichter berechnet werden knn Elementre Eigenschften des Integrls Seien f, g : [, b] R integrierbr, λ R:. Ist c f(x) C, so ist c(b ) I,b (f) C(b ). 2. Ist f 0, so ist uch I,b (f) 0 (Monotonie des Integrls). 3. Ist < c < b, so ist I,c (f) + I c,b (f) = I,b (f). 4. Es ist I,b (λf) = λ I,b (f) und I,b (f + g) = I,b (f) + I,b (g) (Linerität des Integrls). Beweis: ) Sei Z 0 = {, b} die trivile Zerlegung von [, b]. Dnn ist c(b ) U(f, Z 0 ) I,b (f) O(f, Z 0 ) C(b ). 2) Ist f 0, so ist uch U(f, Z) 0 für jede Zerlegung Z, und dmit erst recht I,b (f) 0. 3) ist nschulich völlig klr. Im Detil rgumentiert mn folgendermßen: Zu jeder ntürlichen Zhl n knn mn Zerlegungen Z n von [, c] und Z n von [c, b] finden, so dss für die zugehörigen Riemnnschen Summen Σ n und Σ n (mit beliebigen Zwischenpunkten) gilt: Σ n I,c (f) < 3n, Σ n I c,b (f) < 3n Drus folgt: (I,c (f) + I c,b (f)) I,b (f) = und (Σ n + Σ n) I,b (f) < 3n. = (I,c (f) Σ n) + (I c,b (f) Σ n) + (Σ n + Σ n I,b (f)) I,c (f) Σ n + I c,b (f) Σ n + (Σ n + Σ n) I,b (f) < /3n + /3n + /3n = /n. Weil ds für jedes n gilt, ist I,b (f) = I,c (f) + I c,b (f). 4) Es ist Σ(λf, Z, ξ) = λ Σ(f, Z, ξ) und Σ(f + g, Z, ξ) = Σ(f, Z, ξ) + Σ(g, Z, ξ). Drus folgt die Linerität.

34 34 3 Differentil- und Integrlrechnung Eine Funktion f : [, b] R heißt stückweise stetig, flls es eine Zerlegung Z f = {x 0,..., x n } von [, b] gibt, so dss gilt:. f ist uf jedem offenen Teilintervll (x i, x i ) stetig. 2. Es existieren die einseitigen Grenzwerte f(+) und f(b ). 3. Für i =,..., n existieren die einseitigen Grenzwerte f(x i ) und f(x i +). Ist ein ε > 0 vorgegeben, so gibt es eine Zerlegung Z 0, die feiner ls Z f ist, so dss für jede noch feinere Zerlegung Z von [, b] gilt: Ist Z i die Einschränkung von Z uf [x i, x i ], so ist O(f, Z i ) U(f, Z i ) < ε/n (denn f [xi,x i ] ist j jeweils integrierbr). Aber dnn ist O(f, Z) U(f, Z) < ε. Ds bedeutet, dss f integrierbr ist, und ntürlich ist n xi f(x) dx = f(x) dx. x i i= 3.6. Der. und 2. Mittelwertstz der Integrlrechnung. Die Funktion f sei stetig über [, b]. Dnn gibt es ein c [, b] mit f(x) dx = f(c) (b ). 2. Sind f, p : [, b] R stetig, p 0, so gibt es ein c [, b] mit f(x)p(x) dx = f(c) p(x) dx. Beweis: Die erste Aussge folgt sofort us der zweiten, wenn mn p(x) einsetzt. Wir bruchen lso nur die zweite Aussge zu beweisen: Die stetige Funktion f nimmt uf [, b] ein globles Minimum m und ein globles Mximum M n. Dnn ist m f(x) M uf [, b] und dher m p(x) f(x)p(x) M p(x) uf [, b]. Wegen der Linerität und der Monotonie des Integrls ist dnn uch m p(x) dx f(x)p(x) dx M p(x) dx. Durch F (x) := f(x) p(t) dt wird nun eine stetige Funktion F : [, b] R definiert, die die Werte m p(t) dt und M p(t) dt in [, b] nnimmt. Nch