1 Ergänzungen zur Differentialrechnung

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1 $Id: nlytisch.te,v /04/13 11:01:11 hk Ep $ 1 Ergänzungen zur Differentilrechnung Dieses einleitende Kpitel wollen wir verwenden um den Anschluss n ds vorige Semester herzustellen. Eine direkte Wiederholung soll es hier nicht geben, nstelle dessen besprechen wir einige weitere Anwendungen der eindimensionlen Differentilrechnung. Zuerst wollen wir n den Mittelwertstz erinnern. Bei diesem wr eine stetige Funktion f : [, b] R gegeben, die im Inneren (, b) des Intervlls differenzierbr ist. Der Mittelwertstz besgte dnn, dss es stets eine Stelle ξ (, b) gibt n der die Steigung der Tngente in ξ gleich der Sekntensteigung zwischen und b ist. Aus diesem Stz folgte dnn beispielsweise die Kennzeichnung der Monotonie von Funktionen über ds Vorzeichen ihrer Ableitung und ds hinreichende Kriterium für lokle Etrem. Eine weitere Anwendung, die für uns in diesem Semester noch wichtig werden wird, ist ds folgende Lemm. Lemm 1.1 (Kennzeichnung konstnter Funktionen) Seien I R ein Intervll und f : I R eine stetige Funktion, die im Inneren I des Intervlls differenzierbr ist. Dnn ist f genu dnn konstnt wenn f () = 0 für jedes I gilt. Beweis: = Klr. = Seien, y I mit < y. Dnn ist f in (, y) I differenzierbr, lso gibt es nch dem Mittelwertstz I. 14.Stz 10 ein ξ (, b) mit f(y) f() = f (ξ) (y ) = 0, und somit ist f() = f(y). Dmit ist die Funktion f konstnt. ξ b Schon us diesem einfchen Lemm lssen sich leicht komplizierter erscheinende Aussgen herleiten. Wir htten beispielsweise gesehen, dss die Eponentilfunktion gleich ihrer eigenen Ableitung ist, und können uns jetzt frgen ob es noch mehr Funktionen mit dieser Eigenschft gibt. Trivilerweise gibt es ntürlich die Vielfchen der Eponentilfunktion und wir wollen einsehen, dss diese die einzigen Beispiele sind. Etws llgemeiner frgen wir gleich nch Funktionen f, deren Ableitung ein Vielfches f = λ f von f ist, lso etw f() = Ce λ mit C R. Wir behupten: Sind I R ein Intervll und f : I R eine differenzierbre Funktion mit f = λ f für eine λ R, so eistiert eine Konstnte C R mit f() = 1-1

2 C e λ für lle I. Um dies einzusehen, betrchten wir die ebenflls differenzierbre Hilfsfunktion h() := f()e λ für I. Als Ableitung ergibt sich h () = f ()e λ λf()e λ = 0 für lle I, die Funktion h ist lso konstnt, etw h() = C für lle I. Es folgt f() = Ce λ für jedes I. 1.1 Konvee und konkve Funktionen Wir wollen im nun folgenden Abschnitt eine weitere wichtige Klsse reeller Funktionen einführen und untersuchen, die sogennnten konveen beziehungsweise konkven Funktionen. An diesem Them knn mn uch schön die Anwendung unserer bisherigen Ergebnisse über differenzierbre Funktionen sehen. Insbesondere wird die Kennzeichnung monotoner Funktionen durch ihre Ableitung eine wichtige Rolle spielen. Definition 1.1: Seien I R ein Intervll und f : I R eine Funktion. Wir nennen die Funktion f () konve, wenn für lle, y I mit < y und lle t [0, 1] stets gilt. f((1 t) + ty) (1 t)f() + tf(y) (b) strikt konve, wenn für lle, y I mit < y und lle t [0, 1] stets gilt. f((1 t) + ty) < (1 t)f() + tf(y) (c) konkv, wenn für lle, y I mit < y und lle t [0, 1] stets gilt. f((1 t) + ty) (1 t)f() + tf(y) (d) strikt konkv, wenn für lle, y I mit < y und lle t [0, 1] stets gilt. f((1 t) + ty) > (1 t)f() + tf(y) Bechte ds in der Definition einer konveen beziehungsweise konkven Funktion die frgliche Ungleichung im Fll t = 0 und t = 1 immer erfüllt ist, wir können uns lso uch dort stets uf den Fll 0 < t < 1 beschränken. Auch uf die Bedingung < b knn verzichtet werden. Für = b sind unsere Ungleichungen trivilerweise erfüllt und für b können wir und b durch Übergng von t zu 1 t vertuschen. Bei der Definition einer strikt konveen beziehungsweise strikt konkven Funktion brucht mn dnn entsprechend nur die Bedingung b. 1-2

3 Wir wollen uns zunächst einml klrmchen ws die Konveitätsbedingung nschulich bedeutet. Seien, b I mit < b (1 t)f()+tf(b) im Definitionsbereich der Funktion f und sei t (0, 1). Dnn ist ξ = (1 t) + tb ein Punkt zwischen und b, wenn t von t = 0 bis t = 1 läuft, so durchläuft ξ die Werte zwischen ξ b f( ξ ) = f((1 t)+tb) ξ = und ξ = b. Weiter schuen wir uns die Verbindungsstrecke der beiden Punkte (, f()) und (b, f(b)) n. Der Punkt uf dieser Strecke mit -Koordinte ξ ist ( f() ) ( +t b f(b) f() ) ( = (1 t) + tb (1 t)f() + tf(b) ) ( = ξ (1 t)f() + tf(b) d.h. (1 t)f()+tf(b) ist die y-koordinte dieses Punktes. Dss f konve ist, bedeutet lso genu dss der Grph von f unterhlb der Seknte zwischen je zwei Punkten uf diesem Grphen liegt. Für konkke Funktionen muss der Grph entsprechend oberhlb verlufen. Bechte ds f offenbr genu dnn konkv beziehungsweise strikt konkv ist, wenn f konve beziehungsweise strikt konve ist. Dher können wir uns im folgenden meist uf konvee Funktionen beschränken und die entsprechenden Aussgen gelten dnn entsprechend uch für konkve Funktionen. Wir gehen jetzt einige Beispiele durch. 1. Für lle, b R ist die linere Funktion f : R R; + b konve und konkv. Mit der obigen geometrischen Interprettion ist dies klr, wir können es ber uch direkt nchrechnen. Sind, y R mit < y und 0 t 1, so ist f((1 t)+ty) = (1 t)+ty+b = (1 t)(+b)+t(y+b) = (1 t)f()+tf(y). 2. Sind, b, c R mit > 0, so ist die qudrtische Funktion f : R R; 2 + b + c strikt konve. Um dies einzusehen seien wieder, y R mit < y und t (0, 1) gegeben. Dnn sind f((1 t) + ty) = [ (1 t) t 2 y 2 + 2t(1 t)y ] + (1 t)b + tby + c, (1 t)f() + tf(y) = [ (1 t) 2 + ty 2] + (1 t)b + tby + c, es ist lso (1 t)f()+tf(y) f((1 t)+ty) = t(1 t) ( 2 +y 2 2y) = t(1 t)( y) 2 > 0. ), 3. Durch Übergng zur negtiven Funktion folgt ds für lle, b, c R mit < 0 die qudrtische Funktion f : R R; 2 + b + c strikt konkv ist. 4. Die Betrgsfunktion f : R R; ist konve. Seien nämlich wieder, y, t R mit < y und 0 < t < 1 gegeben. Dnn ist f((1 t) + ty) = (1 t) + ty (1 t) + t y = (1 t)f() + tf(y). 1-3

4 Einige Umformulierungen der Konveitätsdefinition sind gelegentlich nützlich. Seien wieder I R ein Intervll und f : I R eine Funktion. Seien, b I mit < b gegeben. Sei ξ (, b) zwischen und b. Dnn können wir ξ = (1 t)+tb = +t(b ) für ein t (0, 1) schreiben, eplizit ist t = (ξ )/(b ), lso uch 1 t = (b ξ)/(b ). Dmit wird (1 t)f() + tf(b) = (b ξ)f() + (ξ )f(b) b und die Konveitätsbedingung schreibt sich ls (b )f(ξ) (b ξ)f() + (ξ )f(b). = bf() f(b) + ξ(f(b) f()), b Dies können wir noch etws weiter umformulieren, wegen b = (b ξ) + (ξ ), ist die obige Abschätzung weiter äquivlent zu (b ξ)(f(ξ) f()) (ξ )(f(b) f(ξ)), beziehungsweise Insgesmt hben wir dmit f(ξ) f() ξ f(b) f(ξ). b ξ f konve (, b I, < b) (ξ (, b)) : (b )f(ξ) (b ξ)f() + (ξ )f(b) f(ξ) f() f(b) f(ξ) (, b I, < b) (ξ (, b)) :. ξ b ξ Entsprechend hben wir uch äquivlente Beschreibungen der strikten Konveität von f indem wir durch < ersetzen und um uch konkve Funktionen zu behndeln müssen wir die Ungleichungen umdrehen. f() f() ξ b b c d Die untenstehende Ungleichung drückt die Konveität der Funktion f durch ds Verhlten von Sekntensteigungen, lso von Differenzenquotienten, der Funktion f us. Dies ist im oben links stehenden Bild gezeigt, die Steigung ufeinnderfolgender Seknten wird größer. Durch Verwendung der im rechten Bild gepunktet eingezeichneten Hilfsseknte, sehen wir ds dies uch uf nicht direkt ufeinnderfolgende Sekntensteigungen zutrifft. Anlog können wir uch Sekntensteigungen mit gleichem Strtpunkt behndeln. Seien wieder I R ein Intervll, f : I R eine Funktion und, b, c I mit < b < c. Wie schon gesehen ist f genu dnn konve wenn für lle solchen, b, c stets (c )f(b) (c b)f() + (b )f(c) 1-4

5 gilt. Schreiben wir hier c b = (c ) (b ) beziehungsweise b = (c ) (c b), so wird diese Ungleichung zu (c )(f(b) f()) (b )(f(c) f()) beziehungsweise (c b)(f(c) f()) (c )(f(c) f(b)), und dies können wir noch zur folgenden Ungleichung zwischen Differenzenquotienten f(b) f() b f(c) f() c beziehungsweise f(c) f() c f(c) f(b) c b umschreiben. Diese Rechnungen ergeben dmit insgesmt die folgenden Umformulierungen des Konveitätsbegriffs f ist konve f(b) f() f(c) f() (, b, c I, < b < c) : b c f(c) f() f(c) f(b) (, b, c I, < b < c) :. c c b Wollen wir entsprechend strikt konvee Funktionen kennzeichnen, so muss wieder durch < ersetzt werden, und für die entsprechenden Aussgen über konkve Funktionen müssen die Ungleichungen umgedreht werden. b c b c Mn bezeichnet die eben hergeleitete Eigenschft konveer Funktionen uch ls die Monotonie des Differenzenquotienten, denn wir können unsere Aussgen so zusmmenfssen, ds die Funktion D : I\{} R; f() f() für jedes I monoton steigend ist, wenn f konve ist. Um jetzt weiterzukommen, benötigen wir ein kleines Lemm über Grenzwerte monotoner Funktionen, dieses ist ähnlich zum Stz I. 6.Stz 3 über Grenzwerte monotoner Folgen. In der Vorlesung hben wir dieses nur für den Fll monoton steigender Funktionen ngegeben und uf einen Beweis verzichtet, hier wollen ds Lemm vollständig behndeln. Lemm 1.2 (Grenzwerte monotoner Funktionen) Seien I R ein Intervll, f : I R eine monotone Funktion und R ein Häufungspunkt von I. Dnn gelten: 1-5

6 () Ist ein rechtsseitiger Häufungspunkt von I, so eistiert der Grenzwert lim f() in R und zwr ist { inf{f() I, > } R { }, f ist monoton steigend, lim f() = sup{f() I, > } R {+ }, f ist monoton fllend. (b) Ist ein linksseitiger Häufungspunkt von I, so eistiert der Grenzwert lim f() in R und zwr ist { sup{f() I, > } R {+ }, f ist monoton steigend, lim f() = inf{f() I, > } R { }, f ist monoton fllend. (c) Ist I, so ist wenn f monoton steigend ist und wenn f monoton fllend ist. lim f() lim f() lim f() lim f() Beweis: Wir beweisen die Aussge wenn f monoton steigend ist, der Beweis für monoton fllende Funktionen ist nlog. () Setze s := inf{f() I, > } R { }. Sei ( n ) n N eine gegen konvergente Folge in I mit n > für lle n N. Wir müssen zeigen, dss dnn uch (f( n )) n N s gilt. Zunächst ist zumindest f( n ) s für jedes n N. Sei b R mit b > s. Nch Definition von s eistiert dnn ein I mit > und f() < b. Wegen ( n ) n N eistiert weiter ein n 0 N mit n < für lle n N mit n n 0 und für jedes n N mit n n 0 ist dmit uch f( n ) f() < b. Dies beweist (f( n )) n N s und () ist gezeigt. (b) Dies ist nlog zum Beweis von (). (c) Sei b I mit b >. Für jedes I mit < ist dnn uch < b, lso f() f(b) und somit hben wir lim f() f(b) nch (b). Mit () folgt hierus weiter lim f() lim f(). Dmit hben wir lles beismmen den Huptstz über konvee und konkve Funktionen zu beweisen. Zuvor wollen wir ber noch kurz die verwendete Sprechweise erläutern. Schon in I. 14 htten wir links- und rechtsseitige Ableitungen eingeführt. In Erweiterung der dort gegebenen Definition sprechen wir im folgenden Stz uch von linksund rechtsseitigen Ableitungen in R, dies meint ds der jeweilige Grenzwert der Differenzenquotienten in R interpretiert werden soll, lso uch ± ls Wert zugelssen wird. Wir sprechen ber weiterhin nur dnn von links- beziehungsweise rechtsseitiger Differenzierbrkeit wenn die entsprechende Ableitung reell ist. 1-6

7 Stz 1.3 (Huptstz über konvee Funktionen) Seien I R ein Intervll und f : I R eine konvee Funktion. () Sei I mit inf I. Dnn eistiert die rechtsseitige Ableitung f +() R { } in R. Ist f +(), so ist lim f() = f() und für lle I mit gilt f() f() + f +() ( ). Ist die Funktion f sogr strikt konve, so gilt f() > f() + f +() ( ) für lle I mit >. (b) Sei I mit sup I. Dnn eistiert die linksseitige Ableitung f () R {+ } in R. Ist f () +, so ist lim f() = f() und für lle I mit gilt f() f() + f () ( ). Ist die Funktion f sogr strikt konve, so gilt f() > f() + f () ( ) für lle I mit >. (c) Sind, b I mit < b, so ist f +() f (b), und ist f sogr strikt konve so ist f +() < f (b). (d) Ist I, so ist f in stetig sowie links- und rechtsseitig differenzierbr und es gilt f () f +(). Beweis: () Die Monotonie der Differenzenquotienten der Funktion f und Lemm 2.() ergeben die Eistenz der rechtsseitigen Ableitung { } f +() f() f() f() f() = lim = inf I, > R { }. Wir nehmen jetzt f +() n. Dnn ist die Funktion f in rechtsseitig differenzierbr und nch I. 14.Lemm 3 ist f in uch rechtsseitig stetig, d.h. es gilt lim f() = f(). Sei I mit >. Dnn ist f +() f() f() = f() f() + f +() ( ). Nehme schließlich zusätzlich n, dss f sogr strikt konve ist. Wähle dnn ein I mit < <. Dnn folgt mit der strengen Monotonie der Differenzenquotienten f +() f( ) f() < f() f(), lso uch f() > f() + f +() ( ). (b) Anlog zu (), wobei diesml { } f() f() f () = sup I, < R {+ } 1-7

8 gilt. (c) Wähle ein ξ (, b). Mit (,b) folgt dnn f +() f(ξ) f() ξ f(b) f(ξ) b ξ = f(ξ) f(b) ξ b f (b), und ist f strikt konve, so gilt in der mittleren Ungleichung sogr < sttt. (d) Nch Lemm 2.(c) gilt < f () = lim f() f() lim f() f() = f +() < + und insbesondere sind f () + und f +(). Dmit ist f in links- und rechtsseitig differenzierbr und nch (,b) gelten uch lim f() = lim f() = f(), d.h. die Funktion f ist nch I. 13.Lemm 8.(e) in stetig. Wir wollen noch ein pr Anmerkungen zum eben bewiesenen Stz mchen. Der Stz sgt unter nderem, dss eine konvee Funktion in jedem inneren Punkt ihres Definitionsintervlls stetig ist, dies trifft ttsächlich nicht mehr uf eventuelle Rndpunkte des Intervlls zu. Beispielsweise ist die nebenstehend gezeigte Funktion f : [0, 1] R; { 1, = 0 oder = 1, 0, (0, 1) f() offenbr konve ber in den beiden Rndpunkten nicht stetig. In R hben wir hier f +(0) = lim 0 f() f(0) ( = lim 1 ) =, 0 und nlog folgt f (1) = +. Weiter zeigt der Stz ds eine konvee Funktion utomtisch recht strke Differenzierbrkeitseigenschften ht, ußerhlb der Rndpunkte gibt es immer links- und rechtsseitige Ableitungen. Die Funktion muss in inneren Punkten ber nicht unbedingt differenzierbr sein, letzteres ist nch I. 14.Lemm 7 gleichwertig zu f () = f +(), es knn ber durchus f () < f +() sein. Ist beispielsweise f die Betrgsfunktion, von der wir j bereits eingngs gesehen hben ds sie konve ist, so hben wir f (0) = 1 und f +(0) = 1, in = 0 liegt lso keine Differenzierbrkeit vor. Auch die Abschätzungen in den Aussgen () und (b) des Stzes lssen sich noch geometrisch interpretieren. 1-8

9 f() f() y=f()+f ()( ) b Wir betrchten wieder einen inneren Punkt. Ds linke Bild zeigt uns dnn die Bedeutung der Ungleichung f() f() + f +() ( ) für, die rechte Seite ist gerde die rechtsseitige Tngente n den Grphen von f im Punkt (, f()), die Aussge ist lso ds die Funktion oberhlb dieser Tngente verläuft. Weiter ist f +() ds Infimum der Steigungen ller mit strtenden Seknten, lle ist die Steigung f +() der rechtsseitigen Tngente kleiner ls ll diese Sekntensteigungen, wie uch im rechten Bild gezeigt. Anloges gilt für die linksseitige Tngente. Ist die Funktion in sogr differenzierbr, so hben wir eine Tngente und die Funktion verläuft dnn gnz oberhlb dieser Tngente. Wie bemerkt gelten für konkve Funktionen dnn nloge Aussgen, dies werden wir bei Bedrf uch ohne weitere Begründungen verwenden. Wir wollen uns jetzt ein rechnerisch oft bequem hndhbbres Kriterium für die Konveität einer gegebenen Funktion herleiten. In unseren einleitenden Beispielen wr der Nchweis der definierenden Konveitätsbedingung j teilweise etws mühsm. Diese Kriterien werden zwr nur uf usreichend differenzierbre Funktionen nwendbr sein, dies reicht ber zur Behndlung vieler wichtiger Beispiele völlig us. Korollr 1.4 (Konveität und Monotonie der Ableitung) Seien I R ein Intervll und f : I R eine stetige Funktion die im Inneren I des Intervlls differenzierbr ist. Dnn ist f genu dnn konve wenn die Ableitung f : I R monoton steigend ist und genu dnn ist f strikt konve wenn f streng monoton steigend ist. Beweis: = Dies ist klr nch Stz 3.(c). = Sei f ls monoton steigend vorusgesetzt. Seien, b I mit < b und ξ (, b) gegeben. Nch dem Mittelwertstz I. 14.Stz 10 gibt es η (, ξ) und η + (ξ, b) mit f(ξ) f() ξ = f (η ) und f(b) f(ξ) b ξ Dnn ist uch η < η + und die Monotonie von f ergibt f(ξ) f() ξ = f (η ) f (η + ) = = f (η + ). f(b) f(ξ). b ξ Ist f sogr streng monoton steigend, so gilt f (η ) < f (η + ) und wir hben oben sogr eine echte Ungleichung. Dies zeigt ds f konve, beziehungsweise im streng monoton steigenden Fll sogr strikt konve, ist. 1-9

10 Kombinieren wir dies noch mit der Kennzeichung monotoner Funktionen durch ihre Ableitung, so folgt Korollr 1.5 (Kriterium für konvee Funktionen) Seien I R ein Intervll und f : I R eine stetige, in I zweifch differenzierbre, Funktion. Dnn gelten: () Genu dnn ist f konve wenn f () 0 für lle I gilt. (b) Gilt f () > 0 für lle I, so ist f strikt konve. Beweis: Klr nch Korollr 4 und I. 14.Korollr 11. Wie schon im letzten Semester festgehlten reicht es in Teil (b) in Whrheit schon ds f () > 0 für lle I bis uf isolierte Ausnhmepunkte gilt. Außerdem hben wir uch ein entsprechendes Kriterium für konkve Funktionen, diese sind durch f () 0 für lle I gekennzeichnet. Mit dem eben bewiesenen Kriterium ist es jetzt leicht weitere Beispiele konveer funktionen zu finden. 1. Die Eponentilfunktion ep : R R ist strikt konve. Dies ist klr, d für jedes R stets ep () = ep() > 0 gilt. Als eine kleine Anwendung dieser Beobchtung betrchte die Tngente in = 0. Wegen ep (0) = ep(0) = 1 ist diese ls + 1 gegeben, und dmit folgt für lle R mit 0 stets e > + 1. Ds knn mn ntürlich uch direkt einsehen. 2. Nun sei R mit > 0 und betrchten die Funktion f : R R;. Dnn sind f () = ln() und f () = ln 2 () für jedes R, d.h. die Funktion f ist konve und für 1 sogr strikt konve. 3. Nun sei n N und wir betrchten die Potenzfunktion f : R R; n. Die Fälle n = 0, 1, 2 kennen wir dbei bereits und können somit n 3 nnehmen. Für jedes R sind f () = n n 1 und f () = n(n 1) n 2. Ist n gerde, so ist f lso strikt konve und ist n ungerde, so ist f in [0, ) strikt konve und in (, 0] strikt konkv. 4. Nun sei R und wir betrchten f : R >0 R;. Für > 0 hben wir f () = 1 und f () = ( 1) 2. Je nch Wert von treten verschiedene Fälle uf. Ist > 1 oder < 0 so ist f strikt konve und ist 0 < < 1 so ist f strikt konkv. Ist = 0, so ist f konstnt und ist = 1 so ist f liner, lso ist f in diesen beiden Fällen konve und konkv. 5. Als letztes Beispiel betrchten wir den Logrithmus ln : R >0 R. Für lle > 0 ist dnn f () = 1/ und f () = 1/ 2 < 0, lso ist der Logrithmus strikt konkv. 1-10

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