$Id: integral.tex,v /05/15 15:03:49 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/16 13:37:14 hk Exp $

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1 $Id: integrl.te,v.3 24/5/5 5:3:49 hk Ep $ $Id: uneigentlich.te,v. 24/5/6 3:37:4 hk Ep $ 2 Integrlrechnung 2.5 Ergänzungen Wir sind jetzt m Ende des Kpitels über ds Riemn-Integrl im eigentlichen Sinne ngelngt, und ls llerletzte Aussge wollen wir eine Vrinte der Tylor Formel I. 2.Stz 6 herleiten in der eine Integrldrstellung des Fehlerterms ngegeben wird. Der hier bewiesene Stz benötigt etws stärkere Vorussetzungen ls die Version us dem ersten Semester, dmls htten wir nur gefordert ds die Funktion f mindestens (n+)-ml differenzierbr ist, jetzt bruchen wir zusätzlich ds die (n+)-te Ableitung uch noch stetig ist. Stz 2.2 (Tylorpolynom mit Integrldrstellung des Fehlers) Seien I R ein Intervll, n N, I und f : I R eine (n + )-fch stetig differenzierbre Funktion. Dnn gilt für jedes I die Tylor Formel f() = n k= f (k) () ( ) k + k! f (n+) (t) ( t) n dt. Beweis: Wir beweisen diese Formel durch Induktion nch n. Im Induktionsnfng n = hben wir nch Korollr f() f() = f (t) dt, lso f() = f() + f (t) dt, und die Aussge ist für n = bewiesen. Nun sei n N mit n und f() = n k= f (k) () ( ) k + k! (n )! f (n) (t) ( t) n dt für lle I. Mit prtieller Integrtion erhlten wir für jedes I (n )! f (n) (t) ( t) n dt = f (n) (t)( t) n + = f (n) () ( ) n + 9- f (n+) (t) ( t) n dt f (n+) (t) ( t) n dt

2 und dies ergibt f() = n k= f (k) () k! ( ) k + f (n) () ( ) n + n = k= f (k) () ( ) k + k! Dmit ist der Stz mit vollständiger Induktion bewiesen. f (n+) (t) ( t) n dt f (n+) (t) ( t) n dt. Mit dieser Integrlform der Tylorformel können wir mit Hilfe des Mittelwertstzes der Integrlrechnung uch den Lgrngeschen Fehlerterm us dem ersten Semester zurückgewinnen. In der Sitution der Tylorformel gibt es nämlich nch Stz 2.(b) stets ein ξ zwischen und mit f (n+) (t) ( t) n dt = f (n+) (ξ) ( t) n dt = f (n+) (ξ) (n + )! ( )n+, und dies ist gerde die Fehlerdrstellung us I. 2.Stz 6. Wir wollen uns zum Abschluß ein Beispiel nschuen in dem sich die Integrldrstellung des Approimtionsfehlers der Tylorentwicklung besser behndeln läßt ls die Lgrngesche Fehlerformel. Wir betrchten den ntürlichen Logrithmus und verwenden = ls Entwicklungspunkt. In Aufgbe (6) hben wir bereits für lle n N mit n und jedes > die Ableitung ln (n) n (n )! = ( ) n berechnet und gesehen ds ds n-te Tylorpolynom im Entwicklungspunkt = ls n ( ) k T n () = ( ) k k k= gegeben ist. Die Tylorformel mit Lgrngeschen Restglied I. 2.Stz 6 liefert für > und n N mit n ein ξ zwischen und mit ln = T n () + ( )n ( )n+ (n + )ξn+ und im Fll 2 zeigt diese Abschätzung uch (T n ()) n N ln. Für < < ist dgegen /ξ > und wir können den Fehler nicht mehr usreichend genu bschätzen. In Aufgbe (6) hben wir gesehen wie mn dieses Problem umgehen knn, wir wollen uns jetzt ber uch noch dvon überzeugen, dss es bei der Integrldrstellung des Approimtionsfehlers us Stz 2 gr nicht uftritt. Sei lso ein < < gegeben. Sei n N mit n. Dnn ist ln = T n () + ( ) n ( t) n ( dt = T t n+ n () ) n dt. t t 9-2

3 Substituieren wir im rechts stehenden Integrl s = t ds lso dt = t = ds = 2 t dt t dt = ( s)dt, d.h. t t = so wird ( ) n s n dt = t t s ds. Nun ist für jedes s < stets s >, lso s n s ds s n ds = ( )n+ < n + und wir hben Insbesondere ist für < < uch ln T n () < ln = lim n T n () = n +. ( ) n ( ) n. n n= ds s, (n + ) 3 Uneigentliche Integrle Riemn-Integrierbrkeit und ds Riemn-Integrl wurden in 2 nur für beschränkte Funktionen definiert die ihrerseits uf Intervllen der Form [, b] definiert sind. Durch einen weiteren Grenzübergng können wir dies nun uch uf unbeschränkte Funktionen und unbeschränkte Intervlle usdehnen. Für die ekte Definition sind einige Fälle zu unterscheiden. Definition 3. (An einer Grenze uneigentliche Riemn-Integrle) Seien R, b R mit < b und f : [, b) R eine Funktion die über jedes Intervll [, ] mit R, < < b Riemn-integrierbr ist. Gibt es dnn den Grenzwert c := f(t) dt := lim b f(t) dt R in R, so wird dieser ls ds uneigentliche Riemn-Integrl von f über [, b) bezeichnet. Ist dbei c R, so nennen wir die Funktion f über [, b) uneigentlich Riemnintegrierbr. Für Funktionen f : (, b] mit R, b R, < b werden diese Begriffe nlog definiert. Wie in 2 sprechen wir uch verkürzend vom uneigentlichen Integrl sttt vom uneigentlichen Riemn-Integrl und von uneigentlicher Integrierbrkeit nstelle von uneigentlicher Riemn-Integrierbrkeit. Noch kürzer bezeichnet mn mnchml uch einfch f(t) dt ls konvergent. Wir wollen ein erstes einfches Beispiel besprechen. 9-3

4 Nehmen wir etw ds Integrl e d. Gemäß der Definition müssen wir erst einml die bestimmten Integrle e t dt bilden, und dnn den Grenzwert usrechnen. In diesem Beispiel ist dies beides leicht möglich. Für jedes > ist zunächst e t dt = e t = e, und beispielsweise nch I..Stz 2.(c) ist lim e =, lso e d = lim e t dt = lim ( e ) = lim e =. Mn knn dieses Ergebnis so interpretieren, dss die oben eingezeichnete sich über die gnze positive -Achse erstreckende Fläche, die endliche Gesmtfläche ht. Diese geometrische Betrchtungsweise ist in Anwendungen ber eher selten von Nutzen. Wir wollen noch einige weitere Beispiele uneigentlicher Integrle besprechen, und beginnen mit dem Integrl d α für beliebige Eponenten α R. Wir wollen wissen wnn dieses Integrl konvergiert. Für jedes hben wir nun dt t = α α t α = ( ) α α für α und dt t = ln für α =. Ws nun heruskommt hängt vom Wert von α b. Ist α <, so hben wir α > und ( ) lim α ( = lim α ) =. α α Im Fll α = ist lim ln =. Ist schließlich α >, lso α >, so ist lim α = = lim = α 9-4

5 und somit Diese Rechnung zeigt lim ( ) α = α α. { d =, α >, α α, α, und insbesondere konvergiert ds uneigentliche Integrl genu dnn wenn α > ist. Als ein weiteres Beispiel betrchte d α mit einem Eponenten α R. Ist dbei α, so ist einfch d = α d = α α α = α ein gnz normles Riemn Integrl. Nun kommen wir zum Fll α >. Für jedes < < ist dnn dt t = α α t α = ( ) α α im Fll α und im Fll α =. Ist α <, so ist lim α ( α dt t = ln ) α = lim α = α. Im Fll α = ist lim ( ln ) = und für α > hben wir ( lim ) =. α α Dmit ist { d =, α <, α α, α. Ntürlich knn es uch pssieren, ds es überhupt keinen Grenzwert f() d gibt, etw bei cos d. Mn spricht dnn mnchml uch dvon ds ds Integrl b f() d divergent ist. Für nicht negtive Integrnden ist die Lge etws einfcher, zumindest in R eistiert immer ein uneigentliches Riemn-Integrl einer solchen Funktion. Um dies einzusehen, seien R, b R mit < b und eine Funktion f : [, b) R mit f() für jedes [, b) gegeben. Außerdem nehmen wir n, dss die Funktion 9-5

6 f über jedes Intervll [, ] mit (, b) Riemn-integrierbr ist. Dnn betrchten wir die Funktion F : [, b) R; f(t) dt, und behupten ds diese monoton steigend ist. Sind nämlich, y [, b) mit < y gegeben, so gilt nch 2.Lemm 5.(c) und 2.Lemm 4.(c) uch F (y) = f(t) dt = f(t) dt + f(t) dt Nch.Lemm 2 eistiert dmit in R der Funktionsgrenzwert lim F () = sup{f () [, b)} R {+ }, b und somit eistiert in R ds uneigentliche Riemn-Integrl { f() d = sup f(t) dt = F (). } f(t) dt [, b) R {+ }. Insbesondere ist die Funktion f genu dnn über [, b) uneigentlich Riemn-integrierbr wenn f() d < + gilt. Die Rechenregeln für Integrle gelten entsprechend interpretiert uch für uneigentliche Riemn-Integrle weiter. Wir formulieren im Folgenden die meisten Sätz für uneigentliche Integrle uf Intervllen mit rechts offener Grenze, der links offene Fll ist völlig nlog und ist implizit immer mit gemeint uch wenn er nicht eplizit erwähnt wird. Insbesondere werden wir die Sätze ohne weiteren Kommentr uch einfch uf den linksseitig offenen Fll nwenden. Lemm 3. (Rechenregeln für uneigentliche Riemn-Integrle) Seien R und b R mit < b gegeben. Dnn gelten: () Ist b R und ist f : [, b] R Riemn-integrierbr, so ist f uch über [, b) uneigentlich Riemn-integrierbr und ds uneigentliche Riemn-Integrl von f über [, b) stimmt mit dem Riemn-Integrl f() d überein. (b) Seien f, g : [, b) R zwei Funktionen die über jedes Intervll [, ] für (, b) Riemn-integrierbr sind. Eistieren dnn die uneigentlichen Riemn-Integrle von f und g über [, b) in R und ist { f(t) dt, } g(t) dt {, + }, 9-6

7 so gilt uch (f(t) + g(t)) dt = f(t) dt + g(t) dt in R. Sind f und g beide über [, b) uneigentlich Riemn-integrierbr, so uch f + g. (c) Seien c R und f : [, b) R eine Funktion die über jedes Intervll [, ] für (, b) Riemn-integrierbr ist. Eistiert dnn ds uneigentliche Riemn- Integrle von f über [, b) in R, so eistiert uch ds uneigentliche Riemn- Integrl von cf über [, b) und ist c oder f(t) dt / {, + }, so ist uch (cf(t)) dt = c f(t) dt. (d) Sind f, g : [, b) R über [, b) uneigentlich Riemn-integrierbr und gilt f() g() für lle [, b), so ist uch f() d g() d. Beweis: () D f Riemn-integrierbr ist, ist f insbesondere beschränkt es gibt lso ein C mit f() C für lle [, b]. Für jedes [, b] ist dmit uch b f(t) dt f(t) dt = b f(t) dt f(t) dt C(b ) und dies ergibt lim b f(t) dt = f(t) dt. (b) Klr nch I..Stz 5.(). (c) Klr nch I..Stz 5.(b). (d) Klr nch 2.Lemm 4.(c) und I..Lemm 2.(). Mn knn die Vorussetzungen in den Teilen (b) und (c) des Lemms uch so zusmmenfssen, dss die rechte Seite der jeweiligen Gleichung überhupt definiert sein muss, lso nicht die Form oder ht. Auch die prtielle Integrtion läßt sich leicht uf uneigentliche Riemn-Integrle übertrgen. Stz 3.2 (Prtielle Integrtion für uneigentliche Integrle) Seien R, b R mit < b und f, g : [, b) R zwei stetig differenzierbre Funktionen. Weiter nehme n, dss ds uneigentliche Riemn-Integrl f()g () d und der Funktionsgrenzwert lim b f()g() in R eistieren. Ist dnn ( ) f()g () d, lim f()g() / {(+, + ), (, )}, b 9-7

8 so eistiert uch ds uneigentliche Riemn-Integrl in R. f ()g() d = lim b f()g() f()g() Beweis: Für jedes (, b) gilt nch 2.Stz 3 f (t)g(t) dt = f()g() f()g() lso folgt die Behuptung mit I..Stz 5.(,b). f()g () d f(t)g (t) dt, Mn knn die Vorussetzungen des Stzes uch so interpretieren ds die prtielle Integrtion weiter möglich ist, solnge nur die rechte Seite der Formel überhupt definiert ist. Weiter können wir für die prtielle Integrtion uch wieder die Nottion u ()v() d = u()v() b u()v () d verwenden wenn nur der erste Summnd ls b u()v() := lim u()v() u()v() b interpretiert wird. Beispielsweise ergibt sich e d = e + e d = d nch I..Stz 2.(c) j lim e = gilt. Auch die Substitutionsregel knn mn uf unbestimmte Integrle verllgemeinern, die ekte Formulierung ist ber etws mühsm d es verschiedene Fälle gibt je nchdem wie die Substitution ds betrchtete Intervll bbildet. Auf die Angbe des entsprechenden Stzes wollen wir hier dher verzichten. In den bisher behndelten Beispielen konnten wir die Konvergenz uneigentlicher Riemn-Integrle feststellen d wir über eine Stmmfunktion des Integrnden verfügten und dnn nur ds Grenzverhlten dieser Stmmfunktion untersuchen mussten. Wir wir sehen werden, knn mn die Konvergenz uneigentlicher Riemn-Integrle mnchml uch dnn feststellen wenn mn keine eplizite Stmmfunktion kennt. Ein solches Beispiel hben wir m Ende des letzten Prgrphen behndelt, wir htten den Integrlsinus Si() = 9-8 sin t t dt

9 untersucht und gesehen ds der Grenzwert lim Si() eistiert. Dmit ist sin(t)/t über [, ) uneigentlich Riemn-integrierbr. Zur Berechnung des Grenzwerts fehlen uns hier leider die Hilfsmittel, es stellt sich herus ds sin d = lim Si() = π 2 ist. Mit ähnlichen Überlegungen wie in 2.5 könnte mn sich uch überlegen ds beispielsweise ds uneigentliche Riemn-Integrl cos()/(+ 2 ) d konvergiert, es gibt ber einen einfcheren Weg den wir nun beschreiben wollen. Wir werden ein Eistenzkriterium für uneigentliche Riemn-Integrle herleiten. Dieses ist im wesentlichen eine llgemeine Aussge über Funktionsgrenzwerte, die wir zunächst eplizit formulieren wollen. Lemm 3.3 (Cuchy-Kriterium für Funktionsgrenzwerte) Seien K {R, C}, R, b R mit < b und f : [, b) K eine Funktion. Dnn ist die Funktion f genu dnn n der Stelle b konvergent, wenn es für jedes ɛ > ein s (, b) mit f() f(y) < ɛ für lle, y (s, b) gibt. Beweis: = Andernflls eistiert ein ɛ > so, dss es für jedes s (, b) stets, y (s, b) mit f() f(y) ɛ gibt. Wähle eine Folge (s n ) n N in (, b) mit (s n ) n N b. Für jedes n N gibt es dnn 2n, 2n+ (s n, b) mit f( 2n ) f( 2n+ ) ɛ. Wegen s n < 2n, 2n+ < b für jedes n N gilt nch I. 4.Lemm 5.(b) und I. 4.Lemm.(d) uch ( n ) n N b. Also ist uch die Folge (f( n )) n N konvergent und nch I. 4.Lemm 5.() uch eine Cuchyfolge. Dies steht im Widerspruch zu f( 2n ) f( 2n+ ) ɛ für lle n N. = Es reicht zu zeigen, dss für jede gegen b konvergente Folge ( n ) n N in [, b) uch die Folge (f( n )) n N konvergiert, denn dnn müssen ll diese Folgen nch I. 4.Lemm.(d) gegen denselben Wert konvergieren. Sei lso ( n ) n N eine gegen b konvergente Folge in [, b). Nch I. 4.Stz 6 müssen wir nur zeigen ds (f( n )) n N eine Cuchyfolge ist. Sei hierzu ɛ > gegeben. Dnn eistiert ein s (, b) mit f() f(y) < ɛ für lle, y (s, b). Wegen ( n ) n N b gibt es weiter ein n N mit n > s für lle n n. Sind lso n, m N mit n, m n, so gelten n, m (s, b) und dmit uch f( n ) f( m ) < ɛ. D uneigentliche Riemn-Integrle spezielle Funktionsgrenzwerte sind, erhlten wir ls ein Korollr uch ein Cuchy-Kriterium für die Eistenz uneigentlicher Riemn- Integrle. Stz 3.4 (Cuchy-Kriterium für uneigentliche Riemn-Integrle) Seien R, b R mit < b und f : [, b) R eine Funktion die über jedes Intervll [, ], (, b) Riemn-integrierbr ist. Dnn ist ds uneigentliche Riemn-Integrl f() d genu dnn konvergent wenn es für jedes ɛ > ein s (, b) mit v f() d < ɛ u 9-9

10 für lle u, v R mit s < u < v < b gibt. Beweis: Für lle u, v R mit < u < v < b hben wir nch 2.Lemm 5.(b) v u v f() d f() d = f() d, und die Behuptung gilt dmit nch Lemm 3. Die Sitution ist jetzt sehr ähnlich zu den Reihen n= n die wir in I. 5 im letzten Semester behndelt htten. Bei Reihen htten wir verschiedene Methoden um Konvergenz festzustellen etws ds Wurzelkriterium, ds Quotientenkriterium oder ds Mjorntenkriterium. Für die Konvergenz von Integrlen gibt es nur noch ein Mjorntenkriterium, und genu wie bei den Reihen bezieht sich dieses uf die bsolute Konvergenz uneigentlicher Integrle. Definition 3.2 (Absolute Riemn-Integrierbrkeit) Seien R und b R mit < b. Eine Funktion f : [, b) R heißt über [, b) bsolut Riemn integrierbr, wenn f über [, b) uneigentlich Riemn integrierbr ist. Alterntiv sgen wir dnn uch ds ds uneigentliche Riemn-Integrl f() d bsolut konvergiert. Wie bei Reihen sind bsolut Riemn-integrierbre Funktionen uch uneigentlich Riemn-integrierbr und uch die Dreiecksungleichung für Integrle überträgt sich dnn uf den Fll uneigentlicher Riemn Integrle. Lemm 3.5 (Absolute Integrierbrkeit impliziert uneigentliche Integrierbrkeit) Seien R, b R mit < b und f : [, b) R eine über [, b) bsolut Riemnintegrierbre Funktion die über jedes Intervll [, ], (, b) Riemn-integrierbr ist. Dnn ist ds uneigentliche Riemn-Integrl f() d uch konvergent mit f() d f() d. u Beweis: Sei ɛ > gegeben. D f(t) dt konvergiert gibt es nch Stz 4 ein s (, b) mit f(t) dt = f(t) dt < ɛ für lle, y (s, b) mit < y. Für, y (s, b) mit < y folgt dnn mit 2.Lemm 4.(d) uch y f(t) dt f(t) dt < ɛ, und erneut nch Stz 4 konvergiert f(t) dt. Ebenflls nch 2.Lemm 4.(d) gilt für jedes (, b) stets f(t) dt f(t) dt 9-

11 und mit I..Lemm.(e), I..Lemm 2.() folgt f() d = lim f(t) dt = lim f(t) dt lim b b b f(t) dt = f() d. Dmit ist uch die Dreiecksungleichung für uneigentliche Riemn-Integrle bewiesen. Ds Mjorntenkriterium für uneigentliche Riemn-Integrle ist jetzt eine direkte Folgerung des vorigen Lemms. Stz 3.6 (Mjorntenkriterium für uneigentliche Riemn-Integrle) Seien R, b R mit < b, f : [, b) R eine Funktion die über jedes Intervll [, ] mit (, b) Riemn-integrierbr ist und g : [, b) R eine über [, b) uneigentliche Riemn-integrierbre Funktion mit f() g() für lle [, b). Dnn ist uch die Funktion f über [, b) bsolut Riemn-integrierbr und somit uch über [, b) uneigentlich Riemn-integrierbr. Beweis: Nch 2.Lemm 4.(d) ist uch f über jedes Intervll [, ] für (, b) Riemn-integrierbr. Ist ɛ >, so gibt es nch dem Cuchy-Kriterium für uneigentliche Riemn-Integrierbrkeit Stz 4 ein s (, b) mit g(t) dt < ɛ für lle, y (s, b) mit < y. Für, y R mit s < < y < b folgt nch 2.Lemm 4.(c) uch f(t) dt g(t) dt < ɛ, und nch Stz 4 ist f über [, b) uneigentlich Riemn-integrierbr, d.h. f ist über [, b) bsolut Riemn-integrierbr. Nch Lemm 5 ist f über [, b) uch uneigentlich Riemn-integrierbr. Wir wollen ds Mjorntenkriterium zur Diskussion eines Beispiels verwenden und betrchten ds uneigentliche Riemn-Integrl cos + 2 d. Wir behupten ds dieses uneigentliche Integrl bsolut konvergiert. Für lle gilt cos cos + 2 = + < 2 2 und d wir schon wissen, dss ds Integrl d/ 2 konvergiert ist nch dem Mjorntenkriterium uch ds Integrl cos()/( + 2 ) d bsolut konvergent. Ds unsere Mjornte hier nur für funktioniert spielt dbei keine Rolle, denn us der Konvergenz von cos + 2 d < 9-

12 folgt uch die Konvergenz von cos + 2 d = cos + 2 d + cos + 2 d. 9-2