Kapitel 7. Integralrechnung für Funktionen einer Variablen

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1 Kpitel 7. Integrlrechnung für Funktionen einer Vriblen In diesem Kpitel sei stets D R, und I R ein Intervll. 7. Ds unbestimmte Integrl (Stmmfunktion) Es sei f : I R eine Funktion. Eine differenzierbre Funktion F : I R heißt eine Stmmfunktion von f, flls gilt: F = f. Die Funktion f heißt dnn integrierbr. Beispiel 7. (i) Sei f : R R gegeben durch f(x) = x n, n N 0. Dnn ist F : R R mit F (x) = n + xn+ eine Stmmfunktion von f. (ii) Sei f : R R gegeben durch f(x) = x 2 3x + 5. Dnn ist F : R R gegeben durch F (x) = 3 x3 Mthemtik I WiSe 2003/

2 3 2 x2 + 5x eine Stmmfunktion von f. Aber uch G : R R mit G(x) = 3 x3 3 2 x2 + 5x + 2 ist eine Stmmfunktion von f. Achtung: Nicht jede Funktion besitzt eine Stmmfunktion. Ist F (x) eine Stmmfunktion von f(x), so ist uch F (x) + c eine Stmmfunktion von f(x) (c ist hier eine Konstnte). Weitere Stmmfunktionen gibt es nicht, wie der folgende Stz zeigt: Stz 7. Sei f : I R eine reelle Funktion. Sind F, G Stmmfunktionen von f, dnn gibt es eine Konstnte c R mit G(x) = F (x) + c für lle x I. Mit F (x) ist uch jede Funktion F (x) + c eine Stmmfunktion von f(x). Es gilt lso: Mthemtik I WiSe 2003/

3 Ht die Funktion f eine Stmmfunktion F, dnn ist die Menge {F + c c R} die Menge ller Stmmfunktionen von f. Der Begriff unbestimmtes Integrl bedeutet nichts nderes ls Stmmfunktion : (Unbestimmtes Integrl) Sei f : I R eine reelle Funktion, die eine Stmmfunktion F besitzt. Dnn bezeichnet ds Symbol f(x) dx eine beliebige Stmmfunktion von f, und es wird unbestimmtes Integrl der Funktion f gennnt. Sprechweise: Integrl von f(x) dx. Mnchml wird uch f(x) dx = F (x) + c, geschrieben, wobei c R eine beliebige Konstnte ist. Ds unbestimmte Integrl ist lso nicht eindeutig bestimmt, sondern nur bis uf eine (dditive) Konstnte. Es gilt lso nch Definition für jede differenzierbre Mthemtik I WiSe 2003/

4 Funktion F : F (x) dx = F (x) + c. Beispiel 7.2 Es soll eine Funktion s(x) zur Berechnung der Einkommensteuer mit den folgenden Eigenschften gefunden werden: (i) s : R 0 R 0 ist stetig. (ii) Ds Existenzminimum ist steuerfrei: s(x) = 0 für x [0, 0000]. (iii) Der Grenzsteuerstz steigt liner bis zu einer gegebenen Einkommensgrenze: s (x) = x für x [0000, 20000]. (iv) Der Grenzsteuerstz ist für große Einkommen konstnt: s (x) = 0.65 für x Den Steuerstz für x [0000, 20000] erhlten wir ls Mthemtik I WiSe 2003/

5 unbestimmtes Integrl über den Grenzsteuerstz: s(x) = ( x ) 20 dx = x x 20 + c Aus der Stetigkeit von s(x) n der Stelle x = 0000 folgt, dss die Konstnte ls c = 750 zu wählen ist. Insbesondere ist dnn s(20000) = Den Steuerstz für x erhlten wir ebenso ls unbestimmtes Integrl über den Grenzsteuerstz: s(x) = 0.65 dx = 0.65 x + c 2 Aus der Stetigkeit von s(x) n der Stelle x = folgt, dss die Konstnte ls c 2 = zu wählen ist. Die gesuchte Steuerfunktion s(x) ht lso die Form s(x) = 0 für x [0, 0000] x x für x [0000, 20000] 0.65 x für x Mthemtik I WiSe 2003/

6 Wir hben erwähnt (siehe Seite 442), dss nicht jede Funktion eine Stmmfunktion hben muss. Es gilt ber: Stz 7.2 Ist f : I R stetig, dnn besitzt f eine Stmmfunktion D viele der von uns untersuchten Funktionen stetig sind, hben sie Stmmfunktionen. Wir listen im folgenden einige uf, wobei wir stets uf die Angbe der Konstnte c verzichten. D bezeichnet den Definitionsbereich. Mthemtik I WiSe 2003/

7 f(x) D f(x) dx x n R n + xn+ n N 0 x α R + α R, α x e αx x R \ {0} R R α + xα+ ln( x ) α eαx α R, α 0 ln() x > 0, Mthemtik I WiSe 2003/

8 f(x) D f(x) dx sin x R cos x cos x R sin x tn x R \ {(2k + ) π 2, k Z} ln( cos x ) cot x R \ {kπ, k Z} ln( sin x ) cos 2 x R \ {(2k + )π 2, k Z} tn x sin 2 x R \ {kπ, k Z} cot x Mthemtik I WiSe 2003/

9 f(x) D f(x) dx x 2 x 2 (, ) (, ) rcsin x rccos x + x 2 R rctn x + x 2 R rccot x Aus der Umkehrung von Differenzitionsregeln ergeben sich nun Integrtionsregeln, zum Beispiel Hben f, g : I R Stmmfunktionen, dnn gilt: λ f(x) dx = λ f(x) dx, für lle λ R (f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx. Grundsätzlich knn mn sgen, dss die Integrtion schwieriger ist ls die Differenzition, die mn doch sehr nch Kochrezept durchführen knn. Mthemtik I WiSe 2003/

10 Wir geben hier die wichtigen Regeln der prtiellen Integrtion, der Integrtion durch Substitution sowie die Integrtion rtionler Funktionen n (jeweils mit Beispielen). Es sei ber firerweise zugegeben, dss mn heutzutge zum Integrieren fst immer Computerlgebrsysteme (CAS) benutzt. Wichtiger, ls perfekte Integrierer zu werden, ist es zu verstehen, ws ds unbestimmte Integrl ist (nämlich eine Stmmfunktion), und dss es viele Stmmfunktionen gibt, die sich ber lle nur durch eine dditive Konstnte unterscheiden. Wenn Ihnen ds klr ist, dürfen Sie beim Integrieren ruhig dem Computer vertruen. Prtielle Integrtion. Seien f, g : I R differenzierbre Funktionen. Dnn gilt f(x) g (x) dx = f(x) g(x) f (x) g(x) dx. Beispiel 7.3 Gesucht ist ln x dx. Setze f(x) = ln x und g(x) = x. Dnn ist g (x) =, Mthemtik I WiSe 2003/

11 und mit prtieller Integrtion folgt: ln x dx = f(x) g (x) dx = f(x) g(x) f (x) g(x) dx = ln x x = ln x x x x dx dx = ln x x x + c = x (ln x ) + c, wobei c R, wie immer, eine beliebige Konstnte ist. Dieses Beispiel läßt sich verllgemeinern, um eine Stmmfunktion zu ln x x n für n N 0 zu berechnen. Wir geben hier nur ds Ergebnis n: ln x x n dx = xn+ n + ( ln x ) n + + c. Mthemtik I WiSe 2003/

12 Beispiel 7.4 Gesucht ist e x sin x dx. Seien f(x) = sin x und g(x) = e x, lso g (x) = e x. Es folgt e x sin x dx = f(x) g (x) dx = f(x) g(x) f (x) g(x) dx = e x sin x e x cos x dx. Anlog erhlten wir e x cos x dx = e x cos x + e x sin x dx. Somit ist e x sin x dx = e x sin x e x cos x dx = e x sin x ( e x cos x + e x sin x dx ) = e x sin x e x cos x e x sin x dx. Also 2 e x sin x dx = e x sin x e x cos x + c Mthemtik I WiSe 2003/

13 und somit e x sin x dx = ex 2 (sin x cos x) + c. Integrtion durch Substitution Es hndelt sich hier um die Umkehrung der Kettenregel: Sei f : I R eine stetige Funktion mit Stmmfunktion F : I R. Sei g : D I eine differenzierbre Funktion uf dem Intervll D. Dnn gilt f (g(x)) g (x) dx = F (g(x)) + c, wobei c R eine beliebige Konstnte ist. Beispiel 7.5 Sei f : I R eine stetige Funktion mit Stmmfunktion F, D ein Intervll und g : D I differenzierbr. Dnn knn mn mit der obigen Substitutionsregel die folgenden unbestimmten Integrle bestimmen (die Konstnte c ist wieder weggelssen): (i) f(x + b) dx = F (x + b),, b R, 0. (ii) (g(x)) n g (x) dx = n + (g(x))n+, n N 0. Mthemtik I WiSe 2003/

14 (iii) (iv) (v) g (x) g(x) dx = ln ( g(x) ). g (x) (g(x)) n dx = g (x) e g(x) dx = e g(x). n, n N, n 2. (n ) (g(x)) 2 Beispiel 7.6 (i) Gesucht ist 3x dx. Sei g(x) = 3x, dnn ist g (x) = 3 und dher 2 2 3x dx = g (x) 3 g(x) dx = 2 g (x) 3 g(x) dx = 2 3 = 2 3 ln ( g(x) ) + c ln ( 3x ) + c = ln 3 (3x ) 2 + c. (ii) Gesucht ist xe x2 dx. Mthemtik I WiSe 2003/

15 Sei f(x) = e x und g(x) = x 2, lso g (x) = 2x und F (x) = e x. Dnn ist xe x2 dx = f(g(x)) 2 g (x) dx = 2 F (g(x)) = 2 ex2 + c Integrtion rtionler Funktionen Rtionle Funktionen lssen sich mit Hilfe der Prtilbruchzerlegung immer so umformen, dss sich eine Stmmfunktion mit den bis jetzt bereitgestellten Verfhren ermitteln läßt. Wir betrchten lso eine rtionle Funktion f von der Form f(x) = P (x) Q(x) mit Polynomen P (x), Q(x), wobei grdp < grdq gelte. Es sei hier der Fll betrchtet, dss ds Nennerpolynom grdq reelle Nullstellen ht, lso Q(x) = (x x ) m (x x k ) m k mit verschiedenen x,..., x k R. Dnn ht die Prtilbruchzerlegung die Form (vgl. Seite 50) P (x) Q(x) = k i= m i j= c ij (x x i ) j Mthemtik I WiSe 2003/

16 mit c ij R. Also treten ls Summnden rechts nur b Ausdrücke der Form mit j N uf. (x ) j Für j = ist Für j 2 ist b x dx = b ln( x ) + c b (x ) j dx = b (j )(x ) j + c Wir illustrieren dies n einem Beispiel: Beispiel 7.7 Sei f(x) = x4 3x 2 + 5x + 4 x 3. Wir 3x + 2 wollen f(x) dx bestimmen. D ds Nennerpolynom einen kleineren Grd ls ds Zählerpolynom ht, führen wir zunächst eine Division mit Rest durch; dies liefert: f(x) = x4 3x 2 + 5x + 4 x 3 3x + 2 = x + 3x + 4 x 3 3x + 2. Ds Nennerpolynom ht x = ls Nullstelle mit Vielfchheit m = 2 und x 2 = 2 ls Nullstelle mit Mthemtik I WiSe 2003/

17 Vielfchheit m 2 =. Also ist der Anstz für die Prtilbruchzerlegung 3x + 4 x 3 3x + 2 = 3x + 4 (x ) 2 (x + 2) = c x + c 2 (x ) 2+ c 2 x + 2 Nch Multipliktion mit dem Nennerpolynom Q(x) und Koeffizientenvergleich erhlten wir die Gleichungen 0 = c +c 2, 3 = c +c 2 2c 2, 4 = 2c +2c 2 +c 2. Als Lösungen ergeben sich drus: c = 2 9, c 2 = 7 3, c 2 = 2 9. Mthemtik I WiSe 2003/

18 Dmit erhlten wir für ds gesuchte Integrl f(x) dx = 3x + 4 = x dx + x 3 3x + 2 dx ( ) = x x + 3 (x ) 2 9 dx x + 2 = x ln( x ) 7 3(x ) 2 ln( x + 2 ) + c 9 (x ) 2 = x (x ) + ln 9 + c x + 2 Mthemtik I WiSe 2003/

19 7.2 Ds bestimmte Integrl Sei f : [, b] R eine uf [, b] definierte Funktion. Wenn F : [, b] R eine Stmmfunktion ist, d.h. F (x) = f(x) für lle x (, b), dnn heißt b f(x)dx = F (b) F () ds bestimmte Integrl von f über dem Intervll [, b]. Weiter heißt x die Integrtionsvrible, f(x) der Integrnd, und, b heißen (untere und obere) Integrtionsgrenzen. Wir sgen, die Funktion ist uf dem Intervll [, b] integrierbr. Ist f uf [, b] und uf [b, c] integrierbr, so nennen wir f uch uf [, c] integrierbr mit c f(x)dx = b f(x)dx + c b f(x)dx In diesem Fll muss die Funktion f uf [, c] keine Stmmfunktion hben! Wrnung: Diese Definition stimmt nicht mit der in vielen Mthemtikbüchern gegebenen Definition der Mthemtik I WiSe 2003/

20 Riemnn-Integrierbrkeit überein. Für lle in der Ökonomie uftretenden Funktionen, insbesondere für lle stetigen Funktionen, stimmt unsere Definition ber mit der Definition der Riemnn-Integrierbrkeit überein. Die nschliche Bedeutung des Integrls ist die einer Fläche. Wir nehmen f(x) 0 für lle x [, b] n. Gesucht ist der Inhlt der Fläche, die durch den Grphen der Funktion und die x-achse begrenzt wird. Wir benutzen im folgenden für F (b) F () uch die Bezeichnung F (x) b y f b x Mn knn zeigen, dß dieser Flächeninhlt für stetige Abbildungen f mit f(x) 0 für lle x [, b] genu f(x)dx = F (b) F () ist. Gilt f(x) 0 für lle b Mthemtik I WiSe 2003/

21 x [, b], dnn ist ds Integrl b f(x)dx 0 und der negtive Wert des Integrls ist der Flächeninhlt. Ist f in einigen Bereichen negtiv, so werden die entsprechenden Bereiche im Integrl negtiv gewichtet b x Ds Integrl ist lso die Summe der Flächeninhlte oberhlb der x-achse minus den Flächeninhlten unterhlb der x-achse. Die Berechnung des bestimmten Integrls ist in llen uns interessierenden Fällen im Prinzip nicht schwieriger ls die Berechnung unbestimmter Integrle: Es geht nur drum, Stmmfunktionen zu bestimmen. Beispiel 7.8 (i) 0 x dx = 2 x2 0 = 2 Mthemtik I WiSe 2003/

22 (ii) 3 2 t + t dt = (ln(t ) + t2 2 ) 3 2 = ln 2 3, 2 (iii) Sei f(x) = ln x. Dnn ist F (x) = x ln x x eine Stmmfunktion von f. Also ist 2 ln x dx = F (x) 2 (iv) Sei f(x) = x. Dnn ist = F (2) F () = 2 ln 2 0, 4. e x dx = ln x e = ln e ln =. (v) Sei f(x) = sin(x), dnn ist 2π 0 f(x) dx = cos(x) 2 π 0 = 0 (vi) Sei f(x) = cos(x), dnn ist 3π/2 0 f(x) dx = sin(x) 3π/2 0 = Mthemtik I WiSe 2003/

23 In der folgenden Skizze sind die Grphen dieser Funktionen gezeichnet (in der Reihenfolge (i), (ii), (iii), (iv), (v), (vi) von links oben nch rechts unten). Mchen Sie sich in jedem Fll bitte klr, welchen Flächeninhlten ds Integrl entspricht y t t y y t t Mthemtik I WiSe 2003/

24 x x Mthemtik I WiSe 2003/

25 (Eigenschften bestimmter Integrle) Sei f : [, b] R eine integrierbre Funktion. f(x) dx = 0. Ist > b, dnn setzen wir b f(x) dx = b f(x) dx Für lle c R gilt: c f(x) dx + b c f(x) dx = b f(x) dx. Sei g : [, b] R eine weitere integrierbre Funktion. Ist g(x) f(x) für lle x [, b], dnn gilt b g(x) dx b f(x) dx Mthemtik I WiSe 2003/

26 Es ist nicht gnz einfch, sich die Bedeutung des Integrls klrzumchen, wenn es nicht um eine Flächenberechnung geht. Es geht vielleicht so: Sie berechnen zu einem Zeitpunkt t = einen Funktionswert F (). Ds knn z.b. die Anzhl Arbeiter sein, die ein Betrieb beschäftigt, ber uch die Menge des in einem Lger vorrätigen Erdöls. Wenn Sie nun zu jedem Zeitpunkt t [, b] wissen, wie sich F ändert, wenn Sie lso F (t) kennen, dnn knn mn sich frgen, ws denn F (b) ist. Wir nennen F (t) = f(t). Anschulich ist klr, dss mn F (b) bestimmen knn, denn F () ist j beknnt und die Änderungen sind uch beknnt! Mthemtisch ist dies (im wesentlichen) ds Integrl, denn F (b) F () = b f(t) dt. Ds bestimmte Integrl uf dem Intervll [, b] der Grenzfunktion (Ableitung) einer Funktion F ist die Differenz F (b) F (). Mthemtik I WiSe 2003/

27 Beispiel 7.9 Die momentne Nchfrge nch einem Gut werde durch die Funktion f(t) = 000 ( + t) 2 beschrieben. Die momentne Nchfrge ist die Grenzfunktion der Gesmtnchfrgefunktion. Die Gesmtnchfrge F (T ) für einen Zeitrum [0, T ] ist gegeben durch F (t) = T 0 f(t) dt = T ( + t) 2 dt Um diese Gesmtnchfrge zu berechnen, bestimmen wir zunächst eine Stmmfunktion von f. Mit g(t) = + t erhlten wir: T dt = 000 ( + t) 2 T 0 g (t) dt = 000 (g(t)) 2 g(t) + c Also ist T dt = 000 ( + t) 2 + t T 0 = 000 T + T Sind in einem Lger zunächst < 000 Stücke des Gutes vorhnden, so ist ds Lger leer zum Zeitpunkt T mit = 000 T T +, d.h. zum Zeitpunkt T = 000 Mthemtik I WiSe 2003/

28 7.3 Uneigentliche Integrle Ist eine der Integrtionsgrenzen unendlich oder ist die zu integrierende Funktion n den Integrtionsgrenzen unbeschränkt, dnn sprechen wir von uneigentlichen Integrlen. Drei Fälle sind zu unterscheiden: (Uneigentliche Integrle I) Sei f : [, ) R eine stetige Funktion. Flls der Grenzwert R lim f(x) dx R existiert, so schreiben wir dfür R f(x) dx = lim f(x) dx. R b Anlog wird ds Integrl f(x) dx für eine Funktion f : (, b] R definiert. Beispiel 7.0 Gesucht ist, flls existent, ist R dx = x2 x R = R. dx. Es x2 Mthemtik I WiSe 2003/

29 Also erhlten wir x 2 dx =. (Uneigentliche Integrle II) Sei f : (, b] R eine stetige Funktion. Grenzwert b lim f(x) dx ɛ 0 +ɛ existiert, dnn schreiben wir dfür Flls der b b f(x) dx = lim f(x) dx. ɛ 0 +ɛ Anlog wird ds Integrl b f(x) dx für eine Funktion f : [, b) R definiert. Beispiel 7. Gesucht ist, flls existent, 0 x dx. Es ist dx = 2x2 = 2 ( ɛ ). x ɛ Also erhlten wir ɛ 0 x dx = 2. Mthemtik I WiSe 2003/

30 (Uneigentliche Integrle III) Seien, b R {± }, < b, und sei f : (, b) R eine stetige Funktion. Sei nun c (, b). Flls die beiden Grenzwerte c β lim f(x) dx und lim α α β b c existieren, dnn schreiben wir b c β f(x) dx = lim f(x) dx + lim α α β b c f(x) dx f(x) dx. Beispiel 7.2 Wir bestimmen x 2 dx Mthemtik I WiSe 2003/

31 Es ist lim α 0 α x 2 dx + lim β β 0 = lim α (rcsin(0) rcsin(α)) + lim β (rcsin(β) rcsin(0)) x 2 dx = lim α rcsin(α) + lim β rcsin(β) = ( π 2 ) + π 2 = π. Mthemtik I WiSe 2003/