Numerische Integration

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1 Kpitel 4 Numerische Integrtion Problem: Berechne für gegebene Funktion f :[, b] R ds Riemnn-Integrl I(f) := Oft ist nur eine numerische Näherung möglich. f(x)dx. Beispiel 9. (i) Rechteckregel: Wir pproximieren I(f) durch ds Rechteck I(f) (b )f(). (ii) Mittelpunktregel: Wir werten die Funktion im Unterschied zu (i) im Mittelpunkt +b us: I(f) (b )f( + b ). (iii) Trpezregel: Bei der Rechteck- und der Mittelpunktregel hben wir die Funktion f durch eine konstnte Funktion pproximiert. Bei der Trpezregel wählen wir die linere Funktion, welche durch die Punkte (, f()) und (b, f(b)) verläuft: I(f) (b ) f()+f(b). (iv) Simpsonregel: Wir legen eine Prbel durch die drei Punkte (, f()), ( +b +b,f( )) und (b, f(b)) und berechnen die Fläche unter der Prbel: I(f) b ( + b f()+4f( 6 )+f(b)). Bevor wir uns etws konkreter mit numerischen Verfhren zur Berechnung einer Näherungslösung beschäftigen betrchten wir Eigenschften des bestimmten Integrls I(f) und die Kondition des Problems. 5

2 KAPITEL 4. NUMERISCHE INTEGRATION 53 Eigenschften des bestimmten Integrls: (i) Ds Integrl Folgenden stetig (siehe (ii)), d.h. f(x)dx existiert für stückweise stetige Funktionen. Ohne Einschränkung sei f im I : C[, b] R, f I(f) uf dem Rum der stetigen Funktionen uf [, b]. (ii) Für jedes c [, b] gilt: f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx d.h. ds Integrl ist dditiv bezüglich einer Zerlegung des Integrtionsintervlls. (iii) I ist liner, d.h. für lle stetigen Funktionen f, g und lle reellen Zhlen λ,µ R gilt I(λf + µg) = λi(f)+ µi(g). (iv) I ist monoton, d.h. flls f g uf [, b], dnn uch Aus der Monotonie folgt f(x)dx f(x)dx g(x)dx. f(x) dx, f C[,b]. (4.) Ttsächlich ist diese Aussge eine Chrkterisierung, d.h. eine äquivlente Definition, der Monotonie. Um Störungen der Eingbedten (hier f C[, b]) messen zu können, führen wir folgende Norm ein: f := In dieser Norm finden wir die Kondition des Problems: f(x) dx = I( f ). Lemm 5. Die (reltive) Kondition der Integrlberechnung d.h. es gilt f(x)dx cond = I( f ) I(f), f(x)dx ˆf(x)dx f(x)dx bezüglich der Norm. ist cond f ˆf f. Beweis: Folgt unmittelbr us der Linerität und der Monotonie des Integrls: f(x)dx ˆf(x)dx f(x) ˆf(x) dx.

3 KAPITEL 4. NUMERISCHE INTEGRATION 54 Ds Problem ist somit schlecht konditioniert, wenn ds Integrl über den Betrg der Funktion im Verhältnis zum Betrg des Integrls sehr groß ist. Interpretieren wir ds Integrl ls unendliche Summe, so wird die Anlogie zur Auslöschung bei der Addition deutlich. Insbesondere bei strk oszillierenden Integrnden, wo sich die Flächen gegenseitig uslöschen ist die Kondition des Problems schlecht. Solche Integrnden treten in zhlreichen Anwendungen uf. 4. Qudrtur-Formel Die llgemeine Form einer Qudrtur-Formel ist gegeben durch: gewichtetes Mittel der Funktionswerte n den Stützstellen {}}{ f(x)dx (b ) b i f( + c i (b ) ). Stützstelle Dbei bezeichnen wir die b i ls Gewichte und die c i ls die Knoten der Qudrturformel. Ttsächlich ist eine Qudrturformel durch die Gewichte und Knoten eindeutig bestimmt. Wir schreiben dher kurz (b i,c i ),...,s. Für die im Beispiel 9 erwähnten Qudrturformeln gilt: Rechteckregel: s = b = c = Mittelpunktregel: s = b = c = Trpezregel: s = b = b = c =,c = Simpsonregel: s =3 b = b = 6,b = 4 6 c =,c =,c 3 = Bemerkung 9. Die Qudrturformel ist ebenflls liner in f und monoton für b i, i =,..., n. Mit der Anzhl s von Knoten und Gewichten steigt der Aufwnd der Qudrturformel gemessen in Funktionsuswertungen von f. Bei größerem Aufwnd erwrten wir eine bessere Näherungslösung des Integrls. Die Approximtionsgüte einer Qudrturformel wird durch die so gennnte Ordnung chrkterisiert. Ordnung einer Qudrturformel: Jede Qudrturformel sollte zumindest Integrle mit konstntem Integrnden K exkt berechnen können, d.h. Kdx =(b )K =(b ) Diese Mindestnforderung führt uf die Bedingung b i =. b i K. Um entsprechende Bedingungen für linere, qudrtische, kubische,... Integrnden herzuleiten, gehen wir

4 KAPITEL 4. NUMERISCHE INTEGRATION 55 ohne Einschränkung von = und b = us. bzw. llgemein: p = = 3 = xdx = x dx = x p dx = b i c i b i c i b i c p i. Definition. Eine Qudrturformel (b i,c i ),...,s ht die Ordnung p, flls sie exkte Lösungen für lle Polynome vom Grd p liefert. Nch den Überlegungen oben ist dies äquivlent zu der Bedingung b i c q i = q für q =,..., p. (4.) Nchtrg zur ohne Einschränkung gemchten Annhme =, b =. Für ein Polynom f(x) vom Grd q p gilt nch der Substitutionsregel: f(x)dx =(b ) f( + τ(b )) dτ =(b ) ebenflls ein Polynom vom Grd q b i f( + c i (b )). Beispiel. Die Ordnungen der im Beispiel 9 ngegebenen Qudrturformeln sind Rechteckregel: p = (s = ) Mittelpunktregel: p =! (s = ) Trpezregel: p = (s = ) Simpsonregel: p = 4! (s = 3) (q =5: ) Wrum ist die Mittelpunktregel uch exkt für linere Funktionen und die Simpsonregel uch für Polynome vom Grd 3? Definition. Eine Qudrturformel heißt symmetrisch, flls gilt: c i = c s+ i b i = b s+ i, d.h. die Knoten sind symmetrisch zum Punkt unten oder von unten nch oben identisch. verteilt und der Gewichtsvektor liest sich von oben nch Stz 5. Die Ordnung einer symmetrischen Qudrturformel ist gerde.

5 KAPITEL 4. NUMERISCHE INTEGRATION 56 Beweis: Wir nehmen n, die Ordnung sei ungerde, und führen dies zu einem Widerspruch. Konkret nehmen wir n, die Qudrturformel sei exkt für Polynome vom Grd m, und zeigen, dss sie ttsächlich exkt für Polynome bis zum Grd m ist. Sei f(x) ein Polynom vom Grd m. Dnn lässt sich f drstellen ls f(x) =K(x )m + g(x), wobei g(x) mximl den Grd m besitzt. Somit gilt ufgrund der Linerität des Integrls f(x)dx = K Wir betrchten den ersten Summnden genuer: Für die entsprechende Qudrturformel gilt (x )m dx = b i ( c i ) m = }{{ } cs+ i (x )m dx + g(x)dx. wird exkt durch die Qudrturformel berechnet x m dx =. b s+ i ( c s+ i) m = b j (c j )m j= und dher uch Insgesmt erhlten wir b i (c i )m =. f(x)dx = = g(x)dx b i g(c i )= i= i= b i f(c i ). Im folgenden Stz wird deutlich, dss bei vorgegebenen Knoten c <... < c s die Qudrturformel schon eindeutig bestimmt ist, wenn wir mindestens die Ordnung s fordern. Die Gewicht b,..., b s lssen sich dnn eindeutig us den Ordnungsbedingungen (4.) (p ersetzt durch s) berechnen. Dies ist leicht einzusehen. Denn (4.) ist in diesem Fll äquivlent zu c c... c s c c... c s b.... c s c s... c s s b b s =. s

6 KAPITEL 4. NUMERISCHE INTEGRATION 57 und die Vndermonde-Mtrix C ist genu dnn invertierbr, wenn die Knoten c i prweise verschieden sind. Insbesondere gilt mit τ = (,,..., s )T die Drstellung b = C τ. Alterntiv gilt für ds i-te Lgrnge-Polynom L i (x) zu den prweise verschiedenen Knoten c,.., c s die Gleichung b i = b j L i (c j )= L i (x)dx. j= Ds i-te Lgrnge-Polynom der Knoten c <... < c s ist ds eindeutig bestimmte Polynom vom Grd = s, welches in llen Knoten c j, j i, verschwindet und in c i den Wert nnimmt: {, flls i j deg L i = s, L i (c j )=, flls i = j. Stz 6. Seien Knoten c <... < c s vorgegeben. Verlngen wir von einer Qudrturformel (b i,c i ),...,s mindestens die Ordnung s, so sind die Gewichte eindeutig bestimmt durch bzw. wobei b i = L i (x) = b = C τ L i (x)dx, s j=,j i ds i-te Lgrnge-Polynom bezüglich der Knoten c j ist. x c j c i c j 4.. Qudrturformeln mit erhöhter Ordnung Stz 6 mcht deutlich: Sind die Knoten c <... < c s erst einml gewählt, so sind die Gewichte einer Qudrturformel mit Ordnung p s und somit die Formel insgesmt bereits festgelegt. Eine Frge, die sich nun stellt ist, wie die Knoten gewählt werden sollten, um die Ordnung p s zu mximieren. Wie groß knn die Ordnung überhupt sein? Wir suchen Qudrturformeln mit Ordnung p = s + m, m, d.h. Polynome vom Grd s + m sollen exkt integriert werden. Um entsprechende Bedingungen n die Knoten herzuleiten, benutzen wir ds Polynom M(x) =(x c )(x c )... (x c s ). Offenbr ist der Grd von M(x) gleich s und für jedes Polynom f(x) vom Grd s + m finden wir f(x) =M(x)g(x)+r(x), wobei g(x) und r(x) Polynome vom Grd m bzw. s sind. Dmit gilt f(x)dx = b i f(c i )= M(x)g(x)dx + b i M(c i ) g(c i )+ = wobei jeweils die letzen Summnden gleich sind. Wir erhlten somit: r(x)dx b i r(c i ), i=

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