Kapitel 4 Numerische Integration

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1 Kpitel 4 Numerische Integrtion Einführung und Motivtion Newton-Cotes-Formeln Zusmmengesetzte Integrtionsformeln Adptive Verfhren Romberg Verfhren Fzit Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01 1

2 Problemstellung: In der Anlysis lernt mn Integrle über eine Stmmfunktion zu berechnen. Es gibt jedoch Funktionen deren Stmmfunktion nicht elementr ist. Beispiele sind: sin x x dx, exp x x dx, exp ( x ) dx In nderen Fällen kennt mn die Stmmfunktion ber sie ist zu kompliziert uszuwerten. Oftmls ist uch die Funktion selbst nicht beknnt, sondern nur deren Werte n bestimmten Stellen die z.b. us Messungen stmmen oder ber ds Ergebnis eines numerischen Verfhrens drstellen. b Def. 4.1 Zur numerischen Berechnung des Integrls I f f x dx n verwenden wir die Qudrturformel J f i=0 ω i f(x i ). Die nun folgende Aufgbe besteht drin geeignete Gewichte ω i und Stützstellen x 0,, x n, b zu finden. Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01

3 Beispiel 4.1 Mittelpunktsregel (Rechtecksregel) Sttt f wird ds konstnte Polynom p f +b in der Intervllmitte interpoliert. Mn erhält die Formel J f = b f( +b ), lso n = 0, ω 0 = b, x 0 = +b. Es gilt die Fehlerdrstellung: I f J f = b 3 f ξ Beweis: siehe Übung 4 integriert welches f Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01 3

4 Def. 4. Newton-Cotes-Formeln Wähle n + 1 äquidistnte Knoten x j = + jh j = 0,, n, mit h = b. n Bestimme ds zugehörige Interpoltionspolynom p P n für f, gemäß n p x = i=0 f x i L i x, mit den Lgrnge-Polynomen L i x. Betrchte b ds Integrl von p ls Näherung für I f f x dx : b p x dx n = f x i i=0 b L i (x)dx n =: f x i Mit der Substitution x = + ht, t [0, n] erhält mn Gewichte die unbhängig von den Integrtionsgrenzen sind: ω j = b n i=0,i j x x i x j x i dx = h Die n.-te Newton-Cotes Formel lutet dnn: I(f) J(f) = b n 0 n n n i=0,i j i=0 i=0 γ i f x i t i j i dt ω i =: hγ j Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01 4

5 Stz 4.1 Fehler der Newton-Cotes-Formeln Für f C n+1, b gilt die Fehlerbschätzung: I f J f = Dn+1 b f ξ x x (n + 1)! 0 x x n dx Insbesondere werden Polynome vom Grd n exkt durch die n.-te NC Formel integriert. Es gilt drüber hinus die folgende Verschärfung der obigen Aussge: Für gerde Zhlen n ist die n.-te NC Formel uch korrekt für Polynome vom Grd n + 1. Beweis: Die Fehlerbschätzung folgt direkt us Stz 1.7 Kpitel 1. Für Polynome vom Grd n verschwindet die n+1 Ableitung. Dmit folgt der zweite Teil der Aussge. Sei nun n gerde. Dnn ist die Funktion ω x = x x 0 x x n punktsymmetrisch zu x m +b. Also gilt ω x m + x = ω x m x und dher b ω(x) dx x m = ω x dx + ω x dx = 0. x m b Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01 5

6 Corollr 4. Für die Koeffizienten der n.-ten NC Formel gilt: γ γ n = n, bzw. ω ω n = 1 Bechte die Symmetrie der Gewichte: γ j = γ n j Die gebräuchlichsten Formeln sind mit h = (b )/n n Nme Gewichte γ i Fehler I f J(f) 1 Trpez- Regel Simpson- Regel 3 3/8- Regel 4 Milne - Regel h3 1 f (ξ) h5 90 f 4 (ξ) Beweis: Für den ersten Teil der Behuptung integriere mn die Konstnte Funktion p 1. Für die Drstellung des Fehlers und der Koeffizienten vgl. mn Bsp. 4. & h5 80 f 4 (ξ) 8 h7 945 f 6 (ξ) Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01 6

7 Beispiel 4. Trpezregel Sttt f wird ds linere Polynom p f + x b (f b f()) integriert welches f in den Stützstellen, b interpoliert. Mn erhält J f = b f + b f b, lso n = 1, ω 0 = ω 1 = b, x 0 =, x 1 = b. Ds gleiche Ergebnis erhält mn unter Benutzung der NC Formeln für 1 n = 1: γ 0 = t 1 = 1, γ 1 1 = t dt Für den Fehler gilt: f ξ! f ξ! b b 0 x x b dx = x x (b )dx = f ξ! 0 f ξ! 1 0 dt +(b ) x 3 = 1 x 3 x b 0 x (b ) dx b = - f ξ b 3 1 Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01 7

8 Beispiel 4.3 Simpson-Regel oder Keppler sche Fssregel n = : γ 0 = J f = b 6 (t 1)(t ) 0 dt (0 1)(0 ) +b (f + 4 f 0 dt (1 0)(1 ) = 1 3, γ 1 = (t 0)(t ) + f b ) = 4 3, γ 3 = 1 3 Wir berechnen ds Integrl: 3 1 dx = ln 3 ln 1 x = J S f = = = 1. 1 Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01 8

9 Bemerkungen: Die Newton-Cotes Formeln resultieren für größere Werte von n in negtiven Koeffizienten ws numerische Schwierigkeiten nch sich zieht (Auslöschung). Um die Genuigkeit der numerischen Integrtion zu erhöhen benutzt mn dher zusmmengesetzte Integrtionsformeln. Am Beispiel der Mittelpunktsregel hben wir bereits gesehen, dss die Stützstellen nicht die Intervllgrenzen beinhlten müssen. Wählt mn in Def. 4. x j = + j+1 n+ b, j = 0,, n, spricht mn von offenen, im Gegenstz zu den bereits besprochenen geschlossenen, NC-Formeln. Die offenen NC-Formeln hben llerdings schon b n = negtive Gewichte. Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01 9

10 Bemerkungen: Bei der sogennnten Guß Qudrtur gibt mn die Knoten nicht äquidistnt vor, sondern bestimmt diese so, dss ein möglichst hoher Exktheitsgrd erreicht wird. Für n = 0 erhält mn z.b. die Mittelpunktsregel. Für n = 1 gilt z.b. ω 0 = ω 1 = b, x 0 = +b 1 3 b, x 1 = +b b. Allgemein knn mn für jedes n eine Guß-Qudrturformel ngeben, die exkt ist für lle p P n 1. Mn knn ebenflls zeigen, dss die Gewichte der Guß Formel lle positiv sind. Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01 10

11 Wir unterteilen ds Intervll, b in mehrere Teilintervlle uf denen wir dnn die Newton-Cotes-Formel nwenden. Es gilt: Stz 4.3 Ds Integrtionsintervll sei unterteilt in n Intervlle der Länge h = (b )/n. Wir definieren die n + 1 Stützstellen x j = + jh. Die zusmmengesetzte Trpezregel ht die Drstellung J f = h f 0 + f f n 1 + f n mit dem Fehler I f J f = f ξ 1 b h Für die zusmmengesetzte Simpson Regel wenden wir die Qudrtur uf je zwei benchbrte Intervlle n. Es ergibt sich (n gerde): J f = h 3 f f 1 + f + 4 f f n + 4 f n 1 + f n I f J f = f 4 ξ b h 4 = f Die Stndrd Simpson Regel entspricht n =. 180 ξ b 5 n 4 Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01 11

12 Beweis: Es gilt für die zusmmengesetzte Trpezregel: J f = h f 0 + f 1 + h f 1 + f + h f + f h f n 1 + f n Der Fehler setzt sich zusmmen us den Fehlern der individuellen Teilintervlle: I f J f = h 3 n 1 i=0 f ξ i 1 Lut Zwischenwertstz gilt: f, b R, stetig dnn nimmt f jeden Wert zwischen f und f b n lso uch den Mittelwert über mehrere Funktionswerte: f ξ = i f(x i )/n. Mn erhält dher die Existenz eines ξ [, b] mit I f J f = f ξ 1 n h3 = f ξ i (b ) h 1 Für die Simpson Regel erhält mn: J f = h 3 f 0 + 4f 1 + f + h 3 f + 4f 3 + f 4 + h 3 f 4 + 4f 5 + f 6 + Der Rest des Beweises erfolgt nlog zur Trpezregel. Mn bechte dbei, dss Länge des Integrtionsintervlls jetzt h entspricht. Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01 1

13 Beispiel 4.4 Betrchten wir folgendes Beispiel: x x 1 dx Der Fehler bei der Simpson-Regel wird von der vierten Ableitung kontrolliert. Diese schwnkt für die obige Funktion in den gegebenen Integrtionsgrenzen zwischen und Mn erwrtet dher m rechten Rnd mit wesentlich weniger Stützstellen uszukommen ls m linken Rnd. Die Abb. rechts zeigt die Stützstellen bei numerischer Integrtion mit dptiver Schrittweite. Es wurden 9 Stützstellen verwendet. Wir erhlten ls Ergebnis Der Fehler entspricht Um die gleiche Genuigkeit mit konstnter Schrittweite zu erlngen würde mn mit der Simpson-Regel 190 Stützstellen benötigen. Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01 13

14 Adptive Simpsonregel: Wir wollen im Folgenden ein uf der Simpson-Regel bsierendes Verfhren besprechen bei dem der Fehler kleiner einer vorgegebenen Tolernz ist: I f J(f) ε Wir wollen die Schrittweite dptiv npssen und den globlen Fehler gleichmäßig uf lle Teilintervlle [α, β] verteilen: β α h4 I f J s f, α, β f 4 β α β α ξ < ε mit h = 180 b D f 4 ξ nicht beknnt ist, beschffen wir uns einen Fehlerschätzer indem wir ds Integrtionsintervll hlbieren. Der Fehler der zusmmengesetzten Simpson-Regel mit hlber Schrittweite ist nch Stz 4.3 1/ f I f J s f, α, β = 4 η β α h4. Wir nehmen n f 4 η f 4 ξ und definieren ΔI J s 1/ f, α, β - Js f, α, β f 4 η ΔI = f 4 η β α h β α h4 15 Es folgt: I f J 1/ s f, α, β 15 ΔI Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01 14

15 Adptive Simpsonregel: Der Intergrtionsschritt mit hlbierter Intervlllänge und zusmmengesetzter Simpson Regel wird lso nur kzeptiert flls β 1/ 1 β α β α f x dx J α s f, α, β ΔI < ε oder ΔI < 15 ε 15 b b Wir skizzieren im Folgenden noch einen Algorithmus, der die Integrtionsschrittweite dptiv bestimmt unter Verwendung des obigen Fehlerschätzers. Im ersten Schritt betrchten wir ds Intervll, b und setzen h = b, H = h. Flls der Fehler kleiner ls die gewünschte Tolernz ist wird die dptive Prozedur ngehlten. Anderenflls wird die Integrtionsschrittweite so lnge hlbiert bis ds +H Integrl f x dx die gewünschte Genuigkeit ht. Dnn wird ds Intervll + H, b betrchtet und die Prozedur wiederholt. Die Länge des Intervlls im diesem Schritt ist dbei: b + H. Für weitere Detils vergleiche mn Referenz [6]. Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01 15

16 Bemerkungen: Wir hben zur Fehlerbschätzung für die dptive Simpson Regel eine Näherung uf zwei unterschiedlichen Gittern benutzt. Alterntiv hätte mn uch zwei Verfhren unterschiedlicher Ordnung uf dem gleichen Gitter betrchten können. Bevor wir uns mit einer weiteren Integrtionsmethode befssen mchen wir einen kleinen Exkurs über Extrpoltionsverfhren. Ht mn bei der numerischen Lösung eines Problems eine Lösung für zwei unterschiedliche Diskretisierungsweiten, so knn mn unter bestimmten Vorussetzungen eine verbesserte Lösung drus berechnen. Mn spricht oft uch von Richrdson Extrpoltion. Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01 16

17 Stz 4.4 Extrpoltionsverfhren (i) Sei D h eine Formel zur Näherung von D mit der Fehlerentwicklung D h D = c 1 h + c h + dnn ht die extrpolierte Formel D h D h D h die Fehlerentwicklung D h D = c h + (ii) Sei D h eine Formel zur Näherung von D mit der Fehlerentwicklung D h D = c 1 h + c h 4 + dnn ht die extrpolierte Formel D h 4 3 D h 1 3 D h die Entwicklung D h D = c 4 h4 + Beweis: Durch einsetzen und nchrechnen. Bemerkungen: Ds Verfhren ist nicht notwendigerweise uf einmlige Anwendung beschränkt und uch nicht uf eine Hlbierung der Schrittweite. Die Extrpoltion entspricht offensichtlich uch einer Fehlerschätzung: D h D D h D (h) Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01 17

18 Oftmls ist die Konvergenzordnung des Verfhrens nicht präzise beknnt. In diesem Fll knn mn die Verfhrensordnung und den Fehler, bzw. eine verbesserte Schätzung durch eine Lösung uf drei unterschiedlichen Gittern erhlten: Stz 4.5 Richrdson Extrpoltion Sei D h eine Formel zur Näherung von D mit der Fehlerentwicklung D h D = ch p +. Seien h 1, h, h 3 3 Gitterebenen mit h i = h q (i 1) mit einer reellen Zhl 0 < q < 1. Bezeichne D i die Näherung D h i. Dnn gelten die Formeln: p log D D3 D1 D log (q) und D D 1 D 1 D 1 q p Ebenso knn mn z.b. D bschätzen durchd D 3 qp (D D 3 ) 1 q p. Beweis: D 1 = D + ch p, D = D + ch p q p, D 3 = D + ch p q p (*) Es folgt: D 1 D = ch p 1 q p, D D 3 = ch p q p 1 q p (**) D D 3 D 1 D = q p. Dies liefert die Abschätzung für p. Mit p und q knn mn nun die Terme ch p q i 1 schätzen mittels (**) und dmit D mittels (*). Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01 18

19 Bemerkung: Extrpoltionsverfhren werden sehr häufig eingesetzt, zur Fehlerschätzung, zur Bestimmung der Konvergenzordnung oder ntürlich zur Extrpoltion. Nun zurück zur numerischen Integrtion. Der folgende Stz motiviert ds Romberg Verfhren welches wir im Anschluss besprechen wollen: Stz 4.6 (Folgerung der sog. Euler-Mclurinschen Summenformel) Für f C m+, b und h = b besitzt die in Stz 4.3 definierte n Trpezsumme T h = h f 0 + f f n 1 + f n die sogennnte symptotische Entwicklung T h = f x dx b + τ 1 h + τ m h m + τ m+1 h (m+) Dbei sind die τ 1,, τ m unbhängig von h und für τ m+1 gilt τ m+1 h C Ohne Beweis. b f (m+) x dx Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01 19

20 Stz 4.6 zeigt, dss die Trpezsumme eine h -Entwicklung besitzt. Stz 4.4 motiviert dher ds Vorgehen durch Kombintion der Trpezsummen zu verschiedenen Diskretisierungsweiten eine bessere Approximtion zu erhlten. Stz 4.7 Romberg Verfhren Es sei f C m+, b und n = n 0 N. Zu einer Reihe von streng monoton fllenden Schrittweiten h i und einer Folge von ufsteigenden ntürlichen Zhlen n i mit h 0 = b, h n 1 = h 0, h n = h 0,, h 1 n m = h 0 n m definiere mn die Trpezsummen T ii T(h i ) welche ds Integrl von f mit der Schrittweite h i nnähern. Des Weiteren definiere mn durch Interpoltion ds Polynom vom Grd m in h T 0m h = h + + m h m für ds gilt T 0m h i = T h i, i = 0,, m. Mn verwende den Wert T 0m 0 (Extrpoltion n der Stelle 0) ls neue Näherung für ds gesuchte Integrl. Dnn gilt: b f x dx T 0m 0 = O h 0 m+ Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01 0

21 Beweis: Ds Interpoltionspolynom besitzt nch Stz 1.1 die Drstellung m m p h = T h i L i (h ), L i h h h k = h i h ( ) k i=0 m k=1,k i ußerdem ist h k = i=0 h k i L i (h ) ( ) für k = 0,, m (ds Polynom interpoliert sich selbst). Einsetzen der symptotischen Entwicklung us Stz 4.6 in ergibt zusmmen mit der Identität ( ): m p h = T h i L i (h ) i=0 m m = τ k h i k k=0 i=0 h k m m = τ k h k i + τ m+1 h m+ i L i h = i=0 k=0 m L i h + τ m+1 h i m+ L i h m Insbesondere gilt p 0 τ 0 = i=0 τ m+1 h m+ i L i 0 und wegen m Stz 4.6 τ m+1 M p 0 τ 0 M i=0 L i 0 h m+ 0. i=0 Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01 1

22 Bemerkungen: Mn knn mit etws mehr Aufwnd präziser zeigen, I f T 0m 0 = O h 0 h 1 h m. Bezüglich der Whl der Prmeter n i wird üblicherweise die Romberg Folge verwendet n i = 1,,4,8,16, oder die sogennnte Bulirsch Folge mit n i = 1,,3,4,6, Erstere bietet den Vorteil dss mn bei Verfeinerung uf bereits vorhndene Funktionsuswertungen zurückgreifen knn. Die zweite Folge wächst dfür nicht so schnell n. Bei der prktischen Durchführung ist m im Vorus nicht beknnt. Mn knn ds Verfhren z.b. bbrechen sobld für einen Zwischenschritt gilt: T 0,m T 0,m 1 εt 0,m 1 Zur Durchführung des Romberg-Verfhrens benutzt mn ds Schem von Neville-Aitken. Es gilt dnn mit x k h k und x = 0 die Rekursion: T i,k = T i+1,k h k h k h T i+1,k T i,k 1 i Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01

23 Beispiel 4.5 Sei h 0 = b und h 1 = b. Dnn erhält mn die Trpezsummen T 0,0 = b 1 f + 1 f b sowie T 1,1 = b 1 T 0,1 = T 1,1 h 1 f + f +b + 1 f b. Aus der Rekursionsformel folgt: /4 h 1 h T 1,1 T 0,0 = T 1,1 h 0 0 h 0 /4 h T 1,1 T 0,0 = 0 = 4 3 T 1,1 1 3 T 0,0 (mn vergleiche dieses Ergebnis mit Stz 3.4) Einsetzen liefert T 0,1 = b f = b 1 3 f f +b f +b f b f b b 1 f + 1 f b = 3 3 Wir erhlten lso die Simpson-Regel. Wie wir wissen hben die Trpezsummen ein Restglied von O(h ) und die Simpson-Regel ein Restglied von O(h 4 ). Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01 3

24 Fzit Die Newton-Cotes Formeln sind ds einfchste und üblichste Verfhren zur numerischen Integrtion. Allerdings neigen die NC-Formeln für größere Stützstellenzhl zu numerischer Instbilität und mn verwendet dher die zusmmengesetzten NC-Formeln. Die Genuigkeit und die Effizienz des Verfhrens knn durch dptive Stützstellenwhl weiter gesteigert werden. Extrpoltionsmethoden können verwendet werden um die Ordnung eines Verfhrens zu bestimmen, den Fehler oder ber eine verbesserte Lösung. Als Beispiel für ein Extrpoltionsverfhren hben wir ds Romberg Verfhren besprochen. Numerische Mthemtik II Herbsttrimester 01 4