Numerische Mathematik

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1 Numerische Mthemtik Bernd Simeon Skriptum zur Vorlesung im Sommersemester 2009 TU München, Zentrum Mthemtik. Numerische Qudrtur 2. Symmetrisches Eigenwertproblem 3. Integrtion gewöhnlicher Differentilgleichungen 4. Itertive Verfhren für große, dünnbesiedelte Mtrizen Litertur: Deuflhrd/Hohmnn: Numerische Mthemtik I, 4. Auflge; Wlter de Gruyter, Berlin 2008 Deuflhrd/Bornemnn: Numerische Mthemtik II, 3. Auflge; Wlter de Gruyter, Berlin 2008 Freund/Hoppe: Stoer/Bulirsch, Numerische Mthemtik, 0. Auflge, Springer 2007 Qurteroni/Scco/Sleri: Numerische Mthemtik II; Springer, Berlin 2002

2 Vorwort Dieses Skriptum fsst den Stoff der Vorlesung Numerische Mthemtik für Studierende des Bchelorstudiengngs Mthemtik n der TU München zusmmen. Es ist zum ktiven Arbeiten gedcht, d.h. es enthält bewußt immer wieder Lücken und Leerzeilen, die in der Vorlesung mit Inhlt und Skizzen gefüllt werden. Bei der Stoffuswhl und -drstellung hbe ich n vielen Stellen uf erprobte Stndrdwerke zurückgegriffen. Neben den beknnten Büchern von Stoer/Bulirsch und Deuflhrd/Hohmnn sowie Deuflhrd/Bornemnn ist hier vor llem uch ds Skriptum Numerische Mthemtik I/II von Ch. Reinsch ls usgezeichnete Referenz zu nennen. München/Grching, im April 2009 Bernd Simeon

3 Kpitel Numerische Qudrtur Unter numerischer Qudrtur versteht mn die Berechnung des bestimmten Integrls I(f) := f(x) dx Der Nme stmmt von der Qudrtur des Kreises, d.h. dem Versuch, die Zhl π über die Flächenberechnung eines Qudrts zu bestimmen. Flls keine geschlossene (nlytische) Integrtion möglich ist, benötigt mn numerische Verfhren. Numerische Verfhren verlngen Integrnden, die hinreichend oft differenzierbr ( gltt ) sind, d.h. f C k [, b] mit k möglichst groß. Bei Unstetigkeit in x = τ: Zerlegung f dx = τ f dx + Die Verfhren bsieren uf Qudrturformeln J(f) := g i f(x i ) I(f) i=0 mit Gewichten g i und Stützstellen x i. τ f dx.

4 Anforderungen n Qudrturformeln Ds Integrl ist ein lineres, positives Funktionl uf C[, b] : I(αf + βg) = αi(f) + βi(g), und für f 0 = I(f) 0 Zusätzlich: I dditiv bez. Zerlegung [, b] = [, τ] [τ, b] mit < τ < b. Qudrturformel J soll nloge Eigenschften hben! Forderung g i > 0, d.h. positive Gewichte. Dmit gilt: f 0 = J(f) 0 Weiteres Argument: Fehlerverstärkung für negtive g i f(x i ) ǫ = g i f(x i ) ǫ g i g i positiv: g i = b, d.h. miniml sonst: g i > b Forderung integriert. b gi =, d.h. konstnte Integrnden werden exkt Übersicht zu Qudrtformeln (hier nur sog. interpoltorische Formeln) ) Stützstellen x i äquidistnt, p(x) Polynom vom Grd n, ds f(x i ) für i = 0,...,n interpoliert. Anstz J(f) := p(x) dx liefert Gewichte g i. Newton Cotes Formeln, Abschnitt. Skizze: 2

5 b) Wähle x i, g i für i =,...,n, so dss p(x) dx = g i p(x i ) für lle Polynome p möglichst hohen Grdes. Gußqudrtur, Abschnitt.2 c) x i äquidistnt, wende in jedem Teilintervll [x i, x i+ ] elementre Qudrturformel n und summiere uf. Summenformeln, Abschnitt.3, Bsis für dptive Verfhren. Newton Cotes Formeln Anstz mit Stützstellen x i äquidistnt, p Polynom interpoliert f(x i ) (s.o.). Trpezregel J(f) = b (f() + f(b)) (.) 2 Also 2 Stützstellen x 0 =, x = b, Gewichte g 0 = g = (b )/2, p linerer Interpolnt zu f(), f(b). Anlyse des Fehlers R(f) := I(f) J(f) über Polynominterpoltion: R(f) = (f(x) p(x)) dx mit f(x) p(x) = 2 (x x 0)(x x )f (ξ) = (x x 0 )(x x )f (ξ(x)) dx 2 = 2 h 0 t(t h)f (ξ(t + )) dt für t = x, h = b 3

6 D t(t h) 0 in [0, h]: Mittelwertstz! = R(f) = h 2 f (ξ ) 0 t(t h) dt = 2 h3 f (ξ ) Also Fehler der Trpezregel R(f) = I(f) J(f) = 2 h3 f (ξ ). Die Qudrturformel ist exkt für P (Polynome Grd ). Fßregel (nch Kepler) J(f) = b 6 ( f() + 4f ( ) + b D.h. 3 Stützstellen x 0 =, x = ( + b)/2, x 2 = b; p qudrtischer Interpolnt von f(x 0 ), f(x ), f(x 2 ). 2 ) + f(b) (.2) Fehler R(f) = h 5 f (4) (ξ) 2880, exkt für P 3. Die Verllgemeinerung führt uf die Newton Cotes Formeln: p interpoliert n + äquidistnte Stützstellen = x 0, x,...,x n = b. Aber: Ab n = 8 negtive Gewichte, wenig empfehlenswert!.2 Gußqudrtur Bei der Gußqudrtur wählt mn x i, g i für i =,...,n so, dss p(x) dx = g i p(x i ) (.3) für lle Polynome p möglichst hohen Grdes gilt. Beispiel.: Wie sind x, x 2 und g, g 2 zu wählen, so dss f(x)dx = g f(x ) + g 2 f(x 2 ) für lle Polynome vom Grd kleiner gleich 3 gilt? 4

7 Lösung: Setze die Polynome, x, x 2 und x 3 ein, dnn ergibt sich ds Gleichungssystem g + g 2 = g x 2 + g 2 x 2 2 = dx = 2, g x + g 2 x 2 = x 2 dx = 2 3, g x 3 + g 2 x 3 2 = + xdx = 0, x 3 dx = 0. Diese 4 Gleichungen mit 4 Unbeknnten sind eindeutig lösbr: Multipliziere die Gleichung rechts oben mit x 2 und subtrhiere die Gleichung rechts unten: g 2 x 2 x 2 g 2 x 3 2 = 0 x 2 = x 2 2 x 2 = x (keine doppelte Stützstelle!) g = g 2 g = g 2 = x = 3, x 2 = Ergebnis: 2 Stützstellen x, x 2 und 2 Gewichte g, g 2 reichen us! Die Fßregel zum Vergleich ist uch exkt für p P 3, benötigt ber 3 Stützstellen. Die eben hergeleitete Qudrturformel heißt 2-Punkt Guß-Legendre-Regel. Die Betrchtung von d 3 f(x) dx ist keine Beschränkung der Allgemeinheit, f(t) dt = b 2 ( + b f 2 + b ) 2 x dx (mit Trnsformtion t = φ(x) = +b 2 + b 2 x) Herleitung der n-punkt Guß-Legendre-Regel Vorüberlegung: Die Qudrturformel (.3) knn nicht exkt sein für lle Polynome p P 2n vom Grd 2n, denn dfür ist p(x) = (x x ) 2 (x x 2 ) 2... (x x n ) 2 ein Gegenbeispiel: g i p(x i ) = 0, ber p(x) dx > 0! 5

8 Also fordert mn: p(x) dx = g i p(x i ) p P 2n. (.4) Existieren Stützstellen und Gewichte, die diese Forderung erfüllen? Flls j, dnn ergibt sich us (.4) eine notwendige Bedingung für ds Polynom q(x) (x x )... (x x n ) P 2n mit beliebigem q P n. Es muß gelten q(x) (x x )... (x x n ) dx = 0 }{{} q P n. (.5) =:L n (x) Interprettion der Formel (.5): Definiere in P n [, ] ds Sklrprodukt q, r := q(x) r(x) dx (vergleiche den Hilbertrum L 2 (, )), dnn bedeutet (.5), dß L n (x) bzgl., orthogonl zu llen Polynomen q P n P n ist, q, L n = 0. Ds gesuchte L n ist eindeutig gegeben (bis uf Normierungsfktor) in Form des Legendre-Polynoms vom Grd n Skizze der ersten Legendre-Polynome L n (x) = n! (2n)! Dn ( (x 2 ) n) (.6) n = : L (x) = x, n = 2 : L 2 (x) = x 2 3, n = 3 : L 3 (x) = x x, n = 4 : L 4(x) = x x

9 0.8 n= 0.8 n= n=3 0.8 n= Beweis der Orthogonlität: q(x)d n (x 2 ) n dx = q(x)d n (x 2 ) n }{{} =0 q (x)d n (x 2 ) n dx =... = = () n q (n) (x)(x 2 ) n +() n } {{ } =0 = 0, q (n) }{{} 0 (x)(x 2 ) n dx d (x 2 ) n = (x + ) n (x ) n n-fche Nullstellen bei x = ± ht und dmit D k (x 2 ) n n k-fche Nullstellen. Chrkterisierung der Stützstellen x i : Die x i ls Nullstellen von L n liegen lle im Inneren von [, ] und sind einfch. L n wechselt mindestens 7

10 n ml ds Vorzeichen in (, ), denn ndernflls gäbe es ein q P n, ds überll ds gleiche Vorzeichen wie L n ht, so dß q(x) L n(x) dx > 0 im Widerspruch zu (.5). Skizze zu n = 3: L 3 ht drei Vorzeichenwechsel in (, ), s. obiges Bild. Für ein L 3, ds in diesem Intervll nur einen Vorzeichenwechsel ht, ist rechts ein q P 2 eingezeichnet, für ds q L 3 > 0 ist q Bestimmung der Gewichte g i : Die g i lssen sich über die Lgrnge- Polynome (vergl. Polynominterpoltion) vom Grd n, n x x i l j (x) = für j =,...,n, x j x i bestimmen, d l j (x) dx = i j g i l j (x i ) = g j für j =,...,n. (.7) Der folgende Stz zeigt, dß diese Whl der x i und g i ttsächlich die Forderung (.4) erfüllt (bisher wurden nur notwendige, nicht hinreichende Bedingungen betrchtet): Stz.: Seien die Stützstellen x i, i =,...,n, die Nullstellen des Legendre- Polynoms L n us (.6) und die Gewichte g i, i =,...,n, nch (.7) bestimmt. Dnn gilt p(x) dx = g i p(x i ) p P 2n, und für f C 2n [, ] gilt die Fehlerformel f(x) dx g i f(x i ) = D 2n f(ξ) L n (x) 2 dx. (2n)! }{{} c n 8

11 Beweis: Sei p P 2n beliebig. Dnn gilt p(x) p(x j )l j (x) = q(x) (x x )... (x x n ) j= für ein q P n, d die linke Seite x,...,x n ls Nullstellen ht. Integrtion ergibt p(x) dx = p(x j ) l j (x)dx + q(x) (x x )... (x x n )dx j= } {{ } =0 nch (.5) = p(x j ) g j, j= lso ist die Qudrturformel exkt für lle p P 2n. Zur Fehlerformel: Sei f C 2n [, ]. P P 2n sei sein Interpolnt zu den doppelten Nullstellen x,...,x n (Hermite-Interpoltion in x,...,x n ). Dnn ist f(x)dx g i f(x i ) = f(x)dx g i P(x i ) = f(x)dx P(x)dx, d P P 2n. Restgliedformel für Interpoltion: f(x) P(x) = (x x ) 2... (x x n ) 2 D 2n f(ξ) (2n)! = D2n f(ξ) (2n)! L n(x) 2 Mit Integrtion folgt die Aussge. Bemerkungen Teil 2 des Beweises zeigt, dß die Gußqudrtur uch ls Interpoltionsqudrtur interpretiert werden knn, und zwr mit einem Hermitenstz: p interpoliert f und f in den Stützstellen x i. Werte der Konstnten c n : n 2 3 c n Aufgbe: Zeige, dß die Gewichte g i immer positiv sind! 9

12 Gußqudrtur mit Gewichtsfunktionen Die oben gezeigte Herleitung der n-punkt Guß-Legendre-Regel läßt sich verllgemeinern uf Integrle I(f) := ω(x)f(x) dx, wobei ω C[, b] eine positive Gewichtsfunktion ist. Wieder ist eine Qudrturformel J(f) := w i f(x i ) gesucht, die für Polynome möglichst hohen Grdes exkt sein soll. Folgende Aussgen gelten (hier ohne Beweis, siehe dzu Stoer):. Es gibt eindeutig bestimmte normierte Polynome p n, n =, 2,..., (mit p 0 = ), die bezüglich des uf C[, b] definierten Sklrproduktes orthogonl sind: f, g := ω(x)f(x)g(x) dx p i, p j = 0 für i j. (Zum Gewicht ω(x) = sind dies die oben eingeführten Legendre- Polynome, zu ω(x) = e x die Lguerre-Polynome, etc.) 2. Die Nullstellen x i, i =,...,n, von p n sind lle reell, einfch und im Inneren von [, b]. 3. Die Gewichte w i ergeben sich us dem lineren Gleichungssystem p 0, p 0 p 0 (x ) p 0 (x n ) w = 0., p n (x ) p n (x n ) w n }{{} 0 invertierbr! 0

13 denn w i p k (x i ) = ω(x)p k (x) dx = p k, p 0 für k = 0,,...,n. 4. Die so bestimmte Qudrturformel ist exkt für lle p P 2n, Exktheit für P 2n ist nicht erreichbr! 5. Fehlerformel für f C 2n [, b]: ω(x)f(x) dx w i f(x i ) = D 2n f(ξ) (2n)! p n, p n Vor- und Nchteile der Gußqudrtur + sehr effizient (für n Funktionsuswertungen ds genueste Ergebnis) ber nicht dptiv (Fehlerkontrolle?) Modifiktion: Guß-Kronrod, bis Ordnung 52! In der Prxis ist die Gußqudrtur vor llem bei 2- und 3-dimensionlen Integrlen wichtig, z.b. in der Methode der finiten Elemente.

14 Der Peno-Kern-Stz An dieser Stelle noch ein Stz, der eine sehr llgemeine Form der Restgliedoder Fehlerdrstellung ermöglicht, sowohl für die numerische Qudrtur ls uch für die Interpoltion. Gegeben sei ein lineres Funktionl L uf C m+ [, b], Lf := k ij f (j) (x ij ) + j=0 k j=0 ω j (x)f (j) (x) dx, k m. Stz.2 Peno-Kern Seien die Stützstellen und Gewichte x ij, ij R und die Gewichtsfunktionen ω j C[, b] so gewählt, dß Lp = 0 für lle Polynome p P m. Dnn knn Lf für f C m+ [, b] in der Form mit dem Peno-Kern Lf = f (m+) (t)k m (t) dt K m (t) := m! L x(x t) m + und den bgeschnittenen Potenzfunktionen { (x t) m 0 für x < t + := (x t) m für x t drgestellt werden. Beweis: Tylorformel mit Restglied für f: f(x) = f() + f ()(x ) m! f(m) ()(x ) m }{{} Polynom vom Grd m + m! x f (m+) (t)(x t) m dt 2

15 Lf = m! L ( x = m! L ( = m! ) f (m+) (t)(x t) m dt ) f (m+) (t)(x t) m + dt f (m+) (t)l x (x t) m + dt d (x t) m + = 0 für t > x Hierbei steht L x für die Anwendung von L in Bezug uf die Vrible x (und nicht t). Wrum drf mn L und ds Integrl vertuschen? Anwendung des Stzes: Fehlerdrstellung bei Qudrturformeln, uch flls f nicht genügend gltt für klssische Restglieddrstellung ist..3 Summenformeln Zerlegung des Intervlls [, b] in n Intervlle der Länge h = (b )/n. Setze x k := + k h, f k := f(x k ) für k = 0,...,n. In jedem Teilintervll [x k, x k+ ] wende elementre Qudrturformel n und summiere uf. ) Trpezsumme J(f) = h ( 2 f 0 + f + f f n + 2 f ) n us Anwendung Trpezregel 2 h(f k + f k+ ) und Aufsummtion. f =x b=x 0 n x Fläche = /2 h(f k k + f k+) 3

16 Fehler: R(f) = I(f) J(f) = n k=0 = n 2 h3 f (ξ k ) k=0 x k+ (x x k )(x x k+ ) f }{{} (ξ k (x)) dx x k r(x) = 2 (b n )h2 n f (ξ k ) = 2 (b )h2 f (ξ) Skizze Gewichtsfunktion r: k=0 b x r(x) girlndenförmig b) Simpsonsumme: Anloger Anstz mit Fssregel sttt Trpezregel: Skizze: 4

17 J(f) = h 3 (f 0 + 4f + 2f 2 + 4f f n 2 + 4f n + f n ) Fehler R(f) = (b )h 4 f (4) (ξ)/80 (Einsetzen n = 2 und h = (b )/2) liefert den Fehler der Fssregel.) Adptiver Simpson Adptivität ist eine wichtige Eigenschft numerischer Verfhren. Mn will eine Berechnung nur bis zu einer gewissen Genuigkeitsforderung wie etw 5 Stellen durchführen und dnn bbrechen, um nicht unnötig viel Rechenufwnd zu investieren. Ein äquidistntes Gitter verlngt einen unverhältnismäßig hohen Aufwnd, um solch eine Genuigkeitsforderung zu erfüllen, wenn der Integrnd einen lokl sehr unterschiedlichen Verluf ht: Von einem guten dptiven Verfhren wird mn erwrten, dss es dort ein verfeinertes Gitter einsetzt, wo der Integrnd f strke Nichtlineritäten ufweist. Ein Beispiel für ein robustes und effizientes dptives Qudrturverfhren ist der dptive Simpson, der uf der Fssregel bsiert. Idee: Sei [, b] ds ktuelle Intervll. Berechne I(f) über die Fssregel und schätze den Fehler. Flls der Fehler klein genug ist, breche b. Andernflls unterteile [, b] in zwei Hälften [, ( + b)/2] und [( + b)/2, b] und fhre rekursiv fort. 5

18 Zur Durchführung eines dptiven Algorithmus brucht mn einen Fehlerschätzer. In unserem Fll eignet sich dzu die Informtion, die us Fssregel und Simpsonsumme folgt. Fssregel: J(f)[, b] = b 6 ( f() + 4f ( +b 2 ) + f(b) ) Simpsonsumme (2-fche Anwendung der Fssregel, Aufsummtion): Ĵ(f)[, b] = J(f)[, ( + b)/2] + J(f)[( + b)/2, b] Fehler der Fssregel (h = (b )/2): J(f) = I(f) + (b )h 4 f (4) (ξ)/80 Fehler der Simpsonsumme: Ĵ(f) = I(f) + (b )(h/2) 4 f (4) (ξ )/80 Drus gewinnt mn mit der Annhme f (4) (ξ). = f (4) (ξ ) den Fehlerschätzer: Algorithmus.: Adptiver Simpson Gegeben TOL; Berechne J := J(f)[, b], Ĵ := Ĵ(f)[, b]; { Ĵ flls J Ĵ < 5 TOL I(f)[, b] := I(f)[, +b 2 ] + I(f)[+b 2, b] sonst 6

19 Bemerkungen Ds Abbruchkriterium knn mn mit der ktuellen Intervlllänge sklieren: Forderung J Ĵ < 5 TOL (b ). In der Prxis wird mn zusätzliche Heuristiken einführen, um den Algorithmus robust zu mchen. Sttt Ĵ knn mn uch die bessere Approximtion J = (6Ĵ J)/5, den sogennnten extrpolierten Wert, ls Lösung hernehmen. Der Fehlerschätzer bezieht sich ber uf Ĵ und nicht uf J. Ds gleichzeitige Unterteilen nch links und rechts bezeichnet mn uch ls Rndwertmethode, im Gegenstz zur Anfngswertmethode, bei der mn bei strtet und sich sukzessive bis nch b vorrbeitet. Die Nmensgebung stmmt von den Aufgbenstellungen bei der numerischen Simultion von Differentilgleichungen. 7

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