Falls die Werte von X als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufallsvariable.

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1 Sttistik I für Sttistiker, Mthemtiker und Informtiker Lösungen zu Bltt 11 Gerhrd Tutz, Jn Ulbricht, Jn Gertheiss WS 7/8 Theorie: Stetige Zufllsvriblen Begriff Stetigkeit: Eine Vrible oder ein Merkml X heißt stetig, flls zwischen zwei beliebigen Werten < b des Definitionsbereiches überbzählbr viele Zwischenwerte möglich sind. Flls die Werte von X ls Ergebnisse eines Zufllsvorgngs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufllsvrible. Definition: Eine Zufllsvrible X heißt stetig, flls es eine integrierbre Funktion f : R [, ) gibt, so dß für jedes Intervll [, b] P ( X b) b f()d gilt. Die Funktion f() heißt Dichtefunktion (oder Whrscheinlichkeitsdichte) von X. Bemerkung: Die Integrtion wird oft so schwierig, dß sie mit numerischen Verfhren m Computer durchgeführt werden muß. Eigenschften der Dichtefunktion: () Für stetige Zufllsvriblen X gilt P ( X b) P ( < X b) P ( X < b) P ( < X < b). (b) P (X ). Drus folgt, dß f() keine Whrscheinlichkeit ist. Die Dichten können dher uch Werte f() > 1 nnehmen. (c) Nichtnegtivität (d) Normierungseigenschft: f()d 1, d.h. die Gesmtfläche zwischen -Achse und der Dichte f() ist gleich 1. Als Träger T der stetigen Zufllsvriblen X bezeichnet mn die Menge ller Argumente, für die f() >, d.h. T { : f() > }. Definition: Als Verteilungsfunktion einer stetigen Zufllsvrible bezeichnet mn die Beziehung Eigenschften: F () : P (X ) P ( < X ) f()d. () F () ist stetig und monoton wchsend mit Werten im Intervll [, 1]. (b) Für die Grenzen gilt (c) Für Werte von, n denen f() stetig ist, gilt F () lim F ( ) lim F () 1. F () df () d f(), d.h. die Dichte ist die Ableitung der Verteilungsfunktion. 1

2 (d) Für Intervlle erhält mn P ( X b) F (b) F (), P (X ) 1 F (). Lösung Aufgbe 59 () FALSCH. f() knn uch größer ls eins sein. Beispiel: X U([, b]), dnn ist f() 1 b > 1 für b < 1. (b) RICHTIG. Es gilt F () f(t)dt f(t)dt + f(t)dt f(t)dt 1. (c) RICHTIG. f(t)dt f(t)dt f(t)dt 1 F (). (d) RICHTIG. F ( i ) i f(t)dt i j j f(t)dt + f(t)dt f(t)dt F ( j ). i Lösung Aufgbe 6 Die Dichtefunktion von X lutet 1 +, für 1, f() 1, für < 1,, sonst. Dichte- und Verteilungsfunktion sind in Abbildung 1 drgestellt. Dichtefunktion f() Verteilungsfunktion F() f()...8 F() Abbildung 1: Dichte- und Verteilungsfunktion zu Aufgbe 6

3 () Wie mn leicht sieht, ist f() stets erfüllt. Für ds Integrl erhlten wir f(t)dt 1 1 f(t)dt 1 (1 + t)dt + t 1 + t + t 1 t (1 t)dt (b) Es gilt F () f(t)dt mit, < 1, F () 1 f(t)dt, 1,.5 + f(t)dt, < 1, 1, > 1, < 1, + + 1, 1, + + 1, < 1, 1, > 1 (c) Wir erhlten P ( X.5) P (.5 X.5) P (X.5) P (X <.5) F (.5) F (.5) ( ) 1 +. Lösung Aufgbe 61 Gesucht ist 1 F (5). Zunächst muss die Konstnte C bestimmt werden. Wir verwenden hierfür die Eigenschft der Verteilungsfunktionen stetiger Zufllsvriblen, dss Ce d 1 gelten muss. Zur Bestimmung des Integrls muss die prtielle Integrtion verwendet werden. Die Formel der prtiellen Integrtion für, b IR {, } lutet b u()v ()d u()v() b b u ()v()d. Wir wählen u() C und v () e. Dmit ergibt sich u () C und v() e. Wenden wir nun die prtielle Integrtion n, so erhlten wir Ce d Ce + C C( e ) C( + ) C. 1 C.5. e d Verwenden wir die Zwischenergebnisse des letzten Schrittes zusmmen mit C.5, so erhlten wir für

4 die Verteilungsfunktion F () Ce d 1 e + 1 e d 1 e (e ) und dmit 1 e + 1 e 1 e (1 + 1 ) 1 F (5).5e Die Whrscheinlichkeit, dss ds System mindestens 5 Monte lng funktioniert beträgt.87. Lösung Aufgbe 6 Theorie: Prmeter stetiger Zufllsvriblen Definition: Sei X eine bsolutstetige Zufllsvrible mit Dichtefunktion f. Dnn ist der Erwrtungswert von X definiert ls E(X) f()d, flls f() Riemnn-integrierbr ist. Eigenschften: () Trnsformtionen: Sei g() eine reelle Funktion. Dnn gilt für Y g(x) E(Y ) E(g(X)) g()f()d. (b) Linere Trnsformtionen: Für Y X + b ist R E(Y ) E(X + b) E(X) + b. (c) Symmetrische Verteilungen: Ist die Dichte f() symmetrisch um den Punkt c, d.h. ist f(c ) f(c + ) für lle, so gilt E(X) c. (d) Additivität: Für zwei Zufllsvriblen X und Y ist E(X + Y ) E(X) + E(Y ). Allgemeiner gilt mit beliebigen Konstnten 1,..., n E( 1 X n X n ) 1 E(X 1 ) n E(X n ). Modus: Jeder -Wert, für den f() ein Mimum besitzt, ist Modus, kurz mod. Flls ds Mimum eindeutig ist und f() keine weiteren loklen Mim besitzt, heißt f() unimodl. Medin und Quntile: Für < p < 1 ist ds p-quntil die Zhl uf der -Achse, für die F ( p ) p gilt. Der Medin med ist ds 5%-Quntil, es gilt lso F ( med ) 1. Für streng monotone Verteilungsfunktionen F () sind p-quntil und Medin eindeutig bestimmt. R

5 Definition: Die Vrinz V r(x) einer stetigen Zufllsvrible X mit Dichte f() ist σ V r(x) ( µ) f()d mit µ E(X). Die Stndrdbweichung ist σ + V r(x). Eigenschften: () Es gilt V r(x) E((X µ) ). (b) Verschiebungsregel bzw. R V r(x) E((X ) E(X)) E(X ) µ V r(x) E((X c) ) (µ c). (c) Linere Trnsformtionen: Für Y X + b ist Lgeregel: Zur Aufgbe: V r(y ) V r(x + b) V r(x), σ Y σ X. symmetrisch unimodl, wenn mod med E(X) rechtsschief, wenn mod < med < E(X) linksschief, wenn mod > med > E(X) () Dmit f() eine Dichte ist, muß f()d 1 gelten. Dies ist äquivlent zu c( )d 1 ( ) c 1 ( 9 c 6 ) c 1 c. (b) Anstz für die Berechnung der Verteilungsfunktion: F () f()d ( )d ( ) Für die Verteilungsfunktion erhält mn dmit, für <, F () +, für, 1, für >. (c) Die Whrscheinlichkeiten lssen sich über die Verteilungsfunktion bestimmen ls P (X >.1) 1 P (X.1) 1 F (.1) 1 ( )

6 P (.1 < X <.8) P (X.8) P (X.1) (d) Die bedingte Whrscheinlichkeit berechnet sich ls F (.8) F (.1) P ( X X.1) P ({ X } {X.1}) P (X.1) P ( X.1) P (X.1) F (.1) F ( ) F (.1) 1. Die stochstische Unbhängigkeit der Ereignisse läßt sich nchweisen, indem mn zeigt, dss die Whrscheinlichkeit für ds gemeinsme Ereignis mit dem Produkt der Einzelwhrscheinlichkeiten übereinstimmt: P ({ X } {X.1}) P ( X.1) F (.1).1 P ( X ) P (X.1) (F () F ( )) F (.1) (e) Für den Erwrtungswert erhält mn E(X) ( 7 8. f()d ) (1 ) F (.1).1 P ({ X } {X.1}) ( )d ( )d Die Dichtefunktion f() ( )1 [,] () nimmt ihr (lokles) Mimum n der Stelle n. Dher mod. Der Medin berechnet sich ls F ( med ).5 med med +.5 med med +.5 (1) med () med D () med.771 ußerhlb des Trägers T [, ] liegt, gilt med (1) med.771. D E(X) < med < mod hndelt es sich um eine linksschiefe Verteilung. 6

7 Die Vrinz ermittelt mn, indem mn zunächst E(X ) berechnet ls E(X ) worus sich die Vrinz ergibt ls ( 81 6, f()d ( )d ) 7 16 V r(x) E(X ) E(X) 6 ( )d + 8 ( )