Stammfunktionen, Hauptsätze, unbestimmtes Integral

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1 Stmmfunktionen, Huptsätze, unbestimmtes Integrl Sei I ein Intervll, f beschränkt uf I und R-integrierbr für jedes [, b] I, und I. Dnn heißt die Funktion F mit D(F ) = I und F () = f(t)dt Integrl von f ls Funktion der oberen Grenze (bzw. kurz Integrlfunktion). Bemerkung. F ist stetig uf I. Beweis. Sei I. Wähle [, b] mit [, b] I. Auf [, b] gelte f() M. Sei nun ( n ) eine Folge us [, b] mit n. Dnn gilt n F ( n ) F () = f(t)dt f(t)dt = n f(t)dt n f(t) dt M n. Drus folgt F ( n ) F (). Stz. (. Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) f stetig n I F differenzierbr in und F () = f(). Beweis. Sei ( n ) eine Folge us I mit n, n. Sei weiters ε > beliebig. Aus der Stetigkeit von f n folgt : δ ε > mit t < δ ε f(t) f() < ε. Weiters N ε mit n < δ ε für n > N ε. Für n > N ε gilt dnn { } F ( n) F () n n f() = n f(t)dt f(t)dt f() = n = n f(t)dt f() = n n (f(t) f())dt

2 n n f(t) f() dt n ε n = ε. F ( n) F () n f(). Dies bedeutet ber Definition. Die Funktionen f und F seien uf dem Intervll I definiert, F sei dort differenzierbr und es gelte F () = f(). Dnn heißt F Stmmfunktion von f uf I. Beispiel ist eine Stmmfunktion von 3 +, e + sin + ist eine Stmmfunktion von e + cos. Bemerkung. Jede uf I stetige Funktion besitzt dort eine Stmmfunktion, nämlich F () = f(t)dt. Sind F () und F () Stmmfunktionen von f() uf I, dnn gilt für ϕ() = F () F (), dss ϕ () = uf I. Dnn ist ber ϕ = C.. const., lso F () = F () + C. Somit unterscheiden sich zwei Stmmfunktionen nur durch eine dditive Konstnte. Stz. (. Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) Sei f stetig uf [, b] und F eine Stmmfunktion von f uf [, b]. Dnn gilt f(t)dt = F (b) F (). Beweis. F () = f(t)dt ist ebenflls eine Stmmfunktion, dher eistiert eine Konstnte C mit F () = F () + C. Mit = erhlten wir = F () = F () + C. Mit = b erhlten wir F (b) = f(t)dt = F (b) + C.

3 Subtrktion der beiden Gleichungen liefert die Behuptung. Bemerkung. Die obige Aussge gilt uch unter der schwächeren Vorussetzung, dss f lediglich R-integrierbr uf [, b] ist. Anmerkungen. (i) Oft schreibt mn f(t)dt = F () b = F (b) F (). (ii) Ist f R-integrierbr uf [, b], dnn folgt drus nicht notwendigerweise, dss f eine Stmmfunktion uf [, b] besitzt. { wenn f() = keine Stmmfunktion uf [, ]. wenn < (iii) Ht f uf [, b] eine Stmmfunktion, dnn ist f nicht notwendigerweise R-integrierbr. Beispiele. ) e t dt : f() = e, F () = e e t dt = e b e ) 3) tdt : f() =, F () = 3 3/ t dt : f() =, F () = ln tdt = 3 b3/ t dt = ln = ln Definition. Sei f uf dem Intervll I definiert und besitze dort eine Stmmfunktion. f()d = {F : F ist Stmmfunktion von f uf I} nennt mn dnn unbestimmtes Integrl. (Ds unbestimmte Integrl von f ist lso per definition die Klsse ller Stmmfunktionen von f. Diese läßt sich stets mit Hilfe einer speziellen Stmmfunktion F () in der Form F () + C usdrücken) 3

4 D Differentition und Integrtion zueinnder inverse Prozesse sind, lssen sich bereits viele Stmmfunktionen ngeben, z.b. n d = n+ n+ + C, weil ( n+ n+ ) = n (n N). Weitere Beispiele. ) α d = α+ α+ b) d = d c) e d = e + C uf R + C uf I = (, ) und für α = ln + C uf I = (, ) d) d = + C uf I = (, ) e) d cosh = tnh + C uf R f) d + = rctn + C uf R etc. Stz. (Linerität des unbestimmten Integrls) Wenn die Funktionen f und g uf I Stmmfunktionen F bzw. G besitzen, dnn uch die Funktion λf + µg (λ, µ R) und es gilt (λf + µg)()d = λf () + µg() = λ f()d + µ g()d. Beweis. λf () + µg() ist eine Stmmfunktion von λf() + µg(), weil (λf () + µg()) = λf () + µg () = λf() + µg(). Wir diskutieren nun verschiedene Möglichkeiten zur Bestimmung von Stmmfunktionen. ) Integrtion durch Substitution Sei F () eine Stmmfunktion von f() und sei = u(ξ). Dnn ist G(ξ) = F (u(ξ)) nch der Kettenregel offenbr eine Stmmfunktion von 4

5 f(u(ξ))u (ξ). ( G (ξ) = df d (u(ξ))u (ξ) = f(u(ξ))u (ξ) ) Beispiel. F () = ist Stmmfunktion von f() =. Mit = sin ξ gilt lso, dss G(ξ) = sin ξ eine Stmmfunktion von sin ξ cos ξ ist. D.h. sin ξ cos ξdξ = sin ξ + C. Gilt = u(ξ) und ξ = u (), und ist G(ξ) eine Stmmfunktion von f(u(ξ))u (ξ), dnn ist wiederum nch der Kettenregel F () = G(u ()) eine Stmmfunktion von f(). ( F () = dg dξ (u ()) du d = f(u(u ())) du du dξ d = f() ) Beispiele. ) Betrchte sin 5+ d. Setze ξ = 5+ bzw. = u(ξ) = ξ 5. Dnn ist u (ξ) = 5 und f(u(ξ))u (ξ) = 5 sin ξ, welche die Stmmfunktion G(ξ) = 5 cos ξ besitzt. Dmit ist F () = G(u ()) = 5 sin 5+, i.e. sin 5+ d = 5+ 5 cos + C. cos 5+ eine Stmmfunktion von Informell : ξ = 5+ d = 5 bzw. d = 5dξ. Wir erhlten 5 sin ξdξ = 5+ 5 cos ξ + C. Nun Rücksubstitution mittels ξ =., dξ ) Betrchte + 3d. Setze ξ = + 3. Dnn ist dξ d = 3 und 3 dξ = d. Wir erhlten 3 ξ dξ = 3 ξ dξ = 3 ξ = 3 ξ + C = C. 5

6 3) Betrchte + d. Setze ξ = + bzw. = + ξ. Dnn ist d dξ = ξ bzw. d = ξdξ. Wir erhlten +ξ ξ ξdξ = ξ + 3 ξ3 + C. Rücksubstitution liefert + d = ( + )3/ + C. ) Prtielle Integrtion Seien f() und g() stetig differenzierbr uf einem Intervll I. Dnn gilt f()g ()d = f()g() f ()g()d (wobei = so zu verstehen ist, dss sich linke und rechte Seite nur um eine Konstnte unterscheiden) Beweis. Aus der Stetigkeit von f () und g () folgt mit dem. Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung, dss f()g () und f ()g() jeweils eine Stmmfunktion besitzen. Sei nun H() eine Stmmfunktion von f ()g() uf I. Dnn ht die rechte Seite die Form f()g() H() = R(). Wegen R () = (f()g()) H () = f ()g() + f()g () f ()g() = f()g () ist R() uch Stmmfunktion von f()g (), womit die Behuptung gezeigt ist. Beispiele. ) I = ( + ) cosh d. Setze f() = + und g () = cosh. Dnn ist f () = und g() = sinh. Dmit ist I = ( + ) sinh sinh d. Erneute prtielle Integrtion mit u() = und v () = sinh ergibt I = ( + ) sinh ( cosh cosh d) = 6

7 = (3 + ) sinh cosh + C. ) I = ln d. Setze f() = ln und g () =. Dnn ist f () = und g() =. Also ist I = ln d = ln + C. 3) I = e sin d. Setze f() = e und g () = sin. Dnn ist f () = e und g() = cos. Also ist I = e cos + e cos d. Erneute prtielle Integrtion mit u() = e und v () = cos ergibt I = e cos + e sin e sin d = e cos + e sin I. Dmit ist I = e (sin cos ). 3) Integrle rtionler Funktionen Sei I = R()d, wobei R() = P () Q() eine rtionle Funktion ist und der Grd von P () echt kleiner ls der Grd von Q() ist. Prtilbruchzerlegung führt uf Integrle der Form d α+β ( c) bzw. m ( ++b) d, welche in der Formelsmmlung gefunden werden m können. Die vorgestellten Methoden können ntürlich uch zur Bestimmung von bestimmten Integrlen herngezogen werden. Sind f, g stetig differenzierbr uf dem Intervll [, b], dnn gilt f()g ()d = f()g() b b f ()g()d Bei einer Substitution = u(ξ) bzw. ξ = u () müssen die Grenzen 7

8 mitsubstituiert werden. Beispiele. ) Sei I = f () = +, g() = I = rctn d. Setze f() = rctn, g () =. Dnn ist. Dmit ist rctn d = rctn = π 8 ( rctn ) = π 8 ( π 4 ) = π 4. + d = π 8 ( + )d = ) Sei I = dξ = e d. ln e +e d. Setze + e = ξ. Dnn ist Für = ist ξ =, und für = ln ist ξ = 3. Wir erhlten 3 dξ ξ = ξ 3 = ( 3 ). dξ d = e bzw. Anlog zu den Mittelwertsätzen der Differentilrechnung gibt es uch solche der Integrlrechnung. Der. MWS der Differentilrechnung besgt, dss es im Intervll (, b) eine Stelle ξ gibt, n der die Steigung des Grphen von f der Steigung der Seknte entspricht. Anlog dzu besgt der. MWS der Integrlrechnung, dss es eine Stelle ξ (, b) gibt, sodss f()d gleich dem Flächeninhlt eines Rechtecks mit Seitenlängen b und f(ξ) ist. Stz. Sei f (. Mittelwertstz der Integrlrechnung) stetig uf [, b]. Dnn eistiert eine Stelle ξ (, b) mit f()d = f(ξ)(b ). 8

9 Beweis. Die Funktion F () = f(t)dt ist stetig differenzierbr uf [, b]. Anwendung des. MWS der Differentilrechnung uf F () liefert : ξ (, b) sodss F (b) F () = F (ξ)(b ) und dmit f()d = F (b) F () = F (ξ)(b ) = f(ξ)(b ). Bemerkung. Der vorhergehende Stz läßt sich in folgender Weise erweitern : Seien f, g stetig uf [, b] und g() (bzw. g() ) uf [, b]. Dnn eistiert ein ξ (, b) mit f()g()d = f(ξ) g()d. Bemerkung. (. Mittelwertstz der Integrlrechnung) Auf [, b] seien f monoton und f und g stetig. Dnn eistiert ein ξ (, b) mit ξ f()g()d = f() g()d + f(b) g()d. ξ 9