Analysis II. 5 Integration. Inhaltsverzeichnis. 5.1 Das Riemann-Integral. Walter Bergweiler. Sommersemester 2007 Fassung vom 6.

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1 5 Integrtion Anlysis II Wlter Bergweiler Sommersemester 7 Fssung vom 6. Juli 7 Diese Vorlesung ist eine Fortsetzung der Vorlesung Anlysis I us dem Wintersemester 6/7. Die Nummerierung dieser Vorlesung wird hier fortgesetzt; Verweise wie nch Stz.y.z mit 4 beziehen sich druf. Inhltsverzeichnis 5 Integrtion 5. Ds Riemnn-Integrl Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Integrtionstechniken Integrlform des Tylorrestglieds Folgen und Reihen integrierbrer Funktionen Fourierreihen Uneigentliche Integrle Bogenlänge ebener Kurven Ds Riemnn-Integrl Der Flächeninhlt eines Rechtecks ist ds Produkt der Seitenlängen. Die Idee beim Riemnn-Integrl ist die Approimtion llgemeinerer Flächen durch Rechtecke und dmit die Definition des Flächeninhltes durch einen Grenzübergng. Definition 5.. Seien, b R mit < b. Sei I : [, b]. Weiter sei n N und < < < < n < n b. Dnn heißt Z : {,,..., n } eine Zerlegung von I. Für k {,...,n} heißt I k : [ k, k ] ds k-te Teilintervll der Zerlegung und I k : k k die Länge von I k. Weiter heißt Z : m k I k die Feinheit der Zerlegung Z. Sei ξ (ξ, ξ,...,ξ n ) I I I n (lso ξ k I k für lle k). Dnn heißen die ξ k (oder uch ds n-tupel ξ) Stützstellen zur Zerlegung Z. Sei zusätzlich noch f : I C. Dnn heißt S(Z, ξ) : S(f, Z, ξ) : Riemnnsche Summe von f bzgl. Z und ξ. n f(ξ k ) I k Eine Zerlegung eines kompkten Intervlls ist nch Definition lso nichts nderes ls eine endliche Teilmenge des Intervlls, die die Endpunkte enthält. Schreiben wir im folgenden ber eine Zerlegung Z von [, b] in der Form Z {,,..., n }, so werden wir immer < < < < n < n b nnehmen. Für die Zerlegung Z {,,, 5, 3,, 4} des Intervlls [, 4], geeignete Stützstellen ξ und die durch +sin gegebene Funktion f sind in Abbildung die Rechtecke drgestellt, deren Flächensumme S(f, Z, ξ) ist. k 6 Topologie metrischer Räume 7 6. Metrik, Norm und Sklrprodukt Konvergenz Offene und bgeschlossene Mengen Stetigkeit Kompktheit Zusmmenhng Differentilrechnung in mehreren Veränderlichen Prtielle Ableitungen Differenzierbrkeit Höhere Ableitungen und Tylorformel Lokle Etrem Der Stz über implizite Funktionen Etrem unter Nebenbedingungen Vertuschung von Grenzprozessen Tylorreihen i Abbildung : Eine Riemnnsche Summe. Die Idee ist nun, einen Grenzübergng Z durchzuführen. Definition 5.. Sei I R kompktes Intervll und f : I C. Dnn heißt f Riemnn-integrierbr (kurz uch: integrierbr) flls es ein S C gibt, so dss für lle ε > ein δ > mit folgender Eigenschft eistiert: Ist Z eine Zerlegung von I mit Z < δ und sind ξ zugehörige Stützstellen, so gilt S(f, Z, ξ) S < ε.

2 Eistiert so ein S, so ist es eindeutig und heißt Riemnn-Integrl (kurz uch: Integrl) von f über I. Es wird mit b f()d, b f oder f bezeichnet. I In Quntorenschreibweise lutet die Bedingung wie folgt: S C ε R + δ R + Zerlegungen Z von I Stützstellen ξ zu Z : Z < δ S(f, Z, ξ) S < ε. Die Eindeutigkeit von S ist klr; mn vgl. den Beweis, dss eine konvergente Zhlenfolge nur einen Grenzwert ht. Mn knn b f nicht direkt ls Grenzwert von S(Z, ξ) für Z definieren, d j Z und ξ durch Z nicht eindeutig festgelegt sind. Dennoch übertrgen sich viele Resultte über Grenzwerte ohne weiteres. Beispielsweise ist f genu dnn integrierbr mit S b f ist, wenn für jede Folge (Z n) von Zerlegungen mit Z n und jede zugehörige Stützstellenfolge (ξ n ) gilt, dss S(Z n, ξ n ) S. Auch ds Cuchykriterium gilt nlog: Stz 5.. (Cuchykriterium für Integrierbrkeit) Sei I R kompktes Intervll und f : I C. Dnn ist f genu dnn integrierbr, wenn für lle ε > ein δ > mit folgender Eigenschft eistiert: Sind Z und Z Zerlegunge von I mit Z < δ und Z < δ und sind ξ und ξ Stützstellen zu Z bzw. Z, so gilt S(Z, ξ ) S(Z, ξ ) < ε. In Quntorenschreibweise lutet die Bedingung wie folgt: ε R + δ R + Zerlegungen Z, Z von I Stützstellen ξ, ξ zu Z, Z : Z < δ Z < δ S(Z, ξ ) S(Z, ξ ) < ε. Der Beweis ist nlog zum Cuchkriterium für Funktionengrenzwerte (Stz 3.3.4). Stz 5.. Sei I R kompktes Intervll und f : I C. Ist f stetig, so ist f integrierbr. Zum Beweis benutzen wir folgenden Hilfsstz 5.. Sei I R kompktes Intervll und f : I C. Seien ε, δ > und es gelte f() f(y) < ε für lle, y I mit y < δ. Seien weiter Z, Z Zerlegungen mit Stützstellen ξ, ξ. Ist dnn Z Z und Z < δ, so gilt S(Z, ξ) S(Z, ξ ) < ε I. Beweis. Seien I, I,..., I m die Teilintervlle von Z und I, I,...,I n die Teilintervlle von Z. Dnn gilt m n und es gilt I I I I l, I I l + I l,..., I m I l m + I l m mit < l < < l m : n. Es folgt mit l :, dss S(Z, ξ) S(Z, ξ m n ) f(ξ k ) I k f(ξ k) I k k k m l k m l k f(ξ k ) I j f(ξ j) I j k m l k k jl k + < ε I. jl k + k jl k + f(ξ k ) f(ξ j) I j }{{} <ε Beweis von Stz 5... Sei ε >. D f gleichmäßig stetig ist, eistiert δ > mit f() f(y) < ε : ε für lle, y I mit y < δ. I Es seien jetzt Z, Z Zerlegungen von I mit Stützstellen ξ, ξ. Es gelte Z < δ und Z < δ. Für Z : Z Z und beliebige Stützstellen ξ zu Z folgt mit Hilfsstz 5.. dnn S(Z, ξ ) S(Z, ξ ) S(Z, ξ ) S(Z, ξ) + S(Z, ξ) S(Z, ξ ) < ε I +ε I ε. Die Behuptung folgt mit dem Cuchykriterium (Stz 5..). Beispiel. Sei I [, ] und f : id I, lso f(). Dnn ist f stetig. Es sei Z n {,, n,...,, } und ξ n n n n (, n,...,, ). Dnn gilt Z n n n n und n n k S(Z n, ξ n ) n n n k n(n + ) ( + ) n n n, k k lso d. Die Umkehrung von Stz 5.. gilt nicht, d. h., integrierbre Funktionen müssen nicht stetig sein. Zum Beispiel zeigt mn leicht, dss Funktionen mit endlich (oder sogr bzählbr unendlich) vielen Unstetigkeitsstellen integrierbr sind. Es gilt ber der folgende Stz. Stz 5..3 Integrierbre Funktionen sind beschränkt. Wir skizzieren nur die Beweisidee: Sind I, f wie vorher, und ist f unbeschränkt, so eistiert eine Folge ( k ) in I mit f( k ). Sei nun Z eine Zerlegung mit Stützstellen ξ (ξ,...,ξ n ). Sei I jk ds Teilintervll, welches k enthält. (Flls k Z ist, ber k kein Rndpunkt von I ist, eistieren zwei Teilintervlle mit dieser Eigenschft. In diesem Flle sei I jk irgendeines dieser beiden.) Wir betrchten die Stützstellen ξ (k), die wir ddurch erhlten, dss wir ξ jk durch k ersetzen, lso ξ (k) (ξ,...,ξ jk, k, ξ jk +,..., ξ n ). Dnn folgt S(Z, ξ (k) ). Stz 5..4 Sei I kompktes Intervll und seien f, g : I C integrierbr. Sei c C. Dnn sind uch f+g, c f und f integrierbr und es gilt I (f+g) I f+ I g, I c f c I f und I f I f. Beweis. Die erste Behuptung folgt us Die nderen erhält mn nlog. S(f + g, Z, ξ) S(f, Z, ξ) + S(g, Z, ξ). Stz 5..5 Sei I kompktes Intervll und f : I C. Dnn ist f genu dnn integrierbr, wenn Ref und Imf integrierbr sind. In diesem Fll gilt I f I Ref + i I Imf. Der Beweis folgt unmittelbr us Stz Mn knn sich lso uf die Integrtion reellwertiger Funktionen beschränken. Für beschränktes f : I R und eine Zerlegung Z von I nennt mn S(Z) : S(f, Z) : sup S(Z, ξ) ξ 3

3 bzw. S(Z) : S(f, Z) : inf S(Z, ξ) ξ Riemnnsche Ober- bzw. Untersumme von f. Dbei sind Supremum bzw. Infimum über lle Stützstellen ξ zur Zerlegung Z zu nehmen. Für Z Z gilt dnn Mn nennt bzw. S(Z ) S(Z) S(Z) S(Z ). f : inf S(Z) I Z f : sup S(Z) I Z oberes bzw. unteres Riemnn-Integrl von f. Hier sind Supremum bzw. Infimum über lle Zerlegungen Z von I zu nehmen. Mn bechte, dss oberes und unteres Riemnn-Integrl (für beschränktes f) immer eistieren. Stz 5..6 (Riemnnsches Integrbilitätskriterium) Sei I kompktes Intervll und f : I R beschränkt. Dnn sind die folgenden Aussgen äquivlent: (i) f ist integrierbr, (ii) I f I f, (iii) Für lle ε > eistiert eine Zerlegung Z mit S(Z) S(Z) < ε. Im Flle der Integrierbrkeit gilt I f I f I f. Beweis. Übung. Stz 5..7 Seien I, J kompkte Intervlle, f : I J integrierbr und φ : J R stetig. Dnn ist φ f integrierbr. Beweis. Sei ε >. D φ gleichmäßig stetig nch Stz eistiert δ > mit φ() φ(y) < ε : ε für lle, y I mit y < δ. Sei K : m φ(j) I min φ(j). Mn knn nnehmen, dss δ < ε/(k + ). Nun eistiert eine Zerlegung Z {,,..., n } von I mit S(f, Z) S(f, Z) < δ. Wir definieren nun M k : sup f(i k ), m k : inf f(i k ), Mk : sup φ(f(i k)), m k : inf φ(f(i k)), A {k : M k m k < δ} und B {k : M k m k δ}. Für k A ist dnn Mk m k < ε. Außerdem gilt für lle k, insbesondere lso für k B, uch Mk m k K. Desweiteren ist I k (M k m k ) I k n (M k m k ) I k ( ) S(f, Z) S(f, Z) < δ. δ δ δ k B Es folgt k B k S(φ f, Z) S(φ f, Z) 4 n (Mk m k) I k k k A < ε I + Kδ < ε. ε I k + k B K I k Stz 5..8 Sei I kompktes Intervll und seien f, g : I C integrierbr. Dnn sind uch f und f g integrierbr. Außerdem gilt f f I sup f(). I I I Beweis. Für reellwertiges f folgt die Integrierbrkeit von f direkt us Stz 5..7 (mit φ() ). Mit φ() folgt us diesem Hilfsstz uch die Integrierbrkeit von f. Wegen fg 4 ((f + g) (f g) ) erhält mn mit Stz 5..4 dnn uch die Integrierbrkeit von f g, flls f und g beide reellwertig sind. Für komplewertiges f, g erhält mn die Integrierbrkeit von f und f g jetzt mit Stz 5..5 (und wiederum Stz 5..7). Die Abschätzung von I f folgt wegen S(f, Z, ξ) S( f, Z, ξ) I sup f() I für lle Zerlegungen Z von I mit Stützstellen ξ. Durch Abschätzung der Riemnnschen Summen zeigt mn uch leicht folgenden Stz. Stz 5..9 Sei I kompktes Intervll und seien f, g : I R integrierbr. Gilt f() g() für lle I, so gilt I f I g. Folgerung 5.. Ist I kompktes Intervll und f : I R integrierbr, so ist I inf f(i) f I sup f(i). I Die linke bzw. rechte Seite in obiger Ungleichung sind uch die Riemnnsche Unterbzw. Obersumme zu der Zerlegung von I, die nur us den beiden Rndpunkten besteht. Stz 5.. (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei I kompktes Intervll und f : I R integrierbr. Dnn eistiert µ R mit inf f(i) µ sup f(i) und f µ I. Ist f stetig, so eistiert ξ int(i) mit µ f(ξ). I Beweis. Die erste Behuptung folgt us obiger Folgerung, die zweite us dem Zwischenwertstz. Anlog beweist mn ds folgende Ergebnis. Stz 5.. (Erweiterter Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei I kompktes Intervll und seien f, g : I R integrierbr. Sei g() für lle I. Dnn eistiert µ R mit inf f(i) µ sup f(i) und I fg µ g. Ist f stetig, so eistiert ξ int(i) mit µ f(ξ). Stz 5.. Sei I kompktes Intervll und f : I R monoton. Dnn ist f integrierbr. 5

4 Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei f monoton steigend und nicht konstnt. Dnn ist f(b) > f(). Sei ε > und Z Zerlegung von I mit Z < δ : ε/(f(b) f()). Dnn gilt S(f, Z) S(f, Z) < δ n (f( k ) f( k )) I k k n (f( k ) f( k )) k δ(f(b) f()) ε. Stz 5..3 (i) Sind I, J kompkte Intervlle mit J I und ist f : I C integrierbr (über I), so ist uch f J integrierbr (über J). (ii) Seien, b, c R, < b < c und sei f : [, c] C. Sind dnn f [, b] und f [b, c] integrierbr, so ist uch f integrierbr und es gilt Beweis. Übung. c f Wegen (ii) setzt mn für < b und integrierbres f : [, b] C uch f : b b f. Außerdem setzt mn f für f : {} C. Mit diesen Setzungen gilt die Formel in (ii) für lle, b, c R, wenn die uftretenden Integrle definiert sind. 5. Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Definition 5.. Sei I Intervll, F : I C differenzierbr und f : I C. Dnn heißt F Stmmfunktion von f, flls F f. Seien F, G Stmmfunktionen von f, g und sei c C. Unmittelbr sieht mn ein, dss dnn F + G Stmmfunktion von f + g und c F Stmmfunktion von c f ist. Mit F ist uch F +c Stmmfunktion von f. Umgekehrt gilt nch Stz 4.3., dss wenn F und F Stmmfunktionen von f sind, so eistiert c C mit F F + c. Beispiel. Sei I : (, ), f : I R, f(). Eine Stmmfunktion von f ist rccos I, eine ndere ist rcsin I. Mn bechte, dss rccos π rcsin. Stz 5.. (Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) Seien, b R, < b und f : [, b] C integrierbr. b f + (i) Besitzt f eine Stmmfunktion F, so gilt b f F(b) F(). (ii) Sei F : [, b] C definiert durch F() f. Ist f stetig in y [, b], so ist F differenzierbr in y mit F (y) f(y). Ist f stetig in [, b], so ist F Stmmfunktion von f. 6 c b f. Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheitsei f : [, b] R. zu (i): Sei Z {,,..., n } Zerlegung von [, b]. Nch dem Mittelwertstz (der Differentilrechung) eistiert zu k {,..., n} dnn ξ k ( k, k ) mit F( k ) F( k ) F (ξ k )( k k ) f(ξ k )( k k ). Mit ξ (ξ,...,ξ n ) erhält mn F(b) F() F( n ) F( ) n F( k ) F( k ) k n f(ξ k )( k k ) k S(f, Z, ξ). Hierus folgt die Behuptung. zu (ii): Seien, y [, b], y. Dnn gilt nch Stz 5..3 F() F(y) und dmit nch Stz 5..9 F() F(y) f(y) y f y f y f(t)dt f(y) y y y y f(t) f(y) dt y f(t) f(y). sup t [y,] f y dt Ist f stetig in y, so strebt die rechte Seite für y gegen und es folgt F() F(y) lim f(y). y y Die im Huptstz uftretende Differenz F(b) F() schreiben wir im folgenden oft in der Form b b b F, F() oder F(). Beispiel. Es ist rctn für R und dmit + d + rctn rctn rctn π 4. Mn bechte, dss us der Integrierbrkeit nicht die Eistenz einer Stmmfunktion folgt, und us der Eistenz einer Stmmfunktion uch nicht die Integrierbrkeit. 7

5 Beispiele.. Sei f : [, ] R, { flls <, f() flls. Dnn ist f integrierbr und f f + f +. Wäre F Stmfunktion, so wäre nch dem Huptstz F() F( ) f, nch dem Stz von Rolle würde lso ξ (, ) mit f(ξ) F (ξ) eistieren, ein Widerspruch. Also ht f keine Stmmfunktion.. Sei F : [, ] R, { sin flls, F() flls Dnn ist F differenzierbr (vgl. ds Beispiel in 4.) mit { sin F () cos flls, flls Setzt mn( f : F ), so ist lso F Stmmfunktion von f. Es ist ber f nicht integrierbr, d f πk πk für k, k N, und dmit f unbeschränkt ist. Der Huptstz reduziert lso die Berechnung von Integrlen uf ds Auffinden von Stmmfunktionen. Sttt F ist Stmmfunktion von f schreibt mn uch f F oder f()d F(). D für konstntes C mit F uch F +C Stmmfunktion ist, schreibt mn mnchml uch f()d F() + C. Mn nennt Stmmfunktionen uch unbestimmte Integrle. Obige Schreibweisen sind mit Vorsicht zu benutzen! So gilt etw d d rctn und rccot, + + ber es gilt rctn rccot. (Es ist rctn + rccot π.) Flls nichts nderes ngegeben ist, gelten die in den folgenden Beispielen ngegebenen Stmmfunktionen in jedem Intervll, in denen der Integrnd definiert ist. α d α+ α+ d ln, e d e, cos d sin, für α C, α, 8 sin d cos, d rctn, + d ln +, d rcsin, d cos tn, d cot, sin d + ln ( + + ), d ln( + ) für (, ). Die in den letzten beiden Beispielen ngegebenen Stmmfunktionen sind Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen sinh und cosh, d. h., die durch rsinh : R R, ln ( + + ), und rcosh : [, ) [, ), ln ( + ), definierten Funktionen erfüllen rsinh(sinh ) für R bzw. rcosh(cosh ) für [, ). Sie heißen Are sinus (bzw. cosinus) hyperbolicus; vgl Im Intervll (, ) gilt d rcosh( ). 5.3 Integrtionstechniken Kennt mn die Ableitungen zweier Funktionen f und g, so knn mn die von f g, f/g, f g, usw. drus berechnen. Entsprechendes gilt nicht für die Berechnung von Stmmfunktionen. Dennoch gibt es einige nützliche Regeln. Stz 5.3. (Prtielle Integrtion) Seien f, g : [, b] C stetig differenzierbr. Dnn gilt b b b fg fg f g. Beweis. Sei F : [, b] C, F() fg f g. Nch Produktregel und Huptstz, Teil (ii), folgt dnn F f g + fg f g fg. Die Behuptung folgt jetzt mit dem Huptstz, Teil (i). Mn schreibt die Regel der prtiellen Integrtion uch ls f()g()d f()g() f ()g()d. Beispiele.. Für R ist e d e e d e e e e +. 9

6 Es gilt lso e d e e ( )e. (Die dditive Konstnte ist hier weggelssen.). Für > ist ln t dt }{{} }{{} ln t dt t ln t g f t dt ln +. t Wiederum schreibt mn uch ln ln (ln ). Neben der prtiellen Integrtion ist die wichtigste Integrtiosmethode die Substitution. Stz 5.3. (Substitutionsregel) Sei g : [, b] [c, d] stetig differenzierbr und f : [, b] C stetig. Dnn gilt b f(g(t))g (t)dt g(b) g() f()d. Beweis. Nch dem Huptstz ht f eine Stmmfunktion F. Nch Kettenregel ist (F g) (t) F (g(t))g (t) f(g(t))g (t) und dmit ist F g Stmmfunktion von (f g) g. Mit dem Huptstz folgt b b (f g) g F g F g(b) g() g(b) g() f. Die Substitutionsregel knn mn sich merken, indem mn g(t) setzt. Dnn ist d dt g (t). Beispiele.. Es ist t dt t 4 d + t 4 + rctn4.. Es ist e + ln t dt lnt t + d y+ 3. Wir betrchten für [, ] ds Integrl y dy. y dy 3 y 3 3 ( ). Mit y sin t, t rcsin y, wobei y [, ], t [ π, π ], ist dnn y sin t cos t cost cost. Die Subsitutionsregel (mit g(t) sin t, g (t) cost) liefert lso s cos t dt sins y dy für s [, ]. Es folgt lso y dy rcsin rcsin ( t + cos t dt ( + cos t)dt ) rcsin sin t rcsin (t + sin t cost) (rcsin + ). Wir beschreiben jetzt die Integrtion rtionler Funktionen, d. h., Funktionen f der Form f P mit teilerfremden Polynomen P, Q. Wir dürfen grd(p) < Q q : grd(q) nnehmen. (Andernflls führen wir zunächst eine Polynomdivision durch.) Nch dem Fundmentlstz der Algebr (Stz.9.) eistieren c C, k N,,..., k C und m,...,m k N mit k Q(z) c (z j ) mj j für z C. Es gilt dnn k j m j q. Wir dürfen c nnehmen. Wir setzen nun die Koeffizienten von Q ls reell vorus. Dnn gilt Q(z) Q(z) und dmit ist mit uch Nullstelle von Q. Wir fssen in dem Produkt für Q nun konjugiert komplee Nullstellen zusmmen und erhlten wegen (z )(z ) z ( + )z + z Re z + für Q dnn eine Drstellung M N Q() ( j ) mj ( + b j + c j ) nj j mit j, b j, c j R, c j > b j/4, m j, n j N und M j m j + N j n j q. Der Stz von der Prtilbruchzerlegung besgt nun, dss A i,j R, i,...,m, j,...,m i, und B i,j, C i,j R, i,..., N, j,...,n i, eistieren, so dss j P() Q() A, + A, ( ) + + A,m ( ) m + A, + A, ( ) + + A,m ( ) m A M, M + A M, ( M ) + + A M,m M ( M ) mm + B, + C, + B, + C, + b + c ( + b + c ) + + B,n + C,n ( + b + c ) n B N, + C N, + b N + c N + B N, + C N, ( + b N + c N ) + + B N,n N + C N,nN ( + b N + c N ) nn.

7 Der Beweis lässt sich durch vollständige Induktion über q führen; hier nicht. Die Koeffizienten A i,j, B i,j, C i,j knn mn durch Multipliktion mit Q() und Koeffizientenvergleich bestimmen. Die in der Prtilbruchzerlegung rechts stehenden Terme lssen sich nun integrieren. Es ist zunächst A d A ln und A ( ) md A (m )( ) m für m. Wegen + b + c ( + ) b + c b lssen sich die Terme mit 4 ( + b + c) n im Nenner durch eine Substitution uf die Form bringen. Nun ist und für n. Schließlich ist noch β + γ ( + α ) n β + α d β ln ( + α ) β ( + α ) nd β (n ) ( + α ) n d + α α rctn α und für n zeigt prtielle Integrtion, dss d ( + α ) n α + α ( + α ) n d d α ( + α ) n α α + Dmit können die Integrle rekursiv berechnet werden. Beispiel. Mn berechne d ( + α ) n α d (n ) ( + α ) n d ( + α ) n d. }{{} f [ ( ]. ( + α ) n d }{{} g ) (n ) ( + α ) n Zunächst ist Es eistieren nun A, B, C R mit f() : ( + ). ( + ) A + B + C +. Zur Bestimmung der Konstnten A, B, C knn mn ntürlich mit dem Nenner durchmultiplizieren und nschließend Koeffizientenvergleich mchen, ws uf ein lineres Gleichungssystem für A, B, C führt. Einfcher ist, obige Gleichung mit zu multiplizieren und nschließend zu setzen. Dies führt sofort uf A und dmit uf Dies ergibt B + C + ( + ) ( + ) +. f()d ( + ) d + + ln ln( + ) + ln ln5 + ln 3 + ln ln 5 ( 3 + ln 4 5, ) Viele Integrle lssen sich durch geeignete Substitutionen uf Integrle über rtionle Funktionen zurückführen. Sei etw R eine rtionle Funktionen von zwei Veränderlichen, d. h., R(, y) P(, y)/q(, y), wobei P, Q bei festem Polynome in y und bei festem y Polynome in sind. Dnn knn R(sin, cos )d durch die Substitution t tn, rctnt, in ein Integrl über eine rtionle Funktion überführt werden. Die Rechnungen sind llerdings ufwendig. Auch Integrle der Form R(, + b + c)d lssen sich durch geeignete Substitutionen in Integrle über rtionle Funktionen umformen. 5.4 Integrlform des Tylorrestglieds Mit prtieller Integrtion lässt sich uch eine Formel für ds Restglied der Tylorentwicklung gewinnen. Für eine n-ml differenzierbre Funktion f : I R und 3

8 ξ, I htten wir (siehe 4.4) T n () : n k f (k) (ξ) ( ξ) k k! ls Tylorpolynom (vom Grd n) bezeichnet. Für ds Restglied R n () : f() T n () htten wir für (n + )-ml differenzierbres f die Drstellung R n () f(n+) (η) ( ξ)n+ (n + )! mit η zwischen ξ und bewiesen (Stz 4.4.3). Mn nennt dies uch die Lgrngesche Form des Restglieds. Wir leiten noch eine Integrlform des Restglieds her. Wir bezeichnen für ein Intervll I und n N die Menge der n-ml stetig differenzierbren Funktionen von I nch C mit C n (I). Mit C(I) bezeichnen wir die Menge der stetigen (englisch: continuous) Funktionen von I nch C. Sttt C n ([, b]) bzw. C([, b]) schreiben wir C n [, b] bzw. C[, b]. Stz 5.4. Für f C n+ (I) und ξ, I gilt Beweis. Es ist f() f(ξ) + R n () n! ξ f (t)dt f(ξ) + f (t)(t ) ξ t f(ξ) + f (ξ)( ξ) + tξ ξ f (n+) (t)( t) n dt. ξ f (t)(t )dt f (t)( t)dt f(ξ) + f (ξ)( ξ) + f (ξ)( ξ) +..., und die Behuptung folgt durch vollständige Induktion. ξ f (t)( t) dt Ist f reellwertig, so erhält mn mit dem erweiterten Mittelwertstz der Integrlrechnung (Stz 5..) us der Integrlform die Lgrngesche Form des Restglieds. (In Stz wurde llerdings nicht die Stetigkeit von f (n+) vorusgesetzt.) In 4.4 htten wir ds Beispiel f() ln, ξ, untersucht und gezeigt, dss lim n R n () für gilt. Mit Stz 5.4. können wir zeigen, dss dies 4 sogr für < gilt, denn für < < ist R n () ( t) n f (n+) (t)dt n! (t ) n dt t n+ ( t ( ) n ) n dt t dt t ( ) n ln. Für f C n+ (I) folgt us Stz 5.4., und für reellwertiges f uch us Stz 4.4.3, dss Konstnten K, ε R + mit R n () K ξ n+ für ξ < ε eistieren. Nun können T n und R n ber bereits für n-ml differenzierbres f definiert werden. Dnn erhlten wir ber nur schlechtere Abschätzungen. Stz 5.4. Für f C n (I) und ξ, in I gilt Beweis. Es gilt R n () lim ξ ( ξ). n R n () f() T n () f() T n () n! f(n) (ξ)( ξ) n f (n) (t)( t) n dt (n )! ξ n! f(n) (ξ)( ξ) n ( f (n) (t) f (n) (ξ) ) ( t) n dt (n )! ξ ξ n (n )! sup f (n) (t) f (n) (ξ), t wobei ds Supremum über lle t zwischen ξ und zu nehmen ist. Die Behuptung folgt. Für reellwertiges f erhlten wir die Behuptung von Stz 5.4. uch direkt us der Lgrngeschen Form des Restglieds: R n () R n () n! f(n) (ξ)( ξ) n n! ( f (n) (η) f (n) (ξ) ) ( ξ) n. Die obigen Restgliedbschätzungen lssen sich gut mit den sogennnten Lndu- Symbolen beschreiben. Ist M C und ξ Häufungspunkt von M, wobei für M R 5

9 uch ξ ± zugelssen ist, und ist α : M C und β : M R +, so schreibt mn α() α() o(β()) für ξ, flls lim ξ β(), und α() α() O(β()) für ξ, flls lim sup ξ β() <. Dbei lässt mn den Zustz für ξ oft weg, wenn dieser us dem Zusmmenhng hervorgeht. Offensichtlich gilt α() O(β()) für ξ genu dnn, wenn Konstnten K, ε R + eistieren, so dss f() /g() K für ξ < ε, bzw. flls > /ε oder < /ε flls ξ ±. Für ξ, I und f : I C (mit einem Intervll I) erhlten wir dmit: f C n+ (I) R n () O ( ξ n+) für ξ, f C n (I) R n () o ( ξ n ) für ξ. 5.5 Folgen und Reihen integrierbrer Funktionen In 3.7 bzw. 4.4 htten wir untersucht, wnn sich bei einer konvergenten Funktionenfolge us der Stetigkeit bzw. Differenzierbrkeit der Folgenglieder die der Grenzfunktion folgern läßt. Wir betrchten hier ds entsprechende Problem für Integrierbrkeit. Stz 5.5. Sei I kompktes Intervll und (f n ) eine Folge über I integrierbrer Funktionen, die gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergiert. Dnn ist f über I integrierbr und es gilt lim n I f n I f. Beweis. Ist bereits beknnt, dß f integrierbr ist, so folgt lim n I f n f sehr I leicht. Denn ist ε >, so eistiert N N mit sup I f n () f() < ε für lle I n N. Es folgt f I n f (f I I n f) I sup I f n () f() < ε und dmit die Behuptung. Zu zeigen ist lso lediglich die Integrierbrkeit von f. Diese zeigen wir mit dem Cuchykriterium (Stz 5..). Sei dzu ε >. Dnn eistiert N N mit sup I f n () f() < ε für n N. Für jede Zerlegung Z von I mit Stützstellen ξ folgt dnn 3 I S(f N, Z, ξ) S(f, Z, ξ) S(f N f, Z, ξ) < ε 3 I I. D f N integrierbr eistiert δ >, so dß für lle Zerlegungen Z, Z mit Stützstellen ξ, ξ gilt: ist Z < δ und Z < δ, so ist Für Z < δ und Z < δ folgt dmit S(f N, Z, ξ ) S(f N, Z, ξ ) < ε 3. S(f, Z, ξ ) S(f, Z, ξ ) S(f, Z, ξ ) S(f N, Z, ξ ) + S(f N, Z, ξ ) S(f N, Z, ξ ) + S(f N, Z, ξ ) S(f, Z, ξ ) < ε 3 + ε 3 + ε 3 ε. 6 Ntürlich gilt uch wieder eine Anlogon von Stz 5.5. für Reihen. 5.6 Fourierreihen Sei ω R +. Eine Funktion f : R C heißt ω-periodisch, flls f( + ω) f() für lle R. Beispiele π-periodischer Funktionen sind der Cosinus und Sinus und llgemeiner für k Z uch die durch cosk, sin k, e k () : e ik cos k + i sin k definierten Funktionen von R nch C. Wir untersuchen die Frge, wnn eine Funktion f : R C eine Drstellung der Form f k c ke k, lso f() k c ke ik für lle R, besitzt. (Dbei heißt für u : Z C die Reihe k u(k) konvergent, flls die Reihen k u(k) und k u( k) beide konvergieren, und mn setzt dnn k u(k) k u(k)+ k u( k). Anlog definiert mn Begriffe wie bsolute Konvergenz, gleichmäßige Konvergenz, usw. für Reihen von nch.) Mn nennt für n N und c k C, n k n, eine Funktion der Form n c k e ik k n ein trigonometrisches Polynom. Wegen e ik cosk + i sin k gilt n n c k e ik c + ((c k + c k ) cosk + i (c k c k )sin k), k n k mit k : c k + c k und b k : i (c k c k ) lso n c k e ik n + ( k cosk + b k sin k). k n k Mn erkennt leicht, dss k und b k genu dnn reell sind, wenn c k c k gilt. Konvergiert die Reihe k c ke k gleichmäßig, ist durch k c ke ik nch Stz 3.7. (bzw. dem Anlogon dieses Stzes für Reihen) eine stetige Funktion f : R C gegeben. Mit Stz 5.5. (bzw. dem Anlogon dieses Stzes für Reihen) folgt für j Z, dss π ( π f()e ij d c k e )e ik ij d π π π π k k ( k c k e i(k j) )d π c k e i(k j) d. Leicht rechnet mn nch, dss für m Z π { π flls m, e im d flls m, π 7 π

10 gilt. Es folgt π π f()e ij d c j π, lso c j π Dies motiviert folgende Definition. π π f()e ij d. Definition 5.6. Sei f : R C integrierbr über [ π, π] und π-periodisch. Für k Z heißt dnn f(k) : π f()e ik d π der k-te Fourierkoeffizient von f. Für n N heißt π F n () : F n (, f) : ds n-te Fourierpolynom von f und heißt Fourierreihe von f. F() : F(, f) : n k n k f(k)e ik f(k)e ik Die Überlegungen vor der Definition zeigen, dss wenn eine π-periodische Funktion f : R C eine gleichmäßig konvergente Reihenentwicklung f k c ke k ht, dnn gilt c k f(k). Wenn die Fourierreihe F einer π-periodischen Funktion f : R C gleichmäßig konvergiert, gilt lso f(k) F(k). Außerdem ist F stetig. Mn knn zeigen, dss wenn f, g : R C stetige, π-periodische Funktionen mit f(k) ĝ(k) für lle k Z sind, so gilt f g. Wir verzichten uf den Beweis, notieren ber, dss mn hierus ds folgende Ergebnis erhält. Stz 5.6. Sei f : R C stetig und π-periodisch. Die Fourierreihe von f konvergiere gleichmäßig. Dnn gilt f() F(, f) für lle R. Als Anwendung erhlten wir ds folgende Resultt. Stz 5.6. Sei f : R C zweiml stetig differenzierbr und π-periodisch. Dnn konvergiert die Fourierreihe von f gleichmäßig und es gilt f() F(, f) für lle R. Zum Beweis benutzen wir folgenden Hilfsstz. Hilfsstz 5.6. Sei f : R C eine stetige, π-periodische Funktion, die uf ( π, π) differenzierbr ist. Weiter sei f integrierbr über [ π, π]. Dnn gilt f (k) ik f(k). Beweis. Mit prtieller Integrtion folgt π f (k) π π f ()e ik d f()e ik π 8 π π f()( ik)e ik d πik f(k) π und drus die Behuptung. Beweis von Stz Mit M : m [ π,π] f () folgt nch Hilfstz 5.6. f(k) f (k) π k πk f ()e ik d M k für k Z \ {}. Hierus folgt die gleichmäßige Konvergenz der Fourierreihe und dmit die Behuptung wegen Stz In vielen für die Anwendung interessnten Fällen konvergiert die Fourierreihe nicht gleichmäßig, sondern nur punktweise. Andererseits gibt es Beispiele stetiger Funktionen, deren Fourierreihe in gewissen Punkten nicht konvergiert. Ohne Beweis geben wir folgenden Stz n. Dbei heißt eine uf einem Intervll [, b] definierte Funktion f stückweise stetig differenzierbr, wenn es eine Zerlegung {,,..., n } des Intervlls [, b] gibt, so dss für k n eine stetig differenzierbre Funktion f k : [ k, k ] C mit f k () f() für lle ( k, k ) eistiert. Stz Sei f : R C eine π-periodische Funktion, die in [ π, π] stückweise stetig differenzierbr ist. Dnn konvergiert die Fourierreihe F(, f) für lle R und es gilt F(, f) ( ) lim f(y) + lim f(y) y + y für lle R. Es folgt unter den Vorussetzungen des Stzes, dss F(, f) f() in llen Punkten R, in denen f stetig ist. Bevor wir Beispiele betrchten, notieren wir, dss mit π k : k (f) : f(k) + f( k) π π π f() cosk d und ( ) b k : b k (f) : i f(k) f( k) π f() sin k d π π ds n-te Fourierpolynom die Form F n () n + ( k cos k + b k sin k) k ht. Schließlich heißt eine Funktion f : R C gerde flls f( ) f() und ungerde flls f( ) f() für lle R gilt. Hilfsstz 5.6. Sei f : R C integrierbr über [ π, π] und π-periodisch. Ist f gerde, so gilt b k (f) für k N und k (f) π π f() cosk d für k N. Ist f ungerde, so gilt k (f) für k N und für k N. b k (f) π π 9 f() sin k d

11 Der einfche Beweis sei ls Übung überlssen. Beispiel. Sei f die π-periodische Funktion, die für [ π, π] durch { flls π < < π, f() flls ±π, gegeben ist. D f ungerde ist, gilt k für lle k N und π b k (f) sin k d π ( cosk π π k + k ( ) π cos kπ + π k ( )k+ k π ) cosk d für k N. Nch Stz gilt F(, f) f() für lle R. Wir erhlten ( ) k+ sin k k k für π < < π. Für π erhlten wir die Leibnizsche Reihe für π, die wir in us der Tylorreihe des Arcus Tngens gewonnen htten. Einige Fourierpolynome dieser Funktion sind in Abbildung drgestellt Abbildung : Fourierpolynome vom Grd, 3 und 5 für f() Beispiel. Sei f die π-periodische Funktion, die für [ π, π] durch f() gegeben ist. D f gerde ist, gilt b k (f) für k N. D f () für ( π, π), folgt mit Hilfsstz 5.6. und Beispiel, dss k (f) f(k) + f( k) f (k) ik + f ( k) ik für k N und i k k b k(f ) 4 ( )k+ k 4 ( )k k (f) π ( f (k) f ( k)) π d 3 π. D k /k konvergiert, folgt mit Stz 5.6., dss f() F(, f), lso ( ) k 3 π + 4 cosk k k für π π. Einige Fourierpolynome dieser Funktion sind in Abbildung drgestellt Abbildung : Fourierpolynome vom Grd, 3 und 5 für f() Für erhlten wir und dmit π Für π erhlten wir und dmit 3 π + 4 k ( ) k k ( ) k+ k k 6 π π 3 π + 4 k k ( ) k ( ) k k k

12 Beispiel 3. Sei f die π-periodische Funktion, die für [ π, π] durch flls < < π, f() flls π < <, flls oder ±π, gegeben ist. D f ungerde ist, gilt k für lle k N und eine Rechnung zeigt, dss { flls k gerde, b k (f) 4 flls k ungerde. πk Nch Stz gilt wieder F(, f) f() für lle R. Einige Fourierpolynome dieser Funktion sind in Abbildung 3 drgestellt Abbildung 3: Fourierpolynome vom Grd, 3 und Uneigentliche Integrle Bei der Definition von f hben wir vorusgesetzt, dss I kompkt ist, und I us der Eistenz des Integrls konnte die Beschränktheit von f gefolgert werden (Stz 5..3). Wir werden jetzt f in einigen Fällen definieren, in denen I nicht I kompkt oder f nicht beschränkt ist. Definition 5.7. Sei < < b und f : [, b) C. Für lle c [, b) c sei f integrierbr über [, c]. Eistiert dnn lim c b f, so heißt f uneigentlich integrierbr über [, b). Der Grenzwert heißt uneigentliches Integrl von f über [, b) und wird mit b f bezeichnet. Mn sgt uch, dss ds uneigentliche Integrl konvergiert (bzw. divergiert). Anlog definiert mn für < b < und f : (, b] C ds uneigentliche Integrl b f. Im Flle f : (, b) C sgt mn, dss ds uneigentliche Integrl b f eistiert, wenn für c (, b) die beiden uneigentlichen Integrle c f und b f eistieren. Mn c setzt dnn b f c f + b f. (Dies hängt nicht von c b.) Beispiele.. Für α R und r R + gilt r c d α { α (r α ) flls α, ln r flls α. Es folgt, dss d für α > konvergiert, mit d, während d für α α α α α divergiert.. Wir können in obigem Beispiel uch den Grenzwert für r betrchten und erhlten, dss d für α < konvergiert und den Wert ht, während ds α α Integrl für α divergiert. 3. Es ist d lim + 4. Ds uneigentliche Integrl eistiert nicht, denn womit nicht eistiert. (Auch lim r r lim π + π π. d + + lim b ( rctn ) + lim d + b d + b rctnb d + lim r ln ( + r ), eistiert nicht. Mn bechte ber, dss gilt.) lim r r r d + d + d + Stz 5.7. (Cuchykriterium für uneigentliche Integrle) Sei < < b < und f : [, b) C. Für lle c [, b) sei f integrierbr über [, c]. Dnn konvergiert b f genu dnn, wenn für lle ε > ein δ > eistiert, so dss für lle, y us dem Intervll (b δ, b) die Abschätzung y f < ε gilt. In Quntorenschreibweise lutet die Bedingung us dem Cuchykriterium wie folgt: y ε R + δ R +, y (b δ, b) : f < ε. Beweis. Mn wende ds Cuchykriterium für Funktionengrenzwerte (Stz 3.3.4) uf F() : f und bechte, dss F(y) F() y f. Ist b in Stz 5.7., so lutet ds ds Cuchykritierium: f konvergiert genu dnn, wenn y ε R + r R +, y (r, ) : f < ε. 3

13 Stz 5.7. (Vergleichskriterium für uneigentliche Integrle) Seien < < b, f : [, b) C und g : [, b) R. Für lle c [, b) seien f und g integrierbr über [, c] und es gelte f() g() für lle R. Konvergiert dnn b g, so konvergieren uch b f und b f. Beweis. Wegen y y f f für lle, y (, b) folgt die Behuptung direkt us dem Cuchykriterium. Durch Kontrposition knn mn mit dem Vergleichskriterium ntürlich uch Divergenz nchweisen. Die Sätze 5.7. und 5.7. und die Bemerkungen dzu gelten nlog für Funktionen f : (, b] C, < b <. Beispiel. Wegen sin t für t R konvergiert sin t t α dt nch Vergleichskriterium und Beispiel nch Definition 5.7. für α >. Ttsächlich konvergiert ds Integrl sogr für α >, denn für y > > (ε) /α > ist y sin t t dt α prt. Int. < ε, y cost y y t α cos t α t cosy + cos + α y α y + α + α α α g α y dt α+ y dt t α+ cost dt tα+ und die Konvergenz folgt mit dem Cuchykriterium. Mn knn hierus folgern, dss sin t dt konvergiert, denn für < < y < folgt mit der Substitutionsregel und dmit folgt n km+ f(k) n m n f()d f(k) km für m, n N, n > m. Die Behuptung folgt us dem Cuchykriterium. Beispiel.. Für α > konvergiert d. Die Reihe divergiert, d r k k(ln k) α, d (ln ) r α (α + )(ln ) α+. r k d ln k ln k 5.8 Bogenlänge ebener Kurven r ln ln. Bisher hben wir Integrle ls Flächeninhlt interpretiert. Wir können Integrle uch zur Berechnung von Kurvenlängen benutzen. Dbei ist eine (ebene) Kurve eine stetige Abbildung eines Intervlls nch R C. Die Idee ist, Kurven durch Streckenzüge zu pproimieren. Als Beispiel betrchten wir die durch f : [, π] C, t ( cos t)e it gegebene Kurve; vgl. Abbildung 4. Betrchtet mn diese Funktion im Intervll [, π], erhält mn die sogennnte Krdioide. y sin t dt y sin s s ds. Stz (Integrlkriterium für Reihen) Sei f : [, ) R + monoton fllend. Dnn konvergiert f()d genu dnn, wenn k f(k) konvergiert. Beweis. Nch Stz 5.. ist f über kompkte Teilintervlle von [, ) integrierbr. Für k N gilt f(k + ) k+ k 4 f()d f(k) Abbildung 4: Approimtion einer Kurve durch einen Streckenzug. 5

14 Definition 5.8. Sei I kompktes Intervll und f : I C stetig. Für eine Zerlegung Z {,,..., n } von I sei und es sei L(f, Z) : n f( k ) f( k ) k L(f) : sup L(f, Z), wobei ds Supremum über lle Zerlegungen Z von I zu nehmen ist. Ist L(f) <, so heißt f rektifizierbr und L(f) heißt Länge von f. Stz 5.8. Sei I kompktes Intervll und f : I C stetig differenzierbr. Dnn ist f rektifizierbr und L(f) I f. Beweis. Sei Z {,,..., n } Zerlegung von I. Nch Stz 4..5 eistieren ξ k ( k, k ) mit f( k ) f( k ) f (ξ k ) ( k k ). Mit ξ : (ξ,...,ξ n ) folgt L(f, Z) S( f, Z, ξ) und dmit L(f) f <. I Dmit ist f rektifizierbr und für, y I mit < y uch f [, y] rektifizierbr mit L(f [, y]) y f. Wir definieren l : I R durch l() L(f [, ]). Dnn gilt l(y) l() L(f [, y]) und dmit f(y) f() L(f [, y], {, y}) L(f [, y]) l(y) l() für, y I mit < y. Division durch y und Grenzübergng y bzw. y liefert, dss l differenzierbr ist, mit l f. Die Behuptung folgt us dem Huptstz. Beispiele.. Sei c > und f : [, π] C, f(t) e ct e it e (c+i)t. Dnn gilt f (t) (c + i)e (c+i)t und f (t) c + i e ct e it c + e ct. Es folgt L(f) π c + e ct dt c + ect c π y c + ( e πc ). c Die durch f gegebene Kurve heißt logrithmische Spirle. Für c / ist der durch π t 4π gegebene Teil im linken Bild der Abbildung 5 drgestellt.. Sei c > und f : [, π] C, f(t) cte it. Dnn gilt f (t) c( + it)e it und f (t) c + it c + t. Es folgt L(f) c π + t dt c ( t + t + ln (t + )) π + t c ( π + 4π + ln (π + )) + 4π. Die durch f gegebene Kurve heißt Archimedische Spirle. Für c /π ist der durch t 3 gegebene Teil im rechten Bild der Abbildung 5 drgestellt. 6 f Abbildung 5: Logrithmische Spirle (links) und Archimedische Spirle (rechts). 3. Sei I kompktes Intervll und f : I R. Die Länge des Grphen von f ist die Länge der durch t (t, f(t)) t + if(t) gegebenen Kurve. Für stetig differenzierbres f ist diese durch I + f (t) dt gegeben. Für die Länge L des Grphen des durch f : [, ] R, f() Prbelstücks gilt lso L + d ( ( + ln + )). 6 Topologie metrischer Räume 6. Metrik, Norm und Sklrprodukt Bisher hben wir Funktionen f : M N mit M, N R, C betrchtet. Jetzt werden wir llgemeinere Mengen M, N zulssen, etw R n oder C n mit n N, oder uch Mengen von Funktionen. Wichtige Beispiele sind hier C n (I) und C(I) mit einem Intervll I. Die gennnten Mengen bilden Vektorräume. (Der Begriff des Vektorrums wird ls us der Lineren Algebr beknnt vorusgesetzt.) Wir benötigen ber noch weitere Struktur uf diesen Mengen. Definition 6.. Sei M nichtleere Menge. Eine Funktion d : M M [, ) heißt Metrik, wenn für lle, y, z M die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind: (i) d(, y) y, (ii) d(, y) d(y, ) (Symmetrie) (iii) d(, z) d(, y) + d(y, z) (Dreiecksungleichung) Ds Pr (M, d) heißt dnn metrischer Rum. Beispiele.. M R oder M C, d(, y) y. Wir nennen d die euklidische Metrik und d(, y) den euklidischen Abstnd von und y.. M beliebig, { flls y, d(, y) flls y. 7

15 Dies nennt mn die diskrete Metrik uf M. 3. M C, { y flls λ, µ R mit λ + µy eistieren, d(, y) + y sonst. Liegen die Punkte, y uf einer Gerden durch, so ist d(, y) lso der euklidische Abstnd. Andernflls ist d(, y) die Summe der Abstände zu. (Aus nheliegenden Gründen nennt mn ds uch frnzösische Eisenbhnmetrik.) Weitere wichtige Beispiele metrischer Räume erhält mn durch folgende Definition. Hier und im folgenden sei K {R, C}. Definition 6.. Sei V ein Vektorrum über K. Eine Funktion : V [, ) (lso ) heißt Norm, wenn für lle, y V und λ K die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind: (i), (ii) λ λ, (iii) + y + y (Dreiecksungleichung) Ds Pr (V, ) heißt dnn normierter Rum. Stz 6.. Sei (V, ) normierter Rum. Dnn ist die durch d(, y) : y definierte Funktion d : V V [, ) eine Metrik uf V, d. h., (V, d) ist metrischer Rum. Beweis. Seien, y, z V. Dnn gilt und d(, y) y y y, d(, y) y ( )(y ) ( ) (y ) (y ) d(y, ) d(, z) z y + y z y + y z d(, y) + d(y, z). Beispiele.. V K, für V.. V K p mit p N, : m j j für (,,..., p ) T :. Wir werden Vektoren im Vektorrum K p ls Spltenvektoren schreiben. Hier steht T für trnsponiert. Es ist (V, ) normierter Rum. 3. V K p mit p N, : p j j für (,..., p ) T V. Dnn ist (V, ) normierter Rum. 8 p 4. V C[, b], f : m [,b] f() für f V. Dnn ist (V, ) normierter Rum. Die zugehörige Metrik d ist durch d(f, g) : m [,b] f() g() gegeben. 5. V C[, b], f : b f für f V. Dnn ist (V, ) normierter Rum. Die zugehörige Metrik d ist durch d (f, g) : b f g gegeben. Die einzige Bedingung in Definition 6.., die vielleicht nicht offensichtlich ist, ist in (i). Wir zeigen dies durch Kontrposition. Sei dzu f C[, b], f. Dnn eistiert ξ [, b] mit f(ξ). D f stetig, eistiert δ > mit f() f(ξ) < ε : f(ξ) für ξ < δ, [, b]. Mit I : [, b] [ξ δ, ξ + δ] folgt f() f(ξ) f() f(ξ) > f(ξ) ε ε für I und dmit f b f I f ε I >. 6. Sei V der Vektorrum der Riemnn-integrierbren Funktionen von [, b] nch C und sei f : b f für f V. Dnn ist (V, ) kein normierter Rum, denn Bedingung (i) us Definition 6.. gilt nicht, wie ds Beispiel zeigt. f() { flls, flls < b, Definition 6..3 Sei V ein Vektorrum über K. Eine Funktion, : V V K (lso (, y), y ) heißt Sklrprodukt (oder inneres Produkt), wenn für lle, y, z V und λ K die folgenden fünf Bedingungen erfüllt sind: (i), y y,, (ii),, (iii),, (iv) λ, y λ, y, (v) + y, z, z + y, z. Dbei steht der Querstrich in (i) für komplee Konjugtion. (Im Flle K R knn lso druf verzichtet werden.) Ds Pr (V,, ) heißt Prähilbertrum. Sttt, y sind uch die Schreibweisen y und (, y) üblich. Stz 6.. Sei (V,, ) Prähilbertrum. Dnn ist durch :, eine Norm uf V definiert, d. h., (V, ) ist normierter Rum. Wir stellen den Beweis von Stz 6.. noch etws zurück und betrchten zunächst zwei Beispiele. Beispiel. Sei V K p mit p N. Mn rechnet leicht nch, dss mit, y : p j jy j für (,..., n ) T, y (y,...,y n ) T V ein Sklrprodukt gegeben ist. (Dieses Sklrprodukt ist für K R ds us der Schule beknnte Sklrprodukt.) Die zugehörige Norm heißt euklidische Norm und wird mit bezeichnet, p lso j p j j j j. Die zugehörige Metrik heißt euklidische Metrik. 9

16 Beispiel. Sei V C[, b] und f, g : b fg. Die Sklrprodukteigenschften sind einfch nchzurechnen; für (iii) vgl. Beispiel 5 nch Stz 6... Wir ziehen einige einfche Folgerungen us den Eigenschften (i)-(v) von Definition Dbei seien wieder, y, z V und λ K: (), λy λ, y, denn, λy λy, λ y, λ y, λ, y, (b), y + z, y +, z, (c),,, denn,,,,. Drei weitere wichtige Eigenschften fssen wir in folgendem Stz zusmmen. Stz 6..3 Sei (V,, ) Prähilbertrum,, y V. Dnn gilt (mit wie in Stz 6..) (i) + y + y + Re, y (Stz des Pythgors). (ii) + y + y + y (iii), y y (Cuchy-Schwrz-Ungleichung). (Prllelogrmmidentität). Beweis. Die Beweise von (i) und (ii) erfolgen durch einfches Ausrechnen des Ausdrucks + y + y, + y mit Hilfe von Bedingung (iv) und (v) us Definition 6..3 sowie obiger Rechenregeln (b) und (c). Sie werden hier weggelssen. Zum Beweis von (iii) notieren wir, dss für λ K λy, λy, λ y, λ, y + λλ y, y gilt. Mit λ, y / y, y, y / y folgt, und hierus die Behuptung., y y, y, y, y y Beweis von Stz 6... Seien, y V und λ K. Dnn gilt und, λ λ, λ λλ, λ, λ. Mit der Cuchy-Schwrz-Ungleichung und dem Stz des Pythgors gilt + y + y + Re, y + y + y ( + y ), lso die Dreiecksungleichung. Eine Anlyse des Beweises zeigt, dss für, y in der Cuchy-Schwrz- Ungleichung genu dnn Gleichheit gilt, wenn λ K mit λy eistiert. (Es gilt dnn λ, y / y, y.) Gleichheit in der Dreiecksungleichung gilt genu dnn, wenn λ R + mit λy eistiert Konvergenz Definition 6.. Sei (M, d) metrischer Rum und ( n ) Folge in M. Dnn heißt ( n ) konvergent, flls M mit folgender Eigenschft eistiert: Zu jedem ε R + eistiert ein N N, so dss d( n, ) < ε für lle n N mit n N. Dieses heißt dnn Grenzwert der Folge ( n ) und wir schreiben lim n n oder n (für n ). Weiter heißt b M Häufungswert von ( n ), flls für jedes ε R + unendlich viele n N mit d( n, b) < ε eistieren. Diese Definition ist völlig nlog zu den Definitionen.. und.3. in Anlysis I. Viele der dort gemchten Aussgen über Grenzwerte und Häufungswerte übertrgen sich leicht. So gilt wieder die Aussge von Stz..: eine konvergente Folge ht genu einen Grenzwert. Es gilt uch wieder die Aussge von Stz.3.: (i) ist Häufungswert von ( n ) Es eistiert eine Teilfolge von ( n ), die gegen konvergiert. (ii) ist Grenzwert von ( n ) Alle Teilfolgen von ( n ) konvergieren gegen. Beispiel. Sei V : C[, b] und d die von der Norm erzeugte Metrik, lso d(f, g) f g m [,b] f() g() für f, g V. Sei (f n ) Folge in V und f V. Dnn gilt f n f (bzgl. der Metrik in V ) ε R + N N n N : f n f < ε ε R + N N n N [, b] : f n () f() < ε f n f gleichmäßig Die folgende Definition ist nlog zu Definition.3.3. Definition 6.. Sei (M, d) metrischer Rum und ( n ) Folge in M. Dnn heißt ( n ) Cuchyfolge, wenn zu jedem ε R + ein N R eistiert, so dss für lle m, n N mit m N und n N gilt, dss d( m, n ) < ε ist. Vom Cuchykriterium für Folgenkonvergenz (Stz.3.5) gilt ber nur eine Hälfte. Stz 6.. Konvergente Folgen sind Cuchyfolgen. Beweis (vgl. Beweis zu Stz.3.5). Sei (M, d) metrischer Rum und sei ( n ) konvergente Folge in M, etw n ξ. Sei ε >. Dnn eistiert N N mit d( n, ξ) < ε für n N. Für m, n N mit m, n N folgt dnn d( m, n ) d( m, ξ) + d(ξ, n ) < ε. Die Umkehrung gilt nicht, wie etw ds Beispiel M Q (mit der euklidischen Metrik) zeigt, und wie wir später n weiteren Beispielen sehen werden. Definition 6..3 Ein metrischer Rum heißt vollständig, wenn jede Cuchyfolge in ihm konvergiert. Ein vollständiger normierter Rum heißt Bnchrum und ein vollständiger Prähilbertrum heißt Hilbertrum. 3

17 Beispiele.. (C[, b], ) ist vollständig. Denn sei (f n ) Cuchyfolge in C[, b], d. h., (vgl. ds Beispiel nch Definition 6..) ε R + N N [, b] m, n N : m N n N f m () f n () < ε. Nch dem Cuchykriterium für Funktionenfolgen (Stz 3.7.) folgt, dss (f n ) gleichmäßig gegen eine Funktion f : [, b] C konvergiert. Nch Stz 3.7. ist f C[, b]. Es folgt, dss (f n ) in (C[, b], ) gegen f konvergiert.. (C[, b], ) ist nicht vollständig. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei [, b] [, ]. Wir betrchten die durch f() flls, n flls < n, flls n definierte Folge (f n ). Für m > n gilt n f m f n f m f n f m f n n und dmit ist (f n ) Cuchyfolge. Die Folge (f n ) ist ber nicht konvergent. Dies scheint intuitiv klr, d der der einzige Kndidt f für eine Grenzfunktion f() für < und f() für > erfüllen sollte, und dmit in nicht stetig sein knn. Für einen formlen Beweis nehmen wir n, dss (f n ) konvergent ist, lso f n f C[, ]. Es eistiert δ (, ] mit f() f() für < δ. Es folgt 4 f f n δ n f() d für f(), n δ, und f f n δ n δ f() f() f() d 4 d δ n 4 n δ f() d δ 4 d δ 4 für f() >. In beiden Fällen erhält mn einen Widerspruch. 3. (K p, ) ist vollständig (für p N). Denn sei ( k ) Cuchyfolge in K p, mit k ( k,...,k p ). Wegen k j l j k l für k, l N und j {,...,p} folgt, dss ( k j) k N für jedes j {,...,p} eine Cuchyfolge ist, und dmit lso konvergent, etw k j ξ j. Mit ξ (ξ,...,ξ p ) folgt dnn lso k ξ für k. k ξ m k j ξ j, j Genuso knn mn zeigen, dss (K p, ) und (K p, ) vollständig sind. Dies knn mn sich ber uch n Hnd des folgenden Begriffes überlegen. Definition 6..4 Sei V Vektorrum über K und seien und Normen uf V. Dnn heißen und äquivlent, flls α, β R + eistieren, so dss α β für lle V gilt. 3 Sind die Normen und uf dem Vektorrum V äquivlent, so ist eine Folge ( n ) in V offensichtlich genu dnn konvergent (bzw. Cuchyfolge) in (V, ), wenn sie konvergent (bzw. Cuchyfolge) in (V, ) ist. Leicht rechnet mn nun nch, dss in K p die Normen und äquivlent zur Norm sind. Hierus folgt, dss mit (K p, ) uch (K p, ) und (K p, ) vollständig sind. Schließlich notieren wir noch ds folgende Anlogon zu Definition Definition 6..5 Sei (M, d) metrischer Rum, A M und ξ M. Dnn heißt ξ Häufungspunkt von A, flls eine Folge ( n ) in A\{ξ} mit n ξ eistiert. 6.3 Offene und bgeschlossene Mengen Definition 6.3. Sei (M, d) metrischer Rum und M. Für ε R + heißt dnn U(, ε) : {y M : d(, y) < ε} die ε-umgebung von. Sei weiter A M. Eistiert ε R + mit U(, ε) A, so heißt A Umgebung von. Weiter heißt A offen, flls A Umgebung jedes Punktes von A ist, und A heißt bgeschlossen, flls M\A offen ist. Die Bezeichnungen für die ε-umgebung sind in der Litertur sehr uneinheitlich, sttt U(, ε) findet mn uch B(, ε), K(, ε), D(, ε), U ε (), B ε (), K ε () und nderes. Sei (M, d) metrischer Rum und N M. Dnn ist uch (N, d (N N)) metrischer Rum. Für A N können wir Offenheit und Abgeschlossenheit ußer in (M, d) jetzt uch in (N, d (N N)) betrchten. Wir sgen dnn, dss A reltiv offen (bzw. bgeschlossen) in N ist. Den Zustz reltiv lssen wir dbei in der Regel weg. Aus der Offenheit von A in M folgt die Offenheit von A in N. Allgemeiner gilt: Stz 6.3. Sei (M, d) metrischer Rum und A N M. Dnn ist A offen in N genu dnn, wenn ein (in M) offenes B M mit A B N eistiert. Beweis. Wir bezeichnen die ε-umgebungen in M bzw. N mit U M (, ε) bzw. U N (, ε). Dnn gilt U N (, ε) U M (, ε) N für lle N. Aus U M (, ε) B folgt lso U N (, ε) B N und dmit. Um zu zeigen, sei A offen in N. Für jedes A eistiert dnn ε > mit U N (ε, ) A. Hierus erhält mn A A U N(ε, ) und dmit leistet B : A U M(ε, ) ds Verlngte. Stz 6.3. (i) Vereinigungen offener Mengen sind offen und Durchschnitte von endlich vielen offenen Mengen sind offen. (ii) Durchschnitte bgeschlossener Mengen sind bgeschlossen und Vereinigungen von endlich vielen bgeschlossenen Mengen sind bgeschlossen. Beweis. (i). Sei M Menge offener Mengen und V U M U. Zu zeigen ist, dss V offen ist. Sei dzu ξ V. Dnn eistiert U M mit ξ U. Dmit ist U Umgebung von ξ, und wegen V U lso uch V Umgebung von ξ. Seien jetzt U,...,U n offen und V n j U j. Sei ξ V. Dnn ist ξ U j für lle j {,..., n} und dmit eistiert ε j > mit U(ξ, ε j ) U j. Mit ε : 33

18 min{ε,...,ε n } folgt U(ξ, ε) U j für lle j {,..., n}, lso U(ξ, ε) n j U j V. Also ist V offen. (ii). Dies folgt us (i) und den Regeln von de Morgn. Beispiele.. Für, b R mit < b ist ds offene Intervll (, b) offen in R, ber nicht offen in C. Denn bezeichnen wir mit U(, ε) die ε-umgebung in C, so gilt folgt mit ε : min{, b }, dss U(, ε) R ( ε, + ε) (, b). Andererseits ist (, b) nicht offen in C, d für (, b) und ε > j + εi U(, ε) \ (, b) gilt. Entsprechendes gilt für Intervlle (, b) und (, ).. Abgeschlossene Intervlle sind bgeschlossen in R (und dmit uch in C). Stz Sei (M, d) metrischer Rum und A M. Dnn sind äquivlent: (i) A ist bgeschlossen. (ii) Für jede konvergente Folge in A ist uch ihr Grenzwert in A. (iii) A enthält lle seine Häufungspunkte. Beweis. (i) (ii): Sei A bgeschlossen und ( n ) Folge in A mit n ξ. Zu zeigen ist, dss ξ A. Dzu nehmen wir n, dss ξ M\A. D M\A offen ist, eistiert ε > mit U(ξ, ε) M\A, lso ξ ε für lle A, insbesondere dmit n ξ ε für lle n N. Es folgt n ξ, ein Widerspruch. (ii) (iii): Sei ξ Häufungspunkt von A. Dnn eistiert eine Folge ( n ) in A\{ξ} mit n ξ. Es folgt ξ A. (iii) (i): Wir nehmen n, dss A nicht bgeschlossen ist, lso M\A nicht offen ist. Dnn eistiert ξ M\A, so dss für jedes ε > gilt, dss U(ξ, ε) M\A, lso U(ξ, ε) A. Insbesondere eistiert dnn n U ( ξ, n) A. Es folgt n ξ. D n A \ {ξ} für lle n N, ist ξ Häufungspunkt von A, lso ξ A, ein Widerspruch. Definition 6.3. Sei (M, d) metrischer Rum und A M. Sei X die Menge ller bgeschlossenen Teilmengen von M, die A enthlten. Dnn heißt A : T der Abschluss von A. Nch Stz 6.3. ist A bgeschlossen. Dmit ist A lso die kleinste bgeschlossene Menge, die A enthält. Es gilt T X A A { M : ist Häufungspunkt von A}. Stz Sei (M, d) vollständiger metrischer Rum und A M bgeschlossen. Dnn ist A vollständig (d. h., (A, d (A A)) ist vollständiger metrischer Rum). Beweis. Ist ( n ) Cuchfolge in A, so ist ( n ) Cuchfolge in M, lso gilt n ξ für ein ξ M. Mit Stz folgt ξ A Stetigkeit Definition 6.4. Seien (M, d M ), (N, d N ) metrische Räume und sei f : M N eine Funktion. Sei ξ M. Dnn heißt f stetig in ξ, flls für jede Folge ( n ) in M mit n ξ gilt, dss f( n ) f(ξ). Für A M heißt f stetig in A, flls f stetig in jedem Punkt von A ist. Schließlich heißt f stetig, wenn f stetig in M ist. Für M, N C, mit der euklidischen Metrik versehen, ist dies genu Definition 3... Die Sätze 3.. und 3.. übertrgen sich unmittelbr: Stz 6.4. Seien (M, d M ), (N, d N ), (P, d P ) metrische Räume und seien g : M N stetig (in ξ M) und f : N P stetig (in g(ξ) g(m)). Dnn ist f g stetig (in ξ). Stz 6.4. Seien (M, d M ), (N, d N ) metrische Räume, ξ M und f : M N. Dnn ist f stetig in ξ genu dnn, wenn zu jedem ε R + ein δ R + eistiert, so dss für jedes M mit d M (, ξ) < δ gilt, dss d N (f(), f(ξ)) < ε ist. Beispiel. Sei (M, d) metrischer Rum, A M und f : A R definiert durch f() : inf A d(, ). Es ist lso f() der Abstnd von zur Menge A. Behuptung. f ist stetig. Beweis. Sei, y M und A. Dnn gilt d(, ) d(, y)+d(y, ) und dmit f() d(, y) + f(y). Es folgt f() f(y) d(, y) und us Symmetriegründen uch f(y) f() d(, y), lso f(y) f() d(, y). Die Stetigkeit von d folgt jetzt us Stz (Mn knn dort δ : ε wählen.) Stz Seien (M, d M ), (N, d N ) metrische Räume und f : M N. Dnn gilt: (i) Sei ξ M. Dnn ist f stetig in ξ genu dnn, wenn für jede Umgebung U von f(ξ) ds Urbild f (U) eine Umgebung von ξ ist. (ii) Die Funktion f ist genu dnn stetig, wenn für jedes offene U N ds Urbild f (U) offen ist. Beweis. Wir benutzen die Chrkterisierung der Stetigkeit durch die ε-δ-bedingung (Stz 6.4. bzw. Stz 3..). Wir beweisen zunächst (i):. Sei f stetig in ξ und sei U Umgebung von f(ξ). Dnn eistiert ε > mit U(f(ξ), ε) U. D f stetig in ξ ist, eistiert δ > mit d N (f(), f(ξ)) < ε für lle M mit d M (, ξ) < δ. Es folgt f() U(f(ξ), ε) U für lle M mit d M (, ξ) < δ, lso U(ξ, δ) f (U), und dmit ist f (U) Umgebung von ξ.. Sei ε >. D U(f(ξ), ε) Umgebung von f(ξ) ist, ist f (U(f(ξ), ε)) Umgebung von ξ. Dmit eistiert δ > mit U(ξ, δ) f (U(f(ξ), ε)). Für M mit d M (, ξ) < δ gilt nun U(ξ, δ) f (U(f(ξ), ε)), lso f() U(f(ξ), ε) und dmit d N (f(), f(ξ)) < ε. Behuptung (ii) folgt leicht us (i). In Stz.. wurde für Zhlenfolgen ( n ) und (b n ) mit n und b n b gezeigt, dss n + b n + b und n b n b gilt. Hierus wurde in 3. die Stetigkeit von Summe und Produkt stetiger Funktionen gefolgert. Entsprechende Aussgen gelten uch hier wieder (wobei die Beweise nlog sind). 35

19 Stz Sei (M, d) metrischer Rum, (V, ) normierter Rum (über K), ξ M, λ K und f, g : M V stetig in ξ. Dnn sind f + g und λ f stetig in ξ. Ist speziell V K und, so ist uch f g stetig in ξ. Im Flle g(ξ) ist uch f stetig in ξ. g Wir untersuchen Abbildungen f : K p K uf Stetigkeit bzgl. der Norm. Für j {,..., p} heißt die durch π j (,..., p ) j gegebene Abbildung π j : K p K die Projektion uf die j-te Koordinte. Offensichtlich ist π j stetig. (Mn wähle δ : ε in Stz 6.4..) Nch Stz sind dnn uch Funktionen f der Form f(,..., p ) (k,...,k p) I k,...,kp k kp p stetig, wobei I N p endlich und k,...,k p K für (k,...,k p ) I. Solche Funktionen heißen Polynome (in p Veränderlichen). Quotienten von Polynomen heißen rtionle Funktionen. Sie sind dort definiert, wo der Nenner nicht verschwindet. Wir untersuchen jetzt Abbildungen f : K p K q uf Stetigkeit, wieder bzgl. der Norm (sowohl im Definitions- wie im Zielbereich). Für j {,..., q} heißt f j : π j f die j-te Koordintenfunktion. Es ist lso f() (f (),..., f q ()) T für K p. Stz Eine Funktion von K p nch K q ist genu dnn stetig (in ξ K p ), wenn lle ihre Koordintenfunktionen stetig (in ξ) sind. Beweis. Sei f (f,...,f q ) T : K p K q.. Dies folgt us Stz 6.4., d f j π j f und π j stetig.. Es seien lle f j stetig in ξ. Sei ε >. Dnn eistiert zu j {,..., q} ein δ j > mit f j () f j (ξ) < ε für ξ < δ j. Mit δ : min j δ j folgt f() f(ξ) m j f j () f j (ξ) < ε für ξ < δ. Mn könnte nun vermuten, dss eine Funktion f (f,...,f q ) T : K p K q stetig ist, wenn sie für jedes j bei festgehltenem,..., j, j+,..., p stetig in j ist. Dies ist ber nicht der Fll. Beispiel. Sei f : R R, f(, y) { y + y flls (, y) (, ), flls (, y) (, ). Dnn ist f unstetig in (, ), d f(, ) für lle R\{}, ber f(, ). Wird eine Vrible festgehlten, ist f ber stetig in der nderen. Es folgt us Stz 6.4.5, dss linere Abbildungen von K p nch K q stetig sind, d jede Koordintenfunktion ein Polynom ist. Denn ist f (f,..., f q ) : K p K q liner, so eistieren ij K, i q, j p, mit f i (,..., p ) p j ij j. Entscheidend dbei ist, dss K p und K q endlichdimensionl sind. Linere Abbildungen zwischen unendlichdimensionlen normierten Räumen bruchen nicht stetig zu sein. Beispiel. Es ist (C [, ], ) normierter Rum und L : C [, ] C, f f () ist liner. Mit f n () n sin n gilt f n n, lso f n, ber L(f n ) f n() cosn L(). Dmit ist L nicht stetig. 36 Definition 6.4. (vgl. Definition 3.6.) Seien (M, d M ), (N, d N ) metrische Räume und f : M N. Dnn heißt f gleichmäßig stetig, flls zu jedem ε R + ein δ R + eistiert, so dss für lle, y M mit d M (, y) < δ gilt, dss d N (f(), f(y)) < ε ist. Stz Seien (V, V ), (W, W ) normierte Räume und sei f : V W liner. Dnn sind quivlent: (i) f ist gleichmäßig stetig, (ii) f ist stetig, (iii) f ist stetig in, (iv) C R + V : f() W C V. Beweis. Wir zeigen, dss (i) (ii) (iii) (iv) (i). Dbei ist (i) (ii) (iii) trivil. zu (iii) (iv): Sei f stetig in. Zu ε : eistiert dnn δ > mit f() W für V δ. Für V \{} folgt dnn f() W V δ ( δ W ) f V V δ Mit C : δ folgt lso f() W C V, und ds gilt uch für. zu (iv) (i): Sei ε > und δ : ε C. Für, y V mit y V < δ gilt dnn f() f(y) W f( y) W C y V < ε. Seien (V, V ), (W, W ) normierte Räume. Den Vektorrum der stetigen lineren Abbildungen von V nch W bezeichnen wir mit L(V, W). Nch Stz 6.4.6, (iv), ist für f L(V, W) f() W f L(V,W) : sup V \{} V sup f() W <. V V Mn nennt f L(V,W) Opertornorm von f. Es ist nicht schwer zu zeigen, dss (L(V, W), L(V,W) ) normierter Rum ist. Drüberhinus ist (L(V, W), L(V,W) ) Bnchrum, flls (W, W ) Bnchrum ist. Beispiel. Sei (V, V ) (R p, ), (W, W ) (R q, ), f (f,...,f q ) T : R p R q. Dnn eistieren ij K, i q, j p, mit f i (,..., p ) p j ij j für lle i. In Mtrischreibweise hben wir lso f () f (). f q () Nun ist für (,..., p ) T R p f i (,..., p )... p... p.. q... qp. p.. p p ij j ij j 37 j

20 für lle i und dmit f() m i p ij. Wählt mn, bei festem i, nun j ±, so dss j und ij ds gleiche Vorzeichen hben, so ht mn in obiger Abschätzung Gleichheit. Es folgt f L(V,W) m i j p ij. Mn nennt dies uch die Zeilensummennorm der Mtri ( ij ) i q. j p Definition (vgl. Definition 3.3.) Seien (M, d M ), (N, d N ) metrische Räume, ξ Häufungspunkt von M und f : M N. Wir sgen, dss f() für ξ konvergiert, flls η N eistiert, so dss für jede Folge ( n ) in M\{ξ} mit n ξ uch f( n ) η gilt. Dieses η heißt dnn Grenzwert von f für ξ und wird mit lim ξ f() bezeichnet. Wir schreiben uch f() η für ξ. Wie in Stz 3.3. sehen wir, dss f genu dnn stetig in ξ ist, wenn lim ξ f() f(ξ) gilt. Auch Stz gilt entsprechend: Es gilt lim ξ f() η genu dnn, wenn ε R + δ R + M\{ξ} : d M (, ξ) < δ d N (f(), η) < ε. 6.5 Kompktheit Definition 6.5. Sei (M, d) metrischer Rum. (i) (M, d) heißt kompkt, flls jede Folge in M eine konvergente Teilfolge besitzt. (ii) (M, d) heißt totlbeschränkt (oder präkompkt), flls für lle ε R + eine endliche Teilmenge E von M eistiert, so dss M E U(, ε). j (iii) (M, d) heißt beschränkt, flls sup,y M d(, y) <. Kurz sgen wir uch, dss M (sttt (M, d)) kompkt bzw. (totl)beschränkt ist. Für K M sgen wir, dss K kompkt bzw. (totl)beschränkt ist, wenn der metrische Rum (K, d (K K)) diese Eigenschft ht. Teil (i) obiger Definition entspricht dmit Definition Sttt die Eistenz einer konvergenten Teilfolge zu fordern, knn mn ntürlich uch die Eistenz eines Häufungswertes fordern; vgl. Stz.3., (i). Aus der Totlbeschränktheit folgt die Beschränkheit, denn us M E U(, ε) folgt d(, b) m,y E d(, y) + ε für, b M. Sind I, M nichtleere Mengen, so nennt mn eine durch i i gegebene Funktion von I nch M uch Fmilie und bezeichnet sie mit ( i ) i I. (Für I N sind dies Folgen.) 38 Definition 6.5. Sei (M, d) metrischer Rum, K M und (U i ) i I eine Fmilie offener Teilmengen von M mit K i I U i. Dnn heißt (U i ) i I eine offene Überdeckung von K. Eistiert eine endliche Teilmenge E I mit K i E U i, so sgt mn, dss (U i ) i I eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Die Totlbeschränktheit besgt lso, dss für jedes ε > die offene Überdeckung (U(, ε)) M eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Stz 6.5. Sei (M, d) metrischer Rum und K M. Dnn sind äquivlent: (i) Jede offene Überdeckung von K besitzt eine endliche Teilüberdeckung; (ii) K ist kompkt; (iii) K ist vollständig und totlbeschränkt. Die Äquivlenz von (i) und (ii) heißt uch Stz von Heine-Borel. In sogennnten topologischen Räumen die eine Verllgemeinerung der metrischen Räume sind gilt Stz 6.5. nicht. Dort wird die in (i) formulierte Eigenschft ls Kompktheit bezeichnet und die in Definition 6.5., (i), ngegebene ls Folgenkompktheit. Beweis von Stz Zu (i) (ii): Sei ( n ) Folge in K, die keine konvergente Teilfolge (und dmit lso uch keinen Häufungswert) besitzt. Dnn ist A : { n : n N} unendlich. Sei nun y K. D y kein Häufungswert von ( n ) ist, eistiert ε y R + und N N, so dss d( n, y) ε y für lle n N gilt. Folglich ist A U(y, ε y ) endlich. Nun ist (U(y, ε y )) y K offene Überdeckung von K. Nch (i) eistiert nun eine endliche Teilüberdeckung, d. h., es eistiert eine endliche Teilmenge E von K mit K y E U(y, ε y). Es folgt A A K y E A U(y, ε y). Dmit ist A endlich, ein Widerspruch. Zu (ii) (iii): Sei K kompkt. Wir zeigen zuerst, dss K vollständig ist. Sei dzu ( n ) Cuchyfolge in K. Dnn ht ( n ) eine konvergente Teilfolge ( nk ), etw nk ξ K. Wir zeigen, dss n ξ. Sei dzu ε >. D ( n ) Cuchyfolge ist, eistiert N N mit d( n, m ) < ε für m, n N. D n k ξ eistiert K N mit d( nk, ξ) < ε für k K. Sei nun k K mit n k N. Für n N folgt dnn d( n, ξ) d( n, nk ) + d( nk, ξ) < ε. Es gilt lso n ξ. Wir zeigen jetzt, dss K totlbeschränkt ist. Dzu nehmen wir n, dss dies nicht der Fll ist. Dnn eistiert ε > mit K E U(, ε) für jede endliche Teilmenge E von K. Es sei nun K beliebig. Dnn gilt K U(, ε) und dmit eistiert K\U(, ε). Wegen K U(, ε) U(, ε) eistiert 3 K\(U(, ε) U(, ε)). Induktiv findet mn so eine Folge ( n ) in K mit n+ K\ n j U( j, ε). Es folgt d( m, n ) ε für m n. Dies impliziert, dss keine Teilfolge von ( n ) eine Cuchyfolge ist. Dmit konvergiert ber uch keine Teilfolge von ( n ), ein Widerspruch. Zu (iii) (i): Sei (U i ) i I offene Überdeckung von K. Wir nehmen n, dss keine endliche Teilüberdeckung eistiert. Wegen der Totlbeschränktheit eistiert eine endliche Teilmenge E von K mit K E U(, ). Nun ist (U i) i I uch offene Überdeckung von K U(, ) für 39

21 lle K. Es folgt, dss E eistiert, so dss keine endliche Teilüberdeckung von K U(, ) eistiert. Wegen der Totlbeschränktheit eistiert weiter eine endliche Teilmenge E von K mit K U(, ) E U(, ). Dbei knn mn U( 4, ) U(, ), lso 4 d(, ) < +, für lle E 4 nnehmen. Es eistiert nun E, so dss keine endliche Teilüberdeckung von K U(, ) eistiert. 4 Induktiv findet mn so eine Folge ( n ), so dss keine endliche Teilüberdeckung von K U( n, ) eistiert und ußerdem n gilt. Für m > n folgt d( n, n+ ) < n + n+ 3 n+ d( n, m ) < m kn+ 3 3 k n+ j j 3 n. Dmit ist ( n ) Cuchyfolge und wegen der Vollständigkeit von K lso konvergent, etw n ξ K. D (U i ) i I offene Überdeckung von K ist, eistiert i I mit ξ U i. Nun eistiert ε > mit U(ξ, ε) U i. Für genügend großes n N ist d( n, ξ) < ε und < ε n K U. Es folgt ( n, n ) U ( n, ) U (ξ, d( n n, ξ) + ) U (ξ, ε) U n i. Dmit eistiert eine endliche Teilüberdeckung von K U ( ) n,, ein Widerspruch. n Stz 6.5. (i) Kompkte Mengen sind beschränkt und bgeschlossen. (ii) Abgeschlossene Teilmengen kompkter Mengen sind kompkt. Beweis. Sei K kompkt (im metrischen Rum (M, d)). zu (i): Zunächst ist K wegen Stz 6.5. totlbeschränkt und dmit uch beschränkt. Um die Abgeschlossenheit zu zeigen, benutzen wir Stz Sei dzu ( n ) Folge in K mit n ξ M. Zu zeigen ist, dss ξ K. Dies folgt ber, d ( n ) Cuchyfolge und K nch Stz 6.5. vollständig ist. zu (ii): Sei A K bgeschlossen. Wir geben zwei Beweise, dss A kompkt ist. Beweisvrinte. Sei ( n ) Folge in A. Dnn besitzt ( n ) eine Teilfolge, die in K konvergiert, etw nk ξ K. D A bgeschlossen, folgt mit Stz 6.3.3, dss ξ A. Also ist A kompkt. Beweisvrinte. Sei (U i ) i I offene Überdeckung von A. D M\A offen ist, ist dnn durch K i I U i M\A eine offene Überdeckung von K gegeben. Dmit eistiert eine endliche Teilmenge E I mit K i E U i M\A, lso A i E U i. Wir werden gleich n einem Beispiel sehen, dss die Umkehrung von Stz 6.5., (i), nicht gilt. Es gilt ber der folgende Stz. 4 Stz Sei p N und K R p. Bezüglich der durch die Norm erzeugten Metrik ist K genu dnn kompkt, wenn K beschränkt und bgeschlossen ist. Auch dieser Stz wird nch Heine und Borel bennnt. Er gilt uch für ndere Normen in R p ; siehe Stz später. Beweis von Stz Stz 6.5., (i).. Nch Stz 6.5. reicht es zu zeigen, dss K vollständig und totlbeschränkt ist. Die Vollständigkeit folgt dbei wegen Stz (und der Vollständigkeit von R p ) unmittelbr us der Abgeschlossenheit. Wegen der Beschränktheit von K eistiert r R + mit r für lle K. Ist dnn ε > und N N mit Nε r, so folgt K N j,...,j n N und dmit die Totlbeschränktheit von K. U((j ε,..., j n ε), ε) Beispiel. Wir betrchten den Prähilbertrum (C[, π],, ) und bezeichnen die zugehörige Norm mit. Wie in 5.6 sei e n C[, π] definiert durch e n () e in, für n Z. Dnn gilt, vgl. 5.6, e n, e m π e n e m π e i(n m) d für n m und e n e n, e n π. Nch dem Stz von Pythgors ist dmit e n e m e n + e m 4π, lso e n e m 4π. Wir betrchten jetzt K : {e n : n N}. Dnn ist K offensichtlich beschränkt. Außerdem ist K bgeschlossen, denn ist ( k ) eine Folge in K, die in (C[, π],, ) konvergiert, so eistieren M, N N mit k e N für k M. Andererseits ist K nicht kompkt, d (e n ) n N keine konvergente Teilfolge besitzt. Es folgt, dss die Umkehrung von Stz 6.5., (i), im llgemeinen gilt. Stz Seien (M, d M ) und (N, d N ) metrische Räume, K M kompkt und f : K N stetig. Dnn ist f(k) kompkt. Für M N C (mit euklidischer Metrik) ist dies Stz Der dortige Beweis knn wörtlich übernommen werden. Ebenso überträgt sich Stz 3.6.4: Stz Sei (M, d) metrischer Rum, K M kompkt und f : K R stetig. Dnn nimmt f uf K sein Minimum und Mimum n. Stz Alle Normen uf dem R-Vektorrum R p (mit p N) sind äquivlent. Beweis. Es reicht zu zeigen, dss jede Norm äquivlent zu ist. Sei lso Norm uf R p. Sei {e,...,e p } die Stndrdbsis des R p. Mit β : p j e j ist dnn p p j e j j e j β j j 4

22 für (,..., p ) T R p. Insbesondere folgt, dss die durch gegebene Abbildung von (R p, ) nch (R, ) stetig ist; vgl. uch Stz D K : { R p : } beschränkt und bgeschlossen und dmit kompkt in (R p, ) ist, eistiert deshlb nch Stz ein ξ K mit α : ξ min K. Für R p \{} folgt α. Dmit erhlten wir α β für lle R p. Anlog zu Stz ist ds folgende Resultt (und sein Beweis). Stz Seien (M, d M ) und (N, d N ) metrische Räume, M kompkt und f : M N stetig. Dnn ist f gleichmäßig stetig. 6.6 Zusmmenhng Definition 6.6. Ein metrischer Rum (M, d) heißt unzusmmenhängend, flls nichtleere, offene Teilmengen U, V von M eistieren, so dss M U V und U V gilt. Andernflls heißt (M, d) zusmmenhängend. Bemerkungen.. Aus U, V und U V folgt U, V M.. Sttt zu fordern, dss U, V beide offen sind, knn mn uch fordern, dss U, V beide bgeschlossen sind. Denn sind U, V wie in Definition 6.6., so sind A : M\U und B : M\V bgeschlossen, nichtleer und es gilt A B M und A B. 3. Eine Teilmenge N von M heißt (un)zusmmenhängend, flls dies für den metrischen Rum (N, d (N N)) gilt. Es gilt dnn, dss N genu dnn unzusmmenhängend ist, wenn (in M) offene Mengen U, V M eistieren, so dss U N, V N, N U V und U V N ; vgl. Stz Stz 6.6. Eine nichtleere Teilmenge von R ist genu dnn zusmmenhängend, wenn sie ein Intervll ist oder wenn sie us einem Punkt besteht. Beweis. Einpunktige Mengen sind offensichtlich zusmmenhängend. Sei I R und I enthlte mindestens zwei Punkte.. Sei I zusmmenhängend. Seien α, β I und γ (α, β). Dnn folgt γ I, d sonst mit U : (, γ) und V (γ, ) gilt, dss I U V, U I, V I und U V. Mit : inf I und b : sup I folgt hierus, dss I eines der Intervlle [, b], [, b), (, b] oder (, b) ist.. Sei I Intervll. Wir nehmen n, dss I nicht zusmmenhängend ist, etw I A B mit nichtleeren, disjunkten, in I bgeschlossenen Mengen A, B I. Sei A, b B. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei < b. Wegen, b I folgt dnn [, b] I. Sei c : sup(a [, b]). Dnn gilt c A (und dmit insbesondere c < b), d A bgeschlossen. Andererseits ist (c, b] B und wegen der Abgeschlossenheit von B lso uch c B. Insgesmt folgt c A B, ein Widerspruch. Stz 6.6. Seien (M, d M ) und (N, d N ) metrische Räume, M zusmmenhängend und f : M N stetig. Dnn ist f(m) zusmmenhängend. 4 Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei f(m) N. Sei N unzusmmenhängend, etw N U V mit nichtleeren, disjunkten, offenen Teilmengen U, V von N. Mit Ũ : f (U) und Ṽ : f (V ) gilt dnn M Ũ Ṽ, und es sind Ũ und Ṽ offen (vgl. Stz 6.4.3, (ii)), nichtleer und disjunkt. Dmit ist M unzusmmenhängend. Definition 6.6. Sei (M, d) metrischer Rum. (i) Sei, b R, < b und γ : [, b] M stetig. Dnn heißt γ Weg von γ() nch γ(b). Die Punkte γ() bzw. γ(b) heißen Anfngs- bzw. Endpunkt des Weges γ. (ii) (M, d) heißt wegzusmmenhängend, wenn für lle, y M ein Weg von nch y eistiert. Stz Ein wegzusmmenhängender metrischer Rum ist zusmmenhängend. Beweis. Sei (M, d) wegzusmmenhängender metrischer Rum. Wir nehmen n, dss M unzusmmenhängend ist, etw M U V mit nichtleeren, disjunkten, offenen Teilmengen U, V von M. Sei u U, v V. Dnn eistiert ein Weg γ : [, b] M von u nch v. Es ist dnn γ([, b]) unzusmmenhängend, nch Stz 6.6. lso [, b] unzusmmenhängend, im Widerspruch zu Stz Die Umkehrung von Stz gilt nicht, wie ds folgende Beispiel zeigt. Sei M : {(, sin ) : (, ]} {(, y) : y [, ]} und sei d die euklidische Metrik, eingeschränkt uf M. Dnn ist (M, d) zusmmenhängend, ber nicht wegzusmmenhängend. Die Menge M ist in Abbildung 6 drgestellt Abbildung 6: Eine zusmmenhängende Menge. Definition Sei V Vektorrum (über K). (i) Für, y V heißt [, y] : {( t) + ty : t [, ]} Strecke (von nch y). (ii) Für,,..., n V heißt [,,..., n ] : [, ] [, 3 ] [ n, n ] Streckenzug (von nch n ). 43

23 In einem normierten Rum (V, ) ist für, y V die durch t ( t) + ty gegebene Funktion γ : [, ] V stetig, lso ein Weg von nch y. Dmit ist die Strecke [, y] γ([, ]) ds Bild eines Weges. Auch Streckenzüge sind Bilder von Wegen. Stz Sei (V, ) normierter Rum und M V offen und zusmmenhängend. Dnn eistiert für lle, y M ein in M verlufender Streckenzug von nch y, d. h., es eistieren,,..., n M mit, n y und [,,..., n ] M. Insbesondere ist M wegzusmmenhängend. Beweis. Sei M. Wir betrchten die Menge U ller y M, für die ein in M verlufender Streckenzug von nch y eistiert. Zu zeigen ist, dss U M gilt. Wir zeigen zunächst, dss U offen ist. Sei dzu y U und [,,..., n ] ein in M verlufender Streckenzug von nch y. D M offen und y U M, eistiert ε > mit U(y, ε) M. Für z U(y, ε) ist dnn [,,..., n, z] ein in M verlufender Streckenzug von nch z. Es folgt U(y, ε) U und dmit ist U offen. Ein nloges Argument zeigt, dss uch V : M\U offen ist. Wegen U, U V M und U V folgt nun us dem Zusmmenhng von M, dss V, lso U M. 7 Differentilrechnung in mehreren Veränderlichen 7. Prtielle Ableitungen Definition 7.. Sei p N, U R p offen, ξ U und f : U R. Für j {,..., p} heißt dnn f prtiell differenzierbr in ξ nch der j-ten Vriblen (oder nch j ), flls j f(ξ) f(ξ,...,ξ j, j, ξ j+,...,ξ p ) f(ξ,...,ξ j, ξ j, ξ j+,...,ξ p ) : lim j ξ j j ξ j f(ξ,...,ξ j, ξ j + h, ξ j+,...,ξ p ) f(ξ,...,ξ j, ξ j, ξ j+,...,ξ p ) lim h h eistiert. Der Grenzwert heißt dnn prtielle Ableitung (von f nch der j-ten Vriblen n der Stelle ξ) und wird uch mit f j (ξ) oder f j (ξ) bezeichnet. Definiert mn für ein geeignetes Intervll I, welches ξ j ls inneren Punkt enthält, g : I R durch g() f(ξ,...,ξ j,, ξ j+,...,ξ p ), so eistiert lso j f(ξ) genu dnn, wenn g (ξ j ) eistiert, und es gilt dnn j f(ξ) g (ξ j ). Mn berechnet lso j f durch Differenzieren nch j bei festgehltenem,..., j, j+,..., p. Ist p bzw. p 3, so bezeichnet mn die Vriblen sttt mit, (und 3 ) in der Regel mit, y bzw., y, z. Dementsprechend schreibt mn uch zum Beispiel f und f y y sttt f und f. Anlog verfährt mn bei nderen Bezeichnungen für die Vriblen. 44 Sttt j f(ξ) findet mn in der Litertur uch die Bezeichnung D j f(ξ). Üblich (ber gelegentlich problemtisch) sind uch Schreibweisen wie f(,y) oder f (, y) für f(, y). Beispiele.. Es sei f : R R, f(, y) e y + sin(y). Dnn ist f(, y) e y + y cos(y), f(, y) e y + cos(y).. Es sei f : R p \{} R, f(), lso Dnn gilt f(,..., p ) + +. p j j f(,..., p ) ( + + p). Ist U R p offen, k {,...,p}, f : U R und eistiert k f() für lle U, so ist durch k f() eine Funktion k f : U R gegeben. Mn knn uch diese wieder uf prtielle Differenzierbrkeit untersuchen. Für j k f schreiben wir dbei kurz jk (oder j,k ), bzw. f j k oder f k j. Entsprechend definiert mn höhere prtielle Ableitungen, etw 3 4 f f 3 f 3 3. Die Anzhl der uftretenden Ableitunge wird lso Ordnung der Ableitung bezeichnet, im ngegebenen Beispiel hndelt es sich lso um eine prtielle Ableitung 4. Ordnung. Beispiele.. Es sei f : R R, f(, y) e y + sin(y) wie oben, mit f(, y) e y + y cos(y), f(, y) e y + cos(y). Es ist. Sei f : R R, f(, y) y sin(y), f(, y) e y + cos(y) y sin(y), f(, y) e y + cos(y) y sin(y) f(, y), f(, y) e y sin(y). y y flls (, y) (, ), f(, y) + y flls (, y) (, ), Dnn gilt f(, y) flls y, f(, y) lim y lim y flls y y + y und nlog f(, ). Es folgt f(, ) f(, ). 45

24 Stz 7.. (Schwrz) Sei p N, U R p offen, ξ U, f : U R und j, k {,...,p}. Es sei weiter vorusgesetzt, dss die zweiten prtiellen Ableitungen jk und kj in U eistieren und in ξ stetig sind. Dnn gilt jk (ξ) kj (ξ). Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei p, j, k. Zu zeigen ist lso (ξ) (ξ). Sei ε > mit U(ξ, ε) U (wobei U(ξ, ε) U mit der Norm gebildet sei). Es sei ξ (, b) und F : U(ξ, ε) R, F(, y) f(, y) f(, b) f(, y) + f(, b). Für festes y (b ε, b + ε), y b, betrchten wir φ : ( ε, + ε) R, φ() f(, y) f(, b). Es ist dnn F(, y) φ() φ(). Dnn ist φ differenzierbr und nch Mittelwertstz eistiert für dnn α zwischen und mit F(, y) φ() φ() ( )φ (α ) ( ) ( f(α, y) f(α, b)). Erneute Anwendung des Mittelwertstzes liefert β zwischen b und y mit F(, y) ( )(y b) f(α, β ). Jetzt betrchten wir für festes ( ε, + ε),, die Funktion ψ : (b ε, b + ε) R, ψ() f(, y) f(, y). Mn findet für y b dnn β zwischen b und y mit F(, y) ψ(y) ψ(b) (y b)ψ (β ) (y b) ( f(, β ) f(, β )) und nschließend α zwischen und mit Es folgt F(, y) ( )(y b) f(α, β ). f(α, β ) f(α, β ). D für (, y) (, b) uch (α, β ) (, b) und (α, β ) (, b) gilt, folgt die Behuptung jetzt us der Stetigkeit von f und f in ξ (, b). Stz 7.. Sei p N, U R p offen, ξ U und f : U R. Die prtiellen Ableitungen von f mögen eistieren und sie seien in ξ (ξ,...,ξ p ) T stetig. Dnn gilt f() f(ξ) p j jf(ξ)( j ξ j ) ξ für (,..., p ) T ξ. Desweiteren ist f stetig in ξ. 46 Bemerkungen.. Wegen der Äquivlenz der Normen in R p (Stz 6.5.6) ist es irrelevnt, welche Norm in Stz 7.. betrchtet wird.. Aus der Eistenz der prtiellen Ableitungen llein folgt noch nicht die Stetigkeit, mn vgl. etw ds Beispiel nch Stz oder betrchte eine beliebige Funktion f : R R, die f(, t) f(t, ) für t R erfüllt. Dnn gilt f(, ) f (, ), ber f brucht nicht stetig sein. 3. Mit den Lndu-Symbolen lässt sich die Aussge von Stz 7.. uch in der Form p f() f(ξ) j f(ξ)( j ξ j ) + o ( ξ ) j für ξ schreiben. Sie lässt sich wie folgt interpretieren: die durch (h,...,h n ) p j jf(ξ)h j definierte linere Funktion T : R p R ist (in der Nähe von ) eine gute Approimtion der durch h f(ξ + h) f(ξ) definierten Funktion, denn für h. Wir können dies uch ls f(ξ + h) f(ξ) T(h) + o( h ) f() f(ξ) T( ξ) + o( ξ ) für ξ schreiben. Leicht sieht mn, dss T die einzige linere Funktion mit dieser Eigenschft ist. Wir werden diese linere Abbildung T später Ableitung von f nennen. Der Grph der lineren Funktion T : R p R ist ein p-dimensionler Teilrum des R p+, eine sogennnte Hyperebene (durch ), im Flle p lso eine Ebene im R 3 (durch ). Für f(, y) sin( y) + + y 4 und ξ (, ) ist der Grph von f und T in Abbildung 7 drgestellt. y 3 Abbildung 7: Approimtion des Grphen durch eine Ebene. Beweis von Stz 7... Sei ε > mit U(ξ, ε) U (wobei U(ξ, ε) U wieder mit der Norm gebildet sei). Für < ξ < ε gilt dnn f() f(ξ) f(,..., p ) f(ξ,...,ξ p ) f(,..., p ) f(ξ,...,ξ p, p ) +f(ξ,...,ξ p, p ) f(ξ,...,ξ p, p, p ) 47

25 +... +f(ξ,,..., p ) f(,..., p ) p f(ξ,..., ξ j, j+,..., p ) f(ξ,...,ξ j, j,..., p ) j p ( j ξ j ) j f(ξ,..., ξ j, y j, j+,..., p ) j p ( j ξ j ) j f(η j ) j mit y j zwischen ξ j und j, und dmit lso η j : (ξ,...,ξ j, y j, j+,..., p ) T U(ξ, ξ ) Mit T wie in obiger Bemerkung folgt lso und dmit f() f(ξ) T( ξ) f() f(ξ) T( ξ) ξ p ( j ξ j ) ( j f(η j ) j f(ξ) ) j p j f(η j ) j f(ξ). Die erste Behuptung folgt jetzt us der Stetigkeit der j f. Die Stetigkeit von f folgt d T( ξ) für ξ. Die prtiellen Ableitungen beschreiben ds Änderungsverhlten einer Funktion in Richtung der Koordintenchsen. Anloges lässt sich uch für ndere Richtungen mchen. Definition 7.. Sei p N, U R p offen, ξ U, f : U R und v R p mit v. Dnn heißt j v f(ξ) : f f(ξ + tv) f(ξ) (ξ) : lim v t t die Richtungsbleitung von f n der Stelle ξ in Richtung v, flls der Grenzwert eistiert. Ist {e,...,e p } die Stndrdbsis des R p, so gilt lso ej j für lle j. Stz 7..3 Sei p N, U R p offen, ξ U, f : U R und v R p mit v. Die prtiellen Ableitungen von f mögen eistieren und sie seien in ξ (ξ,..., ξ p ) T stetig. Dnn eistiert v f(ξ) und es gilt v f(ξ) p j f(ξ)v j. Beweis. Nch Stz 7.. gilt f(ξ + tv) f(ξ) p j lim jf(ξ)v j t, t t und drus folgt die Behuptung. j 48 Definition 7..3 Sei p N, U R p offen, ξ U und f : U R. Dnn heißt grdf(ξ) : ( f(ξ),..., p f(ξ)) der Grdient von f n der Stelle ξ, flls die prtiellen Ableitungen eistieren. Unter den Vorussetzungen von Stz 7..3 gilt dnn v f(ξ) grdf(ξ) v. (Hierbei steht für ds Mtriprodukt der ( p)-mtri grdf(ξ) mit der (p )- Mti (v,..., v p ) T. Wir können dies uch ls Sklrprodukt uffssen: v f(ξ) grdf(ξ), v.) In Stz 7.. erhlten wir für ξ. f() f(ξ) grdf(ξ)( ξ) ξ Definition 7..4 Seien p, q N, U R p offen, ξ U und f (f,...,f q ) T : U R q. Dnn heißt die (q p)-mtri f (ξ)... p f (ξ) f (ξ)... p f (ξ) J f (ξ) :.. f q (ξ)... p f q (ξ) die Funktionlmtri (oder Jcobimtri) von f n der Stelle ξ, flls die prtiellen Ableitungen eistieren. Die k-te Zeile von J f (ξ) ist lso durch grdf k (ξ) gegeben. Stz 7..4 Seien p, q N, U R p offen, ξ U und f (f,...,f q ) T : U R q. Die prtiellen Ableitungen der f k mögen eistieren und sie seien in ξ (ξ,..., ξ p ) T stetig. Dnn gilt f() f(ξ) J f (ξ)( ξ) ξ für ξ. Beweis. Die Behuptung folgt unmittelbr us Stz 7.. (bzw. der uf Definition 7..3 folgenden Bemerkung), d die k-te Koordinte des Zählers durch f k () f k (ξ) grdf k (ξ)( ξ) gegeben ist. Für U R p offen und n N bezeichnet mn die Menge ller Funktionen von U nch R q, für die lle prtiellen Ableitungen bis zur Ordnung n eistieren und stetig sind, mit C n (U, R q ) oder, flls der Zielrum us dem Zusmmenhng klr ist, uch mit C n (U). Für solche Funktionen sind nch dem Stz von Schwrz die prtiellen Ableitungen bis zur Ordnung n unbhängig von der Reihenfolge der Differentition. Weiter setzt mn C (U, R q ) : n Cn (U, R q ). 49

26 7. Differenzierbrkeit Reelle (q p)-mtrizen korrespondieren zu lineren Abbildungen von R p nch R q. Insbesondere entspricht die Funktionlmtri einer lineren Abbildung. Bechtet mn noch, dss linere Abbildungen von R p nch R q stetig sind (siehe 6.4), so führt dies uf folgende Definition. Definition 7.. Seien (V, V ), (W, W ) Bnchräume, U V offen, ξ U und f : U W. Dnn heißt f differenzierbr in ξ, flls T L(V, W) eistiert, so dss f() f(ξ) T( ξ) f(ξ + h) f(ξ) T(h) lim lim. ξ ξ V h h V Die Abbildung T ist dnn eindeutig bestimmt (siehe die. Bemerkung unten) und heißt (totle) Ableitung (oder Fréchet-Ableitung) von f n der Stelle ξ. Sie wird mit Df(ξ) bezeichnet. Die Funktion f heißt (totl) differenzierbr, flls f in jedem Punkt von U differenzierbr ist. Ist dnn die durch Df() gegebene Funktion Df : U L(V, W) stetig, heißt f stetig differenzierbr. Bemerkungen.. Mit L(V, W) htten wir den Vektorrum der stetigen lineren Abbildungen von V nch W bezeichnet; vgl Wir zeigen, dss T in obiger Definition eindeutig bestimmt ist. Dzu nehmen wir n, dss T, T L(V, W) mit T T eistieren, die die in der Definition ngegebene Eigenschft hben. Dnn gilt T (h) T (h) (T T )(h) lim lim. h h V h h V Andererseits eistiert y V mit T (y) T (y). Es folgt für t R + und dmit (T T )(ty) ty V t(t T )(y) t y V (T T )(y) y V (T T )(ty) lim (T T )(y), t ty V y V ein Widerspruch. 3. Die Interprettion der in obiger Definition gegebenen Eigenschft ist nlog zu der von Stz 7..; vgl. Bemerkung 3 dort. Die linere Abbildung Df(ξ) ist (in der Nähe von ) eine gute Approimtion der durch h f(ξ+h) f(ξ) gegebenen Funktion. Denn ist R(h) : f(ξ + h) f(ξ) Df(ξ)(h), so gilt R(h) o ( h V ) für h. Es ist Df(ξ) die einzige linere Abbildung mit dieser Eigenschft; vgl. die vorige Bemerkung. 4. Im llgemeinen hängt Df von den Normen V, W b. Dies gilt ber nicht, flls V R p, W R q, d dort lle Normen äquivlent sind (Stz 6.5.6). Beispiel. Sei f L(V, W). Dnn ist f differenzierbr und es gilt Df(ξ) f für lle ξ V. 5 Stz 7.. Differenzierbre Funktionen sind stetig. Beweis. Seien U, V, W, f wie in Definition 7.. und sei f differenzierbr in ξ U. Für U sei R() : f() f(ξ) Df(ξ)( ξ). Nch Definition der Differenzierbrkeit gilt dnn R()/ ξ V für ξ. Es folgt R() für ξ. D Df(ξ) stetig ist, folgt uch Df(ξ)( ξ) für ξ. Insgesmt folgt f() f(ξ) für ξ. Dmit ist f stetig in ξ. Mn bechte, dss im Beweis die Stetigkeit von Df(ξ) benutzt wird. Dies ist ein Grund dfür, in Definition 7.. T ls liner und stetig zu fordern. Stz 7.. Seien p, q N, U R p offen, ξ U und f (f,...,f q ) T : U R q. Dnn sind äquivlent: (i) f ist differenzierbr in ξ. (ii) Alle prtiellen Ableitungen k f j (ξ) eistieren und es gilt für ξ. f() f(ξ) J f (ξ)( ξ) ξ Es gilt dnn Df(ξ)(h) J f (ξ)(h) für lle h R p, d. h., die Mtri J f (ξ) entspricht der lineren Abbildung Df(ξ) bzgl. der Stndrdbsis. Beweis. (ii) (i). Diese Richtung ist trivil, denn offensichtlich ht die durch T(h) J f (ξ)h definierte Funktion T L(V, W) die in Definition 7.. verlngte Eigenschft. (i) (ii). Sei A ( ij ) i q die zu Df(ξ) gehörige Mtri (bzgl. der Stndrdbsen {e, e,... }). Dnn j p folgt f(ξ + h) f(ξ) Ah h für h und dmit f j (ξ + te k ) f j (ξ) jk t t für t. Hierus folgt, dss die prtiellen Ableitungen k f j (ξ) eistieren und dss jk k f j (ξ) und A J f (ξ) gilt. Aus der totlen Differenzierbrkeit in ξ folgt lso mit Stz 7.. die prtielle Differenzierbrkeit in ξ, ber nicht umgekehrt (vgl. die Beispiele nch Stz 7.., wo die prtiellen Ableitungen eistieren, ber die Funktion sogr unstetig ist). Eistieren ber die prtiellen Ableitungen in einer Umgebung von ξ und sind sie in ξ stetig, so ist f in ξ totl differenzierbr; vgl Stz 7..4 und 7... Für stetige Differenzierbrkeit sind die Verhältnisse einfcher. Stz 7..3 Seien p, q N, U R p offen und f (f,...,f q ) T : U R q. Dnn ist f genu dnn stetig differenzierbr, wenn f C (U, R q ), d. h., wenn lle prtiellen Ableitungen der Koordintenfunktionen von f eistieren und stetig sind. 5

27 Beweis. D us der Stetigkeit der prtiellen Ableitungen die Differenzierbrkeit folgt, können wir f ls differenzierbr nnehmen. Für h R p und, ξ U ist dnn (Df() Df(ξ))(h) (J f () J f (ξ))(h). Legen wir in R p, R q die Norm zugrunde, so erhlten wir (vgl. ds Beispiel nch Stz 6.4.6) Df() Df(ξ) L(R p,r q ) m j Hierus folgt leicht die Behuptung. p k f j () k f j (ξ). Die üblichen Regeln für die Differenzierbrkeit von f + g, und λ f, wobei f, g : U W und λ K, übertrgen sich unmittelbr. Entsprechendes gilt uch für f g und f/g, flls W R ist; vgl. uch Stz Wir formulieren die Kettenregel: Stz 7..4 Seien (V, V ), (W, W ), (X, X ) Bnchräume, U V offen, U W offen, ξ U, g : U W differenzierbr in ξ, g(u) U und f : U X differenzierbr in g(ξ). Dnn ist f g differenzierbr in ξ und Beweis. Es ist für h und k D(f g)(ξ) Df(g(ξ)) Dg(ξ). R g (h) : g(ξ + h) g(ξ) Dg(ξ)(h) o( h V ) R f (k) : f(g(ξ) + k) f(g(ξ)) Df(g(ξ))(k) o( k W ) für k. Mit (h) : g(ξ + h) g(ξ) Dg(ξ)(h) + R g (h) folgt f(g(ξ + h)) f(g(ξ)) f(g(ξ) + (h)) f(g(ξ)) Df(g(ξ))( (h)) + R f ( (h)) (Df(g(ξ)) Dg(ξ))(h) + Df(g(ξ))(R g (h)) + R f ( (h)). }{{} :R(h) Zu zeigen ist, dss R(h) o( h V ) für h. Wegen Df(g(ξ))(R g (h)) X Df(g(ξ)) L(W,X) R g (h) W o( h V ) für h müssen wir nur noch R f ( (h)) X o( h V ) für h zeigen. Dies folgt ber, d (h) O( h V ) und dmit (h) für h, und d flls (h). R f ( (h)) X h V R f( (h)) X (h) W } {{ } o() (h) W h V }{{} O() Wir betrchten jetzt Abbildungen f : I V wobei I Intervll und V Bnchrum. Hier können wir die Ableitung wieder wie in Anlysis I über den Differenzenquotienten bilden. 5 Definition 7.. Sei I Intervll, (V, ) Bnchrum, f : I V und ξ I. Dnn heißt f f() f(ξ) f(ξ + h) f(ξ) (ξ) : lim lim ξ ξ h h Ableitung von f n der Stelle ξ, flls der Grenzwert eistiert. Andererseits können wir ein offenes Intervll (oder ds Innere eines beliebigen Intervlls) ls offene Teilmenge des Bnchrums R uffssen und die Fréchet-Ableitung betrchten. Stz 7..5 Seien I, V, f wie in Definition 7.. und ξ int(i). Dnn eistiert f (ξ) genu dnn, wenn Df(ξ) eistiert, und es gilt dnn f (ξ) Df(ξ)(). Beweis. Eistiert f (ξ), so gilt f(ξ + h) f(ξ) hf (ξ) lim, h h und dmit folgt, dss Df(ξ) eistiert und durch h hf (ξ) gegeben ist. Es folgt lso f (ξ) Df(ξ)(). Anlog folgt us der Eistenz von Df(ξ) die von f (ξ). Mit den Bezeichnungen von Stz 7..5 gilt f (ξ) Df(ξ) L(R,V ), flls f (ξ) (und dmit Df(ξ)) eistiert. Der Mittelwertstz der Differentilrechnung (Stz 4..) gilt nur für reellwertige Funktionen. Für komplewertige Funktionen htten wir nur eine Ungleichung erhlten (Stz 4..5). Diese können wir uf die Bnchrumsitution übertrgen. Stz 7..6 Sei (V, ) Bnchrum und seien f : [, b] V und ϕ : [, b] R stetig und in (, b) differenzierbr. Es gelte f (t) ϕ (t) für t (, b). Dnn gilt f(b) f() ϕ(b) ϕ(). Gilt M : sup f (t) <, t (,b) so knn mn hier ϕ(t) Mt wählen und erhält f(b) f() M(b ). Diese Abschätzung heißt uch Mittelwertungleichung. Beweis von Stz Für ε > betrchten wir A : {t [, b] : f(t) f() ϕ(t) ϕ() + ε(t ) + ε}. Wir werden zeigen, dss A [, b] gilt. Insbesondere gilt dnn b A, und mit ε folgt dnn die Behuptung. Um zu zeigen, dss A [, b] gilt, bechten wir zunächst, dss A bgeschlossen ist. Dies folgt unmittelbr us der Stetigkeit von f und ϕ. Außerdem folgt us der Stetigkeit, dss eine Umgebung von in A enthlten ist. 53

28 Sei nun c : sup{t [, b] : [, t] A}. Dnn gilt c A und c (, b]. Wir nehmen n, dss c < b gilt. Nch Definition der Differenzierbrkeit eistiert δ > mit f(t) f(c) f (c)(t c) < ε (t c) und für c t c + δ und dmit Außerdem gilt wegen c A. Es folgt ϕ(t) ϕ(c) ϕ (c)(t c) < ε (t c) f(t) f(c) f (c) (t c) + ε (t c) ϕ (c) (t c) + ε (t c) ϕ(t) ϕ(c) + ε (t c) + ε (t c) ϕ(t) ϕ(c) + ε(t c). f(c) f() ϕ(c) ϕ() + ε(c ) + ε f(t) f() f(t) f(c) + f(c) f() ϕ(t) ϕ() + ε(t ) + ε für c t c + δ und dmit [, t + δ] A, ein Widerspruch. Stz 7..7 Seien (V, V ), (W, W ) Bnchräume, U V offen,, b U mit [, b] U und f : U W differenzierbr. Ist M : sup [,b] Df() L(V,W) <, so gilt f(b) f() W M b V. Beweis. Sei γ : [, ] [, b], t + t(b ), und g : f γ. Dnn ist g differenzierbr in (, ) mit Dg(t) Df(γ(t)) Dγ(t) und dmit g (t) Dg(t)() Df(γ(t))(Dγ(t)()) Df(γ(t))(γ (t)) Df(γ(t))(b ). Es folgt Mit Stz 7..6 folgt g (t) W Df(γ(t)) L(V,W) b V M b V. f(b) f() W g() g() W M b V. Auch die Ungleichung in Stz 7..7 nennt mn Mittelwertungleichung. Eine typische Anwendung ist der folgende Stz (vgl. Stz 4.3.). Stz 7..8 Seien (V, V ), (W, W ) Bnchräume, U V offen und zusmmenhängend, f : U W differenzierbr und Df() für lle U. Dnn ist f konstnt, d. h., es eistiert c W mit f() c für lle U. 54 Beweis. Sei U. Nch Stz 7..7 gilt dnn f(y) f() für lle y U mit [, y] U. Drus folgt, dss f(z) f() für lle z U gilt, die mit durch einen in U verlufenden Streckenzug verbunden werden können. Dies sind nch Stz ber lle z U. Auch der Begriff des Riemnn-Integrls lässt sich ohne weiteres uf Funktionen f : [, b] V, mit (V, ) Bnchrum, übertrgen. Für eine Zerlegung Z {,,..., n } von [, b] mit Stützstellen ξ (ξ,...,ξ n ) heißt S(f, Z, ξ) n k f(ξ k) I k wieder Riemnnsche Summe und f heißt Riemnn-integrierbr, flls gilt: S V ε R + δ R + Zerlegungen Z von I Stützstellen ξ zu Z : Z < δ S(f, Z, ξ) S < ε. Dieses S ist dnn wieder eindeutig und wird mit b f oder b f()d bezeichnet. Wie in 5. gilt wieder ds Cuchykriterium und wie dort zeigt mn, dss stetige Funktionen integrierbr sind. Mn erhält für stetiges f uch wieder b b f f (b ) m f(). [,b] Für (V, V ), (W, W ) Bnchräume, U V offen,, b U mit [, b] U, f : U W stetig differenzierbr, und γ : [, ] [, b], t + t(b ), gilt dnn f(b) f() (f γ) (t)dt Df(γ(t))(b )dt. Hierus knn mn (für stetig differenzierbres f) wieder die Aussge von Stz 7..7 gewinnen. 7.3 Höhere Ableitungen und Tylorformel Seien (V, V ), (W, W ) Bnchräume, U V offen und f : U W differenzierbr. Ist dnn Df : U L(V, W) wieder differenzierbr, so heißt D(Df) zweite Ableitung und wird mit D f bezeichnet. Entsprechend definiert mn die höheren Ableitungen D n f D(D n f), n 3, flls sie eistieren. Wir nennen dnn f n-ml differenzierbr und, flls D n f uch stetig ist, n-ml stetig differenzierbr. Es ist D f : U L(V, L(V, W)), für ξ U lso D f(ξ) L(V, L(V, W)). Für, y V gilt lso D f(ξ)() L(V, W) und (D f(ξ)())(y) W. Der Vektorrum L(V, L(V, W)) knn in offensichtlicher Weise mit dem Vektorrum der stetigen, bilineren Abbildungen von V V nch W identifiziert werden. Aus diesem Grunde werden wir im folgenden D f(ξ) ls stetige, bilinere Abbildung von V V nch W betrchten und schreiben dher D f(ξ)(, y) sttt (D f(ξ)())(y). Anlog betrchten wir die höheren Ableitungen ls stetige, multilinere Abbildungen und schreiben dher D n f(ξ)(,..., n ) sttt (...(D n f(ξ)( ))...)( n ). Wir wollen jetzt die Resultte us 4.4 und 5.4 über die Tylorentwicklung übertrgen. Für ξ U und V setzen wir h : ξ und definieren ds n-te 55

29 Tylorpolynom durch T n () : f(ξ) + Df(ξ)(h) +! D f(ξ)(h, h) + + n! Dn f(ξ)(h, h,..., h) }{{} n-ml und ds Restglied R n () wieder durch R n () : f() T n (). Wir übertrgen Stz (Alterntiv könnten wir uch Stz 5.4. entsprechend verllgemeinern.) Stz 7.3. Sei (V, V ) Bnchrum, U V offen, n N, ξ, U mit [ξ, ] U und h : ξ. Die Funktion f : U R sei (n + )-ml differenzierbr. Dnn eistiert η [ξ, ] mit R n () (n + )! Dn+ f(η)( h, h,...,h ). }{{} (n + )-ml Hilfsstz 7.3. Seien (V, V ), (W, W ) Bnchräume, h V und A : L(V, W) W, A(T) T(h). Dnn ist A differenzierbr und DA(T) A für lle T L(V, W). Beweis. A ist liner und stetig, und nch Beispiel zu Definition 7.. folgt die Behuptung. Beweis von Stz 7.3. D [ξ, ] U und U offen eistiert δ > mit ξ + th ( t)ξ + t U für t I : ( δ, + δ). Wir betrchten γ : I U, γ(t) ξ + th ( t)ξ + t, und g : f γ. Dnn ist g nch Kettenregel (n + )-ml differenzierbr und es gilt nch Stz g() g() + g () +! g () + + n! g(n) () + mit s (, ). Nch Kettenregel und Stz 7..5 gilt (n + )! g(n+) (s) g (t) Dg(t)() (Df(γ(t)) Dγ(t))() Df(γ(t)) (γ (t)) Df(γ(t)) (h) für t I. Mit A wie in Hilfsstz 7.3. gilt lso Es folgt g (t) A(Df(γ(t))) (A Df γ)(t). g (t) Dg (t)() D(A Df γ)(t)() DA((Df γ)(t) ) ( D f(γ(t)) ) Dγ(t) () }{{} T ( A D f (γ(t) ) Dγ(t))() ( A D f (γ(t) ) (γ (t)) ( D f (γ(t))(γ (t)) ) (h) ( D f(γ(t))(h) ) (h) D f(γ(t))(h, h) 56 Ebenso zeigt mn, dss g (k) (t) D k f(γ(t))(h, h,...,h) für k n + gilt. Hierus folgt sofort die Behuptung. Aus Stz 7.3. folgt, dss für (n + )-ml stetig differenzierbres f R n () O( ξ n+ ) für ξ gilt. Wie in 5.4, insbesondere Stz 5.4., erhält mn uch eine schwächere Abschätzung, flls f nur n-ml stetig differenzierbr ist. Stz 7.3. Sei (V, V ) Bnchrum, U V offen, n N, ξ U, V mit [ξ, ] U und h : ξ. Die Funktion f : U R sei n-ml stetig differenzierbr. Dnn gilt R n () o( ξ n ) für ξ. Wir betrchten den Spezilfll V R p, lso U R p offen, f : U R differenzierbr und ξ U. Mit h (h,...,h p ) T R p ist dnn Df(ξ)(h) grdf(ξ)h p j f(ξ)h j. Die Funktion Df : U L(V, R) ist genu dnn stetig differenzierbr, wenn dies für die Funktion grdf : U R p gilt. Letzteres ist genu dnn der Fll, wenn dies für lle Koordintenfunktionen von grdf, lso lle prtiellen Ableitungen von f, gilt. Dies ist (nch Stz 7..3) genu dnn der Fll, wenn lle zweiten prtiellen Ableitungen eistieren und stetig sind, d. h., wenn f C (U, R). Definition 7.3. Sei U R p offen, f C (U, R) und ξ U. Dnn heißt Hesse-Mtri von f n der Stelle ξ. Für f C (U, R) gilt dnn j H f (ξ) : ( ij f(ξ)) i p j p D f(ξ)(h, h) h T H f (ξ)h n ij f(ξ)h i h j. Mn bechte, dss die Hesse-Mtri nch dem Stz von Schwrz symmetrisch ist. 7.4 Lokle Etrem In Definition 4.. hben wir für Funktionen f : M R mit M C definiert, wnn f ein lokles bzw. globles Etremum ht. Diese Begriffe können wörtlich uf den Fll, dss M metrischer Rum ist, übertrgen werden. 57 i,j

30 Für f C (I, R) mit einem Intervll I und ξ int(i) htten wir gezeigt: Stz f (ξ) und f (ξ) > (bzw. < ) f ht lokles Minimum (bzw. Mimum) in ξ Stz 4.. f (ξ) Wir wollen diese Aussgen jetzt uf Funktionen f C (U, R) mit U R p übertrgen. Dbei ersetzen wir f durch den Grdienten und f durch die Hesse-Mtri. Stz 7.4. Sei U R p offen und f C (U, R) hbe in ξ U ein lokles Etremum. Dnn gilt grdf(ξ). Beweis. Für j {,...,p} ht die durch t f(ξ + te j ) definierte Funktion g j ein lokles Etremum in. Nch Stz folgt j f(ξ) g j(). Es sei ngemerkt, dss ein entsprechender Stz uch für Funktionen gilt, die uf offenen Teilmengen von Bnchräumen definiert sind. (Beweis selbst). Beispiel. Sei K : {(, y) R : + y 4, y } und f : K R, f(, y) + y 3 y. Mn bestimme m (,y) K f(, y) und min (,y) K f(, y). (Die Eistenz von Mimum und Minimum folgt, d K kompkt und f stetig.) Für ein im Inneren von K gelegenes Etremum (, y) folgt nch Stz 7.4., dss 3, ). (, ) grdf(, y) ( 3, y ), lso (, y) ( Wir untersuchen jetzt den Rnd von K uf Etrem. Mit Γ : {(, ) : } und Γ : {( cost, sint) : t π} gilt K Γ Γ. Desweiteren ist m (,y) Γ f(, y) m f(, ) m g() mit g() : 3 und m (,y) Γ f(, y) m t π f( cost, sin t) m t π h(t) mit h(t) : 4 3cost sin t. Anloges gilt für die Minim. Wegen g () 3 ht g nur die Nullstelle 3 und dmit sind Etremwerte von g nur in, 3 und möglich. Wegen h (t) 3 sin t cost ht h in (, π) nur die Nullstelle π und dmit sind Etremwerte von h nur in, π und π 6 6 möglich. Insgesmt erhält mn 5 Kndidten für mögliche Etremstellen: ξ ( ) 3,, ξ3 ( cos π, sin π 6 6) ( 3, ), ξ4 (, ) und ξ 5 (, ). ξ ( 3 ) 3 4, f(ξ 3) h ( π 3, ), Wegen f(ξ ), f(ξ ) g ( 6), f(ξ4 ) g( ) h(π) und f(ξ 5 ) g() h() 4 3 folgt, dss f sein globles 3, Mimum 4+ 3 in ξ 4 (, ) und sein globles Minimum in ξ ( nnimmt. Wir hben hier die Etrem zur Übung mit Hilfe der Differentilrechnung bestimmt. Im konkreten Beispiel hätte mn ds leichter tun können, in dem mn f(, y) in der Form f(, y) ( ) ( 3 + y ) schreibt. Definition 7.4. Sei A reelle, symmetrische (p p)-mtri. Dnn heißt A (i) positiv definit, flls T A > für lle R p \ {}; (ii) negtiv definit, flls T A < für lle R p \ {}; (iii) positiv semidefinit, flls T A für lle R p ; 58 ) (iv) negtiv semidefinit, flls T A für lle R p ; (v) indefinit, flls A weder positiv noch negtiv semidefinit ist, ds heißt, flls, y R p mit T A > und y T Ay < eistieren. Ist A positiv definit, so ist wegen Stz und es gilt c : min T A > R p ( T A A ) c für lle R p. Entsprechendes gilt im negtiv definiten Fll. Stz 7.4. Sei A reelle, symmetrische (p p)-mtri. Dnn sind lle Eigenwerte von A reell und es gilt: (i) A ist positiv definit Alle Eigenwerte von A sind positiv. (ii) A ist negtiv definit Alle Eigenwerte von A sind negtiv. (iii) A ist positiv semidefinit A ht keine negtiven Eigenwerte. (iv) A ist negtiv semidefinit A ht keine positiven Eigenwerte. (v) A ist indefinit A ht sowohl positive wie negtive Eigenwerte. Stz Sei A ( ij ) i p j p reelle, symmetrische (p p)-mtri. Für k p sei A k die (k k)-mtri, die mn us A durch Weglssen der letzten p k Zeilen und Splten erhält, lso Dnn gilt: A k ( ij ) i k. j k (i) A ist positiv definit Für lle k {,...,p} gilt det(a k ) >. (ii) A ist negtiv definit Für lle k {,...,p} gilt ( ) k det(a k ) >. Für den Beweis der Sätze 7.4. und sei uf die Linere Algebr verwiesen. Stz Sei U R p offen, f C (U, R), ξ U und grdf(ξ). Dnn gilt: (i) Ist H f (ξ) positiv definit, so ht f ein lokles Minimum in ξ. (ii) Ist H f (ξ) negtiv definit, so ht f ein lokles Mimum in ξ. (iii) Ist H f (ξ) indefinit, so ht f kein lokles Etremum in ξ. 59

31 Im semidefiniten Fll ist keine llgemeine Aussge möglich. (Dies entspricht dem Fll f (ξ) im Flle einer Veränderlichen.) Beweis von Stz Sei h R p mit ξ + h U. Aufgrund der Tylorformel gilt f(ξ + h) f(ξ) Df(ξ)(h) + }{{} D f(ξ)(h, h) + R(h) ht H f (ξ)h + R(h) mit R(h) o( h ) für h. Zu (i). Ist H f (ξ) positiv definiert, so eistiert c > mit h T H f (ξ)h c h für lle h R p. Weiter eistiert δ > mit R(h) < c h für < h δ. Es folgt f(ξ + h) f(ξ) ht H f (ξ)h R(h) > für < h δ. Also ist ξ lokles Minimum. Zu (ii). Dies folgt nlog zu (i). Zu (iii). Ist H f (ξ) indefinit, so eistieren h, h R p mit c : h T H f (ξ)h < und c : h T H f(ξ)h >. Für t R und j {, } folgt (th j ) T H f (ξ)(th j ) t c j und R(th j ) o( th j ) o(t ) für t. Für genügend kleines t ist dnn R(th j ) < (th j) T H f (ξ)(th j ) und dmit und f(ξ + th ) f(ξ) ht H f (ξ)h + R(h) < f(ξ + th ) f(ξ) ht H f (ξ)h R(h) >. Es folgt, dss ξ kein lokles Etremum ist. Für p sieht im Flle (iii) der Grph von f (lso die Menge {(, y, f(, y)) : (, y) U} R 3 ) lokl wie ein Sttel us, im Beispiel f(, y) y, ξ (, ) ist dies in Abbildung 8 drgestellt. Mn spricht dher uch von einem Sttelpunkt. (i) A ist positiv definit > und det(a) >. (ii) A ist negtiv definit < und det(a) >. (iii) A ist indefinit det(a) <. Dmit erhlten wir ds folgende Resultt direkt us Stz Stz Sei U R offen, f C (U, R), ξ U und grdf(ξ). Sei (ξ) : f(ξ) f(ξ) ( f(ξ)). Dnn gilt: (i) Ist (ξ) > und f(ξ) >, so ht f ein lokles Minimum in ξ. (ii) Ist (ξ) > und f(ξ) <, so ht f ein lokles Mimum in ξ. (iii) Ist (ξ) <, so ht f kein lokles Etremum (sondern einen Sttelpunkt) in ξ. Beispiel. Sei f : R R, f(, y) y 3 y. Dnn ist f C (R, R) und f(, y) y 3 und f(, y) y. Aus grdf(, y) folgt y 3 und y, lso y 3(y) y und dmit y oder y. Zusmmen mit y folgt (, y) ξ : (, ) oder (, y) ξ : (, 6 ). Ttsächlich gilt uch grdf(ξ j ) für j {, }. Wegen f(, y) 6, f(, y) f(, y) und f(, y) folgt ( ) 6 H f (, y) und dmit (, y) deth f (, y). Somit ist (ξ ) (, ) < und folglich ist ξ Sttelpunkt. Weiter ist (ξ ) (, 6 ) > und wegen f(ξ ) < ht f in ξ ein lokles Mimum. Der Grph von f mit den Punkten ξ, ξ mrkiert ist in Abbildung 9 drgestellt. Abbildung 8: Ein Sttelpunkt. Wir betrchten den Spezilfll p genuer. Für eine symmetrische ( )- Mtri ( ) b A b c ist die Determinnte det(a) durch det(a) c b gegeben und es gilt: 6 Abbildung 9: Der Grph der Funktion us Beispiel. Beispiel. Sei f : R 3 R, f(, y, z) 4 + y 4 + z 4 4yz. Dnn ist f C (R 3, R) und f(, y, z) 8 3 4yz 4, f(, y, z) 4y 3 4z, 3 f(, y, z) 6