Analysis I/II. Skript zur Vorlesung 2009/2010. Peter Junghanns

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1 Skript zur Vorlesung Anlysis I/II 9/ Peter Junghnns Hinweis: Ds vorliegende Skript stellt nur ein Gerüst zu den Inhlten der Vorlesung dr. Die Vorlesung selbst bietet weiterführende Erläuterungen, Beweise und die usführliche Behndlung der Beispiele.

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3 Inhltsverzeichnis Zhlenkörper 7. Bezeichnungen und Vereinbrungen Die Körper der rtionlen und der reellen Zhlen Übungsufgben Ds Beweisprinzip der vollständigen Induktion Übungsufgben Der Körper der komplexen Zhlen Einige Formeln Die geometrische Summenformel Die binomische Formel Die polynomische Formel Übungsufgben Abbildungen und metrische Räume. Abbildungen, Reltionen, Mächtigkeit von Mengen Übungsufgben Metrische Räume, topologische Grundbegriffe Abbildungen zwischen metrischen Räumen Übungsufgben Punktfolgen in metrischen Räumen Konvergente Punktfolgen Zhlenfolgen Punktfolgen und stetige Abbildungen Übungsufgben Zhlenreihen Übungsufgben Differentilrechnung Differenzierbrkeit Mittelwertsätze und Tylorreihenentwicklung Übungsufgben Lokle und globle Extremwerte, Kurvendiskussion Der Bnch sche Fixpunktstz und ds Newton-Verfhren Übungsufgben Integrtion 7 5. Funktionenfolgen Integrierbre Funktionen Stmmfunktionen

4 4 INHALTSVERZEICHNIS 5.4 Integrtionsmethoden Grundintegrle Einfchste Integrtionsregeln Die Substitutionsregel Prtielle Integrtion Integrtion rtionler Funktionen Integrtion trigonometrischer Funktionen Zur bestimmten Integrtion Übungsufgben Ds Riemnn-Stieltjes-Integrl Funktionenfolgen (Fortsetzung) Vertuschen von Grenzübergängen Fourier-Reihen Uneigentliche Integrle Übungsufgben Funktionen mehrerer Veränderlicher 6. Bezeichnungen Differenzierbrkeit Extremwerte Übungsufgben Anhng: Der Stz von Stone-Weierstrß 3

5 Literturverzeichnis [] K. Burg, H. Hf, F. Wille, Höhere Mthemtik für Ingenieure, Bd., Anlysis, B. G. teubner, Stuttgrt. [] J. Dieudonne, Grundzüge der modernen Anlysis, Bd., Deutscher Verlg der Wissenschften, Berlin. [3] G. M. Fichtenholz, Differentil- und Integrlrechnung, Bd. und, Deutscher Verlg der Wissenschften, Berlin. [4] H. Heuser, Lehrbuch der Anlysis, Teil und, B. G. Teubner, Stuttgrt, Leipzig, Wiesbden. [5] H. S. Holdgrün, Anlysis, Bd. und, Leins Verlg, Göttingen. [6] W. Rudin, Anlysis, Oldenbourg Verlg, München, Wien. [7] C. P. Wiedemnn, Anlysis, Eine Einführung mit vielen Beispielen, Pro BUSINESS, Berlin. [8], Kleine Enzyklopädie Mthemtik, Bibliogrphisches Institut, Leipzig. 5

6 6 LITERATURVERZEICHNIS

7 Kpitel Zhlenkörper. Bezeichnungen und Vereinbrungen Bezeichnungen: N := {,,...} - die Menge der ntürlichen Zhlen ohne die Null N := {,,,...} - die Menge der ntürlichen Zhlen mit der Null Z := {, ±, ±,...} - die Menge der gnzen Zhlen Reltionen zwischen Mengen: A B def ( A = B) ( B A) A = B def (A B und B A) Mit bezeichnen wir die leere Menge. Es gilt A für jede Menge A. Opertionen mit Mengen: A B := {x : x A oder x B} - die Vereinigung zweier Mengen A B := {x : x A und x B} - der Durchschnitt zweier Mengen A \ B := {x : x A und x B} - die Differenz zweier Mengen A B := {(x,y) : x A und y B} - ds Kreuzprodukt zweier Mengen A n := {(x,x,...,x n ) : x j A, j =,...,n}, n =,3,... A α := {x : α I mit x A α } - die Vereinigung beliebig vieler Mengen α I Im Fll I = {,...,n} schreiben wir uch A n sttt n N A n. n A k sttt k= k {,...,n} A k, im Fll I = N uch α I A α := {x : x A α α I} - der Durchschnitt beliebig vieler Mengen 7

8 8 KAPITEL. ZAHLENKÖRPER Im Fll I = {,...,n} schreiben wir uch n sttt A A n. n N Weitere Bezeichnungen: n A k sttt k= k {,...,n} A k, im Fll I = N uch #A - Anzhl der Elemente der Menge A, flls A nur endlich viele Elemente enthält P(A) := {B : B A} - Potenzmenge der Menge A, z.b. P({,}) = {, {}, {}, {,}} x,y Z, x y: x,y Z, x y: y k := x + x y, z.b. k=x y k := x x+ y, z.b. k=x n k = n k= n k = n. Die Körper der rtionlen und der reellen Zhlen Die Menge Q der rtionlen Zhlen ist die Menge ller geordneten Pre (m, n) mit m Z und n N. Eine rtionle Zhl (m,n) schreiben wir uch in der Form m n, wobei m Zähler und n Nenner dieser rtionlen Zhl gennnt werden. Für (m,) Q schreibt mn uch nur m. In diesem Sinne gilt Z Q. Zwei rtionle Zhlen (m,n ) und (m,n ) werden identifiziert (in Zeichen: (m,n ) = (m,n )), wenn m n = m n gilt. Die Addition und die Multipliktion zweier rtionler Zhlen sind wie folgt erklärt: k= m n + m n := m n + m n n n, m n m n := m m n n. (Ds Multipliktionszeichen wird meistens nicht geschrieben.) Unter Verwendung der beknnten Ordnungsreltion in der Menge der gnzen Zhlen definieren wir m n < m n def m n < m n. Für,b Q schreiben wir uch b, flls < b oder = b gilt. Die Menge Q der rtionlen Zhlen, versehen mit den erklärten binären Opertionen der Addition und Multipliktion und obiger Ordnungsreltion ht nun u.. folgende Eigenschften: (A) + b = b +,b Q - Kommuttivität der Addition (A) + (b + c) = ( + b) + c,b,c Q - Assozitivität der Addition (A3) + = Q - Existenz einer Null (neutrles Element bezüglich der Addition) (A4) Q b Q mit + b = (in Zeichen: b = ) - Existenz der entgegengesetzten Zhl (M) b = b, b Q - Kommuttivität der Multipliktion (M) (b)c = (bc), b, c Q - Assozitivität der Multipliktion (M3) = Q, - Existenz einer Eins (neutrles Element bzgl. der Multipliktion) (M4) Q \ {} b Q mit b = (in Zeichen: b = = ) - Existenz der inversen Zhl

9 .. DIE KÖRPER DER RATIONALEN UND DER REELLEN ZAHLEN 9 (D) (b + c) = c + bc, b, c Q - ds Distributivgesetz (Vereinbrung: Punkt vor Strich ) (O) Für beliebige,b Q gilt genu eine der Aussgen < b, = b, b <. (O) Aus,b,c Q, < b und b < c folgt < c. (Trnsitivität der Ordnungsreltion) Für < b bzw. b schreibt mn uch b > bzw. b. Weiterhin vereinbrt mn b := + ( b) und b := b = b. (.) Folgerung. Aus,b Q, b und b folgt = b. Bemerkung. Für = m n Q \ {} gilt offenbr = n m. Die Eigenschften (uch Axiome gennnt) (A)-(A4), (M)-(M4) und (D) besgen, dss (Q, +, ) ein Körper ist. Wegen (O) und (O) ist (Q,<) eine geordnete Menge. Mn nennt nun (Q,+,,<) einen geordneten Körper, weil noch folgende zwei Axiome erfüllt sind: (O3) Aus,b,c Q und b < c folgt + b < + c. (O4) Aus,b Q, < und < b folgt < b. Für beliebiges Q setzt mn = und definiert für n N n = n sowie, flls, n = ( ) n. Offenbr gelten dnn für beliebige, b Q und m, n Z die Potenzgesetze (b) n = n b n, m n = m+n und ( m ) n = mn. (.) Stz.3 Die Axiome (A) (A4), (M) (M4) und (D) implizieren folgende Rechenregeln für beliebige,b,c Q: () Es ist + b = + c äquivlent zu b = c. Insbesondere folgt us + b = stets b =, so dss es nur ein neutrles Element bezüglich der Addition gibt. (b) Es ist +b = äquivlent zu b =. Also ist die entgegengesetzte Zhl zu einer gegebenen Zhl eindeutig bestimmt. (c) Es gilt ( ) =. (d) Für ist b = c äquivlent zu b = c. Insbesondere folgt us b = stets b =, so dss es nur ein neutrles Element bezüglich der Multipliktion gibt. (e) Es ist b = äquivlent zu b =, so dss die inverse Zhl zu einer gegebenen Zhl eindeutig bestimmt ist. (f) Für gilt ( ) =. (g) Es gilt = für lle Q. (h) Aus und b folgt b. (i) Es gilt ( )b = (b) = ( b) und ( )( b) = b. Mit der in (.) vereinbrten Schreibweise erhlten wir lso (b c) = [b + ( c)] = b + ( c) = b + ( c) = b c.

10 KAPITEL. ZAHLENKÖRPER Stz.4 Für beliebige,b,c Q gelten (wie in jedem geordneten Körper) folgende Regeln: () Die Ungleichung < ist äquivlent zu <. (b) Ist <, so ist b < c äquivlent zu b < c. (c) Ist <, so ist b < c äquivlent zu c < b. (d) Aus folgt <. Insbesondere gilt <. (e) Die Aussge < < b ist äquivlent zu < b <. Folgerung.5 Der geordnete Körper der rtionlen Zhlen ist in sich dicht, d.h., für beliebige,b Q mit < b existiert ein c Q, so dss < c < b gilt. Sind (M,<) eine geordnete Menge und A M nicht leer, so schreiben wir x = mx A bzw. y = min A, flls x A und x A bzw. y A und y A gilt. Definition.6 Es seien (M,<) eine geordnete Menge und N M nicht leer. Ein Element M nennt mn obere Schrnke (bzw. untere Schrnke) von N, wenn x (x ) für lle x N gilt. Die Menge ller oberen (bzw. unteren) Schrnken von N bezeichnen wir mit N o (bzw. N u ). Mn nennt N nch oben (bzw. nch unten) beschränkt, flls N o (bzw. N u ) gilt. Ds kleinste Element in N o, flls dieses existiert, wird Supremum von N gennnt (in Zeichen: sup M N). Entsprechend heißt ds größte Element in N u, flls dieses existiert, Infimum von N (in Zeichen: inf M N). Eine Menge, die sowohl nch oben ls uch nch unten beschränkt ist, nennt mn beschränkt. Beispiel.7 Es gibt keine rtionle Zhl, für die = gilt. Mehr noch, die Zhlen sup Q { Q : > und < } und inf Q { Q : > und > } existieren nicht, obwohl die erste Menge nch oben und die zweite nch unten beschränkt sind. Definition.8 Mn sgt, dss eine geordnete Menge M die Supremumseigenschft ht bzw. vollständig ist, wenn für jede nichtleere Menge N M, die nch oben beschränkt ist, sup M N existiert. Ds Beispiel.7 zeigt, dss die Menge der rtionlen Zhlen nicht vollständig ist. Stz.9 Besitzt M die Supremumseigenschft und ist N M nicht leer und nch unten beschränkt, so existiert s = sup M N u, und es gilt inf M N = s. Stz. Es gibt einen geordneten Körper R (den Körper der reellen Zhlen), der den geordneten Körper Q der rtionlen Zhlen ls Unterkörper enthält und die Supremumseigenschft besitzt, lso vollständig ist. Für sup R bzw. inf R schreiben wir kurz sup bzw. inf. Ist A R nicht leer, so gilt offenbr x = supa (bzw. y = inf A) genu dnn, wenn x (bzw. y ) für lle A gilt und für jedes ε > ein ε A mit ε > x ε (bzw. ε < y + ε) existiert. Sind A R nch oben (bzw. unten) beschränkt und B A, so sieht mn leicht, dss dnn supb supa (bzw. inf B inf A) folgt. Bemerkung. Die Aussgen der Sätze.3 und.4 bleiben lso gültig, wenn mn Q durch R ersetzt.

11 .. DIE KÖRPER DER RATIONALEN UND DER REELLEN ZAHLEN Abkürzend verwenden wir folgende Bezeichnungen für gewisse Teilmengen von R, wobei, b R und < b vorusgesetzt wird:. (,b) := {x R : < x < b} - offenes Intervll,. [,b] := {x R : x b} - bgeschlossenes Intervll, 3. [,b) := {x R : x < b}, (,b] := {x R : < x b} - hlboffene Intervlle, 4. [,+ ) := {x R : x }, (,+ ) := {x R : x > }, 5. (,] := {x R : x }, (,] := {x R : x < }. Für R schreiben wir mnchml uch (,+ ). (Vgl. uch Bemerkung..) Stz. (Archimedes sches Prinzip) Zu jedem x R existiert ein n N mit n > x. Folgerung.3 Für jedes ε > existiert ein n N mit n < ε. Folgerung.4 Es sei A R nicht leer. Dnn gilt x = supa genu dnn, wenn x für lle A gilt und für jedes n N ein n A mit n > x n existiert. Eine nloge Aussge gilt für inf A. Stz.5 (Wohlordnungseigenschft der ntürlichen Zhlen) Jede nichtleere Teilmenge M N der geordneten Menge der ntürlichen Zhlen besitzt ein kleinstes Element. Bemerkung.6 Anlog gilt, dss jede nch unten beschränkte Teilmenge der geordneten Menge der gnzen Zhlen ein kleinstes Element besitzt. Stz.7 Für beliebige x,y R mit x < y existiert ein q Q mit x < q < y. Insbesondere ist lso der Körper der reellen Zhlen in sich dicht. Der Betrg x einer reellen Zhl x R ist erklärt durch x := { x : x, x : x <. Offenbr sind x < y bzw. x y äquivlent zu y < x < y bzw. y x y. Ferner gilt die Dreiecksungleichung x + y x + y, x,y R, (.3) us der mn die Ungleichung x y x y, x,y R, (.4) schlussfolgern knn. Mit R + bezeichnen wir die Menge der positiven reellen Zhlen, R + := {x R : x > } = (, ). Stz.8 (Existenz der n-ten Wurzel) Für jedes x R + und jedes n N gibt es genu ein y R + mit y n = x (in Zeichen: y = n x = x n).

12 KAPITEL. ZAHLENKÖRPER Sind,b R +, n N und m Z, so folgen mit α := n und β := b n us den Potenzgesetzen (.) die Beziehungen lso die Gesetze (αβ) n = α n β n = b und m = (α n ) m = (α m ) n, n b n = (b) n und ( m ) n = ( n) m. Die Zhl x y knn nun für beliebige x R + und y R in folgenden Schritten definiert werden:. Für p = m n = m n, m j Z, n j N, gilt (x m ) n = (x m ) n, so dss die Definition x p := (x m ) n für p = m n Q korrekt ist. Es folgt (xy) p = x p y p, x p x q = x p+q, (x p ) q = x pq x,y R +, p,q Q. (.5) Außerdem ist offenbr < < b äquivlent zu < n < b n, worus folgt Weiterhin gilt < < b < p < b p p Q + := {q Q : q > }. (.6) x p < x p x >, p,p Q : p < p. (.7). Setzen wir A(x,y) = {x p : p Q und p y}, so gilt für x und y Q die Beziehung x y = sup R A(x,y), so dss diese Gleichung ls Definition für x y für beliebige x R + mit x und y R sinnvoll ist. 3. Für < x < und y R setzen wir x y = ( x ) y. Die Potenzgesetze (.) bleiben gültig: Ferner gilt sowie (xy) z = x z y z, x z x w = x z+w und (x z ) w = x zw, x,y R +, z,w R. (.8) x y < x y für x > und y < y (.9) x y < xy für < x < x und y >. (.) Stz.9 (Logrithmus) Für jedes R mit > und jedes x R + existiert genu ein y R, so dss y = x gilt (in Zeichen: y = log x). Bemerkung. In gewissen Situtionen ist es sinnvoll, die Menge der reellen Zhlen (die reelle Zhlengerde) durch die zwei Symbole und + zu ergänzen. Neben der beknnten Ordnung in R vereinbrt mn dnn < x < + für lle x R. Ist A R nch oben (bzw. unten) unbeschränkt, so setzt mn sup A = + (bzw. inf A = ). Dmit ht jede nichtleere Teilmenge der erweiterten Zhlengerden ein Supremum und ein Infimum. Obwohl die erweiterte Zhlengerde kein Körper ist, sind folgende weitere Vereinbrungen sinnvoll:. x =, x + = +, x R, x. = x + = x R, 3. x ( ) =, x (+ ) = + x R +, 4. x ( ) = +, x (+ ) = x R mit x <. In einem solchen Zusmmenhng nennt mn die x R endliche reelle Zhlen. Oft schreibt mn für + uch einfch nur.

13 .3. ÜBUNGSAUFGABEN 3.3 Übungsufgben. Sind die folgenden Aussgen whr? Ws ist jeweils ihr Gegenteil? () 3 < 4 4 < 3, (e) n N n N, (b) 3 < 4 4 < 3, (f) x N y N : x = y +, (c) 3 < 4 (4 < 3), (g) x N y N : y = x +, (d) 3 < 4 Der Mond ist us Käse, (h) y N : x N : x = y +, (i) Wenn meine Großmutter Räder hätte, wäre sie ein Autobus, (j) Für lle reellen Zhlen x gilt 3 < x (x < 3).. Beweisen Sie mithilfe der Whrheitswerttbelle den Stz von der Kontrposition (Prinzip des indirekten Beweises): (p q) ( q p)! 3. Es gelte die folgende Impliktion: {Die Wre ist verdorben.} {Die Wre drf nicht verkuft werden.} Welche Folgerungen können getroffen werden, wenn folgende Aussgen whr sind: () Die Wre ist verdorben. (b) Die Wre ist nicht verdorben. (c) Die Wre drf verkuft werden. (d) Die Wre drf nicht verkuft werden. 4. Nutzen Sie die Impliktion = b = b zur Lösung der Gleichung x + x =! 5. Sei M die Menge der Menschen und H die Menge der Hunde. Negieren Sie h H m M : (m füttert h m führt h Gssi). 6. Seien A und B zwei Aussgen (etw x > und x > für reelle x). Schreiben Sie A B ohne den Folgepfeil nur mit den logischen Symbolen nicht, und und oder (, und ). 7. Dividieren Sie () ( 3 34 b + 5b 3 ) : (7 + 5b), (b) (HA) (9x 3 + y 3 7xy ) : (3x y). 8. Lösen Sie die folgenden Gleichungen ( () lg 3 ) 4x+ 4 4x+ = 4 lg 6 x +.5 lg 4. + x (b) + x ) 4 x 4( = ( x), >. 9. Zeigen Sie, dss folgende Zhlen irrtionl sind: (), (b) (HA) 5!. Dies ist ein A4-Bltt. Es ist offenbr etws höher ls breit. Aber wie ist ds Verhältnis von Höhe und Breite genu, und wrum ist ds so?. Mn zeige, dss us p Q \ {} und x R \ Q folgt p + x,px R \ Q.. Sind folgende Mengen beschränkt? Ermitteln Sie gegebenenflls Supremum und Infimum! () (,), (b) (,], (c) { + ( ) n : n N}, (d) { n : n N}, (e) { x R : x < }, (f) { n ( )n : n N }, (Z) { n n : n N}. 3. Es seien die nichtleere Menge A R nch unten beschränkt und A := { : A}. Mn zeige, dss dnn sup( A) = inf A gilt.

14 4 KAPITEL. ZAHLENKÖRPER 4. Die Mengen A,B R seien nch oben beschränkt. Wir definieren A + B = { + b : A,b B}. Zeigen Sie, dss dnn sup(a + B) = supa + supb gilt. 5. Es seien r,z,w R und r < zw. Dnn existieren p,q Q mit p < z, q < w und r < pq..4 Ds Beweisprinzip der vollständigen Induktion Stz. Ht eine Teilmenge M N der Menge der ntürlichen Zhlen die zwei Eigenschften, dss M gilt und dss us n M folgt n + M, so ist M = N. Folgerung. (Beweisprinzip der vollständigen Induktion) Eine Aussge P(n) ist genu dnn für lle n N whr, wenn P() whr ist und wenn us der Gültigkeit der Aussgen P(),...,P(k), k N, die Gültigkeit von P(k + ) folgt. Beispiel.3 (Bernoullische Ungleichung) Für beliebiges reelles x (, ) (, ) und beliebiges n N \ {} gilt ( + x) n > + n x..5 Übungsufgben. Beweisen Sie durch vollständige Induktion () die Ungleichung n > n, n N, n 5, n (b) die Formel k n(n + )(n + ) =, 6 (c) (d) k= (n ) n n k(k + )(k + ) = k= < n, n N, n(n + )(n + )(n + 3) 4, n N.. Beweisen Sie, dss n+ + n für lle n N durch 33 teilbr ist. 3. Mn zeige durch vollständige Induktion, dss us #A = n folgt #P(A) = n, n N. 4. () Beweisen Sie mit Hilfe der binomischen Formel, dss n k= ( ) n = n, n N. k (b) Lösen Sie mit dieser Beziehung die Aufgbe Zeigen Sie, dss n 3 7n für lle n N durch 6 teilbr ist. 6. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dss jede ntürliche Zhl n einen Primteiler besitzt!

15 .6. DER KÖRPER DER KOMPLEXEN ZAHLEN 5.6 Der Körper der komplexen Zhlen Definition.4 Die Menge C der komplexen Zhlen ist die Menge ller geordneten Pre (x, y) reeller Zhlen x,y R, d.h. C = {(x,y) : x,y R} = R R = R. Dbei werden zwei komplexe Zhlen (x,y ) und (x,y ) genu dnn ls gleich ngesehen, wenn x = x und y = y gilt. Ferner definieren wir die Addition und die Multipliktion komplexer Zhlen durch (x,y ) + (x,y ) := (x + x,y + y ) und (x,y ) (x,y ) := (x x y y,x y + x y ). Stz.5 (C,+, ) ist ein Körper mit der Null (,) und der Eins (,). Geometrisch knn mn lso die Menge der komplexen Zhlen uch ls Punkte der Ebene R uffssen, weshlb C uch Gußsche Zhlenebene gennnt wird. Die Menge {(x,) : x R} C können wir mit der Menge R der reellen Zhlen identifizieren, weil (x, ) + (y, ) = (x + y, ) und (x, )(y, ) = (xy, ) gilt. Wir schreiben deshlb für die komplexe Zhl (x, ) einfch nur x und betrchten in diesem Sinne R ls Teilmenge der komplexen Zhlen C. Die komplexe Zhl i := (,), die die Eigenschft i = besitzt, nennt mn imginäre Einheit. Ferner gilt (x,)+(,)(y,) = (x,y), ws wir nun uch in der Form (x,y) = x+iy schreiben können. Wir nennen Rez := x den Relteil und Im z := y den Imginärteil der komplexen Zhl z = x+iy, wobei x,y R. Die komplexe Zhl z := x iy nennt mn die zu z = x+iy, x,y R, konjugiert komplexe Zhl. Stz.6 Für beliebige komplexe Zhlen z und w gilt () z + w = z + w, (b) zw = z w, (c) Re z = z + z, iim z = z z, (d) zz = x + y [, ), flls z = (x,y) = x + iy. Beispiel.7 Die Menge ller Lösungen z C der Gleichung z + = ist gleich {i, i}. Die Zhl z := x + y = zz nennt mn Betrg der komplexen Zhl z = x + iy, x,y R. Stz.8 Für beliebige z, w C gilt () z = z =, (b) z = z, (c) zw = z w, (d) mx {Rez,Im z} mx { Re z, Im z } z, (e) z + w z + w (Dreiecksungleichung). Beispiel.9 Sei T = {z C : z = } der Einheitskreis der komplexen Zhlenebene. Für jedes z T gilt + z + z = 4.

16 6 KAPITEL. ZAHLENKÖRPER Bemerkung.3 Aus der Dreiecksungleichung (Stz.8,(e)) folgt wie im Fll reeller Zhlen die Ungleichung z w z w, z,w C. (.) Beispiel.3 In der Dreiecksungleichung z + w z + w steht für beliebige komplexe Zhlen z und w mit w genu dnn ds Gleichheitszeichen, wenn z w reell und nichtnegtiv ist. Beispiel.3 (Schwrz sche Ungleichung) Für beliebige komplexe Zhlen z j,w j C und beliebiges n N gilt n n n z j w j z j w j. j= Eine komplexe Zhl z = x + iy C \ {} knn mn in der Form ( x z = z z + i y ) = z (cos ϕ + isin ϕ) z j= schreiben, wobei die reelle Zhl ϕ bis uf gnzzhlige Vielfche von π eindeutig bestimmt ist, j= ϕ {ϕ + kπ : k Z}, ϕ [ π,π). Mn nennt ϕ ein Argument und ϕ den Huptwert des Arguments der komplexen Zhl z. Die Drstellung z = r(cos ϕ + isin ϕ) mit r = z wird uch trigonometrische Drstellung der komplexen Zhl z gennnt. Für ds Produkt zweier komplexer Zhlen ergibt sich dnn die Formel z k = z k (cos ϕ k + isin ϕ k ), k =,, z z = z z [cos(ϕ + ϕ ) + isin(ϕ + ϕ )]. (.) Induktiv folgt hierus die Formel von Moivre (cos ϕ + isin ϕ) n = cos(nϕ) + isin(nϕ), ϕ R, n Z. (.3) Beispiel.33 Für gegebenes n N ht die Gleichung genu n verschiedene komplexe Lösungen e (n) k = cos kπ n + isin kπ n z n = (.4), k =,,...,n. Diese n Zhlen nennt mn n-te Einheitswurzeln. Sie sind gleichbständig uf dem Einheitskreis T = {z C : z = } verteilt, weshlb mn die Gleichung (.4) uch Kreisteilungsgleichung nennt. Sind nun w = w (cos ψ + isin ψ) eine gegebene komplexe Zhl und n N, so ht die Gleichung z n = w genu n verschiedene komplexe Lösungen z k = n ( w cos ψ + kπ + isin ψ + kπ ), k =,,...,n. (.5) n n

17 .7. EINIGE FORMELN 7.7 Einige Formeln.7. Die geometrische Summenformel Für q C \ {} und n N gilt.7. Die binomische Formel + q + q + + q n = n k= q k = qn+ q Für α C und k N definiert mn den Binominlkoeffizienten ( ) α = k : k =, α(α ) (α k + ) k Im Fll α = n N und k {,,...,n} ist dieser gleich ( ) n n! = k k!(n k)!, : k >.. (.6) wobei! = und k! = (k )!k für k N. Flls n N und k {,...,n}, so gilt ( ) ( ) ( ) n + n n = +. (.7) k k k Für beliebige Zhlen, b C und beliebiges n N gilt nun die binomische Formel n ( ) n ( + b) n = k b n k. (.8) k Für den Spezilfll n = erhält mn oder uch (b durch b ersetzen) k= ( + b) = + b + b ( b) = b + b. Aus der letzten Gleichung folgt für beliebige,b R unmittelbr die Ungleichung b +b, die mn für b > uch in der Form b + b (.9) schreiben knn. Aus (.8) erhält mn für = und b = z C die Formel n ( ) n ( + z) n = z k. (.) k.7.3 Die polynomische Formel Die binomische Formel (.8) ist ein Spezilfll (p = ) der polynomischen Formel ( p ) n = k= k + k + + k p = n (k,k,...,k p ) N p die für beliebige Zhlen,..., p C und beliebige p,n N gilt. n! k!k! k p! k k kp p, (.)

18 8 KAPITEL. ZAHLENKÖRPER.8 Übungsufgben. Mn berechne Rel- und Imginärteil folgender komplexer Zhlen: () ( + 3i)(3 i), (b) ( + i) 3, (c) ( + i) 6, (d) + i i, (e) ik (k Z), (f) + bi bi (,b R, (,b) (,)), (g) ( + i) ( i) 8, (h) ( + bi)n (,b R, n N).. Zeigen Sie, dss für beliebige komplexe Zhlen z,w C die Beziehung gilt. ( z + w ) = z w + z + w 3. Sind Rel- und Imginärteil der komplexen Zhl z = log 3 + ilog 6 irrtionl? 4. Stellen Sie folgende komplexe Zhlen in trigonometrischer Form dr: () + i 3, (b) + i, (c) sinα+i( cos α) (α [ π,π)), (d) +cos π 4 +isin π Es sei z = x + iy = r(cos ϕ + isin ϕ) mit x,y R, ϕ [ π,π), r > eine beliebige komplexe Zhl. Bestimmen Sie Rel- und Imginärteil sowie Betrg und den Huptwert des Arguments folgender komplexer Zhlen: () z, (b) z, (c) z, (d) iz, (e) zz, (f) 6. Berechnen Sie mit Hilfe der Formel von Moivre z z, (Z) z für z. () ( + i), (b) ( i 3) 6, (c) ( + i) 5, (d) ( 3 + i) 3, (e) ( 3 + i) Skizzieren Sie in der Gußschen Zhlenebene die Menge ller komplexen Zhlen z mit der Eigenschft () z = z, (b) Re (z ) =, (c) Re z = c, (d) z 3, (e) < z < 4, (f) z z = z z, (g) z z 3, wobei c R und z,z C beliebige, ber fest gewählte Zhlen sind. 8. Mn bestimme lle Lösungen folgender Gleichungen: () z 3 =, (b) z 4 + =, (c) z 3 + = i, (d) z 4 = i, (e) z = 3 4i, (f) z 4 iz +i =, (g) z +4iz +5 =, (h) z z = +i. 9. Zerlegen Sie folgende Polynome sowohl in komplexe Linerfktoren ls uch in reelle Liner- und (wenn nötig) qudrtische Fktoren: () z 4 +, (b) z 3 +, (c) z Berechnen Sie die Summe und ds Produkt ller komplexen Lösungen der Gleichung z n =, n N.. Zeigen Sie, dss für α R und n N mit α, nα {( k + ) π : k Z } die Beziehung gilt. ( ) + itn α n = + itn(nα) itn α itn(nα)

19 .8. ÜBUNGSAUFGABEN 9. Es seien p(z) = p(z ) = gilt. n k z k, k R, z C und p(z ) =. Zeigen Sie, dss dnn uch k= (Z) Lösen Sie die Gleichung z 4 + z 3 + z + z + = in C. Ermitteln Sie hierus explizite Formeln für sin π 5 und cos π 5.

20 KAPITEL. ZAHLENKÖRPER

21 Kpitel Abbildungen und metrische Räume. Abbildungen, Reltionen, Mächtigkeit von Mengen Es seien A und B zwei nichtleere Mengen. Unter einer Abbildung oder Funktion f : A B, f() von A nch B verstehen wir eine Vorschrift, die jedem A genu ein b B mittels der Vorschrift b = f() zuordnet. Dbei heißt b Bild von unter der Abbildung f, Urbild von b bezüglich der Abbildung f. Ist M A, so nennt mn f(m) := {b B : M mit f() = b} = {f() : M} ds Bild der Menge M unter der Abbildung f. Die Menge f (N) := { A : f() N} nennen wir ds (vollständige) Urbild der Menge N B unter der Abbildung f. Die Menge {(,f()) : A} heißt Grph der Abbildung f. Bemerkung. Es ist möglich, dss f (N) = gilt, obwohl N nicht leer ist. Für ds Urbild einer einelementigen Menge vereinbren wir die Schreibweise f (b) sttt f ({b}). Beispiel. Die Abbildung id A : A A,, d.h. id A () = für lle A, ist die identische Abbildung in A. Beispiel.3 Eine Abbildung f : N C nennt mn Zhlenfolge und schreibt dfür uch (z n ) mit der Vereinbrung z n := f(n). Ds Bild f(n) = {z n : n N} ist nicht zu verwechseln mit der Zhlenfolge (z n )! Eine Abbildung f : A B nennt mn - surjektiv, wenn f(a) = B gilt, - injektiv, wenn us, A und f( ) = f( ) stets = folgt, - bijektiv, wenn f surjektiv und injektiv ist. Sind uns mehrere Abbildungen f : A B, g : B C und h : C D gegeben, so können wir diese miteinnder verknüpfen. Z.B. ist g f : A C definiert durch (g f)() = g(f()) A. Für diese Verknüpfung gilt ds Assozitivgesetz: h (g f) = (h g) f. Stz.4 Für eine Abbildung f : A B existiert genu dnn eine Abbildung g : B A mit den Eigenschften g f = id A und f g = id B, wenn f bijektiv ist.

22 KAPITEL. ABBILDUNGEN UND METRISCHE RÄUME Ist die Vorussetzung von Stz.4 erfüllt, so nennt mn g : B A die Umkehr- oder inverse Abbildung bzw. Funktion zu f : A B und bezeichnet sie mit f. Es gilt lso f (f()) = A und f(f (b)) = b b B. Stz.5 Sind die Abbildungen f : A B und g : B C bijektiv, so ist uch g f : A C bijektiv, wobei (g f) = f g gilt. Beispiel.6 Die Menge ller bijektiven Abbildungen der Menge {,,...,n} der ersten n ntürlichen Zhlen uf sich selbst, uch Permuttionen der Ordnung n gennnt, bezeichnen wir mit S n. Wir verwenden dbei folgende Schreibweise: Ein σ S 4 schreiben wir in der Form ( ) 3 4 σ =, 3 4 ws usführlich geschrieben bedeutet. Es gilt nun Für erhlten wir σ() = 3, σ() =, σ(3) = und σ(4) = 4 σ = σ σ = σ = ( ) ( ) ( ) und σ = und σ σ = ( ) ( ) 3 4, 3 4 ws zeigt, dss die Verknüpfung i.. nicht kommuttiv ist, uch wenn der Bildbereich B mit dem Urbildbereich A zusmmenfällt. Definition.7 Zwei nichtleere Mengen A und B nennt mn gleichmächtig, wenn eine bijektive Abbildung f : A B existiert (in Zeichen: A B). Beispiel.8 Die Menge der ntürlichen Zhlen und die Menge der positiven gerden Zhlen sind gleichmächtig. Mn nennt nun eine nichtleere Menge A endlich, wenn ein n N existiert, so dss A {,,...,n} gilt, unendlich, wenn A nicht endlich ist, bzählbr, wenn A N gilt, überbzählbr, wenn A weder endlich noch bzählbr ist, höchstens bzählbr, wenn A endlich oder bzählbr ist. Stz.9 Jede unendliche Teilmenge einer bzählbren Menge ist bzählbr. Die bzählbren Mengen sind lso die kleinsten Mengen unendlicher Mächtigkeit. Stz. Die bzählbre Vereinigung bzählbrer Mengen ist bzählbr.

23 .. ABBILDUNGEN, RELATIONEN, MÄCHTIGKEIT VON MENGEN 3 Folgerung. Vereinigt mn höchstens bzählbr viele höchstens bzählbre Mengen, so erhält mn eine höchstens bzählbre Menge. Folgerung. Sind A und B bzählbr, so uch A B. Folgerung.3 Die Menge der rtionlen Zhlen ist bzählbr. Folgerung.4 Ist die Menge A bzählbr, so ist uch A n für jedes n N bzählbr. Stz.5 Die Menge D := {(x n ) : x n {,} n N} der Zhlenfolgen us Nullen und Einsen ist überbzählbr. Folgerung.6 D die Menge {(x n ) D : k N mit x n = n k} bzählbr ist, ist die Menge der reellen Zhlen überbzählbr. Wir erinnern n folgende Begriffe (vgl. Vorl. Linere Algebr und Anlytische Geometrie ): Unter einer Reltion R uf einer nichtleeren Menge M versteht mn eine Teilmenge R M M. Für x,y M schreibt mn xry genu dnn, wenn (x,y) R gilt. Mn nennt eine Reltion R M M (r) reflexiv, wenn (x,x) R x M, (s) symmetrisch, wenn us (x, y) R folgt (y, x) R, (t) trnsitiv, wenn us (x,y),(y,z) R folgt (x,z) R, () ntisymmetrisch, wenn us (x, y) R und (y, x) R folgt x = y. Eine Reltion uf M wird Äquivlenzreltion gennnt, flls sie reflexiv, symmetrisch und trnsitiv ist. Ist sie reflexiv, trnsitiv und ntisymmetrisch, so spricht mn von einer Ordnungsreltion. Ist R M M eine Äquivlenzreltion, so definiert mn für x M die zugehörige Äquivlenzklsse [x] R (oder uch nur mit [x] bezeichnet) ls die Menge [x] := {y M : (x,y) R}. Ds Element x M heißt Repräsentnt der Äquivlenzklsse [x]. Es gilt nun: (A) [x] = [y] (x,y) R. (A) [x] [y] [x] = [y]. (A3) Aus (A) und (A) folgt: Jedes x M liegt in genu einer Äquivlenzklsse. Mn sgt: Eine Äquivlenzreltion uf M erzeugt eine Zerlegung von M in prweise disjunkte, nichtleere Teilmengen, nämlich die Äquivlenzklssen. Eine solche Zerlegung wird uch Prtition von M gennnt. Es gilt uch die Umkehrung: (A4) Jede Prtition P von M, d.h. P P(M), P, A = M und A B = für A,B P, A B, A P erzeugt eine Äquivlenzreltion R uf M, und zwr durch die Definition xry def A P : x A und y A. Beispiel.7 Es sei N eine beliebige nichtleere Menge. Die uf M = P(N) \ { } mittels Definition.7 erklärte Reltion A B ist eine Äquivlenzreltion. Zu einer Äquivlenzklsse gehören dnn jeweils die gleichmächtigen Teilmengen der Menge N.

24 4 KAPITEL. ABBILDUNGEN UND METRISCHE RÄUME. Übungsufgben. Geben Sie für folgende Situtionen lle Abbildungen f : I M n und entscheiden Sie, ob diese injektiv, surjektiv, bijektiv sind: () I = {, },M = {,}, (b) I = {},M = {l,m,n}, (c) I = {,b},m = {3}.. Es sei in der Menge M der Wle (die einml gelebt hben bzw. noch leben) eine Vorschrift y = γ(x) gegeben durch () y ist Vter von x, (b) y ist Sohn von x, (c) y ist Großvter von x, (d) y ist älteste Tochter von x. Ist γ eine Funktion von M in M? 3. Entscheiden Sie, ob folgende Funktionen f : A B injektiv, surjektiv, bijektiv sind: () A = B = R, x e x (b) A = R, B = [, ), x e x (c) A = [, ), B = R, x x (d) A = B = R, x sin x (e) A = R \ { (k + ) π : k Z}, B = R, x tn x (f) A = B = N, n n (g) A = N, B = Q, n n (h) A = B = R, x x 4 Geben Sie gegebenenflls mximle Teilmengen A und B von A bzw. B n, so dss f : A B bijektiv wird. Bestimmen Sie die inverse Funktion f : B A. 4. Es seien f : X Y eine Abbildung und A,B X. Zeigen Sie: () Aus A B folgt f(a) f(b). (b) f(a B) = f(a) f(b). (c) f(a B) f(a) f(b). (d) Geben Sie ein Beispiel für f(a B) f(a) f(b) n. 5. Es sei f : X Y eine Abbildung. Zeigen Sie die Äquivlenz folgender Aussgen: () f : X Y ist injektiv. (b) f(a B) = f(a) f(b) A,B X. (c) (HA) Für lle Teilmengen A,B X mit A B = gilt f(a) f(b) =. (d) f (f(a)) = A A X. (e) (HA) Für lle Teilmengen A,B X mit A B ist f(a \ B) = f(a) \ f(b). 6. Es seien f : X Y eine Abbildung und A X, A,B Y. () Überprüfen Sie die Inklusionen f(f (A )) A und (HA) f (f(a)) A. Geben Sie ein Beispiel dfür n, dss i.. keine Gleichheit gilt.

25 .. ÜBUNGSAUFGABEN 5 (b) Untersuchen Sie die Gültigkeit der Beziehungen f (A B ) = f (A ) f (B ) und (HA) f (A B ) = f (A ) f (B ). 7. Beweisen Sie: Sind f : A B und g : B C injektiv bzw. surjektiv, so gilt dies uch für g f : A C. Knn mn für die entsprechenden Aussgen die Bedingungen n f und/oder g bschwächen? 8. Sei = (,, 3 ) R 3 fest gewählt. Mit,x bezeichnen wir ds Sklrprodukt der Vektoren und x R 3. Ist die Abbildung f : R 3 R 3, x,x x injektiv bzw. surjektiv? 9. Mn zeige: Sind A überbzählbr und B A höchstens bzählbr, so ist A\B überbzählbr.. Sind folgende Mengen bzählbr () M = {x R : x = n m, m,n N} (b) Menge der Primzhlen, (c) die Menge ller Funktionen f : Q Q, (Z) die Menge der lgebrischen Zhlen.. Geben Sie eine Bijektion zwischen folgenden gleichmächtigen Mengen n! () N, Z, (b) [,b], [c,d], wobei < b und c < d, (c) (, ), (, ), (d) (, ), (,), (e) [,], (,].. Gilt [,) [,) [,)? (Begründung) 3. Auf dem Mrs steht ein Hotel mit unendlich vielen durchnumerierten Zimmern, welches voll belegt ist. (Der Einfchheit hlber nehmen wir n, dss jeder Gst sein eigenes Zimmer ht.) () Es kommen noch zwei Herren, die ebenflls in diesem Hotel wohnen möchten. Ist dies möglich? (b) Gäste reisen b. Knn der Mnger dennoch seine Behuptung ufrecht erhlten, sein Hotel sei stets usgebucht? (c) Abzählbr unendlich viele Gäste reisen n. Können diese noch untergebrcht werden? Wenn j, wie? (d) Derrtige Hotels befinden sich in llen Sonnensystemen. Aufgrund einer Hvrie im Kosmos müssen (bzählbr) unendlich viele geschlossen werden. Knn unser Hotel den ddurch entstndenen Zimmerbedrf decken? (e) Der Hotelmnger wird vom gstronomischen Zentrum gebeten, lle möglichen Zimmerbelegungen ufzuschreiben. Er schreibt unendlich viele durchnumerierte Vrinten uf. Ds gstronomische Zentrum ist jedoch nicht zufrieden. Wrum? 4. Eine Schießscheibe hbe die Form eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge. Sie werde fünf ml getroffen. Zeigen Sie, dss es zwei Einschüsse gibt, deren Abstnd kleiner oder gleich ist. 5. Es seien M eine beliebige nichtleere Menge und P(M) die Potenzmenge von M. Gibt es eine Bijektion zwischen M und P(M)? 6. Zeigen Sie, dss eine Menge genu dnn unendlich ist, wenn sie zu einer ihrer echten Teilmengen gleichmächtig ist.

26 6 KAPITEL. ABBILDUNGEN UND METRISCHE RÄUME.3 Metrische Räume, topologische Grundbegriffe Definition.8 Es seien X eine nichtleere Menge und d : X X [, ), (x,y) d(x,y) eine Abbildung. Mn nennt (X, d) einen metrischen Rum, wenn folgende Axiome erfüllt sind: (M) d(x,y) = x = y, (M) d(x,y) = d(y,x) x,y X, (M3) d(x,y) d(x,z) + d(z,y) x,y,z X. Die Abbildung d : X X [, ) nennt mn dnn Abstnd oder Metrik. Beispiel.9 (C,d) mit d(z,w) = z w und (C n,d ), n N, mit d ((z,...,z n ),(w,...,w n )) = n z k w k sind metrische Räume. Bechte: (C,d) = (C,d ). Bemerkung. Ist X X eine nichtleere Teilmenge des metrischen Rumes (X,d), so ist uch (X,d ) mit d = d X X ein metrischer Rum. Für (X,d ) schreiben wir uch einfch nur (X,d). Beispiel. Es seien d und d wie in Beispiel.9 definiert. Dnn sind (R,d) und (R n,d ), n N, ber uch ([,),d), (R +,d) oder (T,d) mit dem Einheitskreis T = {z C : z = } metrische Räume. Im weiteren sei (X,d) ein metrischer Rum. Die Elemente von X nennt mn uch Punkte. Mit U ε (x ), wobei x X und ε >, bezeichnen wir die (offene) ε-umgebung des Punktes x, k= U ε (x ) = {x X : d(x,x ) < ε}. Diese Menge wird uch (offene) Kugel mit dem Mittelpunkt x und dem Rdius ε gennnt. Sei A X. Die bgeschlossene Kugel mit dem Mittelpunkt x und dem Rdius r > bezeichnen wir mit K r (x ), K r (x ) = {x X : d(x,x ) r}. Mn nennt x X einen Berührungspunkt der Menge A, wenn A U ε (x ) ε >, ( ) Häufungspunkt der Menge A, wenn A U ε (x ) \ {x } ε >, isolierten Punkt der Menge A, wenn ε > : A U ε (x ) = {x }, inneren Punkt der Menge A, wenn ε > : U ε (x ) A. Offenbr ist x X genu dnn Häufungspunkt der Menge A X, wenn in jeder ε-umgebung U ε (x ) unendlich viele Punkte von A liegen. Mit A bezeichnen wir die Menge ller Berührungspunkte der Menge A - die Abschließung von A, mit int(a) die Menge ller inneren Punkte der Menge A - ds Innere der Menge A. Ferner sei A die Menge ller Häufungspunkte der Menge A, uch Ableitung der Menge A gennnt.

27 .3. METRISCHE RÄUME, TOPOLOGISCHE GRUNDBEGRIFFE 7 Definition. Eine Menge A X nennt mn () bgeschlossen, wenn A = A, d.h. A A, (b) offen, wenn int(a) = A, (c) perfekt, wenn A = A, (d) beschränkt, wenn eine Zhl r > und ein x X existieren, so dss A U r (x ) gilt, (e) dicht in X, wenn A = X. Bemerkung.3 Die leere Menge und der gesmte Rum X sind sowohl offen ls uch bgeschlossen. Stz.4 Es seien (X,d) ein metrischer Rum und A X. () Jede ε-umgebung U ε (x ) ist eine offene Menge, jede Kugel K ε (x ) ist bgeschlossen. (b) A ist bgeschlossen. Ist lso A perfekt, so ist A bgeschlossen. (c) A ist genu dnn offen, wenn X \ A bgeschlossen ist. (d) Vereinigung und Durchschnitt endlich vieler offener (bzw. bgeschlossener) Mengen sind offen (bzw. bgeschlossen). (e) Die Vereinigung (der Durchschnitt) beliebig vieler offener (bgeschlossener) Mengen ist offen (bgeschlossen). Beispiel.5 Wir betrchten die in (C,d) offenen Mengen G n = U + () und bgeschlossenen n Mengen F n = K (). Dnn sind K () = G n nicht offen und U () = n nicht n n N n NF bgeschlossen. Bemerkung.6 Im Allgemeinen gilt nicht U r (x ) = K r (x ). Bemerkung.7 Die Eigenschft einer Teilmenge A eines metrischen Rumes X offen oder bgeschlossen zu sein, ist bhängig vom Rum X. Ds Intervll (,) = {x R : < x < } ist z.b. eine in R offene Menge, ber in C weder offen noch bgeschlossen. Beispiel.8 Eine (komplexe) Zhlenfolge (z n ) n= nennt mn beschränkt, wenn ihr Wertebereich beschränkt ist, d.h., wenn sup { z n : n N } < gilt. Die Menge ller beschränkten Zhlenfolgen bezeichnen wir mit l. Definiert mn d : l l [, ) durch d (z,w) = sup { z n w n : n N }, so ist (l,d ) ein metrischer Rum. z = (z n ) n=, w = (w n) n=, Beispiel.9 (Intervllschchtelung) Es seien [ n+,b n+ ] [ n,b n ] R, n N. Dnn ist D := n N [ n,b n ]. Dbei besteht D genu dnn us nur einer Zhl, wenn für jedes ε > ein n ε N mit b nε nε < ε existiert. Definition.3 Es sei (X,d) ein metrischer Rum. Sind A X und {G α : α I} eine Fmilie offener Mengen G α X, so nennt mn diese Fmilie eine offene Überdeckung der Menge A, wenn A α I G α gilt. Die Menge A heißt kompkt, wenn zu jeder offenen Überdeckung {G α : α I} der Menge A eine endliche Teilüberdeckung existiert, d.h., es gibt endlich viele m Indizes α,...,α m I mit A A αj. j=

28 8 KAPITEL. ABBILDUNGEN UND METRISCHE RÄUME Im Weiteren werden wir, wenn nichts nderes gesgt wird, R n bzw. C n oder Teilmengen dieser Mengen ls metrische Räume mit der d -Metrik (vgl. Beispiel.9) betrchten. Beispiel.3 Ds Intervll (,] ist nicht kompkt. Beispiel.3 Jedes bgeschlossene Intervll [, b] R ist kompkt. Stz.33 Jede kompkte Menge ist bgeschlossen, und jede bgeschlossene Teilmenge einer kompkten Menge ist kompkt. Stz.34 Es seien K n X nichtleere kompkte Mengen mit K n+ K n, n N. Dnn ist n N K n nichtleer. Stz.35 Jede unendliche Teilmenge einer kompkten Menge K besitzt einen Häufungspunkt in K. Stz.36 Für eine Teilmenge K R sind folgende Aussgen äquivlent: () K ist kompkt. (b) K ist bgeschlossen und beschränkt. (c) Jede unendliche Teilmenge in K besitzt einen Häufungspunkt in K. Beispiel.37 Jede bgeschlossene Kugel K r (x), x l, r >, ist nicht kompkt in l. Mn nennt zwei Teilmengen A und B eines metrischen Rumes (X,d) getrennt, wenn A B = A B = gilt. Z.B. sind (,) R und (,) R getrennt, ber (,] und (,) nicht, obwohl in beiden Fällen die zwei Mengen durchschnittsfremd sind. Eine Teilmenge X X heißt zusmmenhängend, wenn sie sich nicht ls Vereinigung zweier nichtleerer getrennter Mengen drstellen lässt. Stz.38 Eine Teilmenge X R ist genu dnn zusmmenhängend, wenn us x,y X und x < z < y folgt z X. Stz.39 Jede nichtleere offene Menge A R lässt sich ls Vereinigung höchstens bzählbr vieler offener Intervlle drstellen..4 Abbildungen zwischen metrischen Räumen Im Weiteren seien (X,d X ), (Y,d Y ) und (Z,d Z ) metrische Räume. Definition.4 Eine Abbildung f : X Y heißt stetig im Punkt x X, wenn für jedes ε > ein δ > existiert, so dss d Y (f(x),f(x )) < ε x U δ (x ) gilt, ws gleichbedeutend mit f (U δ (x )) U ε (f(x )) ist. Mn nennt f stetig, wenn f in jedem Punkt x X stetig ist, und gleichmäßig stetig, wenn für jedes ε > ein δ > existiert, so dss d Y (f(x ),f(x )) < ε x,x X mit d X (x,x ) < δ gilt.

29 .5. ÜBUNGSAUFGABEN 9 Beispiel.4 Die Abbildung f : R R, x { sin x : x, : x =, ist in x = nicht stetig. Die Abbildung g : R R, x { xsin x : x, : x =, ist in x = stetig. Beispiel.4 Die Abbildung f : (,) R, x x ist stetig, ber nicht gleichmäßig stetig. Stz.43 Sind f : X Y und g : Y Z in x X bzw. y = f(x ) stetig, so ist uch g f : X Z in x stetig. Sind lso f und g stetige Abbildungen, so gilt dies uch für g f : X Z. Stz.44 Folgende Aussgen sind äquivlent: () Die Abbildung f : X Y ist stetig. (b) Ds Urbild f (A) jeder offenen Menge A Y ist offen. (c) Ds Urbild f (A) jeder bgeschlossenen Menge A Y ist bgeschlossen. Im Beispiel.4 ist ds { vollständige Urbild der bgeschlossenen Menge {} bzgl. der Abbildung (πn f gleich f ) } ({}) = + π : n Z und somit nicht bgeschlossen, weil diese Menge ihren Häufungspunkt nicht enthält. Die Abbildung h : R R, x sgn x ist offenbr im Punkt x = nicht stetig, ws mn uch drn sieht, dss ds vollständige Urbild der offenen Menge A = (, ) gleich h (A) = {} und somit nicht offen ist..5 Übungsufgben. Es sei (X,d) ein metrischer Rum. Zeigen Sie die Gültigkeit von d(x,z) d(y,w) d(x,y) + d(z,w) x,y,z,w X und d(x,z) d(y,z) d(x,y) x,y,z X.. Zeigen Sie, dss folgende Räume (X,d) metrische Räume sind: () X = C n, n N, d(z,w) = d (z,w) := mx { z k w k : k =,...,n} mit z = (z,...,z n ), w = (w,...,w n ), n (b) X = C n, n N, d(z,w) = d (z,w) := z k w k, (c) X = C, d(z,w) = z w. 3. Es seien (X,d) ein metrischer Rum und A,B X. Zeigen Sie: () (HA) Aus A B folgt A B. k=

30 3 KAPITEL. ABBILDUNGEN UND METRISCHE RÄUME (b) Es gilt A B = A B. Gilt uch k= A k = k= A k? (c) A ist bgeschlossen und int(a) ist offen. (d) Der Durchschnitt ller bgeschlossenen Mengen in X, die A umfssen, ist gleich der Abschließung von A, d.h. A = F, wobei F(A) = { F P(X) : A F und F = F }. F F(A) 4. Zeigen Sie: Sind A R nch oben beschränkt und x = supa, so ist x A. 5. Zeigen Sie: Ist (X,d) ein metrischer Rum, so ist uch (X,d ) mit ein metrischer Rum. d (x,y) = d(x,y) + d(x,y) 6. Es seien (X,d X ) und (Y,d Y ) metrische Räume und Z = X Y. Zeigen Sie, dss dnn uch (Z,d) ein metrischer Rum ist, wobei für z j = (x j,y j ) () d(z,z ) = mx {d X (x,x ),d Y (y,y )}, (b) d(z,z ) = d X (x,x ) + d Y (y,y ), (c) (HA) d(z,z ) = [d X (x,x )] + [d Y (y,y )]. 7. Finden Sie die Ableitung A, die Abschließung A und ds Innere int(a) folgender Mengen A R : () A = N, (b) A = (,) (,), (c) A = { n : n N}, (d) A = { } { } n, n n+, n n+, (e) (HA) A = n 3 3n+ : n N. 8. Zeigen Sie, dss X X genu dnn zusmmenhängend ist, wenn keine zwei offenen Mengen A,B X mit A B =, A X, B X und X A B existieren. 9. Untersuchen Sie, ob folgende Mengen in R bgeschlossen, offen, beschränkt, perfekt, kompkt oder zusmmenhängend sind: () N, (b) { n, n : n N}, (c) (,], (d) [,], (e) [,] {}.. () Es seien A = { n : n N} {} R und U n = ( ) ε, n N, und n U = ( ε,ε) für ein gewisses ε (, ). Wählen Sie us der Überdeckung {U n : n N } von A eine endliche Teilüberdeckung us. n, +ε (b) Knn mn us der Überdeckung {U n : n N} von B = { n : n N} eine endliche Teilüberdeckung uswählen?. Wir betrchten die Teilmenge A = { r Q : < r < 3 } des metrischen Rumes (Q,d) mit d(r,s) = r s. Zeigen Sie, dss A in Q offen, bgeschlossen und beschränkt, ber nicht kompkt ist. Ist die Menge B = { r : r Q, r 3 } in Q bgeschlossen?. Es sei (X,d) ein metrischer Rum. Beweisen Sie: () Zwei disjunkte bgeschlossene Mengen sind getrennt. (b) Zwei disjunkte offene Mengen sind getrennt.

31 .5. ÜBUNGSAUFGABEN 3 (c) (HA) U r (x ) und X \ K r (x ) sind getrennt, wobei x X, r >. (Z) Zeigen Sie, dss jede nichtleere perfekte Teilmenge der Menge der reellen Zhlen überbzählbr ist. (Z) Zeigen Sie, dss die Menge ller reellen Zhlen us [,], bei denen in irgendeiner Dezimlbruchdrstellung die Ziffer 7 nicht vorkommt, perfekt ist. (Z3) Wir schreiben die bzählbre Menge der rtionlen Zhlen ls Zhlenfolge (x n ), d.h. Q = {x n : n N}, und definieren U n = (x n n,x n + n ). Dnn ist {U n : n N} eine offene Überdeckung von Q. Ist dies uch Überdeckung von R?

32 3 KAPITEL. ABBILDUNGEN UND METRISCHE RÄUME

33 Kpitel 3 Punktfolgen in metrischen Räumen 3. Konvergente Punktfolgen Es sei (X, d) ein metrischer Rum. Unter einer Punktfolge in diesem metrischen Rum verstehen wir eine Abbildung f : N X, n f(n) und schreiben dfür kurz (x n ) mit x n := f(n). Im Spezilfll X C sprechen wir von einer Zhlenfolge. Die Punktfolge (x nk ) k= nennt mn Teilfolge der Punktfolge (x n ), wenn n < n < n 3 <... gilt. Wir nennen eine Punktfolge (x n ) beschränkt, wenn die Menge {x n : n N} beschränkt ist. Der Punkt x X heißt Grenzwert der Punktfolge (x n ), wenn für jedes ε > ein n N existiert, so dss d(x n,x ) < ε n n gilt (in Zeichen: x = lim n x n oder x n x ). Die Punktfolge (x n ) nennt mn konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt, sonst divergent. Beispiel 3. Die Zhlenfolge (x n ) = ( n e iπn/4) ist konvergent, (y n) = ( e iπn/4) ber nicht. Die Teilfolgen (y 8k ) k=, (y 8k+) k=, (y 8k+) k=... (y 8k+7) k= sind konvergent. Die Grenzwerte von Teilfolgen einer Punktfolge (x n ) Punktfolge (x n ). Stz 3. Es sei X ein metrischer Rum. nennt mn prtielle Grenzwerte der () Eine konvergente Punktfolge besitzt genu einen Grenzwert und jede ihrer Teilfolgen ist konvergent mit dem gleichen Grenzwert. (b) Jede konvergente Punktfolge ist beschränkt. (c) Ein Punkt x X ist genu dnn Berührungspunkt der Menge A X, wenn eine Punktfolge (x n ) mit x n A n N und x = lim n x n existiert. (d) Ist K X kompkt, so besitzt jede Punktfolge (x n ) mit x n K n N eine konvergente Teilfolge. Stz 3.3 Die Menge K X ist genu dnn kompkt, wenn jede Punktfolge (x n ) mit x n K n N eine in K konvergente Teilfolge besitzt. Definition 3.4 Eine Punktfolge (x n ) nennt mn Fundmentlfolge oder Cuchy-Folge, wenn für jedes ε > ein Index n N existiert, so dss d(x n,x m ) < ε m,n n gilt. Folgerung 3.5 Jede Cuchy-Folge ist beschränkt und jede konvergente Folge ist Cuchy-Folge. Eine Cuchy-Folge ist genu dnn konvergent, wenn eine ihrer Teilfolgen konvergiert. 33

34 34 KAPITEL 3. PUNKTFOLGEN IN METRISCHEN RÄUMEN Definition 3.6 Ein metrischer Rum heißt vollständig, wenn in ihm jede Cuchy-Folge konvergent ist. Beispiel 3.7 Der metrische Rum der reellen Zhlen R ist vollständig, sein Teilrum Q der rtionlen Zhlen dgegen nicht. Stz 3.8 Jeder bgeschlossene Teilrum eines vollständigen metrischen Rumes ist vollständig. Jeder kompkte metrische Rum ist vollständig. 3. Zhlenfolgen Eine Zhlenfolge (x n ) nennt mn Nullfolge, wenn lim n x n = gilt. Offenbr ist eine Zhlenfolge genu dnn konvergent gegen x C, wenn (x n x ) eine Nullfolge ist. Die Menge ller Nullfolgen bezeichnet mn mit c, die Menge ller konvergenten Zhlenfolgen mit c. Die Menge ller Zhlenfolgen wird mit s bezeichnet. Nch Stz 3.,(b) gilt offenbr c c l s (vgl. Beispiel.8). Aus dem Archimedes schen Prinzip Stz. folgt, dss ( ) n eine Nullfolge ist. Folgerung 3.9 Aus (x n ),(y n) c und (z n ) l folgt (x n ± y n ) c und (x n z n ) c. Stz 3. Es seien (x n ),(y n) c mit x n x und y n y. () Dnn gilt () (x n ± y n ) c mit x n ± y n x ± y, () (x n y n ) c mit x ny n xy, (3) x n x, flls y. y n y (b) Aus x n y n n n folgt x y. (c) Aus x n z n y n n n und x = y folgt (z n ) c mit z n x. Beispiel 3. Wir bestimmen folgende Grenzwerte: () lim n w n = w U (), (b) lim n n = >, (c) lim n n n + 3 n = 3. Wir bemerken, dss (w n ) c genu dnn gilt, wenn w U () {} erfüllt ist. Gilt x n x n+ n N, so nennt mn die (reelle) Zhlenfolge (x n ) monoton nicht fllend, im Fll x n < x n+ n N monoton wchsend. Entsprechend definiert mn monoton nicht wchsend und monoton fllend. Mn nennt eine (reelle) Zhlenfolge monoton, wenn sie eine dieser vier Eigenschften ht. Stz 3. Eine monotone Zhlenfolge ist genu dnn konvergent, wenn sie beschränkt ist. w n Beispiel 3.3 Es gilt lim n n! = für lle w C. Beispiel 3.4 Wir betrchten die durch < x < und x n+ = x n ( x n ), n N, definierte Zhlenfolge (x n ).

35 3.3. PUNKTFOLGEN UND STETIGE ABBILDUNGEN 35 (( Beispiel 3.5 Die Folgen + ) n ) ( n ) und n k! k= Sie hben den gleichen Grenzwert, die Eulersche Zhl e, e = lim n n k= ( k! = lim + n =, n n) sind monoton und beschränkt. Ht eine reelle Zhlenfolge (x n ) die Eigenschft, dss für jedes R > ein n N existiert, so dss x n > R n n gilt, so sgen wir, dss (x n ) bestimmt divergiert gegen +, und schreiben dfür lim n x n = +. Anlog definiert mn lim n x n =. Stz 3.6 Unter llen prtiellen Grenzwerten einer reellen Zhlenfolge gibt es einen größten und einen kleinsten, wobei uch ± ls prtielle Grenzwerte zugelssen sind. Bemerkung 3.7 Aus dem Beweis von Stz 3.6 ist ersichtlich, dss der größte prtielle Grenzwert x und der kleinste prtielle Grenzwert x einer reellen Zhlenfolge (x n ) den Formeln x = lim sup {x k : k n} und x = lim inf {x k;k n} n n genügen, weshlb mn uch x = lim supx n (limes superior) und x = lim inf x n (limes inferior) n n schreibt. Eine ndere Schreibweise ist x = lim n x n bzw. x = lim n x n. Außerdem gilt: ε > n N : x ε < x n < x + ε n n. Offenbr ist eine reelle Zhlenfolge genu dnn konvergent, wenn ihr kleinster und ihr größter prtieller Grenzwert endlich und gleich sind. Beispiel 3.8 Wir zeigen, dss lim n n n = gilt. Stz 3.9 (Stz von Stolz) Es seien (x n ) und (y n) zwei Zhlenfolgen mit y n+ > y n n n, lim y x n+ x n n = + und lim =, n n y n+ y n x n wobei = ± zugelssen ist. Dnn gilt uch lim =. n y n Beispiel 3. Wir zeigen, dss für k N gilt k + k n k lim n n k+ = + k. Beispiel 3. Sind ( n ) eine Zhlenfolge und lim n =, so gilt n n lim n n =. 3.3 Punktfolgen und stetige Abbildungen Stz 3. Es seien X und Y metrische Räume sowie f : X Y eine Abbildung. () Die Abbildung f ist genu dnn stetig in x lim n x n = x folgt lim n f(x n ) = f(x ). X, wenn us x n X n N und

36 36 KAPITEL 3. PUNKTFOLGEN IN METRISCHEN RÄUMEN (b) Sind X kompkt und f : X Y stetig, so ist f uf X gleichmäßig stetig. (c) Sind X kompkt und f : X R stetig, so existieren x,x X mit f(x ) f(x) f(x ) x X. (d) Sind f : X Y stetig und X X zusmmenhängend, so ist uch f(x ) zusmmenhängend. Definition 3.3 Es seien X und Y metrische Räume sowie A X und f : A Y eine Abbildung. Mn sgt, dss die Abbildung f im Punkt A den Grenzwert y Y ht (in Zeichen: y = lim x f(x)), wenn für jedes ε > ein δ > existiert, so dss d Y (f(x),y ) < ε x A U δ () \ {} gilt. Im Fll f : R Y schreiben wir y = lim x f(x), wenn für jedes ε > ein x R existiert, so dss d Y (f(x),y ) < ε x x gilt. Anlog definiert mn lim x f(x). Es ist nun klr, ws mn im Fll f : X R unter lim x f(x) = ± oder im Fll f : R R unter lim x ± f(x) = ± zu verstehen ht. ( Beispiel 3.4 Wir zeigen, dss lim + x = e gilt. x x) Folgerung 3.5 Die Abbildung f : X Y ist genu dnn stetig in x X, wenn f in x einen Grenzwert besitzt und lim x x f(x) = f(x ) gilt. Folgerung 3.6 Die Abbildung f : A X Y ht in A genu dnn den Grenzwert y Y, wenn für jede Punktfolge (x n ) mit x n A \ {} n N und lim n x n = gilt lim n f(x n ) = y. Im Weiteren bezeichne I ein beliebiges Intervll reeller Zhlen. Stz 3.7 (Zwischenwertstz für stetige Funktionen) Es seien f : I R stetig sowie x,x I und f(x ) < y < f(x ). Dnn existiert ein x zwischen x und x mit f(x) = y. Eine Funktion f : I R nennt mn monoton nicht fllend bzw. monoton wchsend, wenn us x,x I und x < x die Ungleichung f(x ) f(x ) bzw. f(x ) < f(x ) folgt. Anlog definiert mn monoton nicht wchsende bzw. monoton fllende Funktionen. Ht eine Funktion eine dieser Eigenschften, so heißt sie monoton. Ist x I nicht rechter Rndpunkt von I, so knn mn in x den rechtseitigen Grenzwert y = f(x + ) einer Funktion f : I Y definieren: ε > δ > : d Y (f(x),y ) < ε x (x,x + δ) I. Mn schreibt dnn uch y = lim x x + f(x). Anlog definiert mn f(x ) = lim x x f(x). Ist x int(i) eine Unstetigkeitsstelle der Funktion f : I Y, so nennt mn diese eine Unstetigkeitsstelle. Art, wenn die einseitigen Grenzwerte f(x +) und f(x ) existieren. Sonst heißt x Unstetigkeitsstelle. Art. Stz 3.8 Eine monotone Funktion f : (,b) R R ( = und b = + sind zugelssen) besitzt nur Unstetigkeitsstellen. Art. Sie ist genu dnn stetig, wenn f((, b)) zusmmenhängend ist.