Kapitel 9 Integralrechnung

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1 Kpitel 9 Integrlrechnung Kpitel 9 Integrlrechnung Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 18

2 Kpitel 9 Integrlrechnung Definition 9.1 (Stmmfunktion) Es seien f, F : I R Funktionen. F heißt Stmmfunktion von f uf I, wenn F uf I differenzierbr ist und F (x) = f(x) für lle x I. Wenn wir für f eine Stmmfunktion suchen, so sgen wir uch: wir integrieren f. Wenn wir eine Stmmfunktion gefunden hben, so nennen wir f integrierbr. Stz Ist F eine Stmmfunktion zu f, so ist uch G = F + c mit einer Konstnten c R eine Stmmfunktion von f. 2 Alle Stmmfunktionen zu f sind von dieser Form. Sind lso G und F zwei Stmmfunktionen, so gibt es eine Konstnte c R mit G(x) = F (x) + c. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 2 / 18

3 Kpitel 9 Integrlrechnung Definition 9.3 (unbestimmtes Integrl) Die Menge ller Stmmfunktionen von f heißt unbestimmtes Integrl von f und wird mit f(x) dx bezeichnet. Ist F eine Stmmfunktion zu f so schreiben wir uch f(x) dx = F (x) + c. Stz 9.4 (erste Eigenschften: Linerität) (f(x) ) 1. + g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx. (c ) 2. f(x) dx = c f(x) dx für c R. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 3 / 18

4 Kpitel 9 Integrlrechnung Nun folgen zwei wichtige Eigenschften des Integrls, die sich uf Produkte und Verkettungen von Funktionen beziehen. Sie folgen direkt us den Rechenregeln für ds Differenzieren (Stz 7.7). Stz 9.5 (Prtielle Integrtion) f(x) g (x) dx = f(x) g(x) f (x) g(x) dx. Stz 9.6 (Substitution) Ist F eine Stmmfunktion zu f und ist g differenzierbr, so gilt f ( g(x) ) g (x) dx = F ( g(x) ) + c. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 4 / 18

5 Kpitel 9 Integrlrechnung Folgerungen 9.7 Es sei F eine Stmmfunktion zu f. Dnn ist 1. f(x + ) dx = F (x + ) + c 2. f( x) dx = 1 F ( x) + c 3. g(x) g (x) dx = 2( 1 ) 2 g(x) + c 4. x f ( x 2) dx = 1 2 F ( x 2) + c Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 5 / 18

6 Kpitel 9 Integrlrechnung Beispiele Wir bekommen grundlegende Beispiele für Stmmfunktionen, wenn wir die Tbellen zu Beispiel 7.2 von rechts nch links lesen. 2. Insbesondere können wir lle Polynome integrieren und bekommen für n p(x) = k x k k=0 n+1 p(x) dx = c + k=1 k 1 k xk Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 6 / 18

7 Kpitel 9 Integrlrechnung Definition 9.9 (bestimmtes Integrl) Es sei f : [, b] R eine Funktion. Dnn ht der Wert F (b) F () für jede Stmmfunktion F von f den gleichen Wert. Dieser Wert heißt bestimmtes Integrl von f in den Grenzen und b und wird mit b f(x) dx = F (x) b := F (b) F (). bezeichnet. f heißt Integrnd und bzw. b untere bzw. obere Integrtionsgrenze sowie [, b] ds Integrtionsintervll. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 7 / 18

8 Kpitel 9 Integrlrechnung Stz 9.10 (Eigenschften des bestimmten Integrls) b b f(x) dx = 0 f(x) dx = c und b f(x) dx + f(x) dx = b c f(x) dx. b f(x) dx. f (x) g(x) dx = f(x) g(x) b b f(x) g (x). 4 Ist F eine Stmmfunktion zu f und ist g differenzierbr, so gilt b f ( g(x) ) g(b) g (x) dx = f(t) dt = F (t) g() 5 Ist g differenzierbr und bijektiv, so gilt b f(x) dx = g 1 (b) g 1 () b 6 Ist f(x) g(x) so ist f ( g(t) ) g (t) dt. f(x) dx b g(b). g() g(x) dx. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 8 / 18

9 Kpitel 9 Integrlrechnung y y = f(x) A f (, b) b x Folgerung 9.12 (Integrl und Flächeninhlt) Ds Integrl b f(x) dx lässt sich ls der (orientierte) Inhlt der Fläche unter dem Grphen der Funktion f im Intervll [, b] deuten. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 9 / 18

10 Kpitel 9 Integrlrechnung Definition/Stz 9.13 (geometrischer Flächeninhlt) Es sei f integrierbr. Der geometrische Flächeninhlt A f (, b) von f uf dem Intervll [, b] ist definiert ls Inhlt der Fläche, die der Grph von f mit der x-achse einschließt. Dieser lässt sich gemäß A f (, b) = Beispiel 9.14: b f(x) dx berechnen. 1. Für f(x) = x 3 ist F (x) = 1 4 x4 eine Stmmfunktion. Dmit gilt lso 1 f(x) dx = F (x) = 0, ber 1 A f ( 1, 1) = f(x) dx = f(x) dx = F (x) 1 = Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 10 / 18

11 Kpitel 9 Integrlrechnung Beispiel 9.14 [cont.]: 2. Wir betrchten f : [ 1, 1] R mit f(x) = 1 x 2. Diese Funktion 1 ist positiv, und deshlb gilt A f ( 1, 1) = 1 x 2 dx. Eine Stmmfunktion von f ist durch F (x) = 1 2 gegeben, lso folgt A f ( 1, 1) = F (x) 1 = π ( x 1 x 2 + rcsin x ) Dss F wirklich eine Stmmfunktion zu f ist, zeigt mn, indem mn F = f nchweist oder indem mn Stz 9.5 geschickt usnutzt. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 11 / 18

12 Kpitel 9 Integrlrechnung Wir hben schon gesehen, dss Integrtion in einem gewissen Sinne die Umkehrung der Differentition ist. Zum Abschluß dieses Kpitels zitieren wir noch den Stz, der diesen Schverhlt mthemtisch formuliert. Dieser heißt Stz 9.15 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Jede uf einem Intervll [, b] stetige Funktion f besitzt eine Stmmfunktion F. Genuer gilt: Definiert mn für x [, b] F (x) := x f(t) dt so ist diese Funktion uf [, b] stetig, uf ], b[ stetig differenzierbr und es gilt F (x) = f(x). Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 12 / 18

13 Kpitel 10 Logrithmus- und Exponentilfunktion Kpitel 10 Logrithmus- und Exponentilfunktion Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 13 / 18

14 Kpitel 10 Logrithmus- und Exponentilfunktion Wir können lut des Huptstzes der Differentil- und Integrlrechnung lle stetigen Funktionen integrieren. Die Funktion f(x) = 1 x tuchte llerdings in unseren Beispielen zur Differentition nie ls Ergebnis uf (vgl. Tbellen us Beispiel 7.2). Ihre Stmmfunktion kennen wir lso bisher nicht und wir definieren deshlb wie folgt: Definition 10.1 (Logrithmusfunktion) Die Logrithmusfunktion (oder der Logrithmus) ln : R + R ist definiert über eine Stmmfunktion der uf R + stetigen Funktion x 1 x. Genuer: ln x := x 1 1 t dt. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 14 / 18

15 Kpitel 10 Logrithmus- und Exponentilfunktion Stz 10.2 (Eigenschften des Logrithmus) 1. ln (x) = 1 x. 2. ln 1 = ln 1 = ln x. x 4. ln(x y) = ln x + ln y. 5. ln ist streng monoton steigend. 6. lim ln x = und lim ln x = x x 0+ D der Logrithmus ln streng monoton ist, existiert seine Umkehrfunktion. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 15 / 18

16 Kpitel 10 Logrithmus- und Exponentilfunktion Defnition 10.3 (Exponentilfunktion) Die Exponentilfunktion exp : R R + ist die Umkehrfunktion des Logrithmus ln : R + R. Die Zhl e := exp(1) = ln 1 (1) 2, heißt Eulersche Zhl. Stz 10.4 (Eigenschften der Exponentilfunktion) 1. exp ist streng monoton wchsend. 2. exp(ln x) = ln(exp x) = x. 3. exp(0) = 1 und exp(x) > lim exp(x) = und lim exp(x) = 0 x x 5. exp(x) exp(y) = exp(x + y), insbesondere gilt für n N dmit exp(n x) = ( exp(x) ) n. 6. exp (x) = exp(x). Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 16 / 18

17 Kpitel 10 Logrithmus- und Exponentilfunktion Bemerkung 10.5 Aus Stz 10.4 Punkt 5. folgt exp(q) = e q für lle q Q. Deshlb schreiben wir exp(x) = e x sogr für x R. Sinn bekommt die Schreibweise us der vorigen Bemerkung durch Definition 10.6 (llgemeine Potenz) Für, b R mit > 0 definieren wir die llgemeine Potenz b durch b := exp(b ln ). Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 17 / 18

18 Kpitel 10 Logrithmus- und Exponentilfunktion Mit Hilfe des Logrithmus können wir unsere Integrlregeln weiter ergänzen: Stz dx = ln x + c. x f (x) 2 dx = ln f(x) + c. f(x) Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 18 / 18