Anwendungen der Integralrechnung

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1 Anwendungen der Integrlrechnung 8. Flächeninhlt und Flächenschwerpunkt Kurvenlänge Rottionskörper Whrscheinlichkeitsverteilungen und Gmm-Funktion Flächeninhlt und Flächenschwerpunkt Es soll der Flächeninhlt und der Flächenschwerpunkt einer Fläche, die von Funktionen y (x) Ø y (x) begrenzt wird, berechnet werden. 4

2 8.. Flächeninhlt und Flächenschwerpunkt Flächeninhlt Flächeninhlt des Bereichs B 3 y (x) B,5,5,5,5 3 - y (x) D mn immer eine Konstnte C Ø findet, so dss y (x)+c Ø und y (x)+c Ø gilt für lle x, berechnet sich der Flächeninhlt ls b y (x) y (x)dx. Flächenschwerpunkt Für n Mssenpunkte berechnet sich der Schwerpunkt wie folgt: x s = i= m ix i i= m i, y s = i= m iy i i= m i. Diese Formeln nutzen wir us, indem wir den Bereich B, der die durch die Funktion f (x) Ø begrenzt wird, in n Teilrechtecke zerlegen 5

3 8.. Flächeninhlt und Flächenschwerpunkt Flächenschwerpunkt y = f(x) =x x x x3... xi ξ xi+... b=xn Jedes Rechteck ht den Flächeninhlt A i = x i f ( i ) und die Schwerpunktskoordinten x s = (x i+x i+ )=x i + x i, y s = f ( i). Somit gilt für den Gesmtschwerpunkt x s = i= A ix s,i i= A i = i= x i f ( i ) (x i + x i+ ) i= x i f ( i ) sowie y s = i= A iy s,i i= A i x i= i f ( i ) = f ( i). x i= i f ( i ) Mit Hilfe des Grenzübergngs n æœ, lso immer feinerer Zerlegung gehen Differenzen in Differenzile über und mn erhält für die Schwerpunktskoordinten x s = s b s b xf (x)dx f (x)dx und y s = s b (f (x)) dx s b f (x)dx Wird der Bereich B von Funktionen y (x) Ø y (x) begrenzt, 6

4 8.. Kurvenlänge Flächenschwerpunkt 5 y ( ) 4 3 y (x) B y ( ) y (x) =x x x x3... xi ξ xi+... b=xn so berechnet sich der Schwerpunkt us x s = s b s b x(y (x) y (x)dx y (x) y (x)dx und y s = s b (y (x)) (y (x)) dx s b. y (x) y (x)dx 8. Kurvenlänge Die Prmeterdrstellung x = x(t), y = y(t) ( Æ t Æ b) einer Kurve heißt regulär, wenn die Funktionen t æ x(t), t æ y(t) über [, b] stetig differenzierbr sind und ẋ(t) +ẏ(t) = für Æ t Æ b gilt, dbei sind ẋ() und ẋ(b) ls einseitige Ableitungen zu verstehen. Stz 8.53 (Kurvenlänge) Es gilt. Die Länge eines Kurvenbogens mit regulärer Prmeterdrstellung beträgt b pple L = ẋ(t) +ẏ(t) dt. 7

5 8.. Kurvenlänge. Der Grph y = f (x) einer stetig differenzierbren Funktion f :[, b] æ R ht die Länge L = b pple +f Õ (x) dx. Beweis: Wir zerlegen ds Prmeterintervll [, b] in (äquidistnte) Zwischenpunkte = t < t <... < t n = b, t i+ t i = t, in n Teilintervlle. Über jedem dieser Teilintervlle wird der Kurvenbogen ersetzt durch die Sehne der Länge Δy Δs Δx s = pple pple ( x) +( y) = ẋ( i ) +ẏ( i ) t mit i, i zwischen t i und t i + t. Dies ist eine Folgerung us dem Mittelwertstz 7.5. Summtion und der Grenzübergng t æ (bzw. n æœ) ergeben die Behuptung ). b) ist ein Spezilfll von ), denn es ist x(t) =t und y(t) =f (t) eine stetig differenzierbre Prmeterdrstellung der Kurve y = f (x). 8

6 8.. Rottionskörper Beispiel 8.54 Kurvenlänge der Kettenlinie f (x) = cosh! x ", >. Bogenlänge der Kettenlinie 4 f(x) = cosh(x) 3 f(x) = cosh( x) - Es ist für x Ø : L = x Ú + sinh x x dx = - x x -- x cosh dx = sinh = sinh x. 8. Rottionskörper Volumen von Rottionskörpern Von einem dreidimensionlen Körper sei nch Whl eines geeigneten krtesischen Koordintensystems für jedes x œ [, b] der Flächeninhlt F(x) des Querschnitts beknnt. y ΔX z x 9

7 8.. Rottionskörper Ds Volumen der Scheibe der Dicke x beträgt näherungsweise F (x) x. In Kurzform: dv = F(x) x; die Integrtion ergibt V = Speziell gilt mit F(x) =fi(f (x)) : dv = b F(x) dx. Stz 8.55 Ein durch Drehung der Kurve (Kontur) y = f (x), Æ x Æ b, um die x-achse erzeugter Rottionskörper ht ds Volumen b V = fi (f (x)) dx. Beispiel 8.56 Volumen eines Torus (Reifen). y r R x Torus

8 8.. Rottionskörper Der Torus entsteht durch Rottion des oberen Hlbkreises pple y = R + r x um die x-achse, wobei der innere Körper entfernt wird. Der innere Körper entsteht durch die Rottion des unteren Hlbkreises pple y = R r x um die x-achse. Dmit ergibt sich ds Volumen des Torus zu = fi V = fi y dx fi y dx = fi (y y ) dx pple pple (R +R r x + r x R +R r x r + x dx =4Rfi pple r x dx Substitution: x = r sin t, dx = r cos t dt, = r sin t t = fi, r = r sin t t = fi ergibt =4Rfi fi pple fi r r sin trcos t dt =4Rfi Ô r cos trcos t dt =4Rr fi fi fi cos t dt =4Rr fi fi fi cos t dt =Rr fi fi cos t +dt fi fi =Rr fi fi - fi -- sin t + t fi =Rr fi. Mntelfläche Die Mntelfläche eines Rottionskörpers mit der Kontur y = f (x), Æ x Æ b, berechnet mn ddurch, dss die Mntelfläche dm einer dünnen Scheibe der Dicke dx ngenähert wird durch die Mntelfläche eines Zylinders mit dem

9 Rdius f (x) und der Mntelhöhe ds = gilt und Integrtion ergibt 8.. Rottionskörper pple +f Õ (x) dx (vgl. Stz 8.53). Folglich pple dm =fif (x) +f Õ (x) dx M =fi b pple f (x) +f Õ (x) dx. Beispiel 8.57 Wir möchten die Mtelfläche des in Beispiel 8.56 betrchteten Torus berechnen. Die Mntelfläche setzt sich wieder us der vom oberen Kreisbogen y = R + Ô r x erzeugten Mntelfläche M und us der vom unteren Kreisbogen y = R Ô r x erzeugten Mntelfläche M zusmmen. Es gilt wegen (y Õ ) =(y Õ ) M = M + M =fi pple (y + y ) +(y Õ ) dx =4fiR =4fiR Ú r r r x dx =4fiRr pple +(y Õ ) dx Ô r x dx Substitution: x = r sin t, dx = r cos t dt, = r sin t t = fi, r = r sin t t = fi ergibt =4fiRr fi fi r cos t r cos t dt =4fi Rr. Die Rechung lässt sich erheblich verkürzen, wenn mn berücksichtigt, dss die Länge des Hlbkreisbogens ist. pple +(y Õ ) dx = fir

10 8.3. Whrscheinlichkeitsverteilungen und Gmm-Funktion 8.3 Whrscheinlichkeitsverteilungen und Gmm-Funktion Viele uneigentliche Integrle über unbeschränkten Intervllen sind stetige Whrscheinlichkeitsverteilungen F(x) mit der Whrscheinlichkeitsdichte f (x), einer Zufllsgröße X, die dieser Verteilung genügt, d.h. die Whrscheinlichkeit P(X < x) =F(x) = x Œ f (t) dt = x Œ df (t). Weitere uneigentliche Integrle sind dnn der Erwrtungswert EX := Œ x f (x) dx und die Vrinz VX := x f (x) dx (EX). Œ Beispiel 8.58 prmetrige Weibull-Verteilung, die verwndt wird bei der Untersuchung von Lebensduern in der Qulitätssicherung, Mterilprüfung bei spröden Werkstoffen. Für k < nimmt die Ausfllrte mit wchsende Zeit b, für k > nimmt sie mit wchsende Zeit zu. Die Dichtefunktion ist ; k! t " k f (t) := e ( t ) k, t Ø,, x <. 3

11 8.3. Whrscheinlichkeitsverteilungen und Gmm-Funktion Weibull-Verteilungsdichte f(t) für verschiedene Prmeter Wie mn leicht durch Integrieren erhält, ist die Verteilungsfunktion F(x; k, ) = x k t k e ( t ) k dt = e ( x ) k. Der Erwrtungswert ist t k e ( t ) k dt t k Mit der Substitution! t k := " wird drus kô e d = + k e d = +, k dbei bezeichnet die Gmm-Funktion. 4

12 8.3. Whrscheinlichkeitsverteilungen und Gmm-Funktion Eine weiter Anwendung ist die Existenz uneigentlicher Prmeterintegrle, wie z.b. der Gmm-Funktion (x). (x) = t x e t dt. Beispiel 8.59 Gmm-Funktion. Wir wollen zeigen, dss (x) für lle x > existiert, () = ist, (x + ) = x (x) rekursiv berechnet werden knn. Die Existenz der Gmm-Funktion ergibt sich us der Abschätzung (für x > ) t x e t Æ Ce t, mit einem geeigneten C. Am einfchsten lässt sich () berechnen: () = e t dt = lim AæŒ e t dt = lim e t- - t=a = lim ( e A + ) =. AæŒ t= AæŒ Die Rekursionsformel folgt us der Formel der prtiellen Integrtion (x +) = t x e t dt = e t t x- - t=œ t= + Wegen x > ist e t t x- -t= = und xt x e t dt = e t t x- - t=œ t= +x (x). lim e t t x t x = lim tæœ tæœ e t xt x = lim tæœ e t x(x )(x )... (x n + )t x n =... = lim =, tæœ e t d nch endlicher Anwendung der L Hospitlschen Regel im Zähler x n < gilt und der Grenzwert deshlb Null ist. 5

13 8.3. Whrscheinlichkeitsverteilungen und Gmm-Funktion. Gmm-Funktion Γ(x), x>, Fkultät n!.... Γ() =! =, Γ() =! =, Γ(3) =! =, Γ(4) = 3! = 6, Γ(5) = 4! = 4. Aus der zweiten und der dritten Beziehung folgt dnn: (n + ) = n (n) =n(n ) (n ) = n(n )(n ) (n ) =... = n(n )(n )... 3 (3) = n(n )(n )... 3 () = n(n )... 3 =n! 6