$Id: kurven.tex,v /12/03 19:13:57 hk Exp hk $ K ds = F (γ(t)) γ Summation des Vektorfeldes F in Bewegungsrichtung der Kurve γ

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1 Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/1 Mittwoch.1 $Id: kurven.tex,v 1. 9/1/3 19:13:57 hk Exp hk $ 3 Kurven 3.3 Kurvenintegrle zweiter Art Wir htten ds vektorielle Kurvenintegrl ls K ds F ((t Summtion des Vektorfeldes F in (t dt Bewegungsrichtung der Kurve I definiert. Es gibt noch eine weitere kleine, gelegentlich verwendete Schreibweise. Ist der Integrtionsweg : [, b] R n eine geschlossene Kurve, stimmen lso ihr Anfngsund Endpunkt überein, d.h. ( (b, so schreibt mn uch F ds F ds, dies ist lso kein neues Integrl sondern nur eine Schreibweise. Nehmen wir etws den geschlossenen Weg r cos t : [, π] R 3 ; t r sin t mit r >, so ist für ds obige Vektorfeld F (x, y, z (x y, x z, xyz uch d F ds π x y dx + (x z dy + xyz dz ( r π r3 (1 + cos(t (1 cos(t 8 ( r cos t sin t + r cos t dt dt πr π r πr ( r sin t cos t 1 sin (t 1 cos(t 8 ist. Wir wollen zum Abschluß noch die folgenden Grundttschen festhlten: Stz 3. (Grundeigenschften des vektoriellen Kurvenintegrls Seien U R n offen, : [, b] U eine Kurve die gnz in U verläuft und F : U R n ein stetiges Vektorfeld. ( Ist G : U R n eine weiteres stetiges Vektorfeld, so gilt (F + G ds F ds + G ds. 11-1

2 Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/1 Mittwoch.1 (b Für jede Konstnte c R gilt cf ds c F ds. (c Sei δ : [c, d] U eine weitere Kurve in U deren Strtpunkt gleich dem Endpunkt von ist. Dnn gilt F ds F ds + F ds. +δ δ (d Es ist (e Es gilt F ds t b F ds. F ds sup F ((t l(. Wie ein Vergleich mit Stz 1 zeigt, sind dies fst dieselben Eigenschften wie beim sklren Kurvenintegrl, der einzige Unterschied ist Eigenschft (d. Wird die Kurve in die ndere Richtung durchlufen, so bleibt ds sklre Kurvenintegrl unverändert ber ds vektorielle Kurvenintegrl erhält ein Minuszeichen. 3. Umprmetrisierungen und Koordintentrnsformtion Es stellt sich herus ds es für beide Vrinten von Kurvenintegrlen gr nicht so sehr druf nkommt wie die Kurve exkt durchlufen wird, sondern nur uf den zurückgelegten Weg und die Durchlufrichtung. Hben wir etw eine Kurve : [, 1] R n, so können wir die Kurve mit doppelter Geschwindigkeit durchlufen, lso 1 : [, 1/] R n ; t (t, oder sie sogr gnz nders durchlufen wie etw : [, 1] R n ; t (t. Dies bezeichnet mn ls Umprmetrisierungen der Kurve, ds Argument t wird durch eine Funktion in t ersetzt. Wir wollen lso t durch einen Ausdruck ϕ(t ersetzen. Hben wir zum Beispiel eine Kurve : [, 1] R n und betrchten : [ 1, 1] R n ; t (1 t so durchlufen wir für t 1 bis t die Kurve einml in Durchlufrichtung, und nschließend lufen wir von t bis t 1 wieder uf der Kurve zurück. So etws soll nicht ls Umprmetrisierung gelten, wir wollen nur Funktionen ϕ(t, die den Argumentbereich einml durchlufen und zwischendurch nicht umkehren. Dies knn mn erreichen indem gefordert wird ds ϕ eine bijektive Funktion ist. Ds lleine reicht ber noch nicht us. Zum Beispiel durchläuft ( t die Kurve in die entgegengesetzte 11-

3 Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/1 Mittwoch.1 Richtung, und dies wollen wir ebenflls nicht, d Umprmetrisierungen die Durchlufrichtung der Kurve nicht ändern sollen. Dher fordern wir ds die Abbildung ϕ monoton steigend ist. Diese Bedingungen führen uf die folgende Definition: Definition 3.7: Sei : I R n eine Kurve. Eine Umprmetrisierung von ist eine Kurve der Form δ ϕ, wobei ϕ : J I eine bijektive, stetig differenzierbre Abbildung mit ϕ (t > für lle Punkte t J im Inneren von J ist. Die Abbildung ϕ wird dnn uch ls die Umprmetrisierung bezeichnet, und d ihre Ableitung positiv ist, ist sie streng monoton steigend. Mn knn uch sgen ds die Kurve mit der eventuell nicht konstnten Geschwindigkeit ϕ(t durchlufen wird. Mn erlubt ds die Umprmetrisierung in den Rndpunkten des Intervlls J die Ableitung ht, d uch Umprmetrisierungen wie ϕ(t t zugelssen sein sollen. Nehme n wir hben eine solche umprmetrisierte Kurve δ ϕ. Für jedes t J hben wir dnn nch der Kettenregel δ (t ϕ (t (ϕ(t, die Richtung der Tngentenvektoren ändert sich lso nicht, sondern nur ihre Länge. Dies entspricht uch der Vorstellung des Durchlufens von mit einer nderen Geschwindigkeit, es ändert sich nur die Größe der Geschwindingkeit nicht ber ihre Richtung. Kombinieren wir diese Beobchtung mit der Substitutionsregel der Integrlrechnung, so ergibt sicht die Invrinz der Kurvenintegrle bei Umprmetrisierung der betrchteten Kurve. Stz 3.3 (Umprmetrisierung von Kurvenintegrlen Seien U R n offen und : [, b] U eine gnz in U verlufende Kurve. Weiter sei ϕ : [c, d] [, b] eine Umprmetrisierung und schreibe δ : ϕ. Dnn gelten f ds f ds für jede stetige Funktion f : U R und F ds δ δ F ds für jedes stetige Vektorfeld F : U R n. Insbesondere ist l(δ l(. Beweis: Für ds Kurvenintegrl zweiter Art hben wir δ F ds d c F (δ(t δ (t dt d c F ((ϕ(t (ϕ(t ϕ (t dt b F ((t (t dt 11-3 F ds.

4 Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/1 Mittwoch.1 Für ds Kurvenintegrl erster Art folgt die Behuptung nlog. Unter ll den Umprmetrisierungen einer Kurve : [, b] R n gibt es eine besonders usgezeichnete, die sogennnte Prmetrisierung nch Bogenlänge. Dbei nennt mn eine Kurve δ nch Bogenlänge prmetrisiert, wenn sie mit einer Geschwindigkeit vom Betrg konstnt 1 durchlufen wird, wenn lso δ (t 1 für lle t in Definitionsbereich von δ gilt. Bei nch Bogenlänge prmetrisierter Kurve δ schreibt mn oft s für ds Funktionsrgument von δ. Hben wir eine solche Kurve δ und sind, b in ihrem Definitionsbereich, so ergibt sich die Länge des Teilstücks der Kurve von s bis s b ls b δ (s ds b ds b. Strtet die Prmetrisierung lso bei s, so ht jedes Teilstück der Kurve von bis s uch die Länge s, und dher spricht mn von einer Prmetrisierung nch Bogenlänge. Zu jeder (hinreichend vernünftigen Kurve gibt es eine Umprmetriserung nch Bogenlänge. Zur Berechnung dieser Prmetrisierung knn mn wie folgt vorgehen. Ist uf [, b] definiert, so betrchten wir die Funktion l : [, b] [, l(]; t t (u du, d.h. l(t ist die Länge des Kurvenstücks von bis t, und der Bogenlängenprmeter s ist dnn durch die Gleichung s l(t bestimmt. Die Umprmetrisierung ϕ : [, l(] [, b] ist lso die Umkehrfunktion von l. Als ein Beispiel wollen wir einml die Kurve : [, π ] R ; t ( cos 3 t sin 3 t nch Bogenlänge prmetrisieren. Für t π/ hben wir (t 9 sin t cos t + 9 sin t cos t 3 sin t cos t 3 sin(t, die Länge der Kurve von t nch t x ist lso l(x x (t dt 3 cos(t x 3 (1 cos(x. Zur Bestimmung des Bogenlängenprmeters s müssen wir lso die Gleichung 3 (1 cos(x s für s l( 3/ nch x uflösen, und dies geschieht durch x 1 ( rccos 1 3 s 11-

5 Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/1 Mittwoch.1 ws wegen 1 (/3s [ 1, 1] sinnvoll ist. Die Prmetrisierung nch Bogenlänge ist lso [ ϕ :, 3 ] [, π ] ; s 1 ( rccos 1 3 s. Für x π gelten sin(x/, cos(x/ und sowie cos x cos ( x ( x 1 cos ( x ( x sin 1 cos cos x lso ist für jedes s 3/ uch δ(s : (ϕ(s 1 + cos x 1 cos x, ( 1 (cos (1 3 rccos 3 ( ( 1 s, sin 3 rccos 1 3 s ( 1 3 ( 3 3 s, 3 s 3 3((3 s 3/, (s 3/. Dies sieht zwr völlig nders us ls die Kurve mit der wir gestrtet sind, ber δ durchläuft genu dieselben Punkte wie und uch in genu derselben Durchlufrichtung, nur eben mit Geschwindingkeit von Betrg konstnt 1. Auch wenn die Prmetrisierung nch Bogenlänge im wesentlichen immer möglich ist, so ist sie doch prktisch oft nur schwer zu berechnen. Dher spielt die Bogenlänge huptsächlich für theoretische Überlegungen eine Rolle. Übrigens leitet sich uch unsere Schreibweise mit ds für die Kurvenintegrle vom Bogenlängenprmeter s b. Nun kommen wir zu den Koordintentrnsformtionen im R n. Schon in.1 htten wir die Trnsformtion von Funktionen unter einer Koordintentrnsformtion beschrieben. Hben wir eine Koordintentrnsformtion ϕ : U V und eine in U verlufende Kurve : I U, so können wir diese zu : ϕ trnsformieren. Ist R >, so trnsformiert die Kurve : [, π] R ; t (R cos t, R sin t sich in Polrkoordinten zu (t (R, t, und hben wir umgekehrt die Kurve : [, ] R ; t (t, t in Polrkoordinten, so wird diese in crtesischen Koordinten zur Spirle (t (t cos t, t sin t. Bei der Berechnung von Tngentenvektoren, Längen und Kurvenintegrlen in nderen Koordintensystemen tritt llerdings ein kleines Problem uf. Betrchten wir beispielsweise einml den Kreis mit Rdius R > : [, π] R ; t (R cos t, R sin t 11-5

6 Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/1 Mittwoch.1 lso (t (R, t in Polrkoordinten. Wir wissen l( πr. Dgegen gelten (t ( 1 (t 1 und l( π (t dt π. Die Berechnung in Polrkoordinten ergibt lso scheinbr ds flsche Ergebnis. Ds Problem wird klrer wenn wir die Tngentenvektoren in Differentilnottion schreiben. Wie bei Vektorfeldern schreiben wir uch für Tngentenvektoren (t R cos t y R sin t x beziehungsweise (t φ. Erinnern wir uns n die Formel φ x y y x us.1, so sehen wir ds /φ n der Stelle (t gerde gleich (t ist. Dies ist ntürlich kein Zufll, benutzen wir die Schreibweise in prtiellen Ableitungen so übersetzen sich Tngentenvektoren von crtesischen Koordinten in die neuen Koordinten wenn mn die entsprechenden Formeln für prtielle Ableitungen einsetzt. Dies ist leicht zu sehen wenn wir uns n die ebenflls in.1 festgehltene Formel ϕ,t t ϕ erinnern, d ufgrund der Kettenregel uch (t ϕ ((t (t ist. Die Detils wollen wir hier ber nicht nchrechnen. Die Berechnung des Tngentenvektors ist lso nicht ds Problem. Ws nicht funktioniert ist unsere Berechnung des Betrgs des Tngentenvektors. Strten wir mit den Formeln r x x + y x + so erhlten wir für die Sklrprodukte y x + y y, r x r x + y + φ φ x + y r, r φ xy x + y φ x y y x, y x + y 1, xy x + y. Für die Länge eines Tngentenvektors im Punkt (r, φ in Polrkoordinten ergibt sich lso r + b φ + r b. 11-6

7 Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/1 Mittwoch.1 Bei der Berechnung der Kreislänge in Polrkoordinten hben wir lso π l( π (R, t φ dt R dt πr, und diesml ist dies ds richtige Ergebnis. Will mn deutlich sgen ds /r oder /φ im Punkt mit Polrkoordinten (r, φ betrchtet wird, so knn mn wie eben (r, φ oder (r, φ r φ schreiben. Meist läßt mn ds (r, φ ber weg, sobld us dem Zusmmenhng klr ist in welchem Punkt der Vektor betrchtet wird. Für Kurvenintegrle einer in Polrkoordinten geschriebenen Kurve (t (r(t, φ(t, t b ergibt sich für ds Kurvenintegrl erster Art die Formel f ds b f(r(t, φ(t (r und für ds Kurvenintegrl zweiter Art und ein Vektorfeld F f(r, φ r t ( φ + r(t dt, t + g(r, φ φ in Polrkoordinten hben wir b [ F ds f(r(t, φ(t r t + r(t g(r(t, φ(t φ ] dt. t Entsprechend knn mn uch bei nderen Koordintentrnsformtionen vorgehen, mn schreibt Tngentenvektoren, Sklrfelder und Vektorfelder in den jeweiligen Koordinten, bestimmt die Trnsformtion zwischen prtiellen Ableitungen in den neuen Koordinten und in crtesischen Koordinten und verwendet diese zur Berechnung der Sklrprodukte von Vektoren in den neuen Koordinten. Für eine llgemeine Koordintentrnsformtion müssen die Koordintenchsen nicht einml mehr senkrecht ufeinder stehen. Für Zylinder- und Kugelkoordinten tritt dieser Fll ber glücklicherweise nicht uf. Für Zylinderkoordinten ergeben sich dieselben Sklrprodukte wie bei Polrkoordinten, der neue Vektor /z ht Länge 1 und steht senkrecht uf den nderen beiden. Für Kugelkoordinten hben wir r x x + y + z φ x y y x, ψ xz x + y x + x + y x + y + z y + yz x + y y x + y z 11-7 z x + y + z z,

8 Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/1 Mittwoch.1 und es folgen r x r x + y + z + y x + y + z + z x + y + z 1, φ φ x + y r sin ψ, ψ ψ x z x + y + y z x + y + x + y r, wobei die nderen drei Sklrprodukte Null sind. Auch diese Behuptung läßt sich leicht nchrechnen: r φ xy x + y + z + xy x + y + z, r ψ x z x + y + z x + y + y z x + y + z x + y z x + y x + y + z φ x z + y z z(x + y x + y + z x + y, ψ xyz x + y + xyz x + y. Wir wollen ls ein Beispiel für die Berechnung des Kurvenintegrls zweiter Art, jetzt einml ein solches Integrl in Kugelkoordinten rechnen. Wir betrchten einen Rdius R >. Weiter sei die Kurve, die vom Nordpol der Kugel mit Rdius R und Mittelpunkt in Null zum Südpol dieser Kugel läuft, und sich uf dem Weg dhin n N ml um die Kugel windet. In Kugelkoordinten (r, φ, ψ wird die Kugel durch r R beschrieben, wobei ψ dem Nordpol entspricht und ψ π dem Südpol. Die Drehung um die z-achse wird durch φ gegeben. Dmit können wir unsere Kurve in Kugelkoordinten ls : [, π] R 3 ; t (R, nt, t schreiben. Auch ds zu integrierende Vektorfeld geben wir in Kugelkoordinten n F (r, φ, ψ cos ψ φ + ψ. Ds Sklrprodukt von Vektorfeld und Tngentenvektor ergibt sich wegen ls F (R, nt, t (t n cos t φ (t n φ + ψ φ + ψ nr 1 cos(t 11-8 ψ nr sin t cos t + R + R R ( 1 + n nr cos(t.

9 Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/1 Mittwoch.1 Für ds Linienintegrl erhlten wir dmit F ds π ( [R 1 + n ] ( nr cos(t dt πr 1 + n nr π 16 sin(t ( πr 1 + n. 11-9