18.1 Vektorfelder, Divergenz und Rotation

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1 Kpitel 18 Integrlsätze 18.1 Vektorfelder, Divergenz und Rottion 18.2 Zusmmenhng, Gebiete und Potentile 18.3 Kurvenintegrle 18.4 Der Integrlstz von Green 18.5 Flächen und Oberflächenintegrle im Rum 18.6 Der Integrlstz von Guß 18.7 Der Integrlstz von Stokes 18.1 Vektorfelder, Divergenz und Rottion Wir beginnen mit der Definition eines Vektorfeldes. Definition 18.1 Eine Abbildung f : D R n mit einem offenen Definitionsbereich D R n heißt Vektorfeld. Wichtige Beispiele von Vektorfeldern sind die so gennnten Krft und Geschwindigkeitsfelder in der Physik. In einer strömenden Flüssigkeit wird durch fx) jedem Punkt x beispielsweise die Richtung und die Stärke Länge des Vektors fx)) zugeordnet. Beknntlich ist ein Vektorfeld f genu dnn stetig, differenzierbr etc., wenn lle Komponentenfunktionen f 1,..., f n dies sind. Wir erinnern drn, dss für ein differenzierbres Vektorfeld f : D R n mit einer offenen Menge D R n ) durch divfx) : n i1 f i x i x) die Divergenz von f n der Stelle x D definiert wr. Mn erhält die Divergenz eines Vektorfeldes f lso, indem mn die i-te Komponentenfunktion f i prtiell nch der Koordinte x i differenziert und nschließend diese im Punkt x usgewerteten prtiellen Ableitungen ufsummiert. Es ist divfx) dher die Summe der Digonlelemente der Jcobi Mtrix f x), lso divfx) Spurf x). 11

2 12 KAPITEL 18. INTEGRALSÄTZE Mit Hilfe des Nbl Opertors knn mn die Divergenz eines differenzierbren Vektorfeldes uch schreiben ls divf, f f, wobei, bzw. ds Sklrprodukt des formlen Vektors mit dem Vektor f bezeichnet. Die physiklische) Bedeutung der Divergenz erläutern wir n einem Beispiel. Beispiel 18.2 Physiklische Interprettion der Divergenz ) Sei v : R 2 R 2 ds Geschwindigkeitsfeld einer strömenden Flüssigkeit, die wir zur Vereinfchung nur im zweidimensionlen Rum R 2 betrchten wollen. Wir legen einen chsenprllelen Würfel Q in die Strömung mit den Eckpunkten x, y), x+h, y), x, y+h) und x + h, y + h) für ein h >. y v y + h y v Q v v x x + h x Wir überlegen uns, wie groß die ein bzw. ustretende Flüssigkeitsmenge zu einem festen Zeitpunkt t) in dem Würfel Q ist. Dzu stellen wir die Flüssigkeitsbilnz getrennt in x und y Richtung uf. Durch die Flächen bei x bzw. x + h treten pproximtiv, für kleines h > ) ein bzw. us: v 1 x, y) h bzw. v 1 x + h, y) h. Hierus ergibt sich ls Differenz in der x Richtung M x h) : v 1x + h, y) v 1 x, y) h Anlog erhält mn ls Flüssigkeitsbilnz in der y Richtung M y h) : v 2x, y + h) v 2 x, y) h Als gesmte Bilnz ergibt sich somit [ v1 x + h, y) v 1 x, y) Mh) : M x h) + M y h) h h 2. h 2. + v ] 2x, y + h) v 2 x, y) h 2. h

3 18.1. VEKTORFELDER, DIVERGENZ UND ROTATION 13 Dividiert mn diesen Ausdruck durch ds Volumen V h) h 2 des Quders Q und lässt nschließend h gehen, so erhält im Flle eines differenzierbren Vektorfeldes v im Grenzwert den Ausdruck Mh) lim h V h) v 1 x x, y) + v 2 y x, y) div vx, y) ). Die Divergenz lässt sich lso ls eine Quellstärke des Geschwindigkeitsfeldes v in einem gegebenen Punkt x, y) interpretieren. Motiviert durch ds vorige Beispiel verwendet mn die nchstehenden Sprechweisen für ein gegebenes differenzierbres Vektorfeld f : D R n : Ist divfx) >, so heißt x eine Quelle. Ist divfx) <, so heißt x eine Senke. Ist divfx) für lle x D, so nennt mn ds Vektorfeld quellen und senkenfrei. Ein Beispiel eines quellen und senkenfreien Vektorfeldes wird im Folgenden gegeben. Beispiel 18.3 Grvittionsfeld ) Betrchte ds Vektorfeld fx) c x x 3 2 cx 1 /r 3 cx 2 /r 3 cx 3 /r 3 x ) mit einer Konstnten c und r : rx) : x 2 x x x 2 3 physiklisch hndelt es sich hierbei um ds Grvittionsfeld eines im Nullpunkt liegenden Mssenpunktes). Hierbei gilt f 1 x) c r 3 3 ) x 1 r 6 2 x 1r 2x 1 c r2 3x 2 1 r 5 und, nlog, Folglich ist f 2 x 2 x) c r2 3x 2 2 r 5, f 3 x 3 x) c r2 3x 2 3 r 5. divfx) c 3r2 3x x2 2 + x2 3 ). r 5 Ds Grvittionsfeld ist ußerhlb des Mssenpunktes im Nullpunkt somit quellen und senkenfrei. Wir wollen ls Nächstes den Begriff der Rottion einführen. Zu diesem Zweck bedrf es ber noch eines Ausflugs in die linere Algebr.

4 14 KAPITEL 18. INTEGRALSÄTZE Definition 18.4 Für zwei Vektoren v, w R 3 mit Komponenten v i, w i i 1, 2, 3) heißt v w : v 2 w 3 v 3 w 2 v 3 w 1 v 1 w 3 v 1 w 2 v 2 w 1 ds Vektorprodukt oder Kreuzprodukt von v und w. R 3 Die Definition des Kreuzproduktes ist etws unnschulich, es gilt jedoch die folgende formle Merkregel: Schreiben wir e 1, e 2, e 3 für die knonischen Einheitsvektoren im R 3, so ist e 1 e 2 e 3 v w det v 1 v 2 v 3, w 1 w 2 w 3 wenn wir die Vektoren e 1, e 2, e 3 hierbei ls normle Mtrixeinträge behndeln. Aus den üblichen Rechenregeln der Determinnte folgt durch Entwicklung nch der ersten Zeile nämlich det e 1 e 2 e 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 det v2 v 3 w 2 w 3 ) v1 v e 1 det 3 w 1 w 3 ) v1 v e 2 +det 2 w 1 w 2 ) e 3 v w. Einige elementre Eigenschften des Kreuzproduktes sind in dem nächsten Resultt zusmmengefsst. Lemm 18.5 Elementre Eigenschften des Kreuzproduktes ) Es gelten die folgenden Aussgen: ) v v für lle v R 3. b) v w w v) für lle v, w R 3. c) λv) w v λw) λv w) für lle v, w R 3 und lle λ R. d) u v + w) u v + u w und u + v) w u w + v w für lle u, v, w R 3. e) v w) T z det v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 z 1 z 2 z 3 für lle v, w, z R 3. f) v w) T v und v w) T w für lle v, w R 3. g) Sind v, w R 3 liner unbhängig, so bilden die Vektoren v, w und v w eine Bsis des R 3.

5 18.1. VEKTORFELDER, DIVERGENZ UND ROTATION 15 Beweis: Die Aussgen ) d) folgen sofort us der Definition des Kreuzproduktes bzw. lssen sich elementr nchrechnen. Gleiches gilt im Prinzip uch für die Aussge e) die Determinnte entwickele mn dzu etw nch der letzten Zeile). Die Behuptung f) wiederum ergibt sich us dem Teil e) mit z v bzw. z w, d in diesen beiden Fällen in e) die Determinnte einer singulären Mtrix berechnet wird, denn diese Mtrix ht in beiden hier betrchteten Fällen zwei identische Zeilen. Dmit verbleibt nur noch die Aussge g) zu beweisen. Wegen f) steht ds Kreuzprodukt v w orthogonl senkrecht) uf den beiden nch Vorussetzung liner unbhängigen Vektoren v, w und ist dmit selbst liner unbhängig von v und w, sofern es sich bei dem Kreuzprodukt v w nicht um den Nullvektor hndelt. Wäre nun v w, so würden wir us dem Teil e) unmittelbr det v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 z 1 z 2 z 3 z R 3 erhlten. Dies steht ber im Widerspruch zu der Ttsche, dss wir die beiden liner unbhängigen Vektoren v, w durch ein geeignetes z stets zu einer Bsis des R 3 ergänzen können, so dss die zugehörige Mtrix regulär ist. Wegen des Lemms 18.5 ) kommt es beim Kreuzprodukt v w uf die Reihenfolge der Vektoren v und w n, mit der mn ds Vektorprodukt bildet. Die Aussgen c), d) besgen nschulich, dss v w senkrecht uf den Vektoren v und w steht und somit einen nicht zwngsläufig normierten) Normlenvektor der durch v und w ufgespnnten Ebene drstellt. Im Prinzip gibt es für einen solchen Normlenvektor stets zwei mögliche Richtungen, denn uch ds Negtive eines solchen Normlenvektors steht senkrecht uf derselben Ebene. Im Flle des Kreuzproduktes gilt die Rechte Hnd Regel: Wählt mn die rechte Hnd und zeigt der Dumen in Richtung des Vektors v sowie der Zeigefinger in Richtung des Vektors w, so zeigt der druf senkrecht stehende Mittelfinger in Richtung des Kreuzproduktes v w, mn vergleiche hierzu die Abbildung 18.1 Mittels des Kreuzproduktes lssen sich die Flächen und Volumin von 2 dimensionlen) Prllelogrmmen und 3 dimensionlen) Prllelotopen berechnen. Ds folgende Resultt erhält die entsprechenden Formeln, wobei in diesem Resultt und dessen Beweis mit stets die Euklidische Norm bezeichnet wird und x, y : x T y ds Euklidische Sklrprodukt zweier Vektoren x, y sein soll. Lemm 18.6 Kreuzprodukte und Volumen von Prllelotopen ) Seien u, v, w R 3 \ {} gegebene Vektoren. Dnn gelten: ) Die Fläche F des durch u und v ufgespnnten Prllelogrmms P u,v : { αu + βv α, β [, 1] } ist gegeben durch F u v.

6 16 KAPITEL 18. INTEGRALSÄTZE v w v w Abbildung 18.1: Illustrtion der Rechten Hnd Regel b) Ds Volumen V des durch u, v und w ufgespnnten Prllelotops oder Spts) P u,v,w : { αu + βv + γw α, β, γ [, 1] } ist gegeben durch V u v, w detu, v, w), wobei u, v, w) R 3 3 die Mtrix mit den Spltenvektoren u, v und w bezeichnet. Beweis: ) Sei θ der Winkel zwischen den beiden Vektoren u und v. u + v v h u θ Dnn ist cosθ u, v u v, lso u, v u v cosθ.

7 18.1. VEKTORFELDER, DIVERGENZ UND ROTATION 17 Die gesuchte Fläche F des Prllelogrmms ist beknntlich gegeben durch ds Produkt von Grundseite ml Höhe, somit lso durch F u h mit den Bezeichnungen us unserer Abbildung. Dbei gilt sin θ h, lso h v sin θ. v Dies impliziert Hierus folgt wiederum F u v sin θ. u v 2 u 2 v 2 u, v 2 u 2 v 2 1 cos 2 θ) u 2 v 2 sin 2 θ F 2, wobei die erste Gleichheit durch elementre Rechnung verifiziert werden knn. Durch Ziehen der Qudrtwurzel folgt die Behuptung; mn bechte in diesem Zusmmenhng, dss sowohl u v ls uch F nichtnegtiv sind. b) Ds gegebene Prllelotop ht die Gestlt der nchfolgenden Abbildung. u v w v F u u + v Ds Volumen V ist hierbei gegeben durch den Ausdruck V Grundfläche ml Höhe. Die Grundfläche F ist nch Teil ) gerde gleich u v. D ds Kreuzprodukt u v nch Lemm 18.5 senkrecht uf der Fläche F steht, ergibt sich mit einer ähnlichen Überlegung wie im Teil ) die Formel V u v Höhe u v w cos w, u v)

8 18 KAPITEL 18. INTEGRALSÄTZE u v, w. Die noch fehlende Identität u v, w detu, v, w) ergibt sich us dem Lemm 18.5 unter Berücksichtigung von deta) deta T ) für lle qudrtischen Mtrizen A. Nch diesem Ausflug in die linere Algebr kommen wir nun zurück zu der schon ngekündigten Rottion eines Vektorfeldes. Die Divergenz ist für stetig differenzierbre Vektorfelder f : D R n beliebiger Dimension n definiert, und durch sie wird dem Vektorfeld f in jedem Punkt x ein Sklr divfx) R zugeordnet. Die nun folgende Rottion ist dgegen zunächst) nur für Vektorfelder f : R 3 R 3 definiert und ordnet jedem Punkt x R 3 einen Vektor rotfx) R 3 zu. Definition 18.7 Seien D R 3 offen und f : D R 3 ein differenzierbres Vektorfeld. Dnn heißt rotfx) : die Rottion von f n der Stelle x. f3 x) f 2 x), f 1 x) f 3 x), f 2 x) f ) T 1 x) R 3 x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 2 Die etws kompliziert ussehende Definition der Rottion lässt sich unter Verwendung des Kreuzproduktes leicht merken mittels der formlen Regel rotf f, die mn mittels elementrer Rechnung sofort verifiziert. Die physiklische Bedeutung der Rottion soll wieder mittels eines Beispiels ngedeutet werden. Beispiel 18.8 Physiklische Interprettion der Rottion ) Betrchte die Abbildung ωy vx, y, z) : +ωx. Anschulich beschreibt v ds Geschwindigkeitsfeld eines Körpers, der sich entgegen dem Uhrzeigersinn mit der konstnten) Winkelgeschwindigkeit ω um die z-achse dreht. Als Rottion erhält mn rot vx, y, z) ). 2ω Die Rottion des Vektorfeldes v ist lso proportionl zur Winkelgeschwindigkeit der Drehbewegung. Ein Vektorfeld mit rotf heißt wirbelfrei, nderenflls spricht mn von einem Wirbelfeld.

9 18.2. ZUSAMMENHANG, GEBIETE UND POTENTIALE 19 Definition 18.9 Seien D R n offen und f : D R n ein Vektorfeld. Eine differenzierbre Funktion U : D R mit Ux) fx) für lle x D heißt ein Potentil von f. Besitzt f ein Potentil, so wird f uch ls Grdientenfeld bezeichnet. Ein Vektorfeld besitzt lso genu dnn ein Potentil, wenn es sich ls Grdient einer reellwertigen Funktion schreiben lässt. Unter hinreichenden Glttheitsvorussetzungen lässt sich in einem solchen Fll zeigen, dss die Rottion gleich Null ist wobei ntürlich n 3 vorusgesetzt werden muss). Lemm 18.1 Kriterium für wirbelfreie Vektorfelder ) Seien D R 3 offen und U : D R ein zweiml stetig differenzierbres Potentil des Vektorfeldes f : D R 3. Dnn ist rotf. Beweis: Aus f U folgt sofort D 2 f 3 D 3 f 2 rotf D 3 f 1 D 1 f 3 D 1 f 2 D 2 f 1 D 2 D 3 U D 3 D 2 U D 3 D 1 U D 1 D 3 U D 1 D 2 U D 2 D 1 U, wobei sich die letzte Gleichheit us dem Stz 1.8 von Schwrz ergibt Zusmmenhng, Gebiete und Potentile Es gibt zwei verschiedene Zusmmenhngsbegriffe, mit deren Definitionen wir diesen Abschnitt beginnen wollen. Dzu erinnern wir vorher noch n die Definition einer Kurve: Jede stetige Abbildung γ : I R n uf einem Intervll I R ist eine Kurve, wobei im Folgenden nur noch kompkte Intervlle I ls Definitionsbereich einer Kurve vorkommen werden. Wir bezeichnen eine solche Kurve γ : [, b] R n ls stückweise stetig differenzierbr, wenn es eine Zerlegung t < t 1 <... < t r b des Intervlls [, b] gibt derrt, dss γ uf jedem Teilintervll [t i 1, t i ] stetig differenzierbr ist und ls Kurve ntürlich stetig uf dem gesmten Intervll [, b] sein muss). Definition Eine nichtleere Menge M R n heißt ) zusmmenhängend, wenn für lle offenen Mengen U, V R n mit M U V und U V gilt, dss U M oder V M ist. b) wegzusmmenhängend, wenn es zu je zwei Punkten x, y M eine gnz in M verlufende Kurve γ : [, 1] R n gibt mit Anfngspunkt γ) x und Endpunkt γ1) y. In der Definition einer wegzusmmenhängenden Menge knn mn ds Intervll [, 1] durch geeignete Prmetertrnsformtion ntürlich durch ein beliebiges kompktes Intervll [, b] ersetzen.

10 11 KAPITEL 18. INTEGRALSÄTZE M 1 M x γt) y y x M 2 M M 1 M 2 wegzusmmenhängende Menge nicht zusmmenhängende Menge Definition Unter der Verbindungsstrecke [x, y] zweier Punkte x, y R n verstehen wir die Menge [x, y] : { x + ty x) t [, 1] } { ty + 1 t)x t [, 1] }. Sind endlich viele Punkte x 1,...,x r R n gegeben, so bezeichnen wir die Vereinigung der Verbindungsstrecken [x 1, x 2 ], [x 2, x 3 ],...,[x r 1, x r ] ls Polygonzug durch x 1,..., x r. Die Menge [x, y] heißt häufig uch die Konvexkombintion von x und y. Anschulich hndelt es sich hierbei um die gerde Verbindungsstrecke von x nch y. Jeder Polygonzug definiert offenbr eine Kurve. x y Verbindungsstrecke von x nch y x 1 x 6 x 2 x 4 x 3 x 7 x 5 Polygonzug von x 1 nch x 8 x 8 Mittels dieser Begriffsbildungen können wir nun eine Chrkterisierung von zusmmenhängenden Mengen geben. Stz Chrkterisierung zusmmenhängender Mengen ) Sei M R n eine nichtleere offene Menge. Dnn sind äquivlent: ) M ist zusmmenhängend. b) M ist wegzusmmenhängend. c) Für lle x, y M existiert eine gnz im M verlufende stückweise C 1 Kurve γ : [, 1] R n mit γ) x und γ1) y.

11 18.2. ZUSAMMENHANG, GEBIETE UND POTENTIALE 111 d) Für lle x, y M existiert ein gnz in M verlufender Polygonzug, der x und y verbindet. Beweis: Wir beweisen ) d) c) b) ), womit die Äquivlenz ller vier Aussgen nchgewiesen wäre. Die Impliktionen d) c) b) sind dbei klr, denn jeder Polygonzug liefert eine stückweise stetig differenzierbre Kurve und jede stückweise C 1 Kurve ist insbesondere eine Kurve. ) d): Sei M zusmmenhängend. Angenommen, es existieren Punkte x, y M, die nicht durch einen in M verlufenden Polygonzug miteinnder verbindbr sind. Wir definieren dnn die beiden Mengen U : {z M x und z sind durch einen Polygonzug in M verbindbr}, V : {z M x und z sind nicht durch einen Polygonzug in M verbindbr}. Gemäß Definition gelten dnn M U V und U V, ferner werden wir gleich noch einsehen, dss U und V uch offene Mengen sind. Wegen U M d x U M) und V M d y V M) erhlten wir den gewünschten Widerspruch dzu, dss M zusmmenhängend ist. Es bleibt noch nchzutrgen, dss U und V offen sind. Wir betrchten zunächst die Menge U. Sei lso z U beliebig gegeben und γ ein nch Vorussetzung existierender Polygonzug mit Anfngspunkt x und Endpunkt z. Wegen z U M und M offen existiert eine offene Kugel K ε z) M. Jedes y K ε z) gehört dnn ebenflls zu U, denn y ist mit x durch einen in M verlufenden Polygonzug verbindbr, indem wir zunächst mittels des Polygonzuges γ von x nch z wndern und nschließend die gerde Verbindungsstrecke von z nch y wählen. Folglich ist U offen. Ähnlich verifiziert mn die Offenheit von V : Sei dzu z V beliebig gegeben. D M offen ist, existiert wieder eine Kugel K ε z) M. Kein Punkt y K ε z) ist dnn mit x durch einen in M verlufenden Polygonzug verbindbr, denn sonst könnte mn die gerde Verbindungsstrecke von y nch z hinzunehmen und hätte uch einen in M liegenden Polygonzug von x nch z gefunden im Widerspruch zu z V. b) ): Sei M wegzusmmenhängend. Seien ferner U, V R n offene Mengen mit M U V und U V. Angenommen, U M und V M. Dnn existieren Elemente x U M und y V M, insbesondere lso x, y M. Nch Vorussetzung b) können wir dher einen Weg γ : [, 1] M finden mit Anfngspunkt γ) x und Endpunkt γ1) y. Wir definieren dnn t : sup { t [, 1] γ [, t] ) U }.

12 112 KAPITEL 18. INTEGRALSÄTZE Nch Vorussetzung ist γ) x U, ber γ1) y / U. Aus der Stetigkeit von γ und der Offenheit von U folgt dnn γ t) / U M. Ebenso hben wir γ t) / V M, denn us γ t) V γ t) M gilt sowieso ) würde wegen der Stetigkeit von γ und der Offenheit von V sofort γt) V für lle t < t mit t hinreichend nhe bei t gelten. Für ein solches t wäre gemäß Konstruktion von t uch γt) U, lso γt) U V, ws wegen U V nicht sein knn. Die Impliktion M ist wegzusmmenhängend M ist zusmmenhängend gilt übrigens für jede nichtleere nicht notwendig offene) Menge, wenngleich der oben ngegebene Beweis explizit die Offenheit von M usgenutzt ht. Hingegen ist die Umkehrung im Allgemeinen nicht richtig, beispielsweise knn mn sich überlegen, dss die Menge { t, 1 } M : sin t )) t, 1] {, t) } t [ 1, +1] zwr zusmmenhängend, nicht jedoch wegzusmmenhängend ist. Definition Eine offene und zusmmenhängende Menge G R n heißt ein Gebiet. Hingegen heißt die Menge S R n sternförmig, wenn ein x S existiert derrt, dss die Verbindungsstrecke [x, z] für lle z S gnz in S verläuft. Jedes solche x wird dnn ls Zentrum von S bezeichnet. Jede konvexe Menge ist offenbr sternförmig, dbei knn ein beliebiges Element us dieser konvexen Menge ls Zentrum gewählt werden. Ferner ist jede offene sternförmige Menge ebenflls gnz offensichtlich ein Gebiet. Die Umkehrungen dieser Aussgen sind hingegen im Allgemeinen nicht richtig. G z z z x z Gebiet, nicht sternförmig sternförmige Menge, nicht konvex Ein einfches notwendiges Kriterium für ds Vorliegen eines Grdientenfeldes ist in dem folgenden Resultt enthlten.

13 18.2. ZUSAMMENHANG, GEBIETE UND POTENTIALE 113 Lemm Notwendiges Kriterium für Grdientenfelder: Integrbilitätsbedingungen ) Seien D R n offen und f : D R n ein stetig differenzierbres Grdientenfeld mit einem Potentil U : D R, wobei U dnn zwngsläufig zweiml stetig differenzierbr sein muss. Dnn genügen die Komponentenfunktionen f 1,...,f n von f den Integrbilitätsbedingungen f j x) f k x) j, k 1,...,n 18.1) x k x j und für lle x D. Beweis: Nch Vorussetzung ist f j x) U x j x) für lle x D. Aus dem Stz 1.8 folgt somit f j x k x) für lle j, k 1,..., n und lle x D. 2 U x j x k x) 2 U x k x j x) f k x j x) Die Integrbilitätsbedingungen 18.1) besgen gerde, dss die Jcobi Mtrix Dfx) in llen Punkten x D symmetrisch ist. Speziell für den Fll n 3 sind die Integrbilitätsbedingungen äquivlent zu rotf), vergleiche hierzu ds Lemm Wir zeigen nun, dss die Integrbilitätsbedingungen uch ein hinreichendes Kriterium für ds Vorliegen eines Grdientenfeldes drstellen, sofern der Definitionsbereich D des Vektorfeldes f ein sternförmiges Gebiet ist. Stz Hinreichendes Kriterium für Grdientenfelder ) Seien Ω R n ein sternförmiges Gebiet mit Zentrum x und f : Ω R n ein stetig differenzierbres Vektorfeld, welches der Integrbilitätsbedingung 18.1) genüge. Dnn ist f ein Grdientenfeld und besitzt ds Potentil 1 Ux) : f x + tx x ) ), x x dt 18.2) für x Ω. Beweis: Die in 18.2) definierte Funktion U lässt sich schreiben ls ein prmeterbhängiges Integrl Ux) mit der stetig differenzierbren Funktion 1 gx, t)dt gx, t) : f x + tx x ) ), x x n f j x + td) d j und dem Vektor d : x x. Aufgrund des Stzes 1.41 ist U dher stetig differenzierbr, und zur Berechnung des Grdienten drf mn Integrtion und Differentition miteinnder j1

14 114 KAPITEL 18. INTEGRALSÄTZE vertuschen. Wir erhlten dher mit der prtiellen Ableitung g x k x, t) U x k x) n j1 1 g x k x, t)dt [ ] fj x + td) d j x k f k x + td) + f k x + td) + n j1 n j1 Zusmmen folgt lso wegen der Integrbilitätsbedingung U x k x) 1 1 [ f k x + td) + n j1 d [ tfk x + td) ] dt dt tf k x + td) f k x + d) f k x) t1 t f j x k x + td)td j t f j x k x + td)d j. t f k x j x + td)d j ] dt für lle x Ω und lle k 1,...,n, wobei wir in der drittletzten Gleichung den Huptstz der Differentil und Integrlrechnung benutzt hben. Die im Stz eingeführte Funktion U ist letztlich ein Spezilfll eines so gennnten Kurvenintegrls, die im nun folgenden Abschnitt definiert und näher untersucht werden Kurvenintegrle Unter einer Kurve hben wir bislng stets eine stetige Abbildung γ : I R n verstnden, wobei I ein meist kompktes) Intervll beschreibt. Etws bweichend von diesem bisherigen Sprchgebruch werden wir uch ds Bild C : {γt) t I} ls Kurve bezeichnen und nennen γ in diesem Zusmmenhng die Prmeterdrstellung der Kurve C. Beknntlich besitzt eine Kurve verschiedene Prmeterdrstellungen, die ber llesmt dsselbe Bild C liefern.

15 18.3. KURVENINTEGRALE 115 Wir beginnen zunächst mit einer physiklischen Vorüberlegung, um die nschließende Definition eines Kurvenintegrls zu motivieren. Seien dzu K : R 3 R 3 ein Krftfeld und C eine stetig differenzierbre Kurve im R 3 mit der Prmeterdrstellung γ : [, b] R 3. Ein Mssenpunkt werde längs der Kurve C vom Anfngspunkt γ) zum Endpunkt γb) bewegt. Wir frgen uns, welche Arbeit geleistet werden muss Arbeit W Krft F Weg s). Dzu zerlegen wir ds Prmeterintervll [, b] in t < t 1 <... < t m b. Unter Verwendung des Mittelwertstzes ergibt sich näherungsweise dnn m W K γti ) ), γt i ) γt i 1 ) i1 m K γti ) ), γτ i ) t i t i 1 ) i1 m K γτi ) ), γτ i ) t i t i 1 ) i1 mit gewissen Zwischenstellen τ i t i 1, t i ). Bei Verfeinerung der betrchteten Prtition von [, b] konvergiert die Riemnnsche Summe uf der rechten Seite gegen ds Integrl b K γt) ), γt) dt. Als Verllgemeinerung dieser Überlegungen erhlten wir die folgende Definition. Definition Seien D R n eine gegebene Menge, f : D R n ein stetiges Vektorfeld und C eine stückweise) stetig differenzierbre Kurve mit der stückweise) stetig differenzierbren Prmeterdrstellung γ : [, b] D. Dnn heißt b ) fx)dx : fx)dx : f γt), γt) dt C γ ds Kurvenintegrl oder Wegintegrl) von f über die Kurve C mit Prmeterdrstellung γ. In der Litertur findet mn für ds gerde eingeführte Kurvenintegrl häufig die Schreibweise n b ) fx)dx f i x)dx i mit f i x)dx i : f i γt) γi t)dt. 18.3) C i1 C Die Definition enthält zwei neue Symbole, nämlich fx)dx und fx)dx. C C γ

16 116 KAPITEL 18. INTEGRALSÄTZE Der zweite Ausdruck ist eindeutig definiert, d er die spezielle Prmeterdrstellung der Kurve berücksichtigt. Der erste Ausdruck hingegen legt in der Nottion nur Wert uf die Kurve C selbst, ohne explizit die Prmeterdrstellung zu erwähnen. Die Definition hängt ber zunächst von der jeweiligen Prmeterdrstellung der Kurve C b. Ds folgende Resultt besgt llerdings, dss sich der Wert des Kurvenintegrls bei orientierungstreuen Umprmetrisierungen nicht ändert. Dmit ist lso uch ds erstgennnte Symbol für ein Kurvenintegrl wohldefiniert. Lemm Wohldefiniertheit des Kurvenintegrls ) Seien D R n eine gegebene Menge, f : D R n ein stetiges Vektorfeld, C eine Kurve mit einer stetig differenzierbren Prmeterdrstellung γ : [, b] D sowie γ : γ ϕ eine Umprmetrisierung der Kurve C mit einer stetig differenzierbren und orientierungstreuen Prmetertrnsformtion ϕ : [α, β] [, b]. Dnn ist fx)dx fx)dx, γ ds Kurvenintegrl lso unbhängig von der speziellen Prmetrisierung. Beweis: D ϕ orientierungstreu lso streng monoton wchsend) ist, gilt ϕα) und ϕβ) b. Aus der Ketten und Substitutionsregel erhlten wir somit γ fx)dx β α β α b γ γ f γt) ), γt) dt f γϕt)) ), γ ϕt) ) ϕt)dt f γs) ), γs) ds fx)dx, lso gerde die Behuptung. Ds Lemm bleibt offenbr uch dnn richtig, wenn mn sttt stetig differenzierbrer Kurven nur stückweise stetig differenzierbre Kurven vorliegen ht. Mn brucht hierzu den gerde durchgeführten Beweis nur uf jedes gltte Teilstück nzuwenden. Beispiel Gegeben seien die Funktion f : R 2 R 2, fx, y) : ) y x und die Kurve C, die us dem rechten Bogen des Einheitskreises x 2 + y 2 1 mit Anfngspunkt, 1) und Endpunkt, +1) bestehe. Eine Prmeterdrstellung von C ist

17 18.3. KURVENINTEGRALE 117 gegeben durch γt) ) cost sin t für t [ π ] 2, +π. 2 Für ds zugehörige Kurvenintegrl erhlten wir somit + π 2 fx)dx fcost, sin t), sin t, cost) T dt C ls gesuchten Wert. π 2 + π 2 π π 2 + π 2 π 2 sin t, cos t) T, sin t, cost) T dt sin 2 t) + cos 2 t) ) dt Seien γ 1 : [, c] R n und γ 2 : [c, b] R n zwei Kurven mit γ 1 c) γ 2 c), so dss der Endpunkt der Kurve γ 1 mit dem Anfngspunkt der Kurve γ 2 übereinstimmt. Dnn definieren wir { γ : γ 1 + γ 2 : [, b] R n γ1 t), flls t [, c], durch γt) : γ 2 t), flls t [c, b] ls die Summe der beiden Kurven γ 1 und γ 2. Mn bechte, dss es sich bei dieser Summe nicht um die übliche Addition zweier Abbildungen hndelt ws uch nicht geht, d γ 1 und γ 2 uf verschiedenen Mengen existieren). Dmit diese Summe ls Definitionsbereich wieder ein Intervll ht nämlich [, b]), hben wir vorusgesetzt, dss der Punkt c einerseits der rechte Endpunkt des Definitionsbereiches von γ 1 und ndererseits uch der linke Endpunkt des Definitionsbereiches von γ 2 ist. Diese Vorussetzung knn durch eine einfche linere Trnsformtion ber stets erfüllt werden während die Bedingung γ 1 c) γ 2 c) eine echte Vorussetzung drstellt, d die Summe γ sonst im Punkte c nicht stetig wäre und dmit keine Kurve drstellen würde). Zu einer gegebenen Kurve γ : [, b] R n definieren wir die zugehörige inverse Kurve durch γ : [, b] R n, γ t) : γ + b t). Dnn ist γ γ ϕ mit der orientierungsumkehrenden Prmetertrnsformtion ϕt) : + b t. Schreiben wir C : {γt) t [, b]} für die Kurve mit der Prmeterdrstellung γ, so gilt uch C {γ t) t [, b]}, ber mittels γ wird die Kurve C in umgekehrter Richtung durchlufen. Nch diesen Vorbereitungen können wir ds nchstehende Resultt formulieren.

18 118 KAPITEL 18. INTEGRALSÄTZE Lemm 18.2 Elementre Eigenschften von Kurvenintegrlen ) Seien D R n eine gegebene Menge, f, g : D R n stetige Vektorfelder, α, β R sowie γ, γ 1, γ 2 stückweise) stetig differenzierbre Kurven in D derrt, dss der Endpunkt von γ 1 mit dem Anfngspunkt von γ 2 übereinstimmt. Dnn gelten: [ ] ) αfx) + βgx) dx α fx)dx + β gx)dx. γ b) fx)dx fx)dx. γ γ c) fx)dx fx)dx + fx)dx γ 1 +γ 2 γ 1 γ 2 γ γ Wegdditivität). Beweis: Die Aussgen sind llesmt elementr und werden hier nur der Vollständigkeit hlber verifiziert. Dbei gehen wir zur Vereinfchung dvon us, dss lle Kurven stetig differenzierbr sind. ) Sei γ : [, b] R n die gegebene Kurve. Dnn gilt [ ] b αfx) + βgx) dx αfγt)) + βgγt)), γt) dt γ b α α b fγt)), γt) dt + β gγt)), γt) dt fx)dx + β gx)dx γ γ ufgrund der Linerität des Integrls. b) Sei γ : [, b] R n die gegebene Kurve. Dnn ist die inverse Kurve definiert durch γ t) γ+b t) für lle t [, b]. Unter Verwendung der Substitutionsregel folgt dmit γ fx)dx lso gerde die Behuptung b). b b b b fγ t)), γ t) dt fγ + b t)), γ + b t) dt fγs)), γs) ds γ fγs)), γs) ds fx)dx,

19 18.3. KURVENINTEGRALE 119 c) Seien γ 1 : [, c] R n und γ 2 : [c, b] R n die gegebenen Kurven. Dnn folgt b fx)dx fγt)), γt) dt γ 1 +γ 2 c fγ1 t)), γ 1 t) b dt + fγ2 t), γ 2 t) dt c fx)dx + fx)dx γ 1 γ 2 us der Definition der Summe γ γ 1 + γ 2. In gewissen Fällen lässt sich ds Kurvenintegrl besonders einfch berechnen. Stz Wegunbhängigkeit von Kurvenintegrlen ) Sei D R n eine offene Menge. Besitzt ds Vektorfeld f : D R n ein Potentil U : D R, so gilt fx)dx U γb) ) U γ) ) C für jede stetig differenzierbre Kurve C mit der Prmeterdrstellung γ : [, b] D. Beweis: Mit f i x) U x i x), der Kettenregel sowie dem Huptstz der Differentil und Integrlrechnung erhält mn b ) fx)dx f γt), γt) dt womit lles bewiesen ist. C b i1 b i1 b n ) f i γt) γi t)dt n d dt U γt) ) γ i t)dt x i [ U γt) )] dt U γb) ) U γ) ), Der Stz bleibt offenbr richtig, wenn C nur eine stückweise stetig differenzierbre Kurve ist. Ds Resultt besgt, dss unter den dortigen Vorussetzungen ds Kurvenintegrl lediglich vom Anfngs und Endpunkt der Integrtion bhängt, nicht jedoch von dem gewählten Weg. Für den Spezilfll einer geschlossenen Kurve C bei der γ) γb) gilt), folgt us dem Stz unmittelbr fx)dx : fx)dx, C C

20 12 KAPITEL 18. INTEGRALSÄTZE wobei ds links stehende Symbol nur im Flle geschlossener Kurven verwendet wird. Diese Beobchtungen nehmen wir nun zum Anlss für die nchstehende Definition. Definition Seien G R n ein Gebiet und f : G R n ein stetiges Vektorfeld. Dnn heißt f ) wegunbhängig in G, wenn für lle Punkte, b G und lle stückweise stetig differenzierbren Kurven γ, γ in G mit Anfngspunkt und Endpunkt b fx)dx fx)dx gilt. b) wirbelfrei in G, wenn γ C γ fx)dx für jede geschlossene stückweise stetig differenzierbre Kurve C in G gilt. Es ist nicht schwer zu sehen, dss ein stetiges Vektorfeld genu dnn wegunbhängig ist, wenn es wirbelfrei ist. Im Hinblick uf den Stz ist f dher immer dnn wirbelfrei wegunbhängig), wenn f ein Potentil besitzt. Unter gewissen Bedingungen gilt hiervon uch die Umkehrung. Stz Chrkterisierung wirbelfreier Vektorfelder uf Gebieten ) Seien Ω R n ein Gebiet und f : D R n ein stetiges Vektorfeld. Dnn ist f genu dnn wirbelfrei oder, äquivlent, wegunbhängig), wenn f ein Potentil U besitzt. Beweis: Die eine Richtung der Behuptung wurde schon im Stz bewiesen. Sei lso umgekehrt f ls wegunbhängig vorusgesetzt. Wir fixieren ein beliebiges x Ω und bezeichnen für jedes x Ω mit γ x : [, 1] Ω eine wegen Stz existierende, stückweise stetig differenzierbre Kurve mit Anfngspunkt γ x ) x und Endpunkt γ x 1) x. Hiermit setzen wir 1 Ux) : fξ)dξ f γx t) ), γ x t) dt x Ω) γ x und behupten, dss die so definierte Abbildung U : Ω R ein Potentil von f uf Ω ist. Sei dzu ein beliebiges x Ω gegeben. D Ω offen ist, existiert ein zugehöriges ε > derrt, dss die offene Kugel K ε x) noch vollständig in Ω liegt. Für jeden Vektor d R n mit d 2 < ε ist dnn uch die gesmte Verbindungsstrecke von x nch x + d in K ε x). Sei σ x t) : x + td für t [, 1] eine Prmetrisierung dieser Verbindungsstrecke. Dnn ist σ x t) d. Ferner ist der zusmmengesetzte Weg γ x +σ x eine von x nch x+d verlufende stückweise stetig differenzierbre Kurve in G, ebenso wie gemäß Definition uch γ x+d von x nch x + d geht.

21 18.3. KURVENINTEGRALE 121 x + d σ x x K ε x) Ω γ x+d γ x x Aus der vorusgesetzten Wegunbhängigkeit von f ergibt sich mit dem Lemm 18.2 dher Ux + d) Ux) fξ)dξ fξ)dξ γ x+d γ x fξ)dξ fξ)dξ γ x+σ x γ x fξ)dξ σ x und somit 1 1 Ux + d) Ux) fx) T d f σx t) ), σ x t) dt fx + td), d dt 1 fx + td) fx), d dt. Aus der Dreiecksungleichung für Integrle und der Cuchy Schwrzschen Ungleichung erhlten wir dher Ux + d) Ux) fx) T d 1 1 fx + td) fx), d dt fx + td) fx) dt d. Lssen wir nun d gehen, so ergibt sich us der lokl gleichmäßigen) Stetigkeit von f sofort 1 fx + td) fx) dt für d. Insgesmt ht mn lso Ux + d) Ux) fx) T d o d ).

22 122 KAPITEL 18. INTEGRALSÄTZE Also ist U im Punkte x differenzierbr, und es gilt Ux)) fx). D x Ω hierbei beliebig gewählt worden wr, folgt einerseits die Differenzierbrkeit von U uf Ω und ndererseits wegen der vorusgesetzten Stetigkeit von f sogr die stetige Differenzierbrkeit von U. Wir bringen noch ein Beispiel zum Stz 18.23, us dem sich insbesondere eine lterntive Möglichkeit zur prktischen Bestimmung eines Potentils ergibt. Beispiel Ds Vektorfeld f : Ω R 2, fx, y) : 4x 3 y x, 3x4 y 2 1 ) T y besitzt uf dem positiven Qudrnten Ω : { x, y) T R 2 x >, y > } wegen D 1 f 2 x, y) 12x 3 y 2 D 2 f 1 x, y) x, y) Ω und Stz Integrbilitätsbedingungen) ein Potentil U. Wegen f U gilt insbesondere x U f 1, lso Ux, y) 4x 3 y ) dx x 4 y 3 + lnx) + gy) x mit einer nur von y bhängigen Funktion g. Differentition nch y liefert y Ux, y) 3x4 y 2 + g y) f 2 x, y) 3x 4 y 2 1 y und dmit folglich g y) 1 y, gy) lny) + C mit einer Integrtionskonstnten C. Insgesmt ergibt sich somit Ux, y) x 4 y 3 + ln ) x + C y ls Potentil von f uf Ω.

23 18.4. DER INTEGRALSATZ VON GREEN Der Integrlstz von Green Wir erinnern den Leser zunächst n die Definition eines Normlbereiches, wobei wir in diesem Abschnitt lediglich n dem zweidimensionlen Fll interessiert sind, mn vergleiche in diesem Zusmmenhng uch die Bemerkung Eine Teilmengen B R 2 heißt ) Normlbereich bzgl. der y-achse, wenn B von der Gestlt B { x, y) R 2 x b, φx) y ψx) x [, b] } mit gewissen stetigen Funktionen φ, ψ : [, b] R 2 geschrieben werden knn. b) Normlbereich bzgl. der x-achse, wenn B von der Gestlt B { x, y) R 2 c y d, φy) x ψy) y [c, d] } mit gewissen stetigen Funktionen φ, ψ : [c, d] R 2 geschrieben werden knn. c) Normlbereich, wenn B sowohl ein Normlbereich bzgl. der x-achse ls uch ein Normlbereich bzgl. der y-achse ist. Mittels der Normlbereiche lässt sich ds folgende Huptresultt dieses Abschnittes formulieren, ds in der Litertur uch häufig ls Gußscher Integrlstz in der Ebene bezeichnet wird. Stz Integrlstz von Green ) Seien D R 2 eine offene Menge, f : D R 2 ein stetig differenzierbres Vektorfeld und B D ein Normlbereich, dessen Rndkurve stückweise stetig differenzierbr ist. Dnn gilt B x f 2x, y) ) y f 1x, y) dx, y) fx, y)dx, y), 18.4) B wobei der Rnd B in mthemtisch positiver Richtung entgegen dem Uhrzeigersinn) zu durchlufen ist. Beweis: Wir betrchten B zunächst ls Normlbereich bezüglich der y-achse. Dnn lässt sich der Rnd von B prmetrisieren durch die Kurve γt) : xt), yt) ) mit den Komponenten und xt) : + tb ), flls t 1, b, flls 1 t 2, b t 2)b ), flls 2 t 3,, flls 3 t 4 φ + tb ) ), flls t 1, φb) + t 1)[ψb) φb)], flls 1 t 2, yt) : ψ b t 2)b ) ), flls 2 t 3, ψ) t 3)[ψ) φ)], flls 3 t 4

24 124 KAPITEL 18. INTEGRALSÄTZE mit gewissen Funktionen φ, ψ, vergleiche hierzu die Abbildung 18.2 bechte: die Abbildung zeigt einen Normlbereich bezüglich der x-achse, der llerdings kein Normlbereich bezüglich der y-achse ist). y ψ B φ b x Abbildung 18.2: Zur Prmetrisierung von B im Beweis des Integrlstzes von Green Wir zeigen jetzt, dss y f 1x, y)dx, y) B B 4 f 1 xt), yt) )ẋt)dt 18.5) gilt. Aus der Definition des Normlbereichs, dem Stz und dem Huptstz der Differentil und Integrlrechnung folgt zunächst b ψx) y f 1x, y)dx, y) y f 1x, y)dydx b φx) [ f1 x, ψx) ) f1 x, φx) )] dx. Ds rechts stehende Integrl lässt sich umformulieren: Mittels der Substitution x xt) + tb ) folgt b ) 1 )ẋt)dt, f 1 x, φx) dx f 1 xt), yt) mit x xt) b t 2)b ) erhält mn b und wegen ẋt) für t 1, 2) 3, 4) ist 2 1 ) 3 )ẋt)dt, f 1 x, ψx) dx f 1 xt), yt) 2 )ẋt)dt 4 )ẋt)dt f 1 xt), yt) und f 1 xt), yt). 3

25 18.4. DER INTEGRALSATZ VON GREEN 125 Also ist b [ ) )] 4 )ẋt)dt, f1 x, ψx) f1 x, φx) dx f 1 xt), yt) worus unmittelbr die Gültigkeit von 18.5) folgt. Anlog zeigt mn uch die Gleichheit B x f 2x, y)dx, y) 4 f 2 xt), yt) )ẏt)dt, 18.6) indem mn B ls Normlbereich bezüglich der y-achse drstellt. Aus 18.5) und 18.6) bekommt mn nun x f 2x, y) ) y f 1x, y) dx, y) B 4 4 B [ f1 xt), yt) )ẋt) + f2 xt), yt) )ẏt) ] dt f xt), yt) ), ẋt), ẏt) ) dt fx, y)dx, y) und dmit die Behuptung. Der Integrlstz von Green mg ls eine Verllgemeinerung des Huptstzes der Differentil und Integrlrechnung ngesehen werden, besgt er doch, dss sich ds Integrl einer Ableitung von f die linke Seite von 18.4)) drstellen lässt durch die Rndwerte von f selbst die rechte Seite von 18.4)). Wir ergänzen den Stz noch durch einige wichtige Bemerkungen. Bemerkung ) Ttsächlich wurde im Beweis des Stzes die folgende Aussge gezeigt siehe 18.5) und 18.6)): Ist g : D R eine stetig differenzierbre, sklre Funktion, so gelten und B B β gx, y)dx, y) g xt), yt) ) ẋt)dt y α β gx, y)dx, y) g xt), yt) ) ẏt)dt, x α wobei t xt), yt) ), t [α, β] eine Prmetrisierung in mthemtisch positiver Richtung) des Rndes B von B sei.

26 126 KAPITEL 18. INTEGRALSÄTZE b) Die Vorussetzungen n den Bereich B im Stz knn mn bschwächen. Dzu bezeichnen wir eine Menge B R 2 ls Greenschen Bereich, wenn B ls disjunkte Vereinigung von endlich vielen Normlbereichen B 1,...,B m geschrieben werden knn disjunkt soll hier bedeuten, dss intb i ) intb j ) für lle i j gilt), vergleiche hierzu die Abbildung Nch dem Integrlstz von Green gilt dnn x f 2x, y) ) y f 1x, y) dx, y) fx, y)dx, y) für lle i 1,..., m, B i B i so dss mn durch Summtion x f 2x, y) ) y f 1x, y) dx, y) B m fx, y)dx, y) B i i1 B fx, y)dx, y) erhält, wobei sich die letzte Gleichheit einfch us der Ttsche ergibt, dss jedes innere Rndstück d.h. Rndstück eines B i, ber nicht von B) genu zweiml durchlufen wird, und zwr in entgegengesetzte Richtungen. Die beiden Kurvenintegrle von f über diese Rndstücke heben sich lso gerde uf, vergleiche Lemm y B B2 B 1 B 3 B 4 B5 B 6 x Abbildung 18.3: Beispiel eines Greenschen Bereiches c) Definiert mn für ein stetig differenzierbres Vektorfeld f : D R 2 mit D R 2 offen die Rottion im R 2, nicht zu verwechseln mit der zuvor eingeführten Rottion im R 3 ) durch rotfx, y) : x f 2x, y) y f 1x, y), so erhält mn die Formulierung rotfx, y)dx, y) fx, y)dx, y) des Integrlstzes von Green. B B

27 18.4. DER INTEGRALSATZ VON GREEN 127 Wir betrchten ls Nächstes einige Beispiele zum Integrlstz von Green. Beispiel ) Seien fx, y) : xy, x 2 y 2 ) T und B : {x, y) T x 2, 2 y 5}. Hier ist B lso ein Rechteck und dmit ein besonders einfcher Greenscher Bereich, so dss wir ds Integrl x f 2x, y) ) y f 1x, y) dx, y) 2x x)dx, y) B 3 6 B xdx xdydx sofort berechnen können. Nch dem Integrlstz von Green gilt dnn uch der Rnd B soll dbei wieder mthemtisch positiv durchlufen werden) fx, y)dx, y) 6, B so dss mn in diesem Fll ein Kurvenintegrl mittels des Integrlstzes von Green sehr leicht berechnen konnte. b) Seien fx, y) : x 4 y 3, x 3 y 4 ) und B : {x, y) T x 2 + y 2 1} der Einheitskreis im R 2, der ntürlich uch ein Greenscher Bereich ist. Gesucht sei ds Kurvenintegrl fx, y)dx, y). Nch dem Integrlstz von Green gilt fx, y)dx, y) 3x 2 + 3y 2) dx, y) 3 B B B B x 2 + y 2 )dx, y). Einführung von Polrkoordinten x r cosϕ, y r sin ϕ und Anwendung des Trnsformtionsstzes liefert 1 2π 1 3 x 2 + y 2 )dx, y) 3 r 2 rdϕdr 6π r 3 dr 3π B 2 ls den Wert des gesuchten Kurvenintegrls. Der Integrlstz von Green knn uch bei der Berechnung von Flächen nützlich sein. In diesem Zusmmenhng erinnern wir drn, dss die Fläche F einer qudrierbren Menge B R 2 durch die Formel F µb) 1dx, y) B

28 128 KAPITEL 18. INTEGRALSÄTZE gegeben ist. Hndelt es sich bei B speziell um einen Greenschen Bereich, so gilt mit fx, y) :, x) T bzw. fx, y) : y, ) T ufgrund des Greenschen Integrlstzes unmittelbr [ F fx, y)dx, y) f1 x, y)dx + f 2 x, y)dy ] xdy 18.7) B B B bzw. [ F fx, y)dx, y) f1 x, y)dx + f 2 x, y)dy ] y)dx, 18.8) B B B wobei wir von der Nottion us 18.3) Gebruch gemcht hben. Durch Bildung des rithmetischen Mittels dieser beiden Formeln erhlten wir ußerdem den Ausdruck F 1 xdy B 2 B y)dx 1 y, x)dx, y). 18.9) 2 B Zusmmenfssend hben wir dmit ds nchstehende Resultt bewiesen. Korollr Fläche eines Greenschen Bereiches im R 2 ) Sei B R 2 ein Greenscher Bereich. Dnn lässt sich die Fläche F von B nch jeder der drei Formeln 18.7), 18.8) oder 18.9) berechnen. Als konkretes Beispiel bestimmen wir den Flächeninhlt einer Ellipse. Beispiel Fläche einer Ellipse ) Für die Fläche F der Ellipse E : {x, y) T x 2 } + y2 2 b 1 2, b > ) gilt mit der Prmetrisierung t cost, b sin t) T, t 2π des Rndes E beispielsweise F E 1dx, y) E xdy 2π unter Verwendung von 18.7), und ebenso F E 1dx, y) E 2π costb cos t)dt b cos 2 tdt bπ 2π 2π y)dx b sin t sin t)dt b sin 2 tdt bπ unter Verwendung von 18.8). Beide Rechnungen führen lso uf dsselbe Ergebnis.

29 18.5. FLÄCHEN UND OBERFLÄCHENINTEGRALE IM RAUM Flächen und Oberflächenintegrle im Rum Ds Bild eines eindimensionlen Gebietes Intervlls) hben wir ls Kurve bezeichnet. Entsprechend führen wir Flächen jetzt ls Bilder von zweidimensionlen Gebieten ein. Definition 18.3 Seien P R 2 eine qudrierbre kompkte Menge und x : P R 3, x 1 u, v) xu, v) : x 2 u, v) x 3 u, v) eine uf einer offenen Obermenge von P) stetig differenzierbre Abbildung, so dss die Vektoren xu, v) und xu, v) für lle u, v) P liner unbhängig seien. Dnn heißt u v F : { xu, v) u, v) P } eine Fläche im R 3, P heißt der zugehörige Prmeterbereich und x, P) die Prmeterdrstellung von F. Wir hben den Prmeterbereich P in der obigen Definition letztlich nur us Gründen der Vereinfchung ls qudrierbr und) kompkt ngenommen, dmit wir später, wenn wir ds Integrl einer etw stetigen Funktion über die Menge P nehmen werden, keine Probleme mit der Existenz dieses Integrls erhlten. Zu diesem Zweck muss die Menge P ntürlich qudrierbr sein, ber keineswegs kompkt. In der Tt findet mn in der Litertur deshlb unterschiedliche Definitionen einer Fläche. Im Folgenden werden einige Beispiele ngegeben. Beispiel ) Mit P : [, 1] [, 2π], u, v) xu, v) : r cosv, r sin v, hu) T erhlten wir eine Prmeterdrstellung des Mntels eines Zylinders mit dem Rdius r > und der Höhe h >, vergleiche die Abbildung Wegen der lineren Unbhängigkeit von x u, v) und x u, v) u v h r sin v r cosv hndelt es sich hierbei um eine Fläche im Sinne der Definition für lle u, v) P b) Durch P : [, 1] [, 2π], u, v) xu, v) : r1 u) cosv r1 u) sinv hu

30 13 KAPITEL 18. INTEGRALSÄTZE h r r Abbildung 18.4: Der Mntel eines Zylinders, vergleiche Beispiel ) erhlten wir eine Prmeterdrstellung für den Mntel eines Kegels mit dem mximlen Rdius r > und der Höhe h >, vergleiche die Abbildung Hier gilt x u, v) u r cos v r sin v h und x u, v) v r1 u) sinv r1 u) cosv und beide Vektoren sind für lle u, v) P mit u < 1 liner unbhängig. Im Flle u 1 nschulich entspricht dies der Spitze des Kegels) hingegen verschwindet die prtielle Ableitung von x nch v. Im Sinne der Definition 18.3 hndelt es sich dher um keine Fläche, wenn wir wirklich den gesmten Prmeterbereich P ls Definitionsmenge der Abbildung x betrchten. Hingegen erhlten wir eine Fläche, wenn wir diesen Definitionsbereich einschränken uf eine Menge der Gestlt P ε : [, 1 ε] [, 2π] für ein kleines ε >. c) Seien P R 2 eine qudrierbre, kompkte Menge und φ : P R eine uf einer offenen Obermenge von P) differenzierbre Abbildung. Dnn ist der Grph F : Grphφ) : { x 1, x 2, φx 1, x 2 ) ) T x1, x 2 ) P } R 3 eine Fläche im R 3 mit der Prmetrisierung vergleiche die Abbildung 18.6, denn die Vektoren x u, v) u φ u xu, v) : u, v, φu, v) ) T, 1 u, v) und x u, v) v φ v 1 u, v),

31 18.5. FLÄCHEN UND OBERFLÄCHENINTEGRALE IM RAUM 131 r r Abbildung 18.5: Der Mntel eines Kegels, vergleiche Beispiel b) Abbildung 18.6: Der Grph einer Funktion ls Fläche sind stets liner unbhängig. Wir wollen uns ls Nächstes überlegen, wie groß der Flächeninhlt einer Fläche im R 3 ist. Theoretisch könnten wir diese einfch per Definition einführen. Wir wollen diese Definition im Folgenden jedoch geometrisch motivieren. Zu diesem Zweck wollen wir zunächst einml den Normlenvektor uf einer Fläche einführen. Sei dzu F eine Fläche im R 3 mit der Prmeterdrstellung x, P). Sei ferner t ut), vt) ) T eine gltte Kurve in P. Dnn ist t x ut), vt) ) eine gltte Kurve C im R 3, die gnz in der Fläche F verläuft. Der Tngentenvektor n C in ˆx xû, ˆv), û, ˆv) : uˆt), vˆt) ), ist nch der Kettenregel gegeben durch T u xû, ˆv) uˆt) + xû, ˆv) vˆt). v

32 132 KAPITEL 18. INTEGRALSÄTZE v z γt) ut) vt) P ) C F u y x Dies bedeutet: Betrchtet mn lle Kurven, die gnz in F verlufen, durch den Punkt û, ˆv) T, so liegen deren Tngenten lle in der von den speziellen Tngentenvektoren T u : xû, ˆv) u der Kurve u xu, ˆv) und T v : xû, ˆv) der Kurve v xû, v) v ufgespnnten Tngentilebene n F in xû, ˆv). Die Tngentilebene n F in xû, ˆv) ist lso gegeben durch { E xû, ˆv) + λ x u } λ, û, ˆv) + µ x v û, ˆv) µ R. Für diese definieren wir den Normleneinheitsvektor wie folgt. Definition Der uf der Tngentilebene E senkrecht stehende Vektor n : nx) : nxû, ˆv)) : T u T v T u T v 2 heißt Normleneinheitsvektor von F in xû, ˆv). Mn bechte, dss bei einer nderen Prmetrisierung von F der Normlenvektor n in die entgegengesetzte Richtung zeigen knn. Bis uf diese Unbestimmheit des Vorzeichens ist n ber eindeutig festgelegt.

33 18.5. FLÄCHEN UND OBERFLÄCHENINTEGRALE IM RAUM 133 z E F T v T u xû, ˆv) y x Beispiel Ist F wie im Beispiel c) der Grph einer Funktion von zwei Vriblen, etw u, v) u, v, φu, v) ) T, so gilt T u 1 φ u und T v 1 φ v und dher n T u T v T u T v ) φ 2 u + φ v ) 2 φ u φ u 1, wobei wir überll die Argumente u, v) weggelssen hben. Entsprechend der Bogenlänge einer Kurve wollen wir nun den Inhlt einer Fläche definieren. Dzu betrchten wir zunächst den Fll, dss der Prmeterbereich P ein Rechteck ist, etw Wir zerlegen P { u, v) T u b, c v d }. P k,l P kl in Teilrechtecke P kl : [u k 1, u k ] [v l 1, v l ]. Diese Zerlegung induziert eine Zerlegung von F in F xp kl ). k,l

34 134 KAPITEL 18. INTEGRALSÄTZE v z d P F v l 1 P kl xp kl ) c u k 1 b u y x Wir ersetzen ds zu P kl gehörende Flächenstück xp kl ) durch ds Prllelogrmm T kl in der Tngentilebene im Punkte xu k 1, v l 1 ) mit den Seiten u xu k 1, v l 1 )u k u k 1 ), v xu k 1, v l 1 )v l v l 1 ). T kl xu k 1, v l 1 ) xp kl ) Dieses ht wegen Lemm 18.6 den Inhlt u xu k 1, v l 1 ) v xu k 1, v l 1 ) u k u k 1 )v l v l 1 ). 2 Summiert mn über lle Prllelogrmme dieses Typs, so erhält mn u xu k 1, v l 1 ) v xu k 1, v l 1 ) u k u k 1 )v l v l 1 ), 2 k,l und diese Summe konvergiert bei Verfeinerung der Zerlegung gegen xu, v) xu, v) u v du, v). 2 Dies motiviert die folgende Definition. P

35 18.5. FLÄCHEN UND OBERFLÄCHENINTEGRALE IM RAUM 135 Definition Sei F eine Fläche mit der Prmeterdrstellung x, P). Dnn heißt do : u xu, v) xu, v) v du, v) 18.1) 2 F der Oberflächeninhlt von F und do : xu, v) xu, v) u v du, v) 2 ds Oberflächenelement der Fläche x, P). Wir betrchten wieder einige Beispiele zur obigen Definition. F P Beispiel ) Sei die Fläche F gegeben durch den Grphen einer Funktion φ : P R mit P R 2. Aus den obigen Ausführungen ergibt sich dnn ) 2 ) 2 φ φ do du, v). u v P b) Gegeben sei ds Prboloid F mit der Prmetrisierung ) u u v, u, v) T P : {u, v) T u 2 + v 2 2}. v 2 u 2 v 2 Die zugehörige Oberfläche ist nch Teil ) mit φu, v) : 2 u 2 v 2 dnn do 1 + 4u2 + 4v 2 du, v). F Durch Einführung von Polrkoordinten erhält mn 2π 2 [ 1 do 1 + 4r2 rdrdφ 2π r2 ) 3/2 F P ] π. c) Die Oberfläche der Kugel vom Rdius r > um den Nullpunkt lässt sich prmetrisieren durch r cosucosv xu, v) r sin u cosv mit u 2π, π 2 v +π 2. r sin v Als Oberflächenelement erhält mn nch etws Rechnung dher Somit bekommen wir + π 2 2π do F π 2 ls Oberfläche der Kugel. do r 2 cos vdu, v). + π r 2 cosvdudv 2πr 2 2 π 2 [ ] + π cosv)dv 2πr 2 2 sinv) π 2 4πr 2

36 136 KAPITEL 18. INTEGRALSÄTZE Wir zeigen in unserem nächsten Resultt, dss die Definition 18.1) überhupt sinnvoll ist. Stz Wohldefiniertheit des Oberflächeninhltes ) Ds Integrl 18.1) ist unbhängig von der gewählten Prmetrisierung der Fläche. Beweis: Sei x, P) eine Prmeterdrstellung von F. Sei ferner Φ : Q P eine stetig differenzierbre Umprmetrisierung die lso insbesondere bijektiv sei), d.h., wir betrchten die weitere Prmeterdrstelllung x, Q), x : x Φ. Dnn gilt nch der Kettenregel D xs, t) Dxu, v)dφs, t) mit u, v) : Φs, t), lso x s, x ) t x u, x ) Φ 1 s Φ v 2 s x Φ 1 u s + x v Φ 1 t Φ 2 t ) Φ 2 s, x Φ 1 u t + x v ) Φ 2. t Aus den im Lemm 18.5 ufgeführten elementren Eigenschften des Kreuzproduktes ergibt sich somit nch kurzer Rechnung x s x t detdφ) ) x u x v, wobei wir zur nottionstechnischen Vereinfchung die Argumente der jeweiligen Funktionen weggelssen hben. Der Trnsformtionsstz liefert nun x Q s x t ds, t) x Q u x v det DΦ ds, t) x u x v du, v), P womit der Stz vollständig bewiesen ist. Wir definieren ls Nächstes ds Oberflächenintegrl einer sklren reellwertigen) Funktion über einer Fläche. Definition Seien F eine Fläche mit Prmetrisierung x, P) im R 3 und f : F R eine sklre Funktion. Dnn heißt fx)do : f xu, v) ) x x u, v) u, v) u v du, v) 18.11) F ds Oberflächenintegrl von f über F. P

37 18.5. FLÄCHEN UND OBERFLÄCHENINTEGRALE IM RAUM 137 Zur Motivtion der obigen Definition betrchte mn einfch die entsprechenden Ausführungen vor der Definition des Oberflächeninhlts. Durch geeignete Modifiktion dieser Ausführungen gelngt mn gerde zu dem Ausdruck 18.11). Beispiel ) Sei F ds Prboloid us dem Beispiel b) und x, P) die dort ngegebene Prmetrisierung. Für fx, y, z) : x 2 + y 2 erhlten wir ls zugehöriges Oberflächenintegrl dnn fx, y, z)do u 2 + v 2 ) 1 + 4u 2 + 4v 2 du, v) F 2π π 8 P 2 2π π, ) r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ) 1 + 4r 2 cos 2 ϕ + 4r 2 sin 2 ϕ rdϕ dr r r 2 dr 2 1) 2d wobei wir einml Polrkoordinten benutzt hben und in der vorletzten Gleichung die Substitution : 1 + 4r 2 verwendet hben. b) Eine hlbkugelförmige Metllkuppel mit dem Mittelpunkt und dem Rdius 4m hbe im Punkt x die Dichte x) 36 x 2 1 x 2 2 kg m 2. Gesucht sei die Gesmtmsse der Kuppel. Zunächst prmetrisieren wir die Kuppel durch ) u u v, u 2 + v 2 16, v Φu, v) mit der Abbildung Dnn ist do Φu, v) : 16 u 2 v ) 2 Φ + u u 2 ) 2 Φ du, v) v u 2 v + v u 2 v2du, v) 4 v) 16 u2 v2du,

38 138 KAPITEL 18. INTEGRALSÄTZE und dher verwende Polrkoordinten) Msse x)do F xu, v) ) x u x v du, v) 8π P 2π r 2 4 ) rdrdφ 16 r 2 36 r 2 16 r 2 rdr. Mit der Substitution 16 r 2 t 2 ergibt sich somit Msse 8π t 2 t t)dt 8π kg ls gesuchte Gesmtmsse Der Integrlstz von Guß Im gleich folgenden Huptresultt dieses Abschnittes treten Normlbereiche im R 3 uf. Dbei sei drn erinnert, dss es sich dbei um qudrierbre) Mengen hndelt, die sowohl bezüglich der x 1 -Achse ls uch bezüglich der x 2 -Achse und der x 3 -Achse Normlbereiche drstellen. Stz Integrlstz von Guß ) Seien D R 3 eine offene Menge, f : D R 3 ein stetig differenzierbres Vektorfeld und S D ein Normlbereich. Bezeichnet n den äußeren Normleneinheitsvektor uf S, so gilt divfx)dx fx), nx) do ) S Beweis: Nch Vorussetzung ist die Menge S insbesondere ein Normlbereich bezüglich der x 3 Achse. Also existieren eine Menge S 3 R 2 sowie zwei Funktionen ϕ, ψ : S 3 R mit S { x x 1, x 2, x 3 ) T x1, x 2 ) T S 3, ϕx 1, x 2 ) x 3 ψx 1, x 2 ) }. Der Rnd von S besitzt dnn die Drstellung x 1 ) S x 2 x1 x 1 S 3 x ϕx 1, x 2 ) 2 x 2 ψx 1, x 2 ) { ) } x1 x S 3, ϕx 1, x 2 ) x 3 ψx 1, x 2 ) x 2 S x1 x 2 ) S 3

39 18.6. DER INTEGRALSATZ VON GAUSS 139 : Anschulich beschreibt 1 die untere Begrenzungsfläche von S, 2 die obere Begrenzungsfläche, und 3 ist der vertikle evtl. leere) Rnd zwischen diesen beiden Begrenzungsflächen, mn vergleiche hierzu uch die Abbildung ψx) ϕx) x 2 S 3 x 1 Abbildung 18.7: Zum Beweis des Integrlstzes von Guss Wir bezeichnen die Normleneinheitsvektoren zu den Flächen 1, 2 und 3 im Folgenden jeweils mit n 1), n 2) und n 3). Für die dritte Komponente dieser Normleneinheitsvektoren gilt wegen Beispiel dbei 1 3 ) 2 ), flls x 1, 2 ϕ 1 + x 1 + ϕ x 2 n 1) n 2) 3 1 ) 2 ), flls x 2, 2 ψ 1 + x 1 + ψ x 2 n 3) 3, flls x 3. Dmit erhlten wir unter Verwendung des Huptstzes der Differentil und Integrlrechnung sowie unter Ausnutzung der Ttsche, dss S ein Normlbereich ist, f 3 x)dx x 3 S S 3 ψx1,x 2 ) ϕx 1,x 2 ) x 3 f 3 x)dx 3 dx 1, x 2 )