Mathematik III. Vorlesung 85. Riemannsche Mannigfaltigkeiten

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1 Prof Dr H Brenner Osnbrück WS 2010/2011 Mthemtik III Vorlesung 85 Riemnnsche Mnnigfltigkeiten Georg Friedrich Bernhrd Riemnn ( ) Die Kugeloberfläche einer Kugel mit Rdius r besitzt den Flächeninhlt 4πr 2 Dies ist ein klssisches Resultt, doch wie knn mn den Flächeninhlt einer solchen zweidimensionlen Mnnigfltigkeit präzise erfssen? Um die Mß- und Integrtionstheorie der vorhergehenden Vorlesungen nwenden zu können, bruchen wie eine 2-Form uf der Fläche Über den Begriff der Riemnnschen Metrik werden wir zeigen, dss es uf Flächen, die im dreidimensionlen euklidischen Rum eingebettet sind, ein ntürliches Flächenmß gibt, mit dem mn den Fächeninhlt usrechnen knn Die grüne Oberfläche erbt vom umgebenden euklidischen Rum ds Sklrprodukt Dies erlubt druf eine sinnvolle Flächenmessung Definition 851 Eine differenzierbre Mnnigfltigkeit M heißt riemnnsche Mnnigfltigkeit, wenn uf jedem Tngentilrum T P M, P M, ein Sklrprodukt, P erklärt ist derrt, dss für jede Krte α :U V mit V R n die Funktionen (für 1 i,j n) g ij :V R, Q g ij (Q) = T(α 1 )(e i ),T(α 1 )(e j ) α 1 (Q), 1

2 2 C 1 -differenzierbr sind 1 Die uf den Krten definierten Funktionen g ij fsst mn zu einer Mtrix (g ij ) 1 i,j n zusmmen, die mn uch die metrischen Fundmentlmtrix (oder den metrischen Fundmentltensor) nennt Diese Mtrix ist in jedem Punkt Q V symmetrisch und positiv definit Wichtig ist uch die Determinnte dvon, lso g = det(g ij ) 1 i,j n, die ebenflls stetig differenzierbr ist und die nch Korollr 472 überll positiv ist Ds einfchste Beispiel einer riemnnschen Mnnigfltigkeit ist der euklidische Rum R n mit dem Stndrdsklrprodukt (und überhupt jeder euklidische Rum) sowie eine jede offene Teilmenge dvon Wichtiger ist, dss uch jede bgeschlossene Untermnnigfltigkeit einer riemnnschen Mnnigfltigkeit wieder eine riemnnsche Mnnigfltigkeit ist Ddurch ergeben sich viele nichttrivile Beispiele, wie bspw Flächen im R 3 wie die Sphäre oder der Torus Stz 852 Sei N eine riemnnsche Mnnigfltigkeit und M N eine bgeschlossene Untermnnigfltigkeit Dnn ist M ebenflls eine riemnnsche Mnnigfltigkeit Beweis Für jeden Punkt P M ist T P M T P N ein Untervektorrum nch Stz 793 Dher induziert ds Sklrprodukt, uf T P N ein Sklrprodukt uf T P M Für die stetige Differenzierbrkeit des Sklrproduktes sei θ :W W eine Krte von N mit W R n, die eine Bijektion α zwischen M W und R m {0} W induziere Unter dieser Identifizierung ist T P M = R m R n mit den Bsisvektoren e i,e j, i,j m Für diese Vektoren gilt dnn für Q R m {0} W die Gleichheit h ij (Q) = T(α 1 )(e i ),T(α 1 )(e j ) α 1 (Q) = T(θ 1 )(e i ),T(θ 1 )(e j ) θ 1 (Q) = g ij (Q), d j ds Sklrprodukt uf T α 1 (Q)M einfch die Einschränkung des Sklrproduktes uf T α 1 (Q)N ist und d α die Einschränkung von θ ist 1 Viele Autoren fordern, dss eine riemnnsche Mnnigfltigkeit und diese Funktionen von der Klsse C sind

3 3 Vektorfelder und 1-Formen uf einer riemnnschen Mnnigfltigkeit Böse Zungen behupten, dss Physiker nicht den Unterschied zwischen Vektorfeldern und 1-Formen kennen Auf riemnnschen Mnnigfltigkeiten entsprechen sich in der Tt diese Objekte Lemm 853 Es sei M eine riemnnsche Mnnigfltigkeit Dnn ist die Abbildung mit V(M) E 1 (M), F ω F, (ω F (P))(v) := F(P),v P, wobei P M ist und v einen Tngentenvektor us T P M bezeichnet, eine Isomorphie zwischen den Vektorfeldern und den 1-Formen uf M Beweis Für jeden Punkt P M ist die Abbildung T P M T PM, u u, P, nch Lemm 461 eine Isomorphie Drus folgt direkt die globle Aussge Bemerkung 854 Auf einem euklidischen Vektorrum entsprechen sich die Vektorfelder und die 1-Differentilformen gemäß Lemm 853 Ds gleiche gilt für eine bgeschlossene Untermnnigfltigkeit M R n, und Differentilformen uf R n lssen sich uf M einschränken Dher knn mn uch ein Vektorfeld F uf R n zu einem Vektorfeld uf M zurückziehen: mn betrchtet die zugehörige Differentilform uf R n, die zurückgezogene Differentilform uf M und dzu ds zugehörige Vektorfeld uf M Geometrisch gesprochen wird dbei einem Punkt P M ber nicht die Richtung F(P) zugeordnet, d dieser Vektor im Allgemeinen gr nicht zum Tngentilrum T P M T P R n = R n gehört Stttdessen muss mn die orthogonle Projektion von F(P) uf T P M nehmen (hierbei wird lso die euklidische Struktur verwendet) Beispiel 855 Als Beispiel zu Bemerkung 854 betrchten wir den Einheitskreis S 1 R 2 ls bgeschlossene Untermnnigfltigkeit und ds konstnte Vektorfeld e 1 uf R 2, ds lso jedem Punkt P R 2 den ersten Stndrdvektor ls Richtung zuordnet Die zugehörige Differentilform ist dx, die e 1 uf 1 und e 2 uf 0 bbildet Die uf S 1 zurückgezogene Differentilform wird ebenflls mit dx bezeichnet und besitzt die gleiche Wirkungsweise, llerdings eingeschränkt uf den jeweiligen Tngentilrum T P S 1 R 2 Ds zu dieser Differentilform uf S 1 gehörige Vektorfeld H( berechnet sich nch Lemm 853 folgendermßen: für jeden Punkt P = S b) 1 und jeden Vektor

4 4 v = ( v1 ) T v P M muss 2 H(P),v = dx(p)(v) = v 1 gelten, wobei H(P) ( T) P M sein muss Der Tngentilrum ist eindimensionl und wird von ufgespnnt Dher besizt H die Gestlt b ( ) b H(P) = c und us der Bedingung H(P),v = c ( ) ( ) b b,d = cd = bd folgt direkt c = b Ds zurückgezogene Vektorfeld ist demnch ( ( ) b H( ) = b b) Die knonische Volumenform uf einer orientierten riemnnschen Mnnigfltigekeit Definition 856 Es sei M eine orientierte riemnnsche Mnnigfltigkeit der Dimension n Zu P M sei ω P diejenige lternierende Form uf T P M (bzw ds entsprechende Element us n TP M), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormlbsis den Wert 1 zuordnet Dnn heißt die n-differentilform n M T M, P ω P, die knonische Volumenform uf M Ds zugehörige Mß zu dieser positiven Form heißt knonisches Mß uf M Wir bezeichnen es mit λ M Demnch ist λ M (M) ds Gesmtmß (der Flächeninhlt, ds Volumen) von M Lemm 857 Es sei M eine orientierte riemnnsche Mnnigfltigkeit und ω die knonische Volumenform Es sei α :U V eineorientiertekrtemitder metrischenfundmentlmtrixg = (g ij ) 1 i,j n und g = det G Es sei T U eine messbre Teilmenge Dnn ist ω = gdx1 dx n = gdλ n T α(t) α(t)

5 Beweis Gemäß der Definition müssen wir die Differentilform (α 1 ) ω für jedenpunktq V berechnendieseformbesitztdiegestltc Q dx 1 dx n und ist durch ihren Wert uf e 1 e n festgelegt Es ist (α 1 ) ω(e 1 e n ) = ω(t Q (α 1 )(e 1 ) T Q (α 1 )(e n )) Nch Definition der metrischen Fundmentlmtrix ist Nch Stz 688 ist g ij (Q) = T Q (α 1 )(e i ),T Q (α 1 )(e j ) α 1 (Q) ω(t Q (α 1 )(e 1 ) T Q (α 1 )(e n )) = (det( T Q (α 1 )(e i ),T Q (α 1 )(e j ) ) 1 i,j n ) 1/2 = g(q) Stz 858 Es sei G R m offen und sei M G eine n-dimensionle bgeschlossene Untermnnigfltigkeit, die orientiert und mit der induzierten riemnnschen Struktur und der knonischen Volumenform ω versehen sei Es sei W R n offen und es sei ϕ :W U ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge U M 2 Dnn ist ϕ 1 eine Krte von M, und uf W gilt ϕ (ω U ) = (det( ϕ m, ϕ m ) 1 i,j n ) 1/2 dx 1 dx n = (det( ++ ϕ m ϕ m ) 1 i,j n ) 1/2 dx 1 dx n Beweis Die zweite Gleichung ergibt sich einfch durch Auswertung des StndrdsklrproduktesufdemR m NchDefinitiondermetrischenFundmentlmtrix ist für Q W g ij (Q) = T Q (ϕ)(e i ),T Q (ϕ)(e j ) ϕ(q) = T Q (ϕ)(e i ),T Q (ϕ)(e j ) = (Dϕ) Q (e i ),(Dϕ) Q (e j ) (Q) (Q) =, ϕ m ϕ (Q) m (Q), djdertngentilrumt ϕ(q) M dsinduziertesklrproduktdesr m trägt, d die Tngentilbbildung im loklen Fll ds totle Differentil ist und d 2 Mn sgt uch, dss ϕ eine (diffeomorphe) Prmetrisierung von U ist 5

6 6 mn dessen Einträge mit den prtiellen Ableitungen usdrücken knn Dher ergibt sich die Behuptung us Lemm 857 Beispiel 859 Es sei I R ein offenes Intervll und ϕ :I R m eine reguläre differenzierbre Kurve, es sei lso überll ϕ (t) 0 Ferner sei ngenommen, dss ϕ injektiv und dss ds Bild M = ϕ(i) von I eine eindimensionle bgeschlossene Untermnnigfltigkeit einer offenen Teilmenge U R m ist Dnn gilt nch Stz 858 für die knonische Form ω von M (bzw ds knonische Mß, ds in diesem Fll ein Längenmß ist) die Beziehung ϕ 1(t) ϕ 1(t) ϕ ω = ( ϕ m(t), ϕ m(t) ) 1/2 dt = (ϕ 1(t)) 2 ++(ϕ m(t)) 2 dt = ϕ (t) dt Somit gilt bei I =],b[ für ds Mß (lso die Länge) von M die Formel b λ M (M) = (ϕ 1 (t)) 2 ++(ϕ m(t)) 2 (t)dt Dies stimmt mit der in Stz 416 über die Theorie der rektifizierbren Kurven erzielten Formel überein

7 Abbildungsverzeichnis Quelle = Georg Friedrich Bernhrd Riemnnjpeg, Autor = Benutzer Ævr Arnfjörð Bjrmson uf Commons, Lizenz = PD 1 Quelle = Sphere with three hndlespng, Autor = Benutzer Oleg Alexndrow uf Commons, Lizenz = PD 1 7