Technische Mechanik 2 Festigkeitslehre

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2 Russell C. Hibbeler echnische Mechnik Festigkeitslehre ehr- und Übungsbuch 8., ktulisierte uflge Übersetzung us dem meriknischen: Nicolet Rdu-Jürgens, Frnk Jürgens, Frnk ngenu Fchliche Betreuung und Erweiterungen: Jörg Wuer, Wolfgng Seemnn Higher Eduction München Hrlow msterdm Mdrid Boston Sn Frncisco Don Mills Meico City Sydney rt of Person lc worldwide

3 6.4 Verdrehwinkel ösung Inneres orsionsmoment Ds innere orsionsmoment im Segment B des Pfostens ist konstnt. us dem Freikörerbild, bbildung 6.b, erhlten wir M 0 ; F F B 0 z B F 100 N 0,15 m F.. F B 0 Nm 0 10 Nmm Die Größe des orsionswiderstndes in dem vergrbenen Segment BC knn us dem Momentengleichgewicht des gesmten Pfostens bestimmt werden, bbildung 6.c: B (b) M 0 ; F m l 1 0 z F m l 1 m 50 Nmm/mm ( 100N)( 00mm) 600mm F.. F Somit erhlten wir us dem Freikörerbild eines n der Stelle geschnittenen bschnittes des Pfostens innerhlb des Bereichs BC, bbildung 6.d, M 0 ; BC m 0 z l BC m F l 1 Mimle Schubsnnung Die größte Schubsnnung tritt im Bereich B uf, denn ds orsionsmoment ist dort m größten, und I ist für den Pfeiler konstnt. Mit Hilfe der Formel der orsionsschubsnnung erhlten wir d τ Br B m 4 I d ( 0( 10 ) Nmm)( 5mm) ( 5mm) 1, N/mm Verdrehwinkel Der Verdrehwinkel des oberen Endes reltiv zum unteren Ende des Pfostens knn bestimmt werden, denn er ist unten eingesnnt und dreht sich gerde noch nicht. Beide Segmente B und BC verdrillen sich und wir erhlten l1 l1 B BC B l d l m φ + + d IG IG IG IG 0 0 l m 1 l m l B 1 B 1 l 0 1 IG IG IG IG 4 ( 0) m Bl+ l Nmm 900mm + 5Nmm/mm 600mm 4 d 4 G ( 5mm) 40( 10 ) N/mm² 0,00147 rd m l 1 (c) BC m (d) bbildung 6. l 1 95

4 6 orsion Beisiel 6.10 Die in bbildung 6. drgestellte konische Welle besteht us einem Mteril mit dem Schubmodul G. Bestimmen Sie den Verdrehwinkel ihres Endes B, wenn die Welle einem Drehmoment M usgesetzt ist. M r M r y M r 1 B r () bbildung 6. (b) ösung Inneres orsionsmoment Direkt us der nschuung oder systemtisch mittels Freikörerbild, bbildung 6.b, ergibt sich M. r 1 r r 1 B r r r (c) r Verdrehwinkel Hier verändert sich ds olre Flächenträgheitsmoment entlng der Wellenlänge und deswegen müssen wir es ls Funktion der Koordinte beschreiben. Der Rdius r der Welle n der Stelle knn us bbildung 6.c bestimmt werden. Wir erhlten r r1 r r r r 1 r r Somit ergibt sich n der Stelle r r 1 I ( ) r 4 Unter nwendung der Gleichung (6.14) erhlten wir d d φ G r r1 0 r r1 r G r 96

5 6.5 Sttisch unbestimmt gelgerte torsionsbensruchte Buteile Nch usführung der Integrtion mit Hilfe einer Integrltfel ergibt sich 1 φ G r r r r 1 r G ( r r1 ) r1 r 0 bzw. φ r + r1r + r1 G r1r Bechten Sie, dss zur eilüberrüfung des Ergebnisses für r1 r r sich der usdruck φ 4 I r G G ( ) ergibt, der Gleichung (6.15) entsricht. 6.5 Sttisch unbestimmt gelgerte torsionsbensruchte Buteile Eine torsionsbensruchte Welle knn ls sttisch unbestimmt klssifiziert werden, wenn ds Momentengleichgewicht um die Wellenchse nicht usreicht, lle unbeknnten orsionsmomente zu bestimmen. Ein Beisiel dieser Problemktegorie ist in bbildung 6.4 ngegeben. Wie im Freikörerbild drgestellt, bbildung 6.4b, sind die Rektionsmomente n den gern und B unbeknnt. Die folgende Bedingung muss erfüllt sein: MC M MB 0 M 0 ; M MC C MC C MB BC B () (b) bbildung

6 6 orsion D hier nur eine Gleichgewichtsbedingung eistiert, ber zwei Unbeknnte vorliegen, ist dieses Problem sttisch unbestimmt. Dmit wir eine ösung erhlten, benutzen wir im Weiteren die Berechnungsmethode, die wir bereits in bschnitt 4.4 diskutiert hben. Die erforderliche Verträglichkeitsbedingung oder kinemtische Bedingung verlngt, dss der gegenseitige Verdrehwinkel der beiden Wellenenden gleich null sein muss, denn die Enden sind fest eingesnnt. Deshlb wird φ B 0 M C (c) BC MB gefordert. Dmit wir diese Gleichung hinsichtlich der unbeknnten orsionsmomente uswerten können, nehmen wir n, dss sich ds Mteril liner-elstisch verhält, so dss die st-verformungs-beziehung durch φ (I G) usgedrückt werden knn. Mit der Kenntnis, dss ds innere orsionsmoment im Segment C ls C M und im Segment CB ls BC M B berechnet werden knn, bbildung 6.4c, liefert die Komtibilitätsgleichung ( ) M M C C M BC 0 I G I G bbildung 6.4 wobei I G ls konstnt ngenommen wird. Einsetzen von M B M C M führt uf ( ) M M C C M BC 0 I G I G oder M MCBC + C BC Die ösung der beiden Gleichungen für die Rektionsmomente M und M B liefert mit C BC ds Ergebnis BC C MC und M C BC C Bechten Sie, dss jedes dieser Rektionsmomente liner mit der änge C oder BC des ngreifenden Drehmoments nsteigt oder bnimmt. 98

7 6.5 Sttisch unbestimmt gelgerte torsionsbensruchte Buteile ösungsweg Die unbeknnten orsionsmomente werden in sttisch unbestimmt gelgerten Wellen durch Erfüllung der Gleichgewichtsbedingung, der Komtibilitätsbedingung und des orsionsmomenten-verdrehungs-zusmmenhngs für die Welle ermittelt. Gleichgewichtsbedingung Zeichnen Sie ein Freikörerbild der Welle, um lle wirkenden orsionsmomente zu erkennen. Stellen Sie dnch die Gleichgewichtsbedingung der Momente um die Wellenchse uf. Komtibilitätsbedingung Untersuchen Sie zur ufstellung der Komtibilitätsbedingung, wie die Welle sich verdreht, wenn uf sie äußere Belstungen einwirken, und berücksichtigen Sie, wie die ger die Verdrehung der Welle behindern. Drücken Sie die Komtibilitätsbedingung durch die von den Rektionsmomenten verurschten Verdrehungen us und wenden Sie dnn die orsionsmomenten-verdrehungs-reltion n, z.b. φ (I G), um die unbeknnten orsionsmomente mit den unbeknnten Verdrehungen in Beziehung zu setzen. ösen Sie die Gleichgewichtsbedingung sowie die Komtibilitätsgleichungen für die unbeknnten Rektionsmomente. Wenn eine der berechneten Größen einen negtiven Wert nnimmt, bedeutet dies, dss im Freikörerbild die ngenommene Drehrichtung der betreffenden Größe umzukehren ist. 99

8 6 orsion Die in bbildung 6.5 drgestellte Vollwelle us Sthl ht den Durchmesser d. Bestimmen Sie die beiden Rektionsmomente n den festen Einsnnungen und B, wenn n der Welle zwei äußere Drehmomente wirken. MC 800 Nm, MD 500 Nm, l1 0, m, l 1,5 m, l 0, m, d 0 mm Beisiel 6.11 MD MD D M l MC MC l C B l1 () MB (b) ösung BC M MD MB Gleichgewichtsbedingung Ds Freikörerbild, bbildung 6.5b, zeigt, dss ds Problem sttisch unbestimmt ist, denn es gibt nur eine Gleichgewichtsbedingung in Form eines Momentengleichgewichts um die ängschse mit den beiden Unbeknnten M und MB: M 0 ; MB MC MD M 0 (1) M MC MD MB CD M D (c) bbildung 6.5 Komtibilitätsbedingung D die Enden der Welle fest eingesnnt sind, muss der gegenseitige Verdrehwinkel der beiden Wellenenden gleich null sein. Somit knn die Komtibilitätsgleichung wie folgt geschrieben werden: φ B 0 Diese Bedingung knn hinsichtlich der unbeknnten Drehmomente durch nwendung der Reltion φ (IG) usgedrückt werden. Es gibt hier drei Bereiche der Welle, in denen ds innere orsionsmoment konstnt ist. Dies sind die Bereiche BC, CD und D. Die Freikörerbilder in bbildung 6.5c mchen klr, wie die inneren Momente in den einzelnen Bereichen der Welle wirken. Unter nwendung der in bschnitt 6.4 ufgestellten Vorzeichenvereinbrung erhlten wir M B l1 ( M + M D ) l M l I G I G I G () Mit den Gleichungen (1) in () liegen zwei Gleichungen für die beiden Unbeknten M und MB vor. Durch uflösen erhält mn MB M C ( l + l ) M D l 800 Nm (1,8 m ) 500 Nm (0,m ) l1 + l + l m 645Nm M MC MD MB 800 Nm 500 Nm 645 Nm 45 Nm Ds negtive Vorzeichen zeigt n, dss M entgegengesetzt der in bbildung 6.5b ngenommenen Richtung wirkt. 00

9 6.5 Sttisch unbestimmt gelgerte torsionsbensruchte Buteile Die in bbildung 6.6 drgestellte Welle besteht us einem Sthlrohr mit einem Messingkern. Stellen Sie die Schubsnnungsverteilung entlng einer rdil verlufenden inie in der Querschnittsfläche bei Einwirkung eines Drehmoments M grfisch dr. M 50 Nm, l 1, m, ri 10 mm, r 0 mm, GSt 80 GP, GMe 6 GP Beisiel 6.1 MMe B MSt r φ l ri () M (b) M bbildung 6.6 ösung Gleichgewichtsbedingung Ds Freikörerbild der Welle ist in bbildung 6.6b drgestellt. Ds Rektionsmoment n der Wnd teilt sich uf in einen nteil MSt im Sthlrohr und einen nteil MMe im Messingkern. Es ergibt sich folgende Gleichgewichtsbedingung: M 0 ; MSt MMe M 0 (1) Komtibilitätsbedingung Der Verdrehwinkel m Ende muss sowohl für ds Sthlrohr ls uch für den Messingkern gleich groß sein, denn beide Mterilien sind rutschfrei miteinnder verbunden. Somit ist φ φst φme Durch nwendung der Belstungs-Verdrehungs-Reltion φ (IG) erhlten wir M St l M l Me I GSt I GMe M St (r M St l 4 r ) GSt 4 i M Me l ri4 GMe M Me ( r4 ri4 ) GSt () ri4 GMe Durch Einsetzen von () in (1) folgt MMe M GSt ( r4 ri4 ) GMe ri4 M M Me 1+ GSt ( r4 ri4 ) GMe ri4 M Me 50 Nm 7,8 Nm 80 GP ( )mm GP 104 mm 4 MSt M Me 50 Nm 7,8 Nm 4,7 Nm 01

10 6 orsion r (τst ) min (τ Me ) m (τ St ) m Diese Momente wirken über die gesmte änge der Welle, denn es gibt keine weiteren äußeren Drehmomente, die zwischen den Enden ngreifen. Die Schubsnnung im Messingkern ändert sich von null m Mittelunkt bis zu ihrem Mimum n der Übergngsstelle, wo der Messingkern mit dem Sthlrohr in Kontkt ist. Mit Hilfe der Formel für die orsionsschubsnnung wird τ Me r Me ri Me m I 4 r i τ 4,6 N/mm 4,6 MP Me m Für den Sthl liegt die minimle Schubsnnung ebenflls n dieser Übergngsstelle, τ 10,0 N/mm 10,0 MP ( 780Nmm)( 10mm) ( 10mm) 4 MSt r MSt ri τ St min I 4 4 ( r ri ) St min ( 4,7Nm)( 10 mm/m)( 10mm) 4 4 (( 0mm) ( 10mm) ) und die mimle Schubsnnung n der äußeren Mntelfläche ist MSt r MSt r τ St m I 4 4 ( r ri ) ( 4,7Nm)( 10 mm/m)( 0mm) 4 4 (( 0mm) ( 10mm) ) r i Schubsnnungsverteilung (c) γ St γ Me γ m Gleitungsverteilung (d) bbildung 6.6 τ 0,60 N/mm 0,60 MP Die Ergebnisse sind in bbildung 6.6c grfisch drgestellt. chten Sie uf den Srung der Schubsnnung n der Übergngsstelle von Messing zu Sthl. Ds ist zu erwrten, denn die Mterilien hben unterschiedliche Schubmodule, d.h. Sthl ist steifer ls Messing (G St G Me ) und liefert demzufolge die größere Schubsnnung n dieser Übergngsstelle. Obwohl die Schubsnnung hier unstetig ist, gilt dies für die Verzerrung nicht. Vielmehr ist diese dort für beide Mterilien gleich. Ds knn mit Hilfe des Hooke schen Gesetzes γ τ G verdeutlicht werden. n der Übergngsstelle, bbildung 6.6d, ist die Gleitung bzw. d.h. St m ( τ ) Me 4,6N/mm² γ m Me 6 10 N/mm² G Me ( τ ) St min 10,0N/mm² γ St N/mm² G St 0, rd 0, rd γ Me γ St wie behutet. 0

11 *6.6 orsion von Stäben mit nichtkreisförmigem Querschnitt *6.6 orsion von Stäben mit nichtkreisförmigem Querschnitt In bschnitt 6.1 wurde gezeigt, dss sich bei Einwirkung eines äußeren Drehmoments uf einen Stb mit kreisförmigem Querschnitt lso einen chsensymmetrischen Stb die Gleitungen liner von null in der Mitte bis zu ihrem Mimum n der äußeren Mntelfläche ändern. ufgrund der Gleichförmigkeit der Gleitung in llen Punkten uf demselben Rdius deformiert sich der Querschnitt nicht; vielmehr bleibt er eben und verdreht sich ls Gnzes. Stäbe mit nichtkreisförmigem Querschnitt sind jedoch nicht chsensymmetrisch. Weil nun die Schubsnnung in einer sehr komleen Weise über den Querschnitt verteilt ist, werden diese sich verwölben, wenn sich die Stbenden gegenseitig verdrehen. Dies ist ersichtlich, wenn mn beobchtet, wie sich die Gitternetzlinien uf einem Stb mit einem qudrtischen Querschnitt deformieren, wenn dieser tordiert wird, bbildung 6.7. Diese Deformtion führt in der Konsequenz zu einer erheblich erschwerten orsionsberechnung von nichtkreisförmigen Stäben und wird hier nicht weiter betrchtet. chten Sie uf die Verformung des qudrtischen Flächenelements, wenn der Gummistb durch ein Drehmoment belstet wird. Unverformt bbildung 6.7 Verformt Mit Hilfe einer uf der Elstizitätstheorie bsierenden Berechnungsmethode ist es llerdings möglich, die Schubsnnungsverteilung innerhlb eines Stbes mit qudrtischem Querschnitt zu bestimmen. Beisiele dfür, wie sich die Schubsnnung in Richtung zweier rdil verlufender inien n einem Stb verändert, sind in bbildung 6.8 drgestellt. D sich die Schubsnnungsverteilungen in einer sehr komlizierten Weise ändern, führen die ddurch erzeugten Gleitungen zu einer Verwölbung des Querschnittes, wie dies in bbildung 6.8b zu sehen ist. Bechten Sie, dss die Eckunkte des Stbes snnungsfrei sind und demzufolge dort uch die Gleitung verschwindet. Den Grund hierfür knn mn erkennen, indem ein n diesem Punkt befindliches 0

12 6 orsion Volumenelement betrchtet wird, bbildung 6.8c. Dmit über die Seiten des Elements ein Beitrg zum orsionsmoment geliefert wird, muss dort eine Schubsnnung τ bzw. τ' wirken. Dnn muss ber uch n der Mntelfläche eine korresondierende Schubsnnung τ bzw. τ' vorliegen. D die Mntelflächen schubsnnungsfrei sind, muss demnch τ 0 bzw. τ' 0 gelten. m belle 6.1 Querschnittform τm φ Qudrt Schubsnnungsverteilung entlng rdiler inien () 4,81 7,10 4G G b ( + b ) b G Gleichseitiges Dreieck Ellise b b Verwölbung der Querschnittsfläche (b) m (c) bbildung Die Ergebnisse der Berechnung für einen qudrtischen Querschnitt sind zusmmen mit weiteren Resultten us der Elstizitätstheorie für Stäbe mit dreieckigem und ellitischem Querschnitt in belle 6.1 drgestellt. In llen Fällen tritt die mimle Schubsnnung n einer Stelle m Rnd uf, die sich m nächsten zur Stbchse befindet. In belle 6.1 sind diese Stellen ls Punkte uf den Querschnitten gekennzeichnet. Weiterhin sind die Formeln für den gegenseitigen Verdrehwinkel der Endquerschnitte jedes Stbes ufgeführt. Durch die Erweiterung der Ergebnisse uf Stäbe mit beliebigem Querschnitt knn uch gezeigt werden, dss ein Stb mit einem kreisförmigen Querschnitt bei orsion m effektivsten ist, denn bei übereinstimmender Drehmomentenbelstung tritt sowohl eine kleinere mimle Schubsnnung ls uch ein kleinerer Verdrehwinkel uf ls bei einem entsrechenden Stb mit gleich großer, jedoch nichtkreisförmiger Querschnittsfläche.

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