Rahmen und Bogen

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Steffen Franke
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1 Gekrümmte Blken werden ls Bogen bezeichnet. Rhmen sind Trgwerke, die us strr verbundenen gerden Blken oder Bogen zusmmengesetzt sind. Die Schnittlsten können wie bei gerden Blken us Gleichgewichtsbetrchtungen m geschnittenen System ermittelt werden. Die Differenzilbeziehungen zwischen Streckenlst, Querkrft und Biegemoment gelten nur für gerde Blken bschnitte. Prof. Dr. Wndinger 4. Schnittlsten bei Blken TM

2 Beispiel: Rhmen Gegeben: F, F, q0 = F/ Gesucht: C D E q 0 Lgerkräfte Schnittlsten B 2 Prof. Dr. Wndinger 4. Schnittlsten bei Blken TM

3 Lgerkräfte: M B =0 : 3 F 2 z +2q 0 2 =0 z = 3 2 F +q 0 = 5 2 F F x =0 : B x 2 q 0 =0 F C D E z x z B 2q 0 B x B x =2 q 0 =2 F 2 B z F z =0 : F z +B z =0 B z = z F= 3 2 F Prof. Dr. Wndinger 4. Schnittlsten bei Blken TM

4 Koordintensysteme: Jeder Blken ht sein eigenes Koordintensystem. Die xk -chse zeigt in Blkenrichtung und die z k -chse nch rechts. Blken CE: System 1 Blken EB: System 2 C x 1 D E z 3 x 3 z 1 x 2 z 2 B Blken D: System 3 Prof. Dr. Wndinger 4. Schnittlsten bei Blken TM

5 Schnittlsten: Blken CE, Bereich CD: 0< x 1 < F x 1 =0 : N (x 1 )=0 F z 1 =0 : F +Q z (x 1 )=0 C F x 1 X M y N Q z (x 1 )= F z 1 Q z M X =0 : M y (x 1 )+ x 1 F =0 M y ( x 1 )= x 1 F M y (0)=0, M y ()= F Prof. Dr. Wndinger 4. Schnittlsten bei Blken TM

6 Blken CE, Bereich DE: < x 1 <3 F x 1 =0 : N (x 1 )=0 F z1 =0 : F z +Q z ( x 1 )=0 Q z (x 1 )= z F = 3 2 F C F z 1 x 1 D X M y Q z N M X =0 : x 1 F ( x 1 ) z +M y ( x 1 )=0 z M y ( x 1 )= z +( z F ) x 1 = 3 2 x 1 F 5 2 F M y ()= ( ) F = F, M y(3 )= ( ) F =2 F Prof. Dr. Wndinger 4. Schnittlsten bei Blken TM

7 Blken EB: 0< x 2 <2 F x 2 =0 : N (x 2 )+ B z =0 z 2 E N ( x 2 )=B z = 3 2 F M y x 2 N F z 2 =0 : Q z (x 2 )+q 0 (2 x 2 ) B x =0 2 X Q z Q z (x 2 )= B x +q 0 (2 x 2 )= F x 2 B q 0 Q z (0)=0, Q z (2 )= 2 F B z B x M X =0 : M y ( x 2 )+(2 x 2 ) B x 1 2 q 0 (2 x 2 ) 2 =0 Prof. Dr. Wndinger 4. Schnittlsten bei Blken TM

8 M y ( x 2 )=F ( 2 x 2 )[ ( 2 x 2 )] = 1 2 F ( 2 x 2 )( 2+ x 2 ) M y (0)=2 F, M y (2 )=0 Blken D: 0< x 3 < F x 3 =0 : N (x 3 ) z =0 z 3 D N ( x 3 )= z = 5 2 F N x 3 F z 3 =0 Q z ( x 3 )=0 M X =0 M y (x 3 )=0 M y X z Q z Prof. Dr. Wndinger 4. Schnittlsten bei Blken TM

9 Q z + 3F/2 M y + 2F -F - N - -F F - -5F/2 + 3F/2 Prof. Dr. Wndinger 4. Schnittlsten bei Blken TM

10 Beobchtungen: n den Verbindungsstellen der Blken sind Normlkrft und Querkrft unstetig. Ds Biegemoment ist stetig. Prof. Dr. Wndinger 4. Schnittlsten bei Blken TM

11 Beispiel: Bogen F r α B Gegeben: Gesucht: r, F α = 30 Lgerkräfte Schnittlsten Prof. Dr. Wndinger 4. Schnittlsten bei Blken TM

12 Lgerkräfte: F x =0 : F x =0 F x x =F z r M =0 : 2 r B z F r sin(α)=0 x z α B z B B z = 1 2 F sin(α)=1 2 sin(30 )= 1 4 F F z =0 : z B z =0 z =B z = 1 4 F Prof. Dr. Wndinger 4. Schnittlsten bei Blken TM

13 Koordintensystem: Es wird ein mitlufendes Koordintensystem verwendet. Die s-koordinte wird entlng des Bogens gemessen. Die t-chse ist tngentil zur Bogenchse. s t n φ s=r ϕ r B Die n-chse steht senkrecht uf der t-chse und zeigt nch rechts. Die y-chse zeigt us der Zeichenebene herus Prof. Dr. Wndinger 4. Schnittlsten bei Blken TM

14 Schnittlsten: Die Normlkrft N zeigt in Richtung der t-chse. Die Querkrft Qn zeigt in Richtung der n-chse. Ds Moment My dreht um die y-chse. F s M y Q n N φ n t m positiven Schnittufer zeigen positive Schnittlsten in positive Koordintenrichtungen. Prof. Dr. Wndinger 4. Schnittlsten bei Blken TM

15 Bereich 1: 0<ϕ<30 F t =0 : N (ϕ) z cos (ϕ) x sin(ϕ)=0 M y X t N Q n N (ϕ)= ( 1 4 cos(ϕ)+sin(ϕ) ) F F n =0 : Q n (ϕ)+ z sin(ϕ) x cos(ϕ)=0 x φ z n r φ Q n (ϕ)= ( cos(ϕ) 1 4 sin (ϕ) ) F M X =0 : M y (ϕ)+(1 cos(ϕ))r z r sin(ϕ) x =0 M y (ϕ)= ( sin(ϕ)+ 1 4 (cos (ϕ) 1) ) r F Prof. Dr. Wndinger 4. Schnittlsten bei Blken TM

16 Bereich 2: 30 <ϕ<180 F t =0 : N (ϕ) B z cos (ψ)=0 N (ϕ)= F 4 cos (ψ)= F 4 F n =0 : Q n (ϕ) B z sin(ψ)=0 cos (ϕ) φ N M y ψ X n r Q n t B z ψ B Q n (ϕ)= F 4 sin(ψ)= F 4 sin(ϕ) ψ=180 ϕ M X =0 : M y (ϕ)+(1 cos(ψ))r B z =0 M y (ϕ)= 1 4 (1 cos (ψ))r F= 1 4 (1+cos(ϕ))r F Prof. Dr. Wndinger 4. Schnittlsten bei Blken TM

17 Prof. Dr. Wndinger 4. Schnittlsten bei Blken TM

18 Beispiel: Rhmen q 0 B C 2 Gegeben:, q0 Gesucht: Schnittlsten Prof. Dr. Wndinger 4. Schnittlsten bei Blken TM

19 Lgerkräfte: 2q 0 x B z x z C C z M =0 : 2 q 0 +3 C z =0 C z = 2 3 q 0 Prof. Dr. Wndinger 4. Schnittlsten bei Blken TM

20 F x =0 : x =0 F z =0 : z +2 q 0 C z =0 z =2 q 0 C z = 4 3 q 0 Schnittlsten: Bereich B: 0<s 1 <2 F t =0 : N (s 1 )=0 q 0 z t 1 s 1 X M y n 1 Q n N M X =0 : s 1 z q 0 s M y (s 1 )=0 M y (s)=( 4 3 s s 1 ) q F n =0 : z +q 0 s 1 +Q n (s 1 )=0 Q n (s 1 )=( 4 3 s 1 ) q 0 Prof. Dr. Wndinger 4. Schnittlsten bei Blken TM

21 Bereich BC: 0<ϕ<π/2 F t =0 : N (ϕ) C z sin(ϕ)=0 N (ϕ)= 2 3 q 0 sin(ϕ) N s 2 X Q n M y t 2 F n =0 : Q n (ϕ) C z cos (ϕ)=0 φ n 2 C ϕ Q n (ϕ)= 2 3 q 0 cos (ϕ) C z M X =0 : M y (ϕ)+ (1 sin(ϕ))c z =0 s 2 ϕ= M y (ϕ)= 2 3 (1 sin(ϕ)) q 0 2 Prof. Dr. Wndinger 4. Schnittlsten bei Blken TM

22 Prof. Dr. Wndinger 4. Schnittlsten bei Blken TM

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