Grundlagen der Elektrotechnik 1 Übungsaufgaben zur Wechselstromtechnik mit Lösung

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1 Grundlagen der Elektrotechnik Aufgabe Die gezeichnete Schaltung enthält folgende Schaltelemente:.0kΩ, ω.0kω, ω 0.75kΩ, /ωc.0k Ω, /ωc.3kω. Die gesamte Schaltung nimmt eine Wirkleistung P mw auf. C 3 C 3 5. Ermitteln Sie 3 und (ösungshinweis: Nur kann Wirkleistung aufnehmen). ösung: Da nur Wirkleistung aufnehmen kann, lassen sich 3 eff und eff berechnen. Die Scheitelwerte der Spannungen und damit die Beträge der komplexen Amplituden 3 und sind dann jeweils das -fache. m folgenden wird jedoch auf diese Multiplikation der einfacheren echnung wegen verzichtet. Die Zeigerdiagramme und die Zahlenwerte sind daher alle um diesen Faktor zu klein! Damit gilt: P 3 / 3 Da und 3 die ersten Größen sind, die ermittelt werden, kann der Nullphasenwinkel einer der beiden Größen frei gewählt werden. Wegen des ohmschen Widerstandes hat dann die jeweils andere Größe denselben Nullphasenwinkel. Ausgangspunkt sei der Strom 3 3, dessen Nullphasenwinkel zu Null gesetzt wird, so daß 3 ein rein reeller Zeiger und in der Folge auch ein Zeiger auf der reellen Achse des Zeigerdiagramms liegt. Berechnung: 3 V P 0 V A.0 A.0V 3.0mA 3 V.0 0 A.0V. Entwicklung des Zeigerdiagramms für alle Spannungen und Ströme.3 Berechnung aller Spannungen und Ströme.. Zeigerdiagramm. Schritt: Ausgehend von 3 erfolgt mit dem Ohmschen Gesetz für nduktivitäten die Berechnung von 5 Damit kann zeichnerisch oder rechnerisch mit Hilfe der Kirchhoffschen Maschenregel die Spannung an der Serienschaltung von und ermittelt werden. Diese Spannung liegt auch an C an. 5 _ 3 Übungsblatt_B5_z.doc Fachhochschule München : hr

2 Grundlagen der Elektrotechnik Berechnung mit Hilfe des Zeigerdiagramms kΩ.0mA.0V Wegen des ohmschen Widerstands haben 3 und gleiche Phasenlage ω 0.75kΩ.0mA 3.0V Da bei der nduktivität die Spannung um 90 vorauseilt, steht dieser Zeiger nach oben. Die Maschenregel liefert: 5 + Die änge des Zeigers, also der Betrag ergibt sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras zu V 5.0V Berechnung mit Hilfe der komplexen Darstellung: Da als Ausgangspunkt der gesamten Darstellung der Nullphasenwinkel des Stroms 3 zu Null gewählt wurde, ist der komplexe Zeiger 3.0mA rein reell ohne maginärteil. Damit lassen sich die komplexen Spannungen 5, und mit der Kirchhoffschen Maschenregel berechnen: 3.0mA.0kΩ 5 3 jω.0ma j0.75kω + 5.0V + j3.0v.0v j3.0v Auch hier ergibt sich der Betrag der Spannung an der Kapazität C mit Hilfe von Pythagoras: [ e( )] + [ m( )] V 5.0V.. Zeigerdiagramm. Schritt: Mit Hilfe der Spannung läßt sich der Strom durch die Kapazität C ermitteln. Der Strom durch eine Kapazität kommt ja um eine Viertelperiode früher, als die Spannung. Deswegen muß der Stromzeiger senkrecht zu nach oben zeigen. Die änge des Zeigers muß mit Hilfe des Betrags der Spannung an der Kapazität berechnet werden. _ 5 _ 3 Übungsblatt_B5_z.doc Fachhochschule München : hr

3 Grundlagen der Elektrotechnik 3 Berechnung mit Hilfe des Zeigerdiagramms Die änge des Stromzeigers ergibt sich aus der änge des Spannungszeigers und des Betrags des kapazitiven Widerstandes ω C : ωc 5.0V.3kΩ.05mA Berechnung mit Hilfe der komplexen Darstellung: Der Stromzeiger ergibt sich aus der Division des Spannungszeigers j ωc.0v + j 3.0V und des kapazitiven Widerstandes von C mit.3kω j j.3kω.0v + j 3.0V.3mA + j 3.mA j ωc j.3kω Dies ist die Koordinate der Spitze des -Zeigers im obigen Zeigerdiagramm. Die änge des Stromzeigers ( Betrag des Stroms ) ergibt sich mit Pythagoras zu ma.05ma und liefert dasselbe Ergebnis, wie die Berechnung mit Hilfe der Zeigerdarstellung...3 Zeigerdiagramm 3. Schritt: Aus den bekannten Strömen und 3 3 _ läßt sich mit der Kirchhoffschen Knotenpunktregel der Eingangsstrom in die Gesamtschaltung ermitteln. Dazu müssen lediglich die beiden Zeiger addiert werden. 5 _ 3 Berechnung mit Hilfe des Zeigerdiagramms Der resultierende Stromzeiger kann zwar leicht gezeichnet werden. Da aber hier keine rechten Winkel mehr auftauchen, ist die Berechnung des Betrags unmittelbar nicht möglich. Bestenfalls läßt sich die änge direkt aus der Zeichnung ablesen. Hier ist daher für die weiteren Berechnungen der Weg über die komplexe echnung erforderlich. Übungsblatt_B5_z.doc Fachhochschule München : hr

4 Grundlagen der Elektrotechnik Berechnung mit Hilfe der komplexen Darstellung: Die komplexe Darstellung der Ströme und ist von oben her bekannt. Damit läßt sich die Koordinate der Spitze des -Zeigers berechnen: + 3.3mA + j 3.mA +.0mA.57mA + j 3.mA Der Betrag ergibt sich mit Pythagoras zu ma Der Nullphasenwinkel { } { } 3.0mA ϕ von folgt aus eal- und maginärteil mit der Tangensfunktion: m 3. ϕ arctg arctg. 5 e.57.. Zeigerdiagramm. Schritt: Nachdem nun der Eingangsstrom nach Betrag und Phase bekannt ist, lassen sich auch mit Hilfe des Zeigerdiagramms die Spannungen an der nduktivität und der Kapazität C ermitteln. Gegenüber dem eben ermittelten Stromzeiger eilt die Spannung an der nduktivität um 90 vor, die Spannung an der Kapazität um 90 nach. Mit dem Ergebnis für 3.0mA und den Widerstandswerten für und C lassen sich auch die ängen der beiden Spannungszeiger berechnen und in das Zeigerdiagramm eintragen. Berechnung mit Hilfe des Zeigerdiagramms Die änge des Spannungszeigers an der nduktivität wird berechnet aus dem Betrag des Eingangsstroms und dem induktiven Widerstand ω : ω 3.0mA.0kΩ 7.0V Analog ergibt sich der Spannungsabfall 3 längs der Kapazität C : mA.0kΩ 3.0V ωc 3 3 _ 5 _ 3 Übungsblatt_B5_z.doc Fachhochschule München : hr

5 Grundlagen der Elektrotechnik 5 Berechnung mit Hilfe der komplexen Darstellung: Die Koordinaten der Zeigerspitzen von und 3 ergeben sich aus der Multiplikation des komplexen Eingangsstroms mit den Blindwiderständen j ω und j ωc : j ω.57ma + j 3.mA j.0kω.8v + j 3. ( ) V j ωc j (.57mA + j 3.mA).0kΩ + 3.V j.57v 3..5 Zeigerdiagramm 5. Schritt: Die Eingangsspannung folgt aus der Kirchhoffschen Maschengleichung _ 3 _ 3 _ 5 3 _ 3 Berechnung mit Hilfe des Zeigerdiagramms: Die Eingangsspannung läßt sich nur im ahmen der Zeichengenauigkeit graphisch ermitteln. Dazu werden die Zeiger, 3 und aneinandergehängt. Die änge des Zeigers muß gemessen und mit dem Zeichnungsmaßstab in den Betrag der Eingangsspannung umgerechnet werden. Ebenso kann die Phasenlage ϕ der Eingangsspannung als Winkel zwischen dem Zeiger und der Abszisse ( reelle Achse) ermittelt werden. Genauer und einfacher ist hier aber die Berechnung mit Hilfe der obigen Ergebnisse. Berechnung mit Hilfe der komplexen Darstellung: V + j 3.V + 3.V j.57v +.0V + 0.7V + j.57v j 3.0V Übungsblatt_B5_z.doc Fachhochschule München : hr

6 Grundlagen der Elektrotechnik Für den mit dem Voltmeter meßbaren Betrag der Eingangsspannung gilt:.3v Der Nullphasenwinkel ϕ u der Spannung beträgt m{ }.57 ϕu arctg arctg e 0.7 { } Mit dem Nullphasenwinkel ϕ des Stroms aus..3 folgt für die Phasenverschiebung ϕ zwischen Eingangsspanung und Eingangsstrom : ϕ ϕ ϕ Gesamtimpedanz der Schaltung ösung mit Hilfe des Zeigerdiagramms Aus dem Zeigerdiagramm sind die Spannung, der Strom und die Phasenverschiebung ϕ bekannt. Damit ergibt sich die mpedanz Z und der komplexe Wider- stand Z j. e ( cos. + j sin. ) ösung mit Hilfe der komplexen echnung: Hier ist es zunächst zweckmäßiger, den komplexen Widerstand Z zu berechnen. Der m Z Betrag des komplexen Widerstandes Z ergibt dann die mpedanz, der Winkel ϕ arctg e des komplexen Widerstandes liefert die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom. Berechnung mit Hilfe des Zeigerdiagramms { } { Z} Z Z.3V.8kΩ 3.0mA.8 e j. kω.8kω ( j 0.83).3kΩ + j 0.3kΩ Berechnung mit Hilfe der komplexen echnung Z 0.7V +.57mA + j.57v j 3.mA ( j.57) (.57 j 3.) (.57 + j 3.) (.57 j 3.) j.3 (.3 + j 0.3) kω.8kω e Die geringfügigen nterschiede beim der mpedanz und der Phasenverschiebung ergeben sich aus den undungsfehlern Übungsblatt_B5_z.doc Fachhochschule München : hr

7 Grundlagen der Elektrotechnik 7 Aufgabe Eine euchtstoffröhre mit Vorschaltdrossel (nduktivität u.a. zur Strombegrenzung) wird dargestellt als Serienschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer idealen Spule (nduktivität ) ohne Verluste. Der ohmsche Widerstand nimmt eine Wirkleistung P 0W auf. Durch die euchtstoffröhre fließe ein Strom eff 0.0A. Die Gesamtschaltung liegt am Wechselstromnetz ( f 50Hz ) mit eff 30V.. Scheinleistung S S eff eff 30V 0.0A 9VA. eistungsdreieck Komplexe eistung aus der Wirkleistung P des ohmschen Verbrauchers und der Blindleistung Q der nduktivität: S P + jq P 0W S S P + Q, cos ϕ 0. 3 S 9VA S Q.3 Größe des ohmschen Widerstands und des Blindwiderstands ω ösungsweg: P : Strom und Wirkleistung sind bekannt. Daraus ergibt sich ω : Die Blindleistung ergibt sich aus dem eistungsdreieck. Mit dem Strom ergibt sich daraus der Blindwiderstand ω. Berechnung: P 0W : P 50Ω 0.0 A Q ω : Q ω ω 83.8 V A Q S P 9 0 var 8.8var ω 58Ω 0.0 A.3 Kompensation der induktiven Blindleistung ösungsweg: Zur Kompensation der induktiven Blindleistung gibt es folgende Möglichkeiten: - Serienschaltung einer Kapazität C - Parallelstellung einer Kapazität C C Bei der Serienschaltung einer Kapazität ändert sich der Strom durch die euchtstoffröhre. Daher ist diese Möglichkeit der Kompensation nicht möglich, da sich dann die eistung der euchtstoffröhre ändern würde. Somit bleibt die übliche Art der Kompensation parallel zum Verbraucher, bei der die Kapazität zur Kompensation an derselben Spannung liegt, wie der Verbraucher. Zur Kompensation muß die induktive Blindleistung des Verbrauchers Q gleich der kapazitiven Blindleistung Q C sein. C Übungsblatt_B5_z.doc Fachhochschule München : hr

8 Grundlagen der Elektrotechnik 8 Berechnung Variante An der Kapazität C liegt die Netzspannung 30V. Die kapazitive Blindleistung muß Q 8.8var sein. 30 V Q eff ω C eff C Ω eff ω C Q 8.8 V A 39 ω C Achtung! Der kapazitive Widerstand ω C ist nicht gleich dem induktiven Widerstand ω, obwohl die Blindleistungen beider Schaltelemente gleich groß sind! rsache hierfür ist, daß an C die volle Netzspannung liegt, während an nur ein Teil davon abfällt. Diese Zusammenhänge werden in der zweiten, etwas komplizierteren Berechnungsart deutlich. 38.9Ω ω C A s C µ F V π V s A 0 P S Q Berechnung Variante Die Serienschaltung der euchtstoffröhre mit Widerstand und der Drossel mit der nduktivität wird im folgenden dargestellt als komplexer Widerstand Z und als eitwert Y Z Q C Z + j ω 50Ω + j 58Ω Y Z ( 50 + j 58) ( 0.75 j.5) P + A j ω p V 0 3 Die Serienschaltung aus euchtstoffröhre und Drossel läßt sich also völlig äquivalent darstellen als Parallelschaltung eines anderen ohmschen Widerstandes P.33kΩ und einer anderen nduktivität mit dem Blindwiderstand ω 39Ω. A V ( 50 j 58) ( 50 + j 58) ( 50 j 58).33kΩ + A V j 39Ω p p Der Zahlenwert des induktiven Parallelwiderstandes ω p ist gleich dem oben berechneten Wert Übungsblatt_B5_z.doc Fachhochschule München : hr

9 Grundlagen der Elektrotechnik 9 des kapazitiven Kompensationswiderstandes. Daraus folgt, daß die Parallelschaltung ω C der Kapazität zur nduktivität P und zum ohmschen Widerstand P auf einen rein ohmschen Gesamtleitwert Y Y Y und damit natürlich auch ohmschen Gesamtwiderstand p.33kω führt, der an 30 V die / p jt p Y Y /p jt p jtc gleiche Wirkleistung aufnimmt, wie die euchtstoffröhre mit 50Ω an der niedrigeren Spannung 0.A 50Ω 00V. Die nebenstehenden Zeigerdiagramme zeigen die eitwerte vor- und nach der Kompensation. Vor der Kompensation Nach der Kompensation Übungsblatt_B5_z.doc Fachhochschule München : hr

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