Fit für die Prüfung Elektrotechnik Effektives Lernen mit Beispielen und ausführlichen Lösungen

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1 Jan Luiken ter Haseborg Christian Schuster Manfred Kasper Fit für die Prüfung Elektrotechnik Effektives Lernen mit Beispielen und ausführlichen Lösungen

2 18 1 Elektrische Gleichstromnetzwerke det(a 2 ) = a 11 y 1 a 13 a 21 y 2 a 23 a 31 y 3 a 33 = a 11 (y 2 a 33 a 23 y 3 ) y 1 (a 21 a 33 a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 y 3 y 2 a 31 ) Maschenstromverfahren Aufgabe 1.1 Das folgende lineare Netzwerk ist gegeben: U U U U 06 x 4 5 Bild Lineares Netzwerk a) Formen Sie die Stromquelle in die äquivalente Spannungsquelle U 01 um und fassen Sie Widerstände zusammen, um das Netzwerk zu vereinfachen. b) Stellen Sie mithilfe des Maschenstromverfahrens das Gleichungssystem für die unabhängigen Ströme, und auf (Matrixform). c) Der Widerstand x besteht aus einem Heizdraht. Dieser hat einen Durchmesser von d = 0,5 mm, eine Länge von l = 50 cm und besteht aus Konstantan mit einem spezifischen Widerstand von 9 = 0, U m. Bestimmen Sie die Leistung an dem Heizdraht, wenn der Strom = 500 ma beträgt. Gegeben ist die Lösungsmatrix eines anderen Netzwerkes I d 10 V 0 6 I e = 15 V 2 7 I f 20 V Lösungsmatrix eines Netzwerks d) Bestimmen Sie den Strom I d aus der oben genannten Matrix. Der Lösungsweg soll hierbei erkennbar sein. Geben Sie auch den Zahlenwert für = 100 U an. Lösung zu Aufgabe 1.1 Hinweis: Lineare Netzwerke bestehen ausschließlich aus linearen Elementen. Ein lineares Element zeichnet sich dadurch aus, dass der Strom der Spannung in linearer Weise folgt. I = k U, wobei k ein Proportionalitätsfaktor ist.

3 Lösung zu Aufgabe a) Erstellung der äquivalenten Spannungsquelle: 3 ist parallel zur Stromquelle, daher kann die äquivalente Spannungsquelle als U 01 = 3 geschrieben werden. Vereinfachung des Netzwerkes: Die Parallelschaltung aus den beiden Widerständen 2 wird zu 2 2 = vereinfacht. Die eihenschaltung aus und wird zu 2 vereinfacht. U = 3I U 05 U 03 U 04 U 06 5 x 4 2 Bild Vereinfachung des Netzwerks b) Quellen Masche I 5 + x U 03 U 04 Masche II U 05 U 04 Masche III U 06 U 05 U 01 Die angegebene Matrix ist eine von mehreren möglichen Lösungen. Die ichtung der Maschenumläufe kann beliebig gewählt werden. c) Berechnung des Widerstandes des Drahtes: x = 9 Berechnung der Leistung: P x = Ia 2 x = 0,32 W l p r 2 = 1,27 U d) det(a) = ( ) U 3 = U 3 det ( A d ) = ( ) V U 2 = V U 2 I d = det ( ) A d = 0,0202 A det(a)

4 20 1 Elektrische Gleichstromnetzwerke Aufgabe 1.2 Das folgende lineare Netzwerk ist gegeben: x U 03 Bild Lineares Netzwerk a) Formen Sie die Stromquelle in die äquivalente Spannungsquelle U 01 um und vereinfachen Sie das Netzwerk. b) Stellen Sie mithilfe des Maschenstromverfahrens das Gleichungssystem für die unabhängigen Ströme, und auf (Matrixform). Es seien nachfolgende Werte gegeben: = 100 U, x = 100 U, = 50 ma, = 10 V, U 03 = 5 V c) Bestimmen Sie den Strom zunächst algebraisch. Geben Sie danach ebenfalls seinen Zahlenwert an. Die Größe des Widerstands x sei temperaturabhängig. Sein Temperaturkoeffizient a betrage bei 20 C a 20 = 3, K 1. Somit ist sein Widerstand bei 20 C x,20 = 100 U. d) Der Widerstand x erwärmt sich von aumtemperatur (20 C) auf 200 C. Geben Sie nun den neuen Strom (T = 200 C) an. Lösung zu Aufgabe 1.2 a) Vereinfachung des Netzwerkes: Umformen von in U 01, Zusammenfassen der Widerstände zu 3. x U I 01 = 01 3 U 03 3 Bild Vereinfachung des Netzwerks

5 Aufgabe b) Quellen Masche a x + + Masche b U 01 Masche c U 03 c) det(a) = 16 2 x det (A a ) = 2 (4U U 03 ) = det (A a) det(a) = 30 ma = 4U U x + 24 d) Es wird davon ausgegangen, dass sich der Widerstandswert linear mit der Temperatur ändert. x ( T = 200 C ) = x,20 + a 20 (T 20 C ) x ( T = 200 C ) = x,20 (1 + a 20 (T 20 C )) = 169,3 U wird analog Aufgabenteil c) berechnet: ( T = 200 C ) = 23 ma Aufgabe 1.3 Das folgende lineare Netzwerk ist gegeben: 3 I 3 I 1 U q2 I q1 4 2 U 4 U q3 2 I 2 I 4 Bild Lineares Netzwerk a) Formen Sie die Stromquelle I q1 in eine äquivalente Spannungsquelle U q1 um. b) Die eingezeichneten Ströme I 1, I 2 und I 3 sind unabhängig. Geben Sie für diesen Fall den vollständigen Baum für das umgeformte Netzwerk an. c) Stellen Sie mithilfe des Maschenstromverfahrens ein lineares Gleichungssystem für diese unabhängigen Ströme auf (Matrixform). Es seien nachfolgende Werte gegeben: = 100 U, I q1 = 100 ma, U q2 = 10 V, U q3 = 30 V d) Berechnen Sie die Ströme I 1 und I 2. e) Berechnen Sie die Spannung U 4.

6 22 1 Elektrische Gleichstromnetzwerke Lösung zu Aufgabe 1.3 a) U q2 3 I 3 I U 4 U q3 U q1 2 I 2 Bild Umwandlung der Stromquelle in eine äquivalente Spannungsquelle b) Der vollständige Baum verbindet alle Knoten eines Netzwerkes, ohne dass eine geschlossene Masche gebildet wird. Er besteht aus (k 1) Baumzweigen, wobei k die Anzahl der Knoten ist. Bild Vollständiger Baum c) I 1 I 2 = I 3 + U q3 U q2 U q3 U q1 d) I 1 = 11,36 ma I 2 = 32,95 ma e) I 4 = I 2 I 1 = 44,28 ma U 4 = I 4 4 = 17,712 V Aufgabe U 2 2 I 03 Bild Lineares Netzwerk = 10 U, = 100 ma, = 5 V, I 03 = 50 ma a) Wandeln Sie alle in der gegebenen Schaltung enthaltenen Stromquellen in äquivalente Spannungsquellen um.

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