3.5. Aufgaben zur Wechselstromtechnik

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1 3.5. Aufgaben zur Wechselstromtechnik Aufgabe : eigerdiagramme Formuliere die Gleichungen für die alteile von (t) sowie (t) und zeichne ein gemeinsames eigerdiagramm für Spannung sowie Stromstärke, wenn die folgenden Elemente an eine Sinuswechselspannung mit Spitzenwert 0 = 3 V und Frequenz f = 50 Hz anchlossen werden. Läuft der Strom vor, gleich oder nach? a) Ein ohmscher Widerstand mit R = 300 Ω b) Ein Kondensator mit der Kapazität C = 20 μf c) Eine Spule mit der nduktivität L = 500 mh. Aufgabe 2: pedanzen Berechne die pedanzen der folgenden Bauelemente und gib an, ob es sich um Blind- oder um Wirkwiderstände handelt. Formuliere den Strom (t) als komplexwertige Größe in Polarform und zeichne ein gemeinsames eigerdiagramm für Spannung sowie Stromstärke, wenn die folgenden Elemente an eine Sinuswechselspannung (t) = 0 e iωt mit Spitzenwert 0 = 3 V und Frequenz f = 50 Hz anchlossen werden. a) Ein ohmscher Widerstand mit R = 200 Ω b) Ein Kondensator mit der Kapazität C = 30 μf c) Eine Spule mit der nduktivität L = 400 mh. Aufgabe 3: ihenschaltung Berechne die Stromstärke und die Teilspannungen R, C und L sowie die Phasenverschiebung φ für die folgenden ihenschaltungen. eichne die Teilspannungen R, C und L und die Gesamtspannung = R + C + L in ein eigerdiagramm. a) 20 V, 30 Hz b) 20 V, 30 Hz c) 2 V, 30 Hz 8 Ω 500 μf 5 Ω 50 mh Ω 400 μf 80 mh Aufgabe 4: ihenschaltung a) Eine Spule mit dem ohmschen Widerstand R = 350 Ω und der nduktivität L = 4,46 H ist an eine Stromquelle mit der maximalen Spannung 0 = 3 V und f = 50 Hz anchlossen. Berechne die maximale Stromstärke und die Phasenverschiebung φ. b) m den ohmschen Widerstand R und die nduktivität L einer Spule zu bestimmen, werden zwei Messungen durchgeführt: Bei einer Gleichspannung von = 20 V fließt ein Strom von = 5 A und bei einer Wechselspannung mit Maximalwert ~ = 3 V mit f = 50 Hz fließt ein Strom mit Maximalwert ~ = 4,24 A. Wie groß sind R und L? Aufgabe 5: Parallelschaltung Berechne die Stromstärke und die weigströme R, und L sowie die Phasenverschiebung φ für die folgenden Parallelschaltungen. eichne die weigströme R, und L und den Gesamtstrom = R + + L in ein eigerdiagramm. a) 400 V, 50 Hz b) 400 V, 50 Hz c) 2 μf H 400 V, 50 Hz 300 mh 250 Ω 200 Ω 200 Ω 40 μf Aufgabe 6: Parallel- und ihenschaltung Berechne die pedanz, die Stromstärke und die Phasenverschiebung φ für die folgenden Schaltungen. eichne jeweils ein eigerdiagramm mit den weigströmen und 2 und dem Gesamtstrom = + 2. a) 50 V, 60 Hz b) 6 V, 50 Hz c) 5 V, 50 Hz 0 Ω 00 μf 20 mh 3 Ω 4 mf 6 mh 2 Ω 0 mh mf

2 Aufgabe 7: Frequenzfilter Berechne die Stromstärke und die Teilspannungen R, C und L sowie die Phasenverschiebung φ für die Bauteile aus Aufgabe 6 c) in ihenschaltung. eichne die Teilspannungen R, C und L und die Gesamtspannung = R + C + L in ein eigerdiagramm. Vergleiche mit der Parallelschaltung in Aufgabe 6 c) und begründe, warum man -Kombinationen als Frequenzfilter bezeichnet: n Parallelschaltung (Sperrkreis) sperren sie die zu filternde Frequenz, in ihenschaltung (Siebkette) lassen sie diese Frequenz bevorzugt durch. Aufgabe 8: Leistung und Effektivwerte a) Berechne jeweils die Wirkleistung P W und die Blindleistung P B in den Schaltkreisen aus den Aufgaben 4 6. b) An welcher Stelle des Stromkreises wird die Wirkleistung in Wärme umetzt? c) An welcher Stelle des Stromkreises wird auch ein Teil der Blindleistung in Wärme umetzt? d) Wovon hängt es ab, wie viel Blindleistung als Wärmeleistung verloren geht? Aufgabe 9: Leistung und Effektivwerte Ein Elektromagnet wird mit Wechselstrom der Effektivspannung eff = 220 V und der Effektivstromstärke eff = 0 A betrieben. Ein Wattmeter zeigt die Wirkleistung P W = 600 W an. a) Berechne die Scheinleistung P, den Leistungsfaktor coe(φ) und die Phasenverschiebung φ? b) Wie groß sind der ohmsche Widerstand R und die pedanz L des Magneten? Aufgabe 0: Leistung und Effektivwerte Ein Elektromotor wird mit der Effektivspannung eff = 220 V bei einer Stromstärke eff = 9 A betrieben. Der Leistungsfaktor ist cos(φ) = 0,8 und der Wirkungsgrad (= Verhältnis der abgegebenen mechanischen Leistung P M zur aufgenommenen Leistung P) ist η = 0,82. a) Berechne die aufgenommene Scheinleistung P und die Wirkleistung P W. b) Wie groß sind die abgegeben mechanische Leistung P m und die abgeführte Wärmeleistung P Wärme? Aufgabe : Leistung und Effektivwerte Ein Notstromgenerator eines Krankenhauses hat die Ausgangsspannung eff = 220 V und die Ausgangsleistung P = 80 kw bei einem Wirkungsgrad η = 0,9. a) Wie ist der Wirkungsgrad in diesem Fall sinnvollerweise definiert und welche mechanische Leistung nimmt das Kraftwerk auf? b) Wie groß ist die Effektivstromstärke bei einem Leistungsfaktor von cos(φ) = 0,86? Aufgabe 2: Frequenzabhängigkeit der pedanz beim Sperrkreis a) Berechne die amte pedanz eff und die Phasenverschiebung φ für die nebenstehende Schaltung bei eff = 0 V und f = 50 Hz b) Bei welcher Frequenz f 0 verschwindet der Blindwiderstand und wie groß ist dann der Wirkwiderstand? c) eichne jeweils ein eigerdiagramm für die weigströme bei den Frequenz f und f 0 d) Warum nennt man eine Parallelschaltung aus Spule und Kondensator Sperrkreis? Was wird perrt und was wird durchgelassen? e) Wie groß ist die Wirkleistung bei den Frequenzen f und f 0? f) Nun wird die Stromquelle abgeklemmt. Warum fließt weiterhin Strom? g) n welchen weigen fließt Strom? m welche Art von Schaltung handelt es sich jetzt? Aufgabe 3: Frequenzabhängigkeit der pedanz bei der Siebkette a) Berechne die amte pedanz eff und die Phasenverschiebung φ für die nebenstehende Schaltung bei eff = 220 V und f = 50 Hz b) Bei welcher Frequenz f 0 verschwindet der Blindwiderstand und wie groß ist dann der Wirkwiderstand? c) eichne jeweils ein eigerdiagramm für die Teilspannungen bei den Frequenz f und f 0 d) Warum nennt man eine ihenschaltung aus Spule und Kondensator Siebkette? Was wird durchgelassen und was wird rausiebt? e) Wie groß ist die Wirkleistung bei den Frequenzen f und f 0? Aufgabe 4: Frequenzeinstellung bei einer Siebkette Wie groß muss die Kapazität C in der Schaltung rechts gewählt werden, damit die Frequenz f 0 = 50 Hz herausiebt wird? 00 Ω 6 Ω 0 V, 50 Hz 5 Ω 50 mh mf 220 V, 50 Hz 00 μf mh 22 V, 50 Hz C 4,5 H 2

3 3.5. Lösungen zu den Aufgaben zur Wechselstromtechnik Aufgabe : eigerdiagramme 0 a) R (t) = 0 cos(ωt) mit 0 = =,03 A: Strom läuft gleich R b) (t) = 0 cos(ωt + 90 ) mit 0 = ωc 0 2,03 A: Strom läuft vor 0 c) L (t) = 0 cos(ωt 90 ) mit 0 = 2,06 A: Strom läuft nach L L R Aufgabe 2: pedanzen a) R (t) = 0 e iωt 0 mit 0 = =,56 A: Strom läuft gleich R b) (t) = 0 e i(ωt + 90 ) mit 0 = ωc 0 2,93 A: Strom läuft vor c) L (t) = 0 e i(ωt 90 ) 0 mit 0 = 2,47 A: Strom läuft nach L L R Aufgabe 3: ihenschaltung: a) (8 0,6i) Ω 3,29 e i53,0 Ω =,5 ei(ωt + 53,0 ) A (Strom läuft vor) R = R 2, e i(ωt + 53,0 ) V R C = 6,0 ei(ωt + 53,0 90 ) V b) (5 + 9,42i) Ω 0,67 e i62,0 Ω =,87 ei(ωt 62,0 ) A (Strom läuft nach) C L R = R 9,4 e i(ωt 62,0 ) V L = iωl 7,4 e i(ωt 62, ) V c) ( +,82i) 2,07 e i6,2 Ω = 0,96 e i(ωt 6,2 ) A (Strom läuft nach) R = R 0,96 e i(ωt 6,2 ) V = i C,75 e i(ωt 6, ) V R R Aufgabe 4: ihenschaltung a) = R i L 0,6 ei(ωt 46, ) A b) R = ~ = 4 Ω und L = 0,233 H. ~ Aufgabe 5: Parallelschaltung: a) Y = R + iωc (4 + 3,78i) 0 3 Ω 5, e i43,3 Ω = Y 2,20 e i(ωt + 43,3 ) A (Strom läuft vor) R = R =,6 eiωt A R, = iωc,5 e i(ωt + 90 ) A b) Y = R + (5 3,8i) 0 3 Ω 5, e i32,5 Ω = Y 2,37 e i(ωt 32,5 ) A (Strom läuft nach) R = R = 2 eiωt A R, =,27 ei(ωt 90 ) A L 3

4 c) Y (5 +,96i) 0 3 Ω 5, e i2,4 Ω = Y 2,5 e i(ωt + 2,4 ) A (Strom läuft vor) R = R = 2 eiωt A = 0,78 e i(ωt 90 ) A R, Aufgabe 6: Parallel- und ihenschaltung a) Y RL = R i L 0,080 e i37,0 Ω RL 3,99 e i(ωt 37 ) A Y C = iωc 0,038 e i90 Ω,88 e i(ωt + 90 ) A Y = Y LR + Y C 0,065 e i9,24 Ω 3,23 e i(ωt 9,24 ) A = Y 5,48 ei9,24 Ω und φ 9,24 (Strom läuft nach) b) Y RC = 0,322 e i4,9 Ω RC,93 e i(ωt + 4,9 ) A R Y L = 0,53 e i90 Ω L 3,8 e i(ωt 90 ) A Y = Y RC + Y L 0,546 e i55,2 Ω 3,28 e i(ωt 55,2 ) A = Y,83 ei55,8 Ω und φ 55,2 (Strom läuft nach) c) Y L = 0,32 e i90 Ω. Y C = iωc 0,3 e i90 Ω. Y = Y L + Y C 0,004 e i90 Ω. = Y 240,9 ei90 Ω. = R + 240,9 e i89,5 Ω = Teilspannungen R = R 0,04 e i(ωt 89,5 ) V. = 5,0 e i(ωt + 0,5 ) V. = 0,02 e i(ωt 89,5 ) A weigströme L =,60 ei(ωt 89,5 ) A = iωc,6 e i(ωt + 90,5 ) A Die weigströme und L bzw. Leitwerte iωc und sind bei dieser Frequenz annähernd gleich groß und laufen um 80 gegeneinander versetzt im Kreis ohne diesen zu verlassen: Die -Parallelschaltung sperrt bei dieser Frequenz und wirkt als Filter bzw. Sperrkreis, denn bei allen anderen Frequenzen entkommt der Strom aus dem Kreis und der Widerstand sinkt deutlich ab. Aufgabe 7: Filter = R + iωl + (2 + 3,4i 3,8i) Ω = (2 0,04i) Ω 2 e i,2 Ω = 25 e i(ωt +,2 ) A R = R 50 e i(ωt +,2 ) V L = iωl 78,5 e i(ωt +, ) V C C = 79,6 ei(ωt +,2 90 ) V Die Teilspannungen L und C bzw. Teilimpedanzen iωl und sind bei dieser Frequenz annähernd gleich groß und laufen um 80 gegeneinander versetzt im Kreis, so dass sie sich gegenseitig kompensieren: Die -ihenschaltung lässt L L = R /R L RC LR R 4

5 diese Frequenz durch und wirkt als Filter bzw. Siebkette, denn bei allen anderen Frequenzen kompensieren sich die Teilspannungen bzw. Widerstände nicht mehr und die Gesamtimpedanz nimmt deutlich zu. Aufgabe 8: Leistung und Effektivwerte a) Aufgabe 5a) 5b) 5c) 6a) 6b) 6c) 7 cos(φ) 0,73 0,84 0,93 0,99 0,57 0,0 0,99 P W = eff eff cos(φ) 320 W 400 W 400 W 80 W 5,6 W 0 mw 68 W P B = eff eff sin(φ) 302 W 255 W 57 W 3 W 8, W 50 mw 0 W b) Wirkleistung wird in ohmschen Widerständen in Wärme umetzt c) Blindleistung wird teilweise innerhalb der Stromquelle durch den ohmschen nnenwiderstand in Wärme umetzt. d) Je geringer der ohmsche nnenwiderstand der Stromquelle, desto geringer der Leistungsverlust. Aufgabe 9: Leistung und Effektivwerte W a) P = eff eff = 2200 W cos(φ) = P P = 0,2727 φ 74,2. b) R = eff cos( ) 6 Ω und L = eff eff cos( ) 2,2 Ω eff Aufgabe 0: Leistung und Effektivwerte a) P =,98 kw und P W =,58 kw b) P m =,3 kw und P Wärme = 285 W Aufgabe : Leistung und Effektivwerte a) n diesem Fall (vgl. Aufgabe 9) ist der Wirkungsgrad gleich dem Verhältnis der abgegebenen elektrischen Leistung P zur aufgenommenen mechanischen Leistung P m P m = 200 kw P b) eff = = 95 A. cos( ) eff Aufgabe 2: Frequenzabhängigkeit der pedanz (Sperrkreis) a) Leitwert Y = R + iωc + (0,2 0,25i) Ω 0,32 e i5,3 Ω pedanz = Y = (,95 + 2,43i) Ω 3,2 e i5,3 Ω Stromstärke = Y = 2 0 V 0,32 Ω 4,53 e i(ωt + 5,3 ) A (Strom läuft nach) b) Der Blindwiderstand X = ( ) verschwindet genau dann, wenn auch der aginärteil (Y ) des Leitwertes Y(ω) = R + iωc + verschwindet. Aus (Y) = 0 ωc = 0 erhält man die Lösung L ω 0 = 4,4 s- 0 bzw. die Frequenz f 0 = 22,5 Hz 2 mit dem Wirkwiderstand ( ) = R = 5 Ω. c) eigerdiagramm für f = 50 Hz: eigerdiagramm für f 0 = 22,5 Hz: Leff = eff Leff = C 0,64i A,4i A eff = eff iωc eff = iωc 3,4i A,4i A = R ff = eff ff = R 2 A R 2 A L L d) Bei der Sperrfrequenz f 0 kompensieren sich die beiden Blindleitwerte iωc und i L : Der Gesamtleitwert Y wird minimal und die Gesamtimpedanz wird maximal. Die Frequenz f 0 wird schlechter durchgelassen als alle anderen bzw. perrt. e) P w (50 Hz) = eff eff cos(5,3 ) 0 W P w (22,5 Hz) = eff eff cos(0 ) 0 W. (Die Wirkleistung bei der Parallelschaltung ist unabhängig von der Frequenz bzw. Phasenverschiebung!) 5

6 f) Bei Entfernung der äußeren Spannungsquelle entlädt sich der Kondensator über die Spule. hre Selbstinduktion widersetzt sich der Abnahme des Entladestroms und führt dazu, dass der Entladestrom auch bei vollständiger Entladung in die gleiche Richtung weiter fließt. Der Entladestrom wird dadurch zu einem Ladestrom und lädt den Kondensator entgegenetzt auf. Durch die zunehmende Ladespannung sinkt der Ladestrom langsam auf Null ab und wechselt schließlich die Richtung. Damit ist die erste Halbschwingung beendet. Er wird zu einem Entladestrom und der Vorrang wiederholt sich in entgegenetzter Richtung. g) Es handelt sich um eine ihenschaltung ohne Beteiligung des ohmschen Widerstandes. Der Strom fließt als reiner Blindstrom in der Skizze im Kreis um ihn herum. Aufgabe 3: Frequenzabhängigkeit der pedanz bei der Siebkette a) = R + iωl + = (00 3,52) Ω 04,84 e i7,5 Ω eff eff = 2, A mit φ = +7,5 (Strom läuft vor) b) f 0 = 503,3 Hz 2 c) eigerdiagramm für f = 50 Hz: eff Ceff = 66,8i V Leff = eff iωl 0,7i V ff = eff.r 20 V R ; 00 Ω 220 V, 50 Hz 00 μf eigerdiagramm für f 0 = 503,3 Hz mit = R = 00 Ω und eff = 2,2 A Ceff = 6,96i V Leff = eff iωl 6,96i V ff = eff R 220 V L C mh = R d) Die Teilspannungen L und C bzw. Teilimpedanzen iωl und sind bei dieser Frequenz annähernd gleich groß und laufen um 80 gegeneinander versetzt im Kreis, so dass sie sich gegenseitig kompensieren: Die -ihenschaltung lässt diese Frequenz durch und wirkt als Filter bzw. Siebkette, denn bei allen anderen Frequenzen kompensieren sich die Teilspannungen bzw. Widerstände nicht mehr und die Gesamtimpedanz nimmt deutlich zu. e) P W (50 Hz) = eff eff cos(φ) 440 W und P W (503,3 Hz) = 484 W. (Bei der ihenschaltung ändert sich die Wirkleistung mit der Phasenverschiebung!) Aufgabe 4: Frequenzeinstellung bei einer Siebkette f 0 = C 2,25 μf 2 6